CC BY
180
№ 1 2006
М. В. Ключников
Технология кластерного анализа финансовых показателей банков
В связи с многоплановостью и сложностью наблюдаемых социальноэкономических явлений и процессов данные о них носят многомерный и разнотипный характер. В этих условиях выходят на первый план проблемы построения группировок и классификаций по многомерным данным, причем появляется возможность оптимизации этого построения с точки зрения наибольшего соответствия получаемого результата поставленной конечной цели классификации.
Для выделения однородных совокупностей используется метод группировок. В статистике различают следующие виды группировок: типологические, структурные и аналитические. По способу формирования однородных групп следует различать две основные системы классификации. Первый — способ последовательных разбиений, заключается в формировании групп, объекты которых имеют одинаковые значения классификационных признаков. При втором способе — многомерной классификации — объекты, образующие группы, могут иметь различные значения классификационных признаков.
Первый способ сводится по существу к методу комбинационной группировки, которой принадлежит большая роль в комплексном статистическом исследовании явлений. Однако, по мере роста объемов перерабатываемой информации и, в частности, числа классифицируемых объектов и характеризующих их признаков применение комбинационных группировок становится невозможным, поскольку чрезмерное дробление информации при построении комбинационных таблиц затрудняет проявление закономерностей
явлений и тем самым не позволяет выявить одновременно влияния всего комплекса причин.
Все это потребовало поиска новых принципов группировок, отличных от классических и снимающих указанные выше ограничения, а именно разработки многомерной группировки. Данная задача, когда группы образуются по любому числу признаков, может быть решена одним из методов многомерной классификации — кластерным анализом.
Формой представления исходных данных в задачах кластерного анализа служит следующая матричная таблица:
/ \
Хц • • Х1, • • Х1&
X = • Хг, • • Х&
V Х п1 • • Хщ • • Хп&;
Решение этой задачи заключается в определении естественного расслоения исходных наблюдений на четко выраженные кластеры, лежащие друг от друга на некотором расстоянии.
Каждая строка представляет результат измерений & рассматриваемых признаков на одном из обследованных объектов.
Выбор расстояния является ключевым моментом исследования, от которого зависит окончательный вариант разделения объектов на классы. В каждом конкретном случае этот выбор должен исходить из целей исследования, статистической и физической природы вектора X, априорных сведений о характере вероятностного распределения X.
Технология кластерного анализа финансовых показателей банков
№ 1 2006
В данном случае при классификации используют Евклидово расстояние.
Это наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:
Р( хг,х) = (хг>
ге х ]е
где х. , х. — величина е-й компоненты у г-го
м ге ]е ■>
(/-го) объекта (е=1, 2,..., &; г, ]=1, 2,..., п).
Заметм, что Евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее на расстояние могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния.
Как правило, решение задач классификации многомерных данных предусматривает в качестве предварительного этапа исследования использование методов, позволяющих выбрать из компонент х1, х2,..., хк наблюдаемого вектора X сравнительно небольшое число наиболее существенно информативных, т. е. уменьшить размерность наблюдаемого пространства.
Объединение, или метод древовидной кластеризации используется при формировании кластеров несходства или расстояния между объектами. Эти расстояния могут определяться в одномерном или многомерном пространстве.
Принцип работы иерархических процедур состоит в последовательном объединении групп элементов сначала самых близких, а затем все более отдаленных друг от друга. Иными словами, мы понижаем порог, относящийся к решению об объединении двух или более объектов в один кластер.
Таким образом, происходит связывание вместе всё большего и большего чис-
ла объектов и объединение все большего и большего числа кластеров, состоящих из все сильнее различающихся элементов. Окончательно, на последнем шаге все объекты объединяются вместе. В результате успешного анализа методом объединения появляется возможность обнаружить кластеры (ветви) и интерпретировать их. Далее рассмотрим меры расстояния.
