CC BY
43
скорости сходимости в норме пространств w| (Q) к
обобщенному решению задачи расчета стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в односвязной области с кусочно-гладкой границей.
Практическая значимость полученных результатов. Разработанные методы расчета плоских течений вязкой жидкости в односвязных областях являются простыми в алгоритмизации и более универсальными, чем используемые в данное время, поскольку при переходе от одной области к другой требуется лишь изменить уравнение границы. Разработанный метод математического моделирования вязких течений позволяет проводить многовариантный вычислительный эксперимент при математическом моделировании различных физико-механических, биологических течений (течения в инжекторах, форсунках, соплах, кровеносных сосудах, обтекание подводных тел, течения газа и нефти в трубах и пр.).
Литература: 1. Ландау Л.Ф., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2003. 736 с. 2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с. 3. РоучП. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с. 4. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for flow Problems. London: Wiley, 2003. 350 p. 5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Vol. 3: Fluid Dinamics. Oxford: BH, 2000. 334 p. 6. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 7. Колодяжный ВМ., Рвачев В.А. Структурное построение полных последовательностей координатных функций вариационного метода решения краевых задач: Препр. АН УССР. Ин-т пробл. машиностр. Харьков, 1975. 75 с. 8. СувороваИ.Г. Компьютерное моделирование осесимметричных течений жидкости в каналах сложной формы // Вестн. НТУ ХПИ. Харьков, 2004. № 31. С. 141 - 148. 9. Колосова С.В. Об обтекании невязкой жидкостью цилиндра в трубе // Прикл. мех., 1971. № 7. В. 10. С. 100 - 105. 10. Максименко-Шейко К. В. Исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в скрученных каналах сложного профиля методом R-функций // Проблемы машиностроения, 2001. Т. 4, № 3 -4. С. 108 - 116. 11. Рвачев В.Л., Корсунский А.Л., Шейко Т.И. Метод R-функций в задаче о течении Гартмана // Магнитная гидродинамика. 1982. № 2. С. 64 - 69. 12. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с. 13. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с. 14. Темам Р. Уравне-
ния Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с. 15. Сидоров М.В. О построении структур решений задачи Стокса // Радиоэлектроника и информатика, №3, 2002. С. 52 - 54. 16. Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету течения Стокса в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №4. С. 77 - 78. 17. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету плоских течений вязкой жидкости // Вісн. ХНУ. Сер. Прикл. матем. і мех. № 602, 2003. С. 61 - 67. 18. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. //Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А.И. Герцена. 1958, Т. 197. С. 54 - 112. 19. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. 20. Федотова Е.А. Атомарная и сплайн-аппроксимация решений краевых задач математической физики: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.07. Харьков, 1985. 170 с. 21. Федотова Е.А. Практические указания по использованию сплайн-аппроксимации в программирующих системах серии “Поле”: Препр. АН УсСр. Ин-т пробл. машиностр.; 202. Харьков, 1984. 60 с. 22. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 156 с. 23. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Численное решение стационарных задач вязкой несжимаемой жидкости на основе метода фиктивных областей // Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. С. 255 - 262.
Поступила в редколлегию 20.05.2007
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дорошенко В. А.
Тевяшев Андрей Дмитриевич, д-р техн. наук, проф., зав. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, оптимальное стохастическое управление. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 702-14-36.
Гибкина Надежда Валентиновна, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: экономический риск, актуарная математика, математическая физика, оптимальное управление динамическими объектами. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 702-14-36.
Сидоров Максим Викторович, ассистент каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 702-14-36.
УДК658.012
ТЕКУЩИЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ С УЛЬТРАКОРОТКИМ СКОЛЬЗЯЩИМ ОКНОМ
ЯКУНИН А.В.__________________________
т
Предлагается модификация UDU -факторизованной схемы рекуррентного алгоритма ТРА для задачи параметрической идентификации линейной регрессионной модели по матрице неполного ранга.
1. Введение
Пусть идентифицируемый объект представлен линейно параметризованной регрессионной моделью
T с
Уп =c xn +^n ,
где xn eRN - вектор входных сигналов; yn eR1 -г. N
выходной сигнал; c eR - вектор оцениваемых параметров; £,n eR1 - помеха измерения выходного сигнала; n = 0,1,2, ... - дискретное время. Если параметры объекта изменяются во времени, то для отслеживания их динамики применяются алгоритмы теку-
РИ, 2007, № 2
57
щего регрессионного анализа (ТРА) [1 - 5], основанные на учёте в рамках метода наименьших квадратов (МНК) лишь ограниченного числа L последних наблюдений.
