CC BY
4
https://doi.org/10.15350/17270529.2022.3.30
УДК 538.913+534-6
Температурная зависимость решеточной теплопроводности метастабильных фаз ГЦК-Ti и -Zr
Е. Б. Долгушева
Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Россия, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, д. 34
Аннотация. Метастабильные фазы материала обладают иными, возможно, аномальными свойствами, по сравнению с его стабильным структурным состоянием. Рассчитанные ранее методом молекулярной динамики с многочастичными потенциалами, построенными в технике погруженного атома, упругие и динамические свойства метастабильных фаз с гранецентрированной кубической решеткой переходных сильно ангармонических металлов Ti и Zr, хорошо согласуются с предыдущими теоретическими расчетами. В данной работе показана возможность применения метода неравновесной молекулярной динамики, для расчета решеточной теплопроводности метастабильных ГЦК структур в обоих металлах. Получены кривые температурной зависимости коэффициентов решеточной теплопроводности ГЦК-Ti и -Zr для кристаллитов сечением 12*12 элементарных ячеек ГЦК и длинами 48 и 96 ячеек. Результаты приводятся в сравнении с вычисленной ранее решеточной теплопроводностью Al, которая согласуется с первопринципными расчетами.
Ключевые слова: метод неравновесной молекулярной динамики, решеточная теплопроводность, метастабильные состояния.
И Елена Долгушева, e-mail: elena@udman.ru
Temperature Dependence of Lattice Thermal Conductivity of Metastable Phases of FCC-Ti and -Zr
Elena B. Dolgusheva
Udmurt Federal Research Center UB RAS (34, T. Baramzina St., Izhevsk, 426067, Russian Federation)
Summary. The metastable phases of a material have other, possibly, anomalous properties compared to its stable structural state. The structural, elastic, and dynamic properties of metastable phases with a face-centered cubic lattice of transition metals titanium and zirconium with highly anharmonic interatomic interaction calculated earlier by the method of molecular dynamics with multiparticle potentials constructed in the embedded atom model, are in good agreement with previous theoretical calculations. It is shown that it is possible to use the method of nonequilibrium molecular dynamics to calculate the lattice thermal conductivity of metastable phases of transition metals. To calculate the thermal conductivity, the eHEX algorithm based on the method of nonequilibrium molecular dynamics, built into the LAMMPS package is used. Earlier the test calculations of the lattice thermal conductivity for the aluminum crystallites with a cross section of 5*5 nm and lengths of 20 and 40 nm have shown that this approach gives the values of the lattice thermal conductivity coefficient consistent with the results of the first-principles calculations obtained by the density-functional theory, taking into account only the phonon-phonon interaction. With a decrease in the size of the basic crystallite, the thermal conductivity coefficient decreases; this is due to the depletion of the low-frequency region of the phonon spectrum the contribution of which to thermal conductivity becomes insignificant with an increase in temperature. At high temperatures, the thermal conductivity coefficient does not depend on the size of the crystallites and coincides with the coefficient obtained by the first-principles calculations. Applying the same approach, and taking into account only the linear region of the temperature distribution along the direction of heat flow propagation, the curves of the temperature dependence of the lattice thermal conductivity coefficients of the metastable cubic face-centered structural phases of titanium and zirconium are obtained for the crystallites with cross section of 12*12, and lengths of 48 and 96 unit cells. Knowledge of the temperature behavior of the phonon thermal conductivity of these important structural metals can be useful when creating devices whit a metal/metal or metal/semiconductor interface.
Keywords: non-equilibrium molecular dynamics method, lattice thermal conductivity, metastable phases.
И Elena Dolgusheva, e-mail: elena@udman. ru
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы исследования в области физики фазовой метастабильности интенсивно развиваются как в нашей стране, так и за рубежом [1]. Метастабильные состояния вещества широко представлены в природе и часто реализуются в различных технологических процессах. Метастабильные материалы, как правило, обладают механическими и термодинамическими свойствами, отличными от свойств равновесного состояния. Так, при сдвиге под давлением кристаллы, имеющие тетрагональную решетку, хрупко разрушаются, в то время как метастабильные с кубической решеткой претерпевают пластическую деформацию как сплошная среда [2].
