CC BY
114SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
TEKISLIK VA FAZODA ALMASHTIRISHLAR HAQIDA UMUMIY
MULOHAZALAR
G'ulomjon G'afurovich Qurbonov Nozim Mardonovich Kamolov
Buxoro davlat universiteti Fizika- Buxoro davlat universiteti Fizika-
matematika fakulteti katta o'qituvchisi matematika fakulteti magistri
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada o'xshash almashtirishlar, gomotetiya, affin almashtirishlar, inversion almashtirishlar, fazoda sferaga nisbatan inversiyalar haqida umumiy tushunchalar keltirilgan. Sferaga nisbatan inversiyada tekislik va sferaning obrazining xususiy hollari batafsil tahlil qilingan va ularga doir bir qator misollar keltirilgan.
Kalit so'zlar: gomotetiya, koeffitsiyent, simmetriya, reper, affin almashtirish, inversiya, inversiya markazi, puakare modeli, orthogonal, fazoda sfera.
GENERAL CONSIDERATIONS ON THE PLANE AND EXCHANGE IN SPACE
ABSTRACT
This article presents general concepts of similar permutations, homothety, affine permutations, inversion permutations, and inversions in space with respect to the sphere. The special cases of the image of the plane and the sphere in the inversion with respect to the sphere are analyzed in detail and a number of examples are given.
Keywords: homothety, coefficient, symmetry, rapier, affine permutation, inversion, center of inversion, poicare model, orthogonal, sphere in space.
Ta'lim sohasida amalga oshirilayotgan islohotlarning asosiy qismini, albatta, oliy ta'lim tizimidagi islohotlar tashkil etadi. Xususan, O'zbekiston Respublikasida oliy ta'lim tizimini isloh qilishning ustuvor yo'nalishlarini belgilash, mustaqil fikrlaydigan yuqori malakali kadrlar tayyorlash jarayonini sifat jihatidan yangi bosqichga ko'tarish, oliy ta'limni modernizatsiya qilish, ilg'or ta'lim texnologiyalariga asoslangan holda ijtimoiy soha va iqtisodiyot tarmoqlarini rivojlantirish maqsadida davlatimiz rahbarining 2019-yil 8 oktabrdagi farmoni bilan tasdiqlangan O'zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030-yilgacha rivojlantirish Konseptsiyasi sohadagi yangi islohotlar uchun debocha vazifasini bajarib bermoqda. Ushbu hujjatga intellektual taraqqiyotni jadallashtirish, raqobatdosh kadrlar tayyorlash, ilmiy va innovatsion faoliyatni samarali tashkil etish hamda xalqaro hamkorlikni mustahkamlash maqsadida fan, ta'lim va ishlab chiqarish integratsiyasini rivojlantirish singari vazifalar asos qilib olindi [1].
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
O'xshash almashtirishlar va gomotetiyani ko'rib o'tadigan bo'lsak, unda k>0 haqiqiy son berilgan bo'lsin.
Ta'rif. Tekislikning ixtiyoriy M va N nuqtasiga p(M, N) = kp(M, N) shartni qanoatlantiruvchi M,N nuqtalarni mos keltiruvchi almashtirish tekislikda k > 0 koeffitsiyentli o'xshashlik almashtirishi deyiladi va pr ko'rinishda belgilanadi.
Ta'rif. O figurani O' figuraga k > 0 koeffitsiyentli biyektiv akslantirish mavjud bo'lsa, O' figura O figuraga k > 0 koeffitsiyentli o'xshash deyiladi.
Ta 'rif. Tekislikning har bir M nuqtasiga SM' — kSM shartni qanoatlantiruvchi M' nuqtani mos keltiruvchi almashtirish k koeffitsiyentli va S markazli gomotetiya deyiladi. Bu yerda S nuqta gomotetiya markazi, k esa gomotetiya koeffitsiyenti deyiladi. Gomotetiya H\ ko'rinishda ifodalanadi.