Целью данной работы является модификация предложенного в [5] алгоритма на случай ультракороткого L< N скользящего окна, где он непосредственно неприменим. Задача - вывод факторизованных рекуррентных формул для оценки вектора параметров, ковариационной матрицы и квадрата длины невязки. Основой работы служат рекуррентные методы псевдообращения матриц [6] и численно устойчивые процедуры факторизованных матричных вычислений [7 - 9].
2. Рекуррентный алгоритм ТРА на базе схемы замещения с матрицей неполного ранга
Если в процессе идентификации на каждом п -м шаге используется лишь некоторое фиксированное число L < N последних наблюдений, то текущая МНК-оцен-ка вектора параметров имеет вид [6 - 9]
cn =Xn|LYn|L ,
где X„|l- псевдообратная к матрице наблюдений
T
входных сигналов Xn|L = (xn-L+1,xn-L+2,"-,xn)
T L
размерности L X N ; Yn|L=(Уп-L+1,yn-L+2,-,yn) eR - вектор измерений выходного сигнала.
Предполагается, что матрица Xn|L может иметь неполный ранг.
t +
Пусть Pn|L =(Xn^Xn|L) - текущая оценка ковариационной матрицы размерности N х N; Qn|L = E - X„|LXn|L - текущая проекционная матрица размерности N х N , где е- единичная матрица размерности N х N.
Если при поступлении нового наблюдения из рассмотрения одновременно исключается устаревшее, то используя изложенные в [7] идеи процесса удаления и добавления строки в задаче МНК-оценивания, можно получить:
cn =Xn|LYn|L; Pn|L =Xn|LXn|L ; Qn|L = E “Xn|LXn|L .
Здесь Xn|L _ (Xn-1|L: ixn-L:xn);Yn|L _ (Yn-1|L: iyn-L:yn); . 2 і - мнимая единица, і =-1.
Процесс получения рекуррентных соотношений и их конечный вид разделяются на два случая:
а) новый вектор xn линейно-независим с векторами xn_L , xn_L+1,... , xn_1 , при этом Qn-1|Lxn * 0 ;
б) новый вектор xn линейно-зависим с векторами xn_l , xn_L+1,... , xn_1 , при этом Qn-1|Lxn = 0 . Очевидно, что в обоих случаях Qn-1|Lxn-L = 0 .
Исходя из формул псевдообращения блочной матрицы [6], можно записать
Xn|L = [Xn-1|L _ jT(ixn-L :xn)TXn-1|L : jT] ,
где
J = C+ + (E - C+C) K (ixn_L іxn)T X
x Pn—1|L[E - (ixn-L = xn)C + ];
C = Qn-1|L(ixn-L ;xn) = (0 = Qn-1|Lxn) ;
K = {E + [(ixn_L !xn )(E - C+C)]TPn—1|L x X (ixn_L; xn)(E - C+C)}-1.
Тогда
а) C+ = (0 і Qn_1|Lxn)+ = [0 :(Qn-1|Lxn)+] =
= [0 ; (1/X)xTQn_!|L] , X = xTQn—1|L xT > 0;
K = [E + (ixn-l :0)TPn-1|L(ixn-L :0)]-1 =
= diag[1/(1 -y); 1], у = xT_LPn-1|L xT-L ^ 0 ;
JT = [i/(1 -y)Pn-1|Lxn-L -i/^/(1 -Y)Qn-1|Lxn x
x xTPn-1|Lxn-L =(1/^)Qn-1|Lxn] = [i/(1 -Y)Pn—1|L x
xxn_L - ip / X /(1 -y)Qn_1|Lxn-L : (1/*•) Qn-1|LxJ ;
Xn|L = [Xn-1|L + 1/(1 - Y)Pn-1|Lxn-LxT-LXn-1|L “
-P / X /(1 -y)Qn-1|LxnxT-LXn-1|L - (1/^)Qn-1|Lxn x x xnXn-1|L ;i/(1 -Y)Pn-1|Lxn-L -iP/^/(1 -Y)Qn—1|L x xxn : (1/^)Qn-1|Lxn] ;
б) C = 0 ; C+ = 0 ; K = [E + (ixn_L І0)TPn_1|l x
x (ixn_l :0)]'
1
5
1 + a - ip - ip 1 - у ,
5 = (1 + a)(1 -y) + p2 ;
jT = [i(1 + a)/5Pn-1|Lxn-L -iP/8Pn-1|Lxn =
: p/sPn_1|Lxn_L + (1 -Y)/8Pn-1|Lxn] ;
Xn|L = [Xn-1|L + (1 + a)/8Pn-1|Lxn-Lxn-LXn-1|L _ -P / § Pn - 1|L x n x T - LX n- 1|L _P / 8 Pn - 1|Lxn - L x x xTxn-1|L - (1 -Y)/8Pn-1|LxnxnXn-1|L =
58
РИ, 2007, № 2
: i(1 + a)/8 Pn-1|Lxn-L -ІР/8Pn-1|Lxn =
: p/sPn_i|Lxn-L + (1-У)/8Pn-1|Lxn] .