Технологически важные переходные металлы Т и Zr, также богаты структурными модификациями. Как известно, на диаграмме Температура-Давление для Т и Zr при низких температурах и атмосферном давлении стабильной является ГПУ решетка, а при высоких -ОЦК. Фаза ГЦК для чистых циркония и титана является метастабильной и реализуется с помощью различных технологий только в пленочных образцах или наночастицах [3 - 7].
Ранее, методом молекулярной динамики (МД), было показано, что процесс перехода в пленках Zr из высокотемпературной ОЦК фазы в низкотемпературную ГПУ структуру происходит через фазу ГЦК [8], что нашло экспериментальное подтверждение в недавних работах [9]. Дальнейшие наши исследования теплового расширения ГЦК пленок Т и Zr показали, что метастабильное состояние в них характеризуется наличием отрицательных коэффициентов линейного расширения [10, 11]. К тому же металлы группы циркония относятся к материалам с сильно ангармоническим характером колебаний решетки [12, 13] Физические свойства стабильных фаз Т и Zr хорошо известны. Метастабильные ГЦК фазы этих же металлов имеют другие колебательные состояния. Возможно, эти особенности фононного спектра могут привести к изменениям различных физических свойств, в первую очередь, термодинамических.
Таким образом, мы полагаем, что исследование температурной зависимости фононной теплопроводности метастабильных состояний металлов является важной задачей, поскольку выяснение основополагающих характеристик материала, представляет интерес как для фундаментальных проблем физики конденсированных сред, так и для возможных практических применений.
РАСЧЕТЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЦК-Т И -Ъг
Все расчеты по исследованию решеточной теплопроводности ГЦК-Т и -2г проводились с использованием программного кода LAMMPS [14] и встроенного алгоритма "еНЕХ" [15]. Этот алгоритм основан на методе неравновесной молекулярной динамики (№МБ) [16]. Базовые кристаллиты Т и Zr имели размеры 12x12x48 и 12x12x96 элементарных ГЦК ячеек с периодическими граничными условиями по всем осям. Число атомов 27648 и 55296 соответственно. Шаг по времени Ш.
Следует сказать несколько слов о выборе размера сечения (12x12 ячеек) базовых кристаллитов. Дело в том, что ранее [8] нами был исследован так называемый "скрытый размерный эффект" - это влияние размера базового кристаллита на результат моделирования при периодических граничных условиях, имитирующих бесконечный кристалл. В частности, на примере циркония было показано, что при размере базового кристаллита менее 12 ячеек и периодических граничных условиях, часть колебательных мод не участвует в процессе фазового перехода ОЦК ^ ГПУ. В результате этого исключения, вместо ГПУ образуется орторомбическая а''-фаза с деформированной базисной плоскостью и в структуру с правильной ГПУ-решеткой она не переходит ни при каких условиях. В то время как при размерах базового кристаллита более 12 ячеек, фазовый переход завершался правильной ГПУ структурой. Исходя из этих соображений, при изучении переноса тепла фононами, т. е. колебаниями решетки, сечение кристаллитов было выбрано именно 12x12 элементарных
ячеек, чтобы учесть как можно большее количество фононных мод в процессе переноса энергии. Забегая вперед, заметим, наши тестовые расчеты на кристаллитах с сечением 6*6 ячеек и теми же длинами показали, что значения решеточной теплопроводности в них занижены на 5 - 10 % по сравнению с образцами сечение которых 12*12 ячеек. Причем, большее расхождение наблюдается при температурах ниже 400 - 500 К.
Тепловой поток задавался в направлении [001] путем формирования горячего и холодного термостатов. Стационарный режим теплового потока удерживался в течение 3^. После чего, усреднением по времени определялось пространственное распределение температуры вдоль направления распространения энергии. В расчете коэффициента решеточной теплопроводности ^(Т), при заданной температуре, учитывался градиент температуры только на линейной области температурного профиля. Эта схема вычислений температурной зависимости коэффициента решеточной теплопроводности более подробно описана в работе [17]. Тестовые расчеты, проведенные на алюминии показали, что такой подход приводит к получению значений коэффициента решеточной теплопроводности алюминия, согласующихся с результатами первопринципных расчетов, выполненных на основе теории функционала плотности, и учитывающих только фонон-фононное взаимодействие (см. рис. 3 в [17]).