Меры расстояния. Объединение, или метод древовидной кластеризации используется при формировании кластеров несходства или расстояния между объектами. Эти расстояния могут определяться в одномерном или многомерном пространстве. Например, если вы должны кластеризовать типы еды в кафе, то можете принять во внимание количество содержащихся в ней калорий, цену, субъективную оценку вкуса и т. д. Наиболее прямой путь вычисления расстояний между объектами в многомерном пространстве состоит в вычислении евклидовых расстояний. Если вы имеете двух- или трехмерное пространство, то эта мера является реальным геометрическим расстоянием между объектами в пространстве (как будто расстояния между объектами измерены рулеткой). Однако алгоритм объединения не «заботится» о том, являются ли «предоставленные» для этого расстояния настоящими или некоторыми другими производными мерами расстояния, что более значимо для исследователя; и задачей исследователей является подобрать правильный метод для специфических применений.
Евклидово расстояние. Это, по-видимому, наиболее общий тип расстояния между объектами X и У. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:
Расстояние (Х,У) =
Заметим, что Евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это
2
№ 1 2006
обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее на расстояния могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния. К примеру, если одна из осей измерена в сантиметрах, а вы потом переведете ее в миллиметры (умножая значения на 10), то окончательное евклидово расстояние (или квадрат евклидова расстояния), вычисляемое по координатам, сильно изменится, и, как следствие, результаты кластерного анализа могут сильно отличаться от предыдущих.
Квадрат евклидова расстояния. Иногда может возникнуть желание возвести в квадрат стандартное Евклидово расстояние, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (см. также замечания в предыдущем пункте):
п I \ 2
Расстояние (Х,У) = Х(х —уг) .
г=1 г 4
Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида.
Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:
к
Расстояние (Х,У) = Х|хг- у\.
г=1
Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как «различные», если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним изме-
рением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:
Расстояние (X,Y) = max| x - y |.
z
Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния. Степенное расстояние вычисляется по формуле:
Г I n I
Расстояние (X,Y) = -y) .
где r и p — параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как «работает» эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если r=p=2, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.
Процент несогласия. Эта мера используется в тех случаях, когда данные являются категориальными. Это расстояние вычисляется по формуле:
Расстояние (X, У)=(Количество x^y)/i.
Правила объединения или связи. На первом шаге, когда каждый объект представляет собой отдельный кластер, расстояния между этими объектами определяются выбранной мерой. Однако когда связываются вместе несколько объектов, возникает вопрос: как следует определить расстояния между кластерами? Другими словами, необходимо правило объединения или связи для двух кластеров. Здесь имеются различные возможности: на-
пример, вы можете связать два кластера вместе, когда любые два объекта в двух кластерах ближе друг к другу, чем соответствующее расстояние связи. Другими словами, вы используете «правило ближайшего соседа» для определения расстояния между кластерами; этот метод
М. В. Ключников
Технология кластерного анализа финансовых показателей банков
№ 1 2006
называется методом одиночной связи. Это правило строит «волокнистые» кластеры, т. е. кластеры, «сцепленные вместе» только отдельными элементами, случайно оказавшимися ближе остальных друг к другу. Как альтернативу вы можете использовать соседей в кластерах, которые находятся дальше всех остальных пар объектов друг от друга.
Этот метод называется метод полной связи. Существует также множество других методов объединения кластеров, подобных тем, что были рассмотрены.
Одиночная связь (метод ближайшего соседа). Как было описано выше, в этом методе расстояние между двумя кластерами определяется расстоянием между двумя наиболее близкими объектами (ближайшими соседями) в различных кластерах. Это правило должно, в известном смысле, нанизывать объекты вместе для формирования кластеров, и результирующие кластеры имеют тенденцию быть представленными длинными «цепочками».
Полная связь (метод наиболее удаленных соседей). В этом методе расстояния между кластерами определяются наибольшим расстоянием между любыми двумя объектами в различных кластерах (т. е. «наиболее удаленными соседями»). Этот метод обычно работает очень хорошо, когда объекты происходят на самом деле из реально различных «рощ». Если же кластеры имеют в некотором роде удлиненную форму или их естественный тип является «цепочечным», то этот метод непригоден.
Невзвешенное попарное среднее. В этом методе расстояние между двумя различными кластерами вычисляется как среднее расстояние между всеми парами объектов в них. Метод эффективен, когда объекты в действительности формируют различные «рощи», однако он работает одинаково хорошо и в случаях протяженных («цепочного» типа) кластеров. Отметим, что в своей книге Снит и Сокэл (Sneath, Sokal, 1973) вводят аббревиатуру UPGMA для ссылки на этот метод, как на метод не-
взвешенного попарного арифметического среднего — unweighted pair-group method using arithmetic averages.