Используя полученные выражения для X„|l, после несложных, но громоздких преобразований можно прийти к следующим рекуррентным соотношениям:
а) Cn =Cn-1 -[1/X/(1 -y)](XSn_L|L -PTn|L)x
X (Уп-L-cT-1xn-L) +(1/^)Tn|L(Yn-cT-1xn); (1) Pn|L =Pn—1|L + [1/(1 _ У)] Sn-L|LSti-L|L +
+ [5 / X2 /(1 - У)] Tn|LTnTL - [P A /(1 - Y)](Tn|LST-L|L +
+ Sn-L|LTnTL) - (1/^)(Tn|LST|L + Sn|LTnTL) ; (2) Qn|L = Qn—1|l- (1/^)Tn|LTnTL ; (3)
б) cn =cn-1_ (1/8)Sn-L|L[(1 +a)(yn - L _cn-1 xn-L) _
- P(yn _cn-1xn] + (1/ 8) Sn|L[(1 -Y)(yn “cT-1 xn ) +
+ P(yn-L“cT-1xn-L)] ; (4)
Pn|L =Pn—1|L + [(1 + a)/8] Sn-L|LSn-L|L _ (P / 8) x
x (Sn - L|LSn|L + Sn|LSn-L|L) “ [(1 “Y)/8]Sn|LsT|L ; (5) Qn|L = Qn—1|L .
Здесь Sn-L|L_Pn-1|Lxn-L ; Sn|L_Pn-1|Lxn ;
Tn|L = Qn-1|Lxn - векторныекоэффициенты усиления размерности N х 1.
Формулы (1)-(3) для случая а) могут быть упрощены, если потребовать полноту строчного ранга матрицы Xn|L , что соответствует учету только сильно информативных наблюдений, которые линейно-независимы
T
между собой. Тогда yn-l_cn_1xn_l = 0 .
Выбирая каждый раз только сильно информативные наблюдения (т.е. рассматривая только случай а) с матрицей полного ранга), для повышения быстродействия можно ограничиться соотношением
cn =cn-1 + (1/ ^)Tn|L(yn -cT-1xn)
и формулой (3), не вычисляя оценки Pn|L ковариационной матрицы.
Соотношения (4), (5) для случая б) совпадают с приведенными в [5], но допускают вырожденность оценки Pn|L ковариационной матрицы. Случай б) соответствует повышению веса массовых наблюдений, даже слабо информативных.
На основе полученных рекуррентных зависимостей строится факторизованная рекуррентная схема ТРА в целом (без проведения промежуточных факторизаций в явной форме). Она полностью соответствует процедуре, приведенной в работе [5], и здесь не описывается.
О точности МНК-оценки можно судить по величине квадрата длины невязки єn =||Yn|L-Xn^cn || .
В соответствии с рекуррентным характером оценивания на основе соотношения
2 T 2
en =||Yn—1|L_Xn-1|Lcn || _ (yn-L_cnxn-L) + T2
+ (Уп _cnxn)
можно построить последовательную процедуру вычисления sn . В случае б) расчетная формула полностью совпадает с приведенной в [5], а для случая а) имеет вид
T2
en =en-1 - [1/(1 -У)](Уп-L_cn-1xn-L) .
Очевидно, что при учете только сильно информативных наблюдений в рамках ультракороткого скользящего окна невязка остается равной нулю.
3. Заключение
Разработанная модификация алгоритма [5] позволяет находить текущие оценки вектора параметров и ковариационной матрицы, а также рекуррентно пересчитывать длину невязки при ультракоротком скользящем окне с матрицей наблюдений возможно неполного ранга.
Научная новизна состоит в одновременном выполнении операций удаления устаревшего и включения нового наблюдения, что приводит к более устойчивым вычислительным процедурам, чем при их последовательной реализации. Факторизация также способствует численной устойчивости.
Практическая значимость состоит в расширении сферы применения базового алгоритма на случай сильно коррелированных наблюдений и заметной динамики оцениваемых параметров. Разработанная модификация еще больше сближает алгоритм ТРА с процедурами фильтрации, однако не требует знания статистических характеристик.
Рекуррентные процедуры оценивания чувствительны к выбору начальных приближений. Соответствующие рекомендации приведены в [5].
В дальнейшем предусмотрено модернизировать данный подход с учетом статистических характеристик шумов наблюдений.