Этот же подход применялся при расчете коэффициентов решеточной теплопроводности в ГЦК-Т и ^г. Межатомное взаимодействие в Zr и Т описывалось с помощью многочастичных потенциалов, построенных в рамках модели "погруженного атома", взятые из [18] и [19] соответственно. Ранее с этими потенциалами в работе [20] нами были вычислены параметры решетки и упругие модули. Для ГЦК-Т и ^г все модули упругости являются положительными, что свидетельствует об их стабильности. Полученные результаты перечисленных характеристик согласуются с первопринципными расчетами, а равновесные параметры решеток ГЦК-Т и ^г - с экспериментальными данными, полученными для пленок (см. табл. 1 в [20]). С помощью метода быстрого преобразования Фурье автокорреляционных функций скоростей, усредненных на временном интервале ~30 ps после выдержки кристаллита в режиме свободной эволюции в течение 1 м, были получены фононные спектры. На рис. 1 приведены плотности фононных состояний для ГЦК^г, -Т и -А1 при Т = 100 К.
25
20
=? 15
со
?
О ю 5 О
О 2 4 6 8 10
Frequency, THz
Рис. 1. Плотности колебательных состояний ГЦК-Zr, -Ti и -Al при Т = 100 К
Fig. 1. Vibrational density of states of FCC-Zr, -Ti and -Al at T = 100 K
Как видно, спектры титана и алюминия очень похожи по морфологии, они имеют почти совпадающие низкоэнергетические области, их граничные частоты также близки. Спектр циркония, как более тяжелого элемента, занимает область энергий, почти в два раза ниже, чем алюминий и в полтора - чем титан. Эти отличия колебательных спектров, в первую очередь, отражаются на поведении температурной зависимости теплоемкости.
Температурные зависимости теплоемкости для чистых ГЦК^г, -Т и -А1, полученные интегрированием известных плотностей колебательных состояний, приведены на рис. 2. Здесь также видим очень близкие значения теплоемкостей ГЦК-Т и -А1, а кривая теплоемкости ГЦК^г проходит намного выше, что связано с особенностями низкоэнергетической области колебательных спектров этих металлов.
25
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Т,К
Рис. 2. Температурные зависимости теплоемкости ГЦК-Zr, -Ti, -Al
Fig. 2. Temperature dependence of heat capacity FCC-Zr, -Ti, -Al
В настоящей работе исследовалась возможность моделирования температурной зависимости коэффициентов решеточной теплопроводности ГЦК-Zr и -Ti, результаты расчетов представлены на рис. 3. Вычисления проведены на кристаллитах двух размеров вдоль направления распространения теплового потока: 96 элементарных ячеек ГЦК - рис. 3, а, 48 ячеек - рис. 3, b. Для сравнения на этих же графиках нанесены значения теплопроводности для Al. Графики теплопроводности для кристаллитов разных размеров при низких температурах отличаются примерно в 2 раза. Этот факт объясняется тем, что при низких температурах основной вклад в коэффициент теплопроводности дают длинноволновые фононы. Число волновых векторов при моделировании образца конечного размера, как известно, может принимать только определенные дискретные значения, которые определяются выражением q = 2nnz / Lz. Здесь nz - целое число, принимающее значения от 1 до Nz, где Nz - число ячеек в образце вдоль направления z, а Lz - длина кристаллита вдоль этого направления, равная Lz = Nz a, где а - параметр решетки. Таким образом, длинноволновых фононов в кристаллите длиной 48 ячеек как раз в два раза меньше, чем в образце длиной 96 ячеек. При высоких температурах, когда число фононов, участвующих в процессе, увеличивается, разность значений коэффициентов теплопроводности для кристаллитов разных размеров уменьшается и становится пренебрежительно малой.
Как видно из рис. 3, a, b при температурах ниже 300 K Al обладает самой большой теплопроводностью, затем следуют Ti и Zr. Чем меньше атомная масса, тем больше групповая скорость фононов и, соответственно, больше теплопроводность. С ростом температуры выше 300 K наблюдается характерное уменьшение теплопроводности для всех трех металлов. Такое поведение связано с увеличением числа фононов и ростом фонон-фононного рассеяния, которое приводит к уменьшению коэффициента решеточной теплопроводности. Наши расчеты показывают такую же тенденцию. Причем уменьшение происходит в обратном порядке, чем больше атомная масса, тем медленнее идет убывание теплопроводности как для "длинных", так и для "коротких" кристаллитов. На интервале от 100 до 300 K характер поведения температурной зависимости решеточной теплопроводности в Zr существенно отличается от Ti и Al. Здесь kpi(T) в Zr увеличивается, и только после 300 К убывает, в то время как в Al и Ti kpi(T) убывает почти при всех рассмотренных температурах.