Взвешенное попарное среднее. Метод идентичен методу невзвешенного попарного среднего, за исключением того, что при вычислениях размер соответствующих кластеров (т. е. число объектов, содержащихся в них) используется в качестве весового коэффициента. Поэтому предлагаемый метод должен быть использован (скорее даже, чем предыдущий), когда предполагаются неравные размеры кластеров. В книге Снита и Сокэла (Sneath, So-kal, 1973) вводится аббревиатура WPGMA для ссылки на этот метод как на метод взвешенного попарного арифметического среднего — weighted pair-group method using arithmetic averages.
Невзвешенный центроидный метод. В этом методе расстояние между двумя кластерами определяется как расстояние между их центрами тяжести. Снит и Со-кэл (Sneath, Sokal, 1973) используют аббревиатуру UPGMC для ссылки на этот метод, как на метод невзвешенного попарного центроидного усреднения — unweighted pair-group method using the centroid average.
Взвешенный центроидный метод (медиана). Этот метод идентичен предыдущему, за исключением того, что при вычислениях используются веса для учета разницы между размерами кластеров (т. е. числами объектов в них). Поэтому, если имеются (или подозреваются) значительные отличия в размерах кластеров, этот метод оказывается предпочтительнее предыдущего. Снит и Сокэл (Sneath, Sokal, 1973) использовали аббревиатуру WPGMC для ссылок на него как на метод невзвешенного попарного центроидного усреднения — weighted pair-group method using the centroid average.
Метод Уарда. Этот метод отличается от всех других методов, поскольку он использует методы дисперсионного анализа для оценки расстояний между кластерами. Метод минимизирует сумму квадратов
•— № 1 2006
tica 6.0 на примере совокупности коммерческих банков.
По данным финансовых показателей 30 крупнейших банков Российской Федерации на 01.01.2004 г., полученных по данным рейтинговых обследований Интерфакса [1], проведем классификацию с целью выделения однородных групп банков по финансовым показателям. Выбор совокупности из 30 крупнейших банков Российской Федерации обоснован еще тем, что выбранные банки по суммарному объему средств и проводимых операций занимают 80% от всей банковской системы России.
На основании предварительного качественного анализа были отобраны показатели, характеризующие финансовую деятельность коммерческих банков, по которым проводится классификация (табл. 1, рис. 1).
Таблица 1
Показатели, характеризующие финансово-экономическую деятельность коммерческих банков
№ Финансовые коэффициенты Обозна- чение Основные характеристики показателей
1 Коэффициент масштаба деятельности банка *1 Оценивает характер изначальной причины возникновения потенциальных проблем с проведением текущих платежей
2 Коэффициент достаточности капитала *2 Показывает соотношение капитала банка к активам, взвешенным с учетом риска
З Коэффициент текущей ликвидности *3 Показывает соотношение ликвидных активов и обязательств до востребования
4 Коэффициент общей рентабельности *4 Оценивает общую прибыльность банка
5 Коэффициент ликвидности активов *5 Определяет уровень быстрореализуемых активов к общей сумме размещенных средств
б Коэффициент финансовой устойчивости *6 Характеризует удельный вес собственных средств банка по отношению к сумме размещенных средств
7 Коэффициент текущей сбалансированности активных и пассивных операций *7 Оценивает характер изначальной причины возникновения потенциальных проблем с проведением текущих платежей
8 Коэффициент активности инвестиционной деятельности *8 Показывает соотношение портфеля ценных бумаг к общей сумме обязательств
для любых двух (гипотетических) кластеров, которые могут быть сформированы на каждом шаге. Подробности можно найти в работе Уарда (Ward, 1963). В целом метод представляется очень эффективным, однако он стремится создавать кластеры малого размера.
Программный продукт Statistica 6.0 позволяет отображать графическое представление результатов классификации в виде дендрограммы.