Gomotetiyada k — 1 bo'lsa aynan almashtirish, k = -1 bo'lsa markaziy simmetriya bo'ladi. Gomotetiyada to'g'ri chiziq o'ziga parallel to'g'ri chiziqqa o'tadi, burchak kattaligi saqlanadi, uchta nuqtani oddiy nisbati o'zgarmaydi, kesma uzunligi k marta o'zgaradi.
H\ gomotetiyaga teskari almashtirish — koeffitsiyentli gomotetiya bo'ladi.
k
Dekart reperida koordinatalar boshi 0(0,0) gomotetiya markazi, k gomotetiya koeffitsiyenti bo'lsa, almashtirish formulalari ushbu ko'rinishda bo'ladi:
, I x — k x,
H : f ' k , (1)
l y = ky.
Gomotetiya markazi istalgan A(a,b) nuqtada va gomotetiya koeffitsiyenti k bo'lganda almashtirish formulalari T—HlT— almashtirishlarning ko'paytmasidan kelib
chiqadi:
, , i x — k (x a) + a,
H. — T-HkT-: I v 7 (2)
^ o ' y — k (y - b) + b. ( )
Teorema. k > 0 koeffitsiyentli o'xshashlik almashtirishi shu koeffitsiyentli gomotetiya bilan harakatning ko'paytmasiga teng:
pk = Hkf. (3)
O'xshashlik almashtirishi gomotetiya va harakat ko'paytmasi ekanligidan, ularning umumiy xossalari o'xshashlik almashtirishida saqlanadi: to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqqa, parallel kesmalar yana parallel kesmalarga o'tadi, burchak kattaligi saqlanadi, uchta nuqtani oddiy nisbati o'zgarmaydi.
Tekislikda o'xshashlik almashtirishi analitik ifodasi quyidagi bo'ladi:
, fx' — k (x cosa-£ y sina) + a,
pk : \ y ) , (4)
[y — k (x sina + £ y cosa) + b, Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 180
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
bu yerda a = (i,i'), O(a,b). Agar s = 1 bo'lsa o'xshashlik almashtirishi I tur, s = -1
bo'lsa o'xshashlik almashtirishi II tur deyiladi.
fx' = 3x
1-misol. jy _ 3y formulalar bilan berilgan gomotetiyada
(x — 1 )2 + (x — 3 )2 = 2 4 aylananing obrazini toping.
x' v'
Yechish. Almashtirish formulalaridan x = —, y = — ekanligini aniqlaymiz va bu
ifodalarni aylana tenglamasiga qo'yamiz:
x' V
(- — 1 )2 + — 3 )2 = 2 4 = (x' — 3 )2 + (x' — 9 )2 = 2 1 6 .
>J >J
Berilgan aylananing obrazi yana aylana bo'lib, radiusi 3 martaga oshganini ko'rishimiz mumkin.
2-misol. = + formulalar bilan berilgan almashtirishning gomotetiya
ekanligini isbotlang va gomotetiya markazini toping.
Yechish. Gomotetiya markazi qo'zg'almas nuqta ekanligidan uni qidiramiz:
oc — /cx (X} y' = ky + b
1 -k
Demak, 0(-^; nuqta qo'zg'almas ekanligidan, bu nuqta gomotetiya markazi
bo'ladi. Almashtirish formulasini (2) formulaga moslashtiradigan bo'lsak, gomotetiya koeffitsiyentini k deyishimiz mumkin.
Affin almashtirishlar. Tekislikda ikkita B(O,e, e2), B'(O',e/, e2 ) affin reperlari berilgan bo'lsin. B da koordinatalari x, y bo'lgan M nuqtaga B7 da xuddi shu koordinatali M/ nuqtani mos keltiruvchi almashtirish tekislikda affin almashtirish deyiladi va A ko'rinishda ifodalanadi [2-9].
Agar B(O,e,e), B'(O',e/,e2) reperlar bir oriyentatsiyali bo'lsa, affin almashtirishi I tur, turli oriyentatsiyali bo'lsa, II tur deyiladi. Affin almashtirish quyidagi xossalarga ega:
- affin almashtirishda to'g'ri chiziqning obrazi to'g'ri chiziq bo'ladi.