о -.---1-1---.-.--- о -'-'-'-
О 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10ОО Temperature, К Température, К
Рис. 3. Температурные зависимости коэффициента решеточной теплопроводности ГЦК-Al, -Ti и -Zr для кристаллитов сечением 12x12 u.c. и длиной вдоль направления [001]: (а) - 48 u.c.; (b) - 96 u.c.
Fig. 3. Temperature dependences of the lattice thermal conductivity coefficient of FCC-Al, -Ti and -Zr for crystallites with a cross section of 12*12 u.c. and a length along the direction [001]: (a) - 48 u.c. ; (b) - 96 u.c.
Возникают вопросы: с чем связано такое поведение ^(Т) в ГЦК^г и в каких структурах эта характеристика может проявиться? Интересно сравнить результаты таких же исследований для пленок, поскольку фазы ГЦК-Т и ^г существуют только в пленочном состоянии. Также представляет интерес теплопроводность нанопленок, состоящих из атомных слоев различных элементов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в работе показана возможность определения решеточного вклада в общую теплопроводность метастабильных фаз переходных металлов, с помощью метода неравновесной молекулярной динамики, учитывая при расчете только линейную область распределения температуры вдоль направления распространения теплового потока. Получены значения коэффициентов решеточной теплопроводности метастабильной фазы ГЦК-Т и ^г в зависимости от температуры. На кривой температурной зависимости коэффициента решеточной теплопроводности ГЦК^г наблюдается положение пика при необычно высокой температуре (Т = 300 К).
Результаты работы могут быть использованы при разработке технологий получения новых композиционных материалов на основе циркония, титана и алюминия с заданными свойствами, а также при разработке терморегулируемых наноустройств, которые имеют интерфейс из разных металлов или металл-полупроводник.
Работа выполнена с использованием кластера "Уран" СКЦ ИММ УрО РАН в рамках темы НИР УдмФИЦ УрО РАН "Теоретические исследования фазовых состояний, спектральных и кинетических свойств электронов и фононов в системах с пониженной размерностью" № 121030100005-1.
The work was carried out using the Uranium cluster of the SCC IMM UB RAS within the framework of the R&D theme of the UdmFRC UB RAS "Theoretical studies of phase states, spectral and kinetic properties of electrons and phonons in systems with reduced dimension" No. 121030100005-1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
REFERENCES
1. Schonecker S., Li X., Richter M.,Vitos L. Lattice dynamics and metastability of fcc metals in the hcp structure and the crucial role of spin-orbit coupling in platinum // Physical Review B, 2018, vol. 97, article: 224305, 10 p. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.97.224305
2. Schonecker S., Li X., Koepermik K., Johansson B., Vitos L., Richter M. Metastable cubic and tetragonal phases of transition metals predicted by density-functional theory // RSC Advances, 2015, vol. 5, iss. 85, pp. 69680-69689. https://doi.org/10.1039/C5RA14875H
3. Kim S. K., Jona F., Marcus P. M. Growth of face-centered-cubic titanium on aluminum // Journal of Physics: Condensed Matter, 1996, vol. 8, iss. 1, pp. 25-37. https://doi.org/10.1088/0953-8984/8/1/005
4. Hong D. H., Lee T. W., Lim S. H., Kim W. Y.,
Hwang S. K. Stress-induced hexagonal close-packed to face-centered cubic phase transformation in commercial-purity titanium under cryogenic plane-strain compression // Scripta Materialia, 2013, vol. 69, iss. 5, pp. 405-408. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2013.05.038
5. Chakraborty J., Kumar K., Ranjan R., Chowdhury S. G., Singh S. R. Thickness-dependent fcc-hcp phase transformation in polycrystalline titanium thin films // Acta Materialia, 2011, vol. 59, iss. 7, pp. 2615-2623. https://doi.org/10.1016/j. actamat.2010.12.046
6. Ji X. Z., Jona F., Marcus P. M. Metastable tetragonal states of zirconium: Theory and experiment // Physical Review B, 2003, vol. 68, article: 075421, 5 p.