Многомерные группировки позволяют решать целый ряд важных задач экономико-статистического исследования, таких как формирование однородных совокупностей, выбор существенных признаков, выделение типичных групп и др. Рассмотрим выполнение кластерного анализа с помощью программного продукта Statis-
М. В. Ключников
Технология кластерного анализа финансовых показателей банков
№ 1 2006
Окончание табл. 1
№ Финансовые коэффициенты Обозна- чение Основные характеристики показателей
9 Коэффициент доходности активов *9 Характеризует сумму операционных доходов, приходящихся на 1 руб. средних остатков по активам
10 Коэффициент покрытия по ссудным операциям Х10 Показывает потенциальную возможность покрытия риска на возможные потери по ссудным операциям и векселям
11 Коэффициент покрытия кредитного риска *11 Определяет потенциальную возможность покрытия риска по кредитным операциям
12 Коэффициент ликвидности по срочным обязательствам *12 Показывает соотношение ликвидных обязательств до востребования и срочных обязательств
I- Возрождение 1т Собин-банк Еврофинанс Промсвязьбанк Никойл 'Зенит Номос-банк Сургутнефтегаз Петрокоммерц Доверит, и инв. банк Райффайзенбанк Российский кредит Менатен-Санкт-Петербург Инкомбанк Росбанк СБС-Агро Уралсиб
___Г Гута-Банк
Ситибанк
----------------------------I Меж. мос. банк
_г МДМ-банк — Банк Москвы
---Промстройбанк
—Межпромбанк I Газпромбанк Ц Альфа-Банк Трастбанк
___Г Внешторгбанк
_________________________ Сбербанк
---Внешэкономбанк
I---------1---------1-------1--------1
2,50 1,88 1,25 0,63 0,00
Рис. 1. Дендрограмма классификации 30 крупнейших банков России по основным показателям финансовой деятельности на 01.01.2004 г.
£
|—[ І
№ 1 2006
Проведя классификацию различными алгоритмами кластерного анализа и сравнив результаты, мы пришли к выводу, что наилучший результат разбиения совокупности на классы дал метод Уарда.
Анализ данных таблицы 2. позволил сделать следующие выводы.
Таблица 2.
Расчетные данные кластерного анализа финансовых результатов деятельности коммерческих банков на 01.01.2004 г. (тыс. руб.)
Банки Ликвидные активы Обязательства до востребования Прибыль Уставный капитал
Кластер 1 (п1 = 3)
Внешэкономбанк 126522028 593745899 888321 1000
Сбербанк 21493894 262428865 4333723 999998
Вшешторгбанк 458120 53487643 8780590 42137236
Кластер 2 (п2 = 11)
Трастбанк 12719 919945 6851 6031200
Альфа-Банк 35005319 60325993 560307 768679
Газпромбанк 3822791 55752244 1626725 13331851
Международный промышленный банк 1147061 51271069 418374 25000000
Промышленно-строительный банк 5548087 24348635 983619 124675
Банк Москвы 23968855 53396201 1003948 3000000
МДМ-Банк 10192243 45862613 231457 1100000
Международный московский банк 1740293 24439813 645441 2136005
Ситибанк 596542 14631569 3235100 1000000
Гута-Банк 1390680 10094226 58176 2552590
Уралсиб 2098533 14002611 446836 4282083
Кластер 3 (п3 = 16)
СБС-Агро -2197103 36561630 -47400559 1
Росбанк 9493335 24863476 019628 3405284
Инкомбанк -117040 47359474 -17553766 1613221
Менатеп Санкт-Петербург 1484241 13004806 644218 1385000
Российский кредит -6790421 10191551 -17705348 391914
Райффайзенбанк 864350 15144725 -1900734 1004000
Петрокоммерц банк 1880483 12914431 707087 5000000
Сургутнефтегаз банк 917537 5550016 77472 1177000
Номос-банк 805197 6763204 105143 1885000
Банк Зенит 3370841 11881492 465418 2000000
Никойл 2755591 10325032 584201 1433000
Доверительный и инвестиционный банк 1854490 17998792 1171488 1030000
Возрождение 3058040 6793642 97247 145432
Собинбанк 7916235 4883775 53633 500000
Еврофинансбанк 1465469 6581996 -467021 1311987
Промсвязьбанк 1790795 8315760 334448 1189750
М. В. Ключников
Технология кластерного анализа финансовых показателей банков
№ 1 2006
На основании графического представления результатов кластерного анализа (рис. 2.) можно сделать вывод о том, что наилучшим является разбиение коммерческих банков Российской Федерации на 3 кластера: и1=3, п2=11, п3=16.