- affin almashtirishda paralel to'g'ri chiziqlarning obrazi parallel to'g'ri chiziqlar bo'ladi.
- affin almashtirishda to'g'ri chiziqda yotuvchi uchta nuqtaning oddiy nisbati saqlanadi.
- figuralar yuzlarining nisbati saqlanadi.
Ta'rif. Agar tekislikdagi ikki figuradan birini ikkinchisiga o'tkazuvchi affin almashtirishi mavjud bo'lsa, bu figuralar affin ekvivalent figuralar deyiladi.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
Affin almashtirishi formulalari
A :
\x' = au x + auy + a,
(5)
ko'rinishda bo'lib, S =
a,
a
12
a21 a221
y = a2iX + a22 y + b
^ 0, an,a12,a21,a22,a,b e R bo'ladi. () formulalar
haqiqatan affin almashtirishni ifoda etishini isbotlash uchun ushbu formulalarga nisbatan affin almashtirishning xossalarini tekshirib ko'rish mumkin. Masalan, bizga B reperda aniqlangan biror Ax + By + C = 0 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqni qaraylik. Biz bu yerda Ax + By + C = 0 to'g'ri chiziqning obrazi yana biror to'g'ri chiziq ekanini ko'rsatishimiz yetarli. (5) ni x va y larga nisbatan yechamiz:
a,
a,
x =
ai2 a
a
b
a11 a12 x + - a11 a12 ■y a11 a12
a21 a22 a21 a22 a21 a22
a
a
x
aa
11
ba
21
(6)
a11 a12 x + a11 a12 y + - a11 a12
a21 a22 a21 a22 a21 a22
(6) dan x va y larning qiymatlarini Ax + By + C = 0 ga qo'yib ixchamlasak,
a a,
A
a12 a
a
b
B
a11 a12 — x + — a11 a12 y +- a11 a12 - + -
a21 a22 a21 a22 a21 a22
11
ba
21
a11 a12
a21 a22
+ C = 0
yoki
( Aa 22 - Ba21)x ' + (Ba11 - Aa 12 )y ' +
A
a12 a a22 b
+B
aa ba
21
+ C
a
a
a
21
a
22
= 0. (7)
(7) tenglama to'g'ri chiziqni ifoda etganligidan (6) formulalarni affin almashtirish formulalari ekanligini tasdiqlash mumkin.
3-misol. Quyidagi almashtirishning invariant nuqtasini toping:
jx ' = 4 x + 5 y -11, [ y7 = 2x + 4y - 7.
Yechish. Ma'lumki, M(x,y) nuqta invariant nuqta bo'lsa, uning obrazi M' nuqta ham shu koordinatalarga ega bo'ladi. Bunday nuqta bor yoki yo'qligini bilish uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz:
I SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
bo'lar ekan.
4-misol. Affin almashtirishda muntazam uchburchak, kvadrat va to'g'ri to'rtburchakning obrazlari qanday figura bo'ladi.
Yechish. Affin almashtirish xossalarini hisobga olib muntazam uchburchakni obrazi ixtiyoriy uchburchak, kvadratni (to'g'ri to'rtburchakni ham) obrazi Parallelogramm bo'ladi. Chunki, parallel to'g'ri chiziqlarning obrazi yana parallel to'g'ri chiziqlarga o'tadi, burchak kattaligi saqlanmaydi.
Inversion almashtirishlar. Biz yuqorida ko'rib o'tgan almashtirishlar (affin a,mashtirish va uning xususiy holari) chiziqli almashtirishlar hisoblanib, bu almashtirishlarda to'g'ri chiziqlarning obrazlari yana to'g'ri chiziqdan iborat bo'lar edi. Tekislikda shunday almashtirihslar borki, ularda to'g'ri chiziqlarning obrazlari har doim ham to'g'ri chiziq bo'lavermaydi. Bunday almashtirishlardan biri inversiyadir. Iversiya so'zi lotincha inversio so'zidan olingan bo'lib, teskarisini ag'darish ma'nosini bildiradi
Tekislikda bizga O markazli aylana va r radiusli (O,r) aylana berilgan bo'lsin. Ta 'rif. Aylana markazidan chiqqan nurning ikki nuqtasidan shu aylana markazigacha bo'lgan masofalarning ko'paytmasi aylana radiusining kvadratiga teng bo'lsa, bunday ikki nuqta bu aylanaga nisbatan inversion mos nuqtalar deyiladi.