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.075421
7. Hill G. E., Marklund J., Martinson J., Hopkins B. J. Simultaneous LEED and RHEED studies of the growth of zirconium on the tungsten (100) surface // Surface Science, 1971, vol. 24, iss. 2, pp. 435-450. https://doi.org/10.1016/0039-6028(71)90273-1
8. Долгушева Е. Б., Трубицын В. Ю. Молекулярно-динамическое исследование структурной стабильности нанопленок ОЦК-циркония // Физика твердого тела.
Т. 54, № 8. С. 1549-1558.
9. An X., An K., Zhang H., Ou X., Ni S., Song M. A new phase transformation route for the formation of metastable beta-Zr // Journal of Materials Science, 2021, vol. 56,
pp. 2672-2683. https://doi.org/10.1007/s10853-020-05387-8
10. Dolgusheva E. B., Trubitsin V. Y. Study of size effects in structural transformations of bcc Zr films by molecular-dynamics simulation // Computational Materials Science, 2014, vol. 84, pp. 23-30.
https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2013.11.051
11. Dolgusheva E. B. Thermal properties of fcc titanium and aluminum thin films // Computational Materials Science, 2018, vol. 155, pp. 55-62. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2018.08.033
12. Chen Y., Fu C.-L., Ho K.-M., Harmond B. N. Calculations for the transverse N-point phonons in bcc Zr, Nb, and Mo // Physical Review B, 1985, vol. 31, iss. 10, pp. 6775-6778.
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.31.6775
1. Schonecker S., LiX., Richter M.,Vitos L. Lattice dynamics and metastability of fcc metals in the hcp structure and the crucial role of spin-orbit coupling in platinum. Physical Review B, 2018, vol. 97, article: 224305, 10 p. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.97.224305
2. Schonecker S., Li X., Koepermik K., Johansson B., Vitos L., Richter M. Metastable cubic and tetragonal phases of transition metals predicted by density-functional theory. RSC Advances, 2015, vol. 5, iss. 85, pp. 69680-69689. https://doi.org/10.1039/C5RA14875H
3. Kim S. K., Jona F., Marcus P. M. Growth of face-centered-cubic titanium on aluminum. Journal of Physics: Condensed Matter, 1996, vol. 8, iss. 1, pp. 25-37. https://doi.org/10.1088/0953-8984/8/1/005
4. Hong D. H., Lee T. W., Lim S. H., Kim W. Y.,
Hwang S. K. Stress-induced hexagonal close-packed to face-centered cubic phase transformation in commercial-purity titanium under cryogenic plane-strain compression. Scripta Materialia, 2013, vol. 69, iss. 5, pp. 405-408. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2013.05.038
5. Chakraborty J., Kumar K., Ranjan R., Chowdhury S. G., Singh S. R. Thickness-dependent fcc-hcp phase transformation in polycrystalline titanium thin films. Acta Materialia, 2011, vol. 59, iss. 7, pp. 2615-2623. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2010.12.046
6. Ji X. Z., Jona F., Marcus P. M. Metastable tetragonal states of zirconium: Theory and experiment. Physical Review B, 2003, vol. 68, article: 075421, 5 p.
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.075421
7. Hill G. E., Marklund J., Martinson J., Hopkins B. J. Simultaneous LEED and RHEED studies of the growth of zirconium on the tungsten (100) surface. Surface Science, 1971, vol. 24, iss. 2, pp. 435-450. https://doi.org/10.1016/0039-6028(71)90273-1
8. Dolgusheva E. B., Trubitsin V. Y. Molecular dynamics investigation of the structural stability of body-centered cubic zirconium nanofilms. Physics of the Solid State, 2012,
vol. 54, iss. 8, pp. 1652-1662. https://doi.org/10.1134/S1063783412080094
9. An X., An K., Zhang H., Ou X., Ni S., Song M. A new phase transformation route for the formation of metastable beta-Zr. Journal of Materials Science, 2021, vol. 56,
pp. 2672-2683. https://doi.org/10.1007/s10853-020-05387-8
10. Dolgusheva E. B., Trubitsin V. Y. Study of size effects in structural transformations of bcc Zr films by molecular-dynamics simulation. Computational Materials Science, 2014, vol. 84, pp. 23-30.
https ://doi.org/10.1016/j .commatsci.2013.11.051
11. Dolgusheva E. B. Thermal properties of fcc titanium and aluminum thin films. Computational Materials Science, 2018, vol. 155, pp. 55-62. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2018.08.033
12. Chen Y., Fu C.-L., Ho K.-M., Harmond B. N. Calculations for the transverse N-point phonons in bcc Zr, Nb, and Mo. Physical Review B, 1985, vol. 31, iss. 10, pp. 6775-6778.
