CC BY
4Автоматизация нефтегазовых технологий А. Н. Паршуков, И. Г. Соловьев
Технология формирования семейства модальных регуляторов, обеспечивающих предписанное качество управления
Рассматривается новая задача — формирование семейства модальных регуляторов с эллиптической зоной настроек параметров, обеспечивающих предписанное качество управления. Предлагается вычислительная технология формирования такого семейства регуляторов.
Постановка задачи
При управлении технологическими процессами в нефтегазовой промышленности задачи управления нередко характеризуются, с одной стороны, нечеткостью задания модели объекта, с другой — многовариантностью требований, предъявляемых к замкнутой системе управления из инженерных соображений. В этой ситуации желательно иметь некоторый набор решений задачи управления, из которых выбирать подходящее; такой подход широко применяется в нефтегазопромысловых технологиях [2].
В настоящей работе рассматривается задача формирования семейства модальных регуляторов. Поясним суть рассматриваемой задачи.
Если целевое условие в задаче модального управления [3] назначается областью желаемого расположения корней характеристического полинома (ХП), то имеющиеся свободы выбора эталонных операторов допускают расчет множественного регулятора с некоторой областью настроек его параметров. Суть классической схемы синтеза сводится к расчету одного регулятора из указанного семейства.
Настоящая работа посвящена вычислительной технологии формирования семейства регуляторов с эллиптической зоной настроек параметров, обеспечивающих предписанное качество управления. Такое множество может быть полезно для решения многих теоретических и практических задач, например для установления границ вариаций параметров регулятора, при которых гарантированно выполняется целевое условие.
Используя обозначения [4], дадим краткие пояснения исследуемым вопросам.
Пусть объект управления Р задается в виде [4][1]
а (п, р) х(/) = Ь (т, р) и (О, ап = 1, (1)
где ап — коэффициент при старшей степени оператора а (п, р).
В классической постановке задачи синтеза модального регулятора [5, с. 9-11] желаемые динамические свойства задаются эталонным оператором аэ (п + /, р), аэп+/ = 1, являющимся характеристическим полиномом (ХП) замкнутой систе-мы. При этом алгоритм расчета параметров регулятора Я
Ь (/, р) и(0 = а (я, р) х(/) + Ь1 (Л, р) д (/), Ь/ = 1, я, Л £ /, (2)
следует из равенства [4]
аэ (п + /, 5) = а (п, 5) х ь (/, 5) - Ь (т, 5) х а (я, в).
В последнем соотношении, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в': 1, в, ..., вп + 1 в левой и правой частях и учитывая, что при вп + 1 равенство переходит в тождество, приходим к следующей системе уравнений [4, с. 7-8]:
С Г + Ь= аэ, (3)
здесь С и Ь— матрица и вектор размерностей, соответственно (/ + я + 1) ' (п + /) и 1 ' (п + /), составленные из коэффициентов операторов объекта (1), 3Э — вектор, составленный из коэффициентов полинома аэ (п + /, в), аэп + / = 1, а Г— искомый вектор настроек регулятора
Стр. 1 из 4
29.09.2010 11:04
T
r= (bo, ..., bi- i, ao, ..., aq) .
Расчетные соотношения (3) позволяют однозначно рассчитать и тем самым полностью решить классическую задачу синтеза модального регулятора (1)-(3). В общем случае [1, с. 217] качество управления
в задаче модального управления назначается в виде односвязной области S(Si С1), определяющей желаемое расположение корней полинома аэ (n + i, s). При этом целевое условие формально записывается в виде
L i S, (4)
здесь L обозначено множество корней полинома аэ (n + i, s).
Условие (4) допускает некоторый произвол в назначении параметров полинома аэ (n + i, s) и, как следствие, некоторые свободы в настройках регулятора R. В настоящей работе рассматривается следующая задача. Пусть известен вектор настроек ro регулятора R такой, что для заданного объекта (1) обеспечивает выполнение целевого условия (4). Будем искать семейство регуляторов R с эллиптической зоной допустимых настроек его параметров
r= ro + D r где D rT Q D r£ r2, (Q > 0, Q = QT), (5)
максимального размера таких, что еще выполняется предписанное качество управления (4).
Основной результат
2 Э 7
Для нахождения критического г найдем выражение для ХП а (п + /, s) замкнутой системы и получим условие выхода корней полинома аэ (n + i, s) на границу области S
Подставляя r из (5) в расчетное соотношение (3), транспонируя и домножая на вектор s = (1, s, ..., sn + i
_ 1 T
) обе части полученного равенства, с учетом замечаний, сделанных к расчетной схеме (3), приходим к следующему выражению для ХП замкнутой системы:
аэ (n + i, s) = (С ro + b + С D/)T s + sn + 1
или окончательно
я X
аэ (n + /, s) = а □ (л + /, s) +D/-' а (s). (6)
а
Здесь как а D (п + I. s) обозначен ХП системы, получающийся в результате замыкания объекта (1) регулятором R с настройками ro,
а х + /
а D (п + /, s) = (С /Ь + Ь)т s + sn
у S
и введено вспомогательное обозначение " (s) = С S. Согласно постановке задачи, для а 0 (п + I, s) выполнено целевое условие (4).