В первый кластер вошли 3 коммерческих банка, которые имеют специфическую особенность — они отличаются большой суммой привлеченных средств как от коммерческих и бюджетных организаций, так и от других банков и частных лиц. Особое место в этой группе занимает Внешэкономбанк, который по размерам активов 126 млрд. руб. и прибылью в размере 888 млн. руб. существенно выделяется на фоне всех остальных банков. Его особенность прежде всего обусловлена высокой долей привлеченных средств других банков и коммерческих организаций. Кроме того, Внешэкономбанк занимается реализацией правительственных проектов по международным экономическим отношениям.
Во второй кластер банков вошло 11 банков. Эта группа банков отличается финансовой стабильностью и высокими показателями эффективности. В эту группу вошли банки, которые сейчас занимают в России самые активные и надежные позиции. Для банков характерен высо-
показатели
Рис. 2. Средние значения показателей финансовой деятельности коммерческих банков для каждого кластера
кий уровень уставного фонда от 0,1 млрд. руб. до 25 млрд. руб. и уровень ликвидных активов в размерах от 13 млн. руб. до 35 млрд. руб.
В третий кластер вошло 16 банков. Данный кластер не является особо прибыльным. В него вошли банки, имеющие отрицательные показатели прибыли и ликвидных активов, такие, как СБС-Агро, Райффайзенбанк, Российский кредит и Инкомбанк, Еврофинансбанк. Хотя Райффайзенбанк и Инкомбанк имеющие отрицательные показатели прибыли, имеют довольно высокий размер уставного фонда в размерах 1004 и 1613 млн. руб. соответственно. Это дает им право существовать. Что же касается банков СБС-Агро и Российский кредит, то эти банки являются банкротами, хотя и сохраняют позиции в рейтингах за счет высокого уровня валюты баланса 81,7 и 53,2 млрд. руб. соответственно. Ев-рофинансбанк и Райффайзенбанк сохраняют свою ликвидность благодаря уровню активов в 1465 и 864 млн. руб. Самый удачный банк из третьей группы — это Доверительный и инвестиционный банк, имеющий уставной фонд в размере 1171 млн. руб. и прибыль — 1030 млн. руб. Таким образом, банки данной группы ограничены в своих возможностях, как в кредитной, так и в депозитарной деятельности.
Для каждого кластера были рассчитаны средние значения показателей, характеризующие финансово-экономическую деятельность коммерческих банков, которые наглядно представлены на рис. 2.
Из данных рис. 2 видно, что средние значения показателей финансово-экономической деятельности коммерческих банков кластера 1 в большинстве своем превосходят средние значения показателей других кластеров. Исключение составляют средние значения коэффициента
№ 1 2006
финансовой устойчивости (Х6), коэффициента покрытия по ссудным операциям (Х10) и коэффициента покрытия кредитного риска (Х11), где наибольшие значения имеют показатели кластера 2. Кластер 3 отличается минимально допустимым уровнем достаточности капитала — 11% и крайне низким уровнем текущей ликвидности — 13 %, исключение составляют лишь показатели масштаба деятельности (Х1) — 57 % и текущей сбалансированности активнопассивных операций (Х7) — 67 %.
Исходя из результатов классификации данных банков, можно сделать вывод о том, что они имеют достаточно сильные отличия, находящие отражение в результатах их финансово-экономической деятельности.
Далее был проведен компонентный анализ с целью ранжирования коммерческих банков по показателям финансово-экономической деятельности коммерческих банков. Компонентный анализ является линейным и аддитивным, не требующим никаких гипотез о переменных. При его использовании происходит ортогональное преобразование т-исходных признаков х1, х2,..., хт к главным компонентам — Р1, Р2,..., Рт, которые являются статистически зависимыми.
УЦ = аЛ р1/ + ау2 р2, +.+ ап ^ /=1 , 2. т;
/=1, 2,..., п,
где У/ — нормированное значение /-го
признака для /-го банка;
Р1( — значение первой главной компоненты для -го банка;
п — число исследуемых банков;
— факторные нагрузки.