Ta'rifga ko'ra (O,r) aylana tekisligidagi (O nuqtadan tashqari) A va A' nuqtalar shu aylanaga nisbatan inversion mos nuqtalar bo'lishi uchun quyidagi sharlarni qanoatlantirishi kerak:
- A' nuqta OA nurda yotadi;
- |0A| ■ 10 A= r2 munosabat o'rinli;
- 0 n u q ta A va A ' nuqtalar orasida yotmaydi.
Ta'rif. (O,r) inversiya deb (yoki O markazli r radiusli aylanaga nisbatan simmetriya) tekislikning istalgan M nuqtasiga OM nurda yotuvchi va
shartni qanoatlantiruvchi M7 nuqtani mos keltiruvchi almashtirishga aytiladi. O - nuqta inversiya markazi (tekislikda obrazi aniqlanmagan yagona nuqta), r - inversiya radiusi, (O,r) - inversiya aylanasi deyiladi. Inversiyaning asosiy xossalari:
1) aylana ichidagi nuqtalar aylana tashqarisidagi nuqtalarga va aksincha aylana tashqarisidagi nuqtalar aylana ichidagi nuqtalarga akslanadi;
2) inversiya aylanasiga tegishli nuqtalar o'z-o'ziga akslanadi;
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
[10-15].
|OM| • \OM1 = r2
I SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
3) inversiya markazidan o'tuvchi to'gri chiziq oz-oziga akslanadi;
4) inversiya markazidan o'tuvchi aylana to'g'ri chiziqqa akslanadi;
5) inversiya markazidan o'tmagan aylana aylanaga akslanadi;
6) inversiyada chiziqlar orasidagi burchak kattaligi saqlanadi;
7) inversiya tekislikdagi boshqa simmetriyalar singari uni ikki marta bajarish bilan ayniy almashtirishga aylanadi.
Yuqorida aytib o'tilgan xossalar isboti to'g'ridan-to'g'ri hosil qilinadi. Bu xossalar isboti pedagogika oliy o'quv yurtlari Geometriya kursida o'rganiladi.
8) istalgan inversiya aylanasiga ortogonal aylana o'z-o'ziga akslanadi.
Isbot. y berilgan aylana 4-xossaga asosan inversiyada y' aylanaga akslangan bo'lsin. 2-xossaga ko'ra y aylana inversiya aylanasi bilan A va B nuqtalarda kesishgan bo'lsin. Bu nuqtalarning obrazi yana shu nuqtalarning o'zi bo'ladi. y' aylana ham ushbu nuqtalardan o'tadi. 5- xossaga asosan y' aylana inversiya aylanasiga ortogonal bo'ladi. Ammo 1-masalaga asosan A va B nuqtalardan aylanaga yagona ortogonal aylana o'tkazish mumkin edi. Demak, y va y' aylanalar ustma-ust tushadi.
9) inversiya aylanasi bilan ustma-ust tushmagan aylana o'z-o'ziga akslansa, bu aylana inversiya aylanasiga ortogonal bo'ladi.
Isbot. 1-xossaga ko'ra berilgan y aylana inversiya aylanasini (2-xossa asosida) o'z-o'ziga akslanuvchi A va B nuqtalarda kesib o'tadi. Inversiya markazi O va A nuqtadan OA to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Agar A nuqta OA va y aylanalarning yagona umumiy nuqtasi bo'lmasa, ularning yana qandaydir D umumiy nuqtasi mavjud bo'lib, D nuqtaning obrazi D7 nuqtasida ham kesishishi kerak bo'ladi. Ammo to'g'ri chiziq va aylana uchta umumiy nuqtaga ega bo'la olmaydi. Demak, A nuqta y aylana va OA to'g'ri chiziqning yagona umumiy nuqtasi bo'ladi va OA to'g'ri chiziq y aylanaga A nuqtada urinar ekan.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
1-chizma
I
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
Inversiya puakare modelida siljitish vazifasini bajaradi. Shuning uchun model mohiyatini o'rganish uchun inversion yasashga doir masalalarni bilish muhim ahamiyatga ega.