Условие выхода корней полинома (6) на границу области Sв точке s запишется равенством
5 т _
а D (п + /, s) + Dr' (s) = 0. (7)
При этом задача нахождения эллипсоида (5) наименьшего размера, при котором корни полинома (6) пересекут границу области Эв точке s, формально записывается
2 т а т —
г (s) = Dr О Dr® min, при Dг а а (п + /, s) + Dr' (s) = 0. (8)
А искомый радиус г ■ (s), при котором корни полинома (6) впервые выходят на границу области S, может
2
быть найден как минимальное значение графика г (s), построенного вдоль границы области S, что формально будем записывать в виде
Стр. 2 из 4
29.o9.2oio 11:o4
2 ГП1П 1
Г = 5 г
(9)
здесь как }5обозначена граница области 5 Проведенные рассуждения составляют основу вычислительной технологии построения семейства регуляторов (5). При этом для машинной реализации данной схемы необходимо решить задачу (8).
Данная задача относится к классическим задачам минимизации квадратичных функций с ограничениями типа равенств на варьируемые параметры; она легко решается аналитически — методом множителей Лагранжа.
Перепишем условие (7) отдельно для действительной и мнимой частей:
а « (5) + БгТ (5) = 0, а ' (в) + Б/7 (в) = 0.
а а а
Здесь как а * (5) и а ' (в) обозначены соответственно действительная и мнимая части а а (п + I, в), а как
*т (5) и (5) — вектора, составленные соответственно из действительных и мнимых составляющих компонент вектора 9 {э). При этом необходимое и достаточное условие экстремума для функции Лагранжа, построенной для задачи (8),
а -г _ "1
/. (5) = Б/7 О Б/-+ 11 (5) х (а К (5) + Б/7 (в)) +12 (в) х (а I (в) + Б/ а* (5)),
имеет вид
2 О Б Г* (5) + 1-, (5) X ** (5) + 12 (5) X (5) = О
в случае 1т 5 1 0 и
2 ОБ Г* (в) + и (в) х = О
в случае 1т 5 = 0 (что эквивалентно а 1 (5) + Б/^ (в) 0 0, т. е. при одном ограничении).
Проводя последовательные преобразования с выделением Т)Г* (5), домножением слева на Т)Г * (5) и т. п., приходим к результату:
1
ГЧ
Б/-*
1
г ■ (в) = 2 (а * (5), а ' (5)) ^ , Т)Г* (5) = - 2 с?"1 ( (<?))
ГЧ м
»458)
Проведенные рассуждения доказывают следующее утверждение.
2
Утверждение. Решение г (5) экстремальной задачи (8) при 1т 5 1 0 определяется
г (5) =
а при 1т 5 = 0 — выражением
г (в) = а « (5)
[«тДО'в)Г аМ5).
Заключение
В настоящей работе впервые решается задача формирования семейства модальных регуляторов — предлагается вычислительная технология формирования семейства регуляторов с эллиптической зоной настроек параметров. Приведенную технологию можно использовать и для построения семейств допустимых регуляторов с более сложной зоной настроек параметров — путем объединения эллипсоидов (5) с разными матрицами О.
Литература
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.
2. Исакович Р. Я., Логинов В. И., Попадько В. Е. Автоматизация производственных процессов нефтяной и газовой промышленности. М.: Недра, 1983. 424 с.
3. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиност-роение, 1976. 184 с.
4. Паршуков А. Н. Схема синтеза модального регулятора пониженного порядка / Ин-т криосферы Земли СО РАН. Тюмень, 2001. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.2001, № 1920.
5. Соловьев И. Г. Методы мажоризации в анализе и синтезе адаптивных систем. Новосибирск: Наука, 1992.
[1 ] Здесь и далее, следуя [4], под f (k, p) понимаем полиномиальный оператор степени k вида
f(k, p) = f0 + f1 p + ... + fkpk, p° d/d t1 , под f (k, s) — соответствующий алгебраический полином с переменной s.
A. N. Parshukov, I. G. Solovyev
TECHNOLOGY OF SHAPING A FAMILY OF MODAL REGULATORS PROVIDING A SPECIFIED QUALITY OF CONTROL
The present paper considers a new problem - shaping a family of modal regulators with an elliptic zone of adjusting parameters, which provides a specified quality of control. The author suggests a computer technology to shape such family of regulators.