Главные компоненты не коррелированны между собой и упорядочены по величине их дисперсии, причем первая главная компонента имеет наибольшую дисперсию, а последняя — наименьшую. При этом выявляются неявные, непосредственно не измеряемые, но объективно существующие закономерности, обусловленные действием как внутренних, так и внешних факторов.
Множество главных компонент представляет собой удобную систему координат, а соответствующие дисперсии главных компонент характеризуют их статистические свойства. Из всего числа компонент для исследования обычно выбирают наиболее весомые, т. е. вносящие максимальный вклад в общую дисперсию. Как правило, для экономической интерпретации самым лучшим является случай, когда число главных компонент не превышает 3.
Применение данного метода позволило выделить три главных компоненты (см. табл. 3.), объясняющих более 80 % суммарной дисперсии. На основании матрицы факторных нагрузок (см. табл. 5.4.), первая главная компонента Р1 была интерпретирована как уровень общей рентабельности коммерческих банков, так как тесно связана с фактором Х4 (а41 = 0,72), вторая главная компонента Р2 была интерпретирована как уровень ликвидности активов, так как определена фактором ликвидности активов Х5 (а52 = 0,74), третья главная компонента Р3 была интерпретирована как уровень финансовой устойчивости, так как определена фактором финансовой устойчивости Х6 (а63 = 0,71).
Таблица 3
Вклад в общую дисперсию главных компонент коммерческих банков
Главные компоненты Собственные значения Доля дисперсии
Р1 2,579 32,778
Р2 1,298 28,213
Р3 1,068 18,984
-----------1-----------------------------------------------------------------------\ 49
1Т-бизнес Ф Анализ бизнеса ^ -
М. В. Ключников
Технология кластерного анализа финансовых показателей банков
№ 1 2006
Метод компонентного анализа позволил нам ранжировать по убыванию значений главной компоненты 30 коммерческих банки Российской Федерации, первые позиции при этом занимают такие банки, как Внешторгбанк, Внешэкономбанк, Сбербанк.
Исследование коммерческих банков методами многомерного анализа позволило сделать вывод о том, что в России лидирующие места занимают коммерческие
банки, имеющие государственную поддержку, такие, как Внешторгбанк, Сбербанк, Альфа-банк, Банк Москвы. Пока другим коммерческим банкам сложно составить им конкуренцию, но, как показывает опыт развития банковского сектора после 1998 года, становится устойчивой тенденция к росту размера коммерческих банков по основным показателям их деятельности.
Таблица 4
Матрица факторных нагрузок, характеризующая финансовые показатели деятельности коммерческих банков
Х1 Х2 со Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 Х11 Х12
*1 1,00 0,80 0,49 0,82 0,59 0,56 0,58 0,35 0,28 0,62 0,38 0,45
Х2 0,80 1,00 0,56 0,87 0,69 0,44 0,42 0,76 -0,28 0,78 0,41 0,52
Х3 0,49 0,56 1,00 0,60 0,20 0,25 0,47 0,71 -0,12 0,44 0,22 0,34
Х4 0,82 0,87 0,60 1,00 0,81 0,55 0,42 0,87 0,10 0,56 0,42 0,55
Х5 0,59 0,69 0,20 0,81 1,00 0,38 0,64 0,54 -0,06 0,23 0,14 0,19
Х6 0,56 0,44 0,25 0,55 0,38 1,00 0,52 0,68 0,18 0,56 0,78 0,78
Х7 0,58 0,42 0,47 0,42 0,64 0,52 1,00 0,44 0,19 0,61 0,33 0,40
Х8 0,35 0,76 0,71 0,87 0,54 0,68 0,44 1,00 0,26 0,65 0,58 0,64
Х9 0,28 -0,08 -0,12 0,10 0,06 0,18 0,19 0,26 1,00 0,01 0,20 0,20
Х10 0,62 0,78 0,44 0,56 0,23 0,56 0,61 0,65 0,01 1,00 0,74 0,73
Х11 0,38 0,41 0,22 0,42 0,14 0,78 0,33 0,58 0,20 0,47 1,00 0,87
Х12 0,45 0,52 0,34 0,55 0,19 0,78 0,40 0,64 0,20 0,73 0,87 1,00
Литература
1. Ключников М. В. Применение Microsoft Word и Excel в финансовых расчетах. М.: Мар-кет ДС, 2006. 216 с.