5-masala. Q marqazli y aylana ichidagi X nuqta berilgan. y aylanaga ortogonal shunday aylana yasangki, bunda X va Q nuqtalar simmetrik bo'lsin.
Yechish. QX to'gri chiziqqa perpendikulyar to'g'ri chiziq y aylana bilan A nuqtada kesishadi. A nuqtadan QA ga perpendikulyar to'g'ri chiziq QX to'g'ri chiziqni O nuqtada kesib o'tadi. (O,|OA I) aylana izlangan aylana bo'ladi (3-chizma).
2-chizma
6-masala. Berilgan ikki y aylanaga orthogonal va r2 aylanalar uchun y aylanaga orthogonal va t va r2 aylanalar simmetrik bo'lgan to'g'ri chiziq yoki aylana yasang.
Yechish. A1 , B1 va A2, B2 nuqtalar mos ravishda y va xx , y va r2 aylanalarning kesishgan nuqtalari bo'lsin. Agar A1A2 va B1B2 to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa, Tj va r2 aylanalar y aylana dimetriga nisbatan simmetrik bo'ladi. Agarda A1A2 va B1B2 to'g'ri chiziqlar O nuqtada kesishsa, 2-masalaga asosan O markazli y aylanaga orthogonal aylana o'tkazish mumkin (4-chizma). Bu aylana izlangan aylana bo'ladi.
Uzbekistan
3-chizma www.scientificprogress.uz
Page 185
I
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
Eslatma. ^ va r2 aylanalardan biri y aylanaga orthogonal to'g'ri chiziq bo'lsa,
u holda uning diametri bo'ladi.
7-masala. Inversion almashtirishda inversiya markazidan o'tuvchi to'g'ri chiziqning obrazi yana shu to'g'ri chiziqning o'zi bo'lishini isbotlang.
Yechish. Sodda hol uchun, ya'ni, inversiya markazi koordinatalar boshida bo'lgan inversion almashtirishni qaraymiz. U holda almashtirish formulalari
Fazoda sferaga nisbatan inversiya. Fazoda sferaga nisbatan inversiya ham tekislikdagi anologi bo'lgan aylanaga nisbatan inversiya kabi kiritiladi (4-chizma).
Ta'rif. Fazoda markazi O nuqta, radiusi R bo'lgan sferaga nisbatan inversiya deb fazoning ixtiyoriy M nuqtasiga (O nuqtadan farqli) OM nurda yotuvchi va
|0 M|-|0 M'|=ß2 (8)
shartni qanoatlantiruvchi M ' nuqtani mos keltirishga aytiladi.
Berilgan sfera inversiya sferasi, O nuqta inversiya markazi, R inversiya radiusi deyiladi [16-21].
4-chizma
Ta'rifga asosan inversiya sferasi ichidagi (inversiya markazidan boshqa) har bir nuqtaga inversion mos nuqtani topish mumkin. Agar chizmadagi sferani katta aylana bo'ylab 0,4 , M' nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kessak, u holda tekislikdagi inversion nuqtani topishga kelamiz (5a-chizma).
OM to'g'ri chiziqni o'z ichiga oluvchi ixtiyoriy tekislik W sferani uning katta aylanasi bo'ylab kesadi. Shuning uchun sferaga nisbatan inversiyada M nuqtaning obrazi M' ni yasash masalasi kesimdagi katta aylanaga nisbatan inversiyada M nuqtaning obrazini yasash masalasiga keladi (5b-chizma).