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.31.6775
13. Trubitsin V. Yu., Dolgusheva E. B. Anharmonic effects and vibrational spectrum of bcc Zr under pressure studied by molecular dynamics simulations // Physical Review B, 2007, vol. 76, article: 024308, 7 p.
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.024308
14. Plimpton S. Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular Dynamics // Journal of Computational Physics, 1995, vol. 117, no. 1, pp. 1-19. https://doi.org/10.1006/JCPH.1995.1039
15. Wirnsberger P., Frenkel D., Dellago C. An enhanced version of the heat exchange algorithm with excellent energy conservation properties // Journal of Chemical Physics, 2015, vol. 143, article: 124104, 8 p. https://doi.org/10.1063/1.4931597
16. Muller-Plathe F. A simple nonequilibrium molecular dynamics method for calculating the thermal conductivity // Journal of Chemical Physics, 1997, vol. 106, no. 14,
pp. 6082-6085. https://doi.org/10.1063/1.473271
17. Саламатов Е. И., Долгушева Е. Б. Методы вычисления решеточной теплопроводности металлов при высоких и низких температурах // Химическая физика и мезоскопия. 2021. Т. 23, № 4. C. 486-496. https://doi.org/10.15350/17270529.202L4.44
18. Sheng H. EAM potentials.
https://sites. google.com/site/eampotentials/Home/ZrAl
19. Zope R. R., Mishin Y. Interatomic potentials for atomistic simulations of the Ti-Al system // Physical Review B, 2003, vol. 68, article: 024102, 14 p.
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev B.68.024102
20. Долгушева Е. Б., Трубицын В. Ю. Решеточная теплоемкость наноструктурированных материалов на основе титана/циркония и алюминия // Физика твердого тела. 2018. Т. 60, № 5, pp. 835-845. https://doi.org/10.21883/FTT.2018.05.45774.329
13. Trubitsin V. Yu., Dolgusheva E. B. Anharmonic effects and vibrational spectrum of bcc Zr under pressure studied by molecular dynamics simulations. Physical Review B, 2007, vol. 76, article: 024308, 7 p.
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.024308
14. Plimpton S. Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular Dynamics. Journal of Computational Physics, 1995, vol. 117, no. 1, pp. 1-19. https://doi.org/10.1006/JCPH.1995.1039
15. Wirnsberger P., Frenkel D., Dellago C. An enhanced version of the heat exchange algorithm with excellent energy conservation properties. Journal of Chemical Physics, 2015, vol. 143, article: 124104, 8 p. https://doi.org/10.1063/1.4931597
16. Muller-Plathe F. A simple nonequilibrium molecular dynamics method for calculating the thermal conductivity. Journal of Chemical Physics, 1997, vol. 106, no. 14,
pp. 6082-6085. https://doi.org/10.1063/L473271
17. Salamatov E. I., Dolgusheva E. B. Metodyy vyychisleniya reshetochnoiy teploprovodnosti metallov pri vyysokich I nizkich temperaturach [Methods for Calculating the Lattice Thermal Conductivity of Metals at High and Low Temperatures]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2021, vol. 23, no. 4, pp. 486-496. (In Russian). https://doi.org/10.15350/17270529.202L4.44
18. Sheng H. EAM potentials.
https://sites.google.com/site/eampotentials/Home/ZrAl
19. Zope R. R., Mishin Y. Interatomic potentials for atomistic simulations of the Ti-Al system. Physical Review B, 2003, vol. 68, article: 024102, 14 p. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev B.68.024102
20. Dolgusheva E. B., Trubitsin V. Y. Lattice Heat Capacity of Nanostructured Materials Based on Titanium/Zirconium and Aluminum. Physics of the Solid State, 2018, vol. 60, pp. 837-846. https://doi.org/10.1134/S1063783418050074
Поступила 06.07.2022; принята к опубликованию 04.10.2022 Received July 06, 2022; accepted October 04, 2022
Информация об авторе
Долгушева Елена Борисовна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация, e-mail: elena@udman. ru
Author information
Elena B. Dolgusheva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Senior Researcher, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation, e-mail: elena@udman.ru