Литература: 1. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. 272 с. 2. Руденко О.Г., Штефан А., Хюбенталь Ф. Рекуррентный алгоритм МНК со скользящим окном при коррелированных помехах // Радиоэлектроника и информатика. 1998. №1. С. 79 - 81. 3. Косаревская Г.Н. Рекуррентный метод псевдообращения матриц и его применение в задаче идентификации // Вестник ЛГУ. Сер. 1. Математика.
РИ, 2007, № 2
59
Механика. Астрономия. 1985. №22. С. 100 - 102. 4. Тимофеев В.А. Об одной модификации алгоритма текущего регрессионного анализа // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №3. С. 30 - 32. 5. Якунин А.В. Факторизованная форма рекуррентного алгоритма текущего регрессионного анализа // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 4 (13). С. 62 - 64. 6. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977. 224 с. 7. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 232 с. 8. Bierman G.J. Factorization methods for discrete sequential estimation. N. Y.: Academic Press, 1977. 241 p. 9. ГолубДж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.
УДК004.032.26 ’
ОБНАРУЖЕНИЕ ПОМПАЖА ДВИГАТЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ КАРТ КОХОНЕНА
ДУБРОВИН В.И., КИПРИЧ Т.В._______________
Рассматривается применение самоорганизующихся карт Кохонена в промышленном анализе. Обсуждаются возможности использования данной технологии для определения состояния помпажа газотурбинного двигателя, возникающего в ходе стендовых испытаний. Приводится трек исследуемого процесса на определенном интервале времени, а также карты признаков, соответствующие реальному распределению значений исследуемых параметров.
Введение
При моделировании и контроле промышленных процессов искусственные нейронные сети (ИНС) обычно применяются, когда глобальная аналитическая модель не может быть определена заранее [1]. Модели ИНС строятся непосредственно на основании имеющихся измерений процесса. Однако использование данного подхода требует, чтобы было доступно большое количество стабильной числовой информации, описывающей данный процесс.
Одним из наиболее распространенных типов нейронных сетей являются самоорганизующиеся карты Кохонена (СОК). Поскольку данный подход не требует априорной информации о характере распределения исходных данных, СОК могут быть использованы для кластеризации данных при отсутствии знания о классовой принадлежности входной информации. Кроме того, СОК могут быть использованы для определения наиболее информативных признаков, свойственных рассматриваемой задаче. Однако наиболее важными функциями СОК являются визуализация комплекса процессов и систем, исследование зависимостей и извлечение знаний из имеющихся данных [2].
В промышленности СОК эффективно применяются при анализе и мониторинге сложных процессов или состояний системы, которые затруднительно определить или интерпретировать [3].
Поступила в редколлегию 06.06.07.
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Филипенко И.Г.
Якунин Анатолий Викторович, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики Харьковской национальной академии городского хозяйства. Научные интересы: численный анализ, распознавание образов, нестационарная газо- и гидродинамика. Увлечения: музыцирова-ние, шахматы. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции , 12, тел .707-3 1 - 30, е - mail: [email protected]
В данной работе обсуждаются возможности СОК при анализе таких сложных процессов, как определение состояния помпажа, возникающих в ходе стендовых испытаний газотурбинного двигателя (ГТД).
1. Постановка задачи
Помпаж двигателя характеризуется различными нестационарными явлениями, возникающими в результате потери устойчивости течения воздуха в компрессоре. При этом появляются сильные пульсации потока воздуха, падение его давления, что приводит к возникновению вибраций лопаток компрессора и может вызвать его разрушение. Таким образом, при эксплуатации двигателя помпаж не допустим [4].
В настоящей работе проводится анализ данных по стендовым испытаниям ГТД для определения момента возникновения помпажа с помощью нейросетевой технологии СОК. Входными пар аметрами данной модели являются: угол поворота руля, частота вращения ротора высокого давления, частота вращения ротора низкого давления, температура газов, давление воздуха за компрессором, давление топлива на рабочих форсунках, часовой расход топлива. При обучении карты использовалась информации о классе принадлежности данных: 1 - помпаж зафиксирован; 0 - не зафиксирован.
2. Наблюдение за поведением процесса и его параметрами
При анализе сложных промышленных процессов СОК могут быть использованы для наблюдения за системой как в процессе on-line поступления данных, так и в режиме off-line [1].
В режиме on-line СОК используются, чтобы формировать экран рабочих состояний процесса. Рабочая точка процесса (т. е. текущее состояние системы) и его история во времени могут быть отображены как траектория на карте, с помощью которой можно отследить динамическое изменение показателей состояния системы [5]. На рис.1 приводится траектория АВ изменения расхода топлива на рабочих форсунках в течение 83 мкс. Белым и черным цветом отображены высокие и низкие значения данного показателя, соответственно. Из рис. 1 следует, что процесс при переходе из точки А в точку В попадает в область низкого уровня расхода топлива.
60
РИ, 2007, № 2