Quyida sferaga nisbatan inversiyaning xossalarini ko'ramiz: 1. Sferaga nisbatan inversiyada ham M nuqta M ' nuqtaga inversion mos bo'lsa, u holda M ' nuqta ham M nuqtaga inversion mos bo'ladi. Bu yerda M va M ' nuqtalar teng kuchli hisoblanadi, ya'ni agar M —■ M' bo'lsa u holda, M ' —■ M bo'ladi bitta inversiyaga nisbatan. Buning ma'nosi shuki, berilgan sferaga nisbatan inversiyaga teskari
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
almashtirish ham bu inversiya bilan ustma-ust tushadi. Sferaga nisbatan inversion almashtirish ham involutsion almashtirishdir (5-chizma).
2. M nuqta sfera markaziga yaqinlashib borgani sari M' nuqta 0 markazdan cheksiz uzoqlashib boradi va aksincha. Buning to'g'riligini (8) tenglikdan ko'rishimiz mumkin. ya'ni:
R2
a) b)
5-chizma
Tenglikdagi kasrning maxraji cheksiz kichiklashib nolga intilgani sayin 0M' cheksiz kattalashib boraveradi. Lekin, M nuqta sfera markazi bilan ustma-ust tushganda (8) tenglikni qanoatlantiruvchi nuqta bo'lmaydi. Shuning uchun inversiya sferasini ham markazisiz qaraymiz.
3. Inversiyada inversiya sferasidagi nuqtalar o'z-o'ziga o'tadi.
4. Inversiya sferasi tashqarisidagi nuqtalar inversiya sferasi ichidagi nuqtalarga o'tadi.
5. Inversiya sferasi ichidagi nuqtalar (sfera markazidan boshqa) inversiya sferasi tashqarisidagi nuqtalarga o'tadi.
6. Inversiya sferasi markazidan chiqqan nurning sfera ichidagi qismi inversiyada sferadan tashqaridagi bo'lagiga o'tadi va aksincha.
7. Inversiya sferasining radiusi cheksiz kattalashib, sfera tekislikka yaqinlashib borgani sari inversiya tekislikka nisbatan simmetriyaga yaqinlashib boradi.
Fazoda sfera markaziga nisbatan turli darajada ketma-ket bajarilgan ikki inversiya o'sha markazga nisbatan bajarilgan gomotetiya bo'ladi [21-24].
Xuddi tekislikdagi inversiyaning koordinatalardagi ifodasiga o'xshash tarzda fazodagi sferaga nisbatan inversiyaning formulasi keltirib chiqariladi. Agar M'(x',y',z') nuqta M( x,y,z,) nuqtaning obrazi bo'lsa u holda quyidagilar inversiyaning koordinatalardagi ifodasi bo'ladi :
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
X =
xR'
y =
y R'
z =
zR'
x2+y2+z2 ' x2+y2+z2 ' x2+y2+z2
R=1 bo'lganda esa (2) formula quyidagi ko'rinishga keladi
y
(9)
x =
x
y =
z =
x2+y2+z2 ' x2+y2+z2 ' x2+y2+z2
Sferaga nisbatan inversiyada A va B nuqtalarning obrazlari orasidagi A'B' masofa AB masofa orqali quyidagicha ifodalanadi:
R2
A'B' = AB
OA * OB
6-chizma
Sferaga nisbatan inversiyada tekislik va sferaning obrazi. Endi fazoda sferaga nisbatan inversiyada to'g'ri chiziq va tekislikning obrazlari qanday figuralar bo'lishini ko'rib chiqamiz:
• inversiya sferasi o'z-o'ziga o'tadi;
• O nuqtadan, ya'ni, inversiya markazidan o'tadigan to'g'ri chiziq O nuqtani hisobga olmaganda o'z -o'ziga akslanadi.
• inversiya markazidan o'tuvchi tekislik (O nuqtasiz) o'z-o'ziga o'tadi;
• inversiya markazidan o'tmaydigan tekislikning aksi inversiya markazidan o'tuvchi sfera bo'ladi. Bu sferaning diametri OA kesma bo'ladi.
Tekisliklarni inversion almashtirishda quyidagi hollar bo'lidi:
• berilgan tekislik inversiya sferasi bilan umumiy nuqtaga ega bo'lmasa u holda tekislikning inversion obrazi inversiya markazidan o'tuvchi sfera bo'lib, u ham inversiya sferasi bilan umumiy nuqtaga ega bo'lmaydi (12a-chizma);
• agar berilgan tekislik inversiya sferasiga urinsa, u holda bu tekislikning inversion obrazi ham shu urinish nuqtasida ularga urinib, inversiya markazidan o'tuvchi sfera bo'ladi (6-chizma);
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
• agar berilgan tekisliklar inversiya sferasini kesib o'tsa, u holda ularning inversion obrazlari ham inversiya sferasini kesib o'tuvchi sfera bo'ladi.
Fazoda sferaga nisbatan inversiyada aylana va sferaning inversion obrazi qanday figura bo'lishini qaraymiz:
• fazoda inversiya markazidan o'tmaydigan aylananing inversion obrazi inversiya markazidan o'tmaydigan aylana bo'ladi;
• fazoda inversiya markazidan o'tuvchi aylanaga inversion mos figura inversiya markazidan o'tmaydigan to'g'ri chiziq bo'ladi;
• inversiya markazidan o'tuvchi S sferaning aksi bu sfera va inversiya sferasi markazlaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa perpendikulyar tekislik bo'ladi bu tekislik
R2
inversiya markazidan — masofada joylashgan, bu yerda r - S sferaning radiusi;
• fazoda inversiya markazidan o'tmaydigan sferaning inversion obrazi inversiya markazidan o'tmaydigan sfera bo'ladi. Bunda sferalarning markazlari bir-biriga inversion mos emas (xuddi tekislikdagi kabi). Inversiya markazi inversion mos sferalarning gomotetiya markazi bo'ladi.
Berilgan sferaning inversiya sferasiga nisbatan joylashuviga ko'ra quyidagicha bo'lishi nazarda tutiladi:
• agar berilgan sfera inversiya sferasi bilan umumiy nuqtaga ega bo'lmasa va undan tashqarida joylashgan bo'lsa, uning inversion obrazi inversiya sferasining ichida joylashib, u bilan umumiy nuqtaga ega bo'lmagan sfera bo'ladi. Inversiya markazi sferalarning tashqi o'xshashlik (gomotetiya) markazi bo'ladi;
• agar berilgan sfera inversiya sferasiga rthogonal joylashgan bo'lsa, u holda u o'z-o'ziga akslanadi. Sferalar rthogonal bo'lsa, ularning radiuslari uchun quyidagi munosabat o'rinli R f + R f = ( 0t0 2 )2;
• agar inversiya sferasi berilgan sferaning ichida joylashgan bo'lsa, uning inversion obrazi inversiya sferasining ichida joylashadi va inversiya markazi ularning ichki o'xshashlik (gomotetiya) markazi bo'ladi;
• agar berilgan sfera inversiya sferasi markazidan o'tmasa va uni kessa, unda uning inversion obrazi ham u kesib o'tgan aylana bo'ylab inversiya sferasini kesib o'tuvchi sfera bo'ladi;
• agar berilgan sfera inversiya markazidan o'tmasa va inversiya sferasiga biror nuqtada urinsa, uning inversion obrazi ham xuddi shu nuqtada urinuvchi sfera bo'ladi;
•agar berilgan sfera inversiya sferasidan tashqarida bo'lib ularning markazlari ustma-ust tushsa, uning inversion obrazi inversiya sferasining ichida joylashadi va uning markazi ham ularniki bilan ustma-ust tushadi. Agar berilgan sfera cheksiz kattalashib boraversa, uning inversion obrazi kichiklashib, inversiya markaziga intiladi.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES)
1. Kurbonov G.G. Didactic possibilities of teaching general subjects on the basis of digital educational technologies. Berlin Studies Transnational Journal of Science and Humanities. Vol. 2, Issue 1.5 (2022), - P. 451-456.
2. Rasulov T.H., Kurbonov G.G. Developing students' creative and scientific skills with modern educational technologies. Berlin Studies Transnational Journal of Science and Humanities. Vol. 2, Issue 1.5 (2022), - P. 485-492.
3. U.U.Umarova. Forms and methods of assessment of student knowledge in distance education // Berlin Studies Transnational Journal of Science and Humanities. Vol. 2, Issue 1.5, 2022, pp. 517-527.
4. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий при обучения темы скалярного произведения векторов. Вестник наука и образавания. 2020. №16(94). Часть.2. стр 33-36.
5. Курбонов Г.Г. Интерактивные методы обучения аналитической геометрии: метод case stady. Наука, техника и образавания. 2020. №8(72). стр 44-47.
6.To'lqin Rasulov, Tabassum Saleem, Umida Umarova. Didactic approach and innovative methods in distance learning // Pedagogik akmeologiya. 2023, Tom 1, №3, pp.16-19
7. Курбонов Г.Г. Информационные технологии в преподавании аналитической геометрии. Проблемы педагогики. 2021. №2(53). стр. 11-14.
8.U.U.Umarova. Muammoli va mantiqiy masalalarni graflar nazariyasi yordamida yechish // Science and Education, 2(11), 713-720
9. Kurbonov G.G., Istamova D.S., The Role of Information Technology in Teaching Geometry in Secondary Schools. Scientific progress. 2:4(2021), Pp. 817-822.
10.U.U.Umarova. Basic technologies of distance education // European Journal of Research Development andSustainability, 3:6 (2022), p.111-112
11. Курбонов Г.Г., Зокирова Г.М., Проектирование компьютерно-образовательных технологий в обучении аналитической геометрии. Science and education. 2:8(2021), Pp. 505-513.
12.Умарова У.У. Мулохазалар устида мантилий амаллар мавзусини укитишда «Кичик гурухларда ишлаш» методи // Scientific progress, 2:6 (2021), p. 803-809
13. Курбонов F.F, Абдужалолов У.У., Геометрия фанини масофадан укитиш тизимининг асосий дидактик тамойиллари ва технологиялари. Science and education. 2:9(2021), Pp. 354-363.
14.Умарова У.У. "Муносабатлар. Бинар муносабатлар" мавзуси буйича маъруза ва амалий машгулотлари учун "Ажурли арра" ва "Домино" методлар // Scientific progress, 2:6 (2021), р. 982-988.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 5 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
15. Qurbonov G'.G'., Shadmanova Sh.R., Matematika fanini masofadan o'qitish tizimining asosiy tamoyillari va texnologiyalari. Science and education. 2:11(2021), Pp. 667-677.
16. Qurbonov G'.G'., Rahmatova F.M., Umumta'lim maktablarida matematika fanini o'qitishda axborot texnologiyalaridan foydalanish. Science and education. 2:11(2021), Pp. 678-686.
17.U.U.Umarova. Ta'lim jarayoniga axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini qo'llash // Science and Education, 2:6 (2021), p. 508-517.
18. Г.Г.Курбонов., А.А.Суюндукова., Особенности обучения по курсу «Математика» в начальной школе. Science and education. 2:2(2021), Pp. 727-735.
19. Г.Г.Курбонов., Г.Б.Камолова., Умумтаълим мактабларининг математика дарсларида ракамли таълим технологияларидан фойдаланишнинг дидактик тамойиллари. Science and education. 3:1(2022), Pp. 424-430.
20. бурбонов F.F. Smart education масофавий фан тугараги ва уни ташкил этиш методикаси. "Таълим ва инновацион тадкикотлар" Илмий-методик журнал, №8, Бухоро. 2022. - Б. 239-245.
21. Kurbonov.G.G. On general professional sciences electronic software of the educational process. "Actual problems of modern science, education and training". №8, Хоrazm, 2022. - P. 33-37.
22. U.U.Umarova. Masofaviy ta'limda talabalarning kasbiy kompetensiyasini rivojlantirish metodikasi haqida ba'zi mulohazalar // Таълим ва инновацион тадкикотлар. 2022, №7, 293-299 бб.
23.U.U.Umarova. Xalqaro PISA va TIMSS testidan yuqori natijalarga erishda interfaol metodlarning ahamiyati // Science and Education, 2(11), 477-487
24.U.U.Umarova. Diskret matematika fanida muammoli vaziyatni hal qilish metodi // Science and Education, 2:11 (2021), p. 687-694.
