CC BY
37УДК 6 Yu. G. Chesnokov1
FLOW OF FLUIDS THROUGH TUBES WITH PERMEABLE WALLS IN THE PRESENCE OF SLIPPAGE ON WALL
St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St. Petersburg, 190013, Russia . e-mail: ygchesnokov@yandex.ru
In the article, on the basis of the assumption that the radial velocity component is small compared to the longitudinal component, an approximate anaytical solution of the hydrodynamic equations describing the flow of a fluid in a tube with permeable walls in the presence of slippage on the wall is obtained
Key words: laminar flow, hydrodynamics of membrane processes, flow with slip on the walls.
Введение
Течение жидкостей и газов по трубам и каналам с проницаемыми стенками, когда через стенки канала происходит отток или инжекция жидкости или газа, встречается во многих областях техники. В химической промышленности движение жидкостей и газов в трубах и каналах с проницаемыми стенками происходит в аппаратах, предназначенных для проведения мембранных процессов разделения. Закономерности движения жидкости оказывают значительное влияние на протекание процесса разделения. Режим течения жидкости по мембранному каналу обычно является ламинарным.
Первой работой, в которой было найдено распределение скоростей жидкости в плоском канале с проницаемыми стенками, является работа Бермана [1]. В этой работе рассматривалось установившееся течение, причем на стенке продольная составляющая скорости считалась равной нулю, а нормальная к стенке составляющая скорости предполагалась постоянной величиной, не изменяющейся вдоль стенки. В этом случае задача о движении жидкости имеет автомодельное решение. В дальнейшем результаты Бермана были распространены на каналы с другой геометрией, были развиты методы решения обыкновенного дифференциального уравнения, полученного Берманом, которые можно использовать при малых или больших значениях числа Рейнольдса, характеризующего течение. Обзор работ этого направления можно найти в статье [2].
Для мембранных процессов характерны малые значения скорости протекания жидкости через стенку
.01:532
Ю.Г. Чесноков 1
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ПО ТРУБКАМ С ПРОНИЦАЕМЫМИ СТЕНКАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА СТЕНКЕ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург,
190013, Россия. e-mail: ygchesnokov@yandex.ru
В работе на основе допущения о том, что радиальная составляющая скорости мала по сравнению с продольной составляющей, получено приближенное аналитическое решение уравнений гидродинамики, описывающее течение жидкости в трубке с проницаемы/ми стенками при наличии проскальзывании жидкости на стенке.
Ключевые слова: ламинарные течения, гидродинамика мембранных процессов, течение с проскальзыванием на стенках.
по сравнению со средней скоростью жидкости в канале. В этом случае можно использовать приближенную теорию, предполагающую малые значения отношения этих скоростей. Такая теория была предложена Реги-рером [3]. Второе приближение по указанному малому параметру получено в [2]. В работе [4] в рамках данного подхода рассматривалось пульсационное движение по трубе с проницаемыми стенками.
В последние годы для анализа течений жидкостей и газов в каналах с проницаемыми стенками, а также для расчетов массообменных процессов все в большей степени используются методы компьютерного моделирования. Обзор результатов работ этого направления можно найти в статьях [5, 6].
В перечисленных выше работах на проницаемой стенке канала выставлялось условие прилипания жидкости к стенке. Однако, существуют такие ситуации, когда условие прилипания может не выполняться. Так, например, явление проскальзывания наблюдается при течении разреженных газов в каналах малого размера, когда число Кнудсена не является малым. Касательная к поверхности составляющая скорости на поверхности канала (скорость проскальзывания) в этом случае отлична от нуля и зависит от величины числа Кнудсена. Касательная к поверхности составляющая скорости будет отличаться от нуля и в том случае, когда по каналу или трубке движется жидкость, но стенки канала являются пористыми. В этом случае на стенке выставляют так называемое условие Биверса-Джозефа, согласно которому скорость проскальзывания пропорциональна корню квадратному из коэффициента проницаемости стенки.
1. Чесноков Юрий Георгиевич, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. процессов и аппаратов, e-mail: ygchesnokov@yandex.ru Yuri G. Chesnokov, Ph.D (Phys.-Maths.), Associate Professor, Department of Chemical Engineering
Дата поступления - 7 декабря 2018 года
Речь здесь идет о коэффициенте пропорциональности в уравнении Дарси, которое используют для описания движения жидкости в пористой среде.
В последние годы в результате изучения течений жидкостей в трубках малого диаметра выяснилось, что условие прилипания не выполняется на гидрофобных поверхностях и в некоторых других случаях [7, 8]. В этих случаях на твердой поверхности вместо условия прилипания справедливо условие:
т ди\ w дп\ш
Здесь и - продольная составляющая скорости жидкости, п - направление нормали к стенке, Ь - длина проскальзывания, индекс V означает, что соответствующая величина вычисляется на стенке. Длина проскальзывания может быть как очень малой [9], так и весьма большой [10, 11]. В том случае, когда выставляется условие Биверса-Джозефа, для длины проскальзывания используется выражение:
Ь - —
а
Здесь к - коэффициент проницаемости стенки трубы или канала, а - безразмерная постоянная.
Сингх и Лоуренс [12, 13], изучавшие процесс ультрафильтрации в плоском [12] и трубчатом [13] мембранных каналах, при описании движения жидкости вместо условия прилипания на поверхности мембраны выставляли условие проскальзывания Биверса -Джозефа. В этих работах, как и в работе Бермана [1], скорость фильтрации принимается постоянной по длине канала. Постоянство скорости фильтрации предполагалось и в других работах [14, 15], где рассматривалось движение жидкости по трубе с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания на стенках.
Целью данной работы является построение приближенного аналитического решения задачи об установившемся движении жидкости или газа по трубе с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания жидкости на стенке. В статье применяется такой же подход, как и в работах [2-4]. Скорость протекания жидкости через стенку рассматривается как переменная величина.
Постановка задачи. Первое приближение
Рассмотрим ламинарное движение несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости в цилиндрической трубе с пористыми стенками. Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат (г,д,г), ось г которой совпадает с осью трубы. Радиальную, тангенциальную и осевую составляющие скорости жидкости обозначим через V, м и и соответственно. Через р обозначим плотность жидкости, через р давление, а через V кинематическую вязкость жидкости. Будем предполагать, что течение является установившимся и осесим-метричным, т.е. д/дь = 0, д/дд = 0 и мм = 0. Здесь £ -время. Перейдем в уравнениях гидромеханики к безразмерным переменным Г, г, V, и и р при помощи формул:
г = ЯГ, г = И, V = V V, и = ии, р = Ар - р.
Здесь Я - радиус трубы, I - характерный масштаб изменения гидромеханических величин вдоль оси трубы, V - характерное значение радиальной составляющей скорости жидкости, и - характерное значение осевой составляющей скорости жидкости, Ар - характерное значение перепада давления. Например, в ка-
честве величины и можно выбрать среднее по сечению значение осевой составляющей скорости жидкости на входе в трубу, а в качестве I длину трубы. О выборе величин V и Ар речь идет ниже. Поскольку все слагаемые в уравнении неразрывности должны иметь одинаковый порядок величины, безразмерный параметр VI/(и Я) имеет порядок единицы. Будем считать, что параметры Ь и V связаны при помощи соотношения:
Я _ У
I Ц
В том случае, если расход жидкости, поступающей в трубу, имеет такой же порядок величины как и расход жидкости через ее боковую поверхность, то величина V может рассматриваться как характерное значение радиальной составляющей скорости жидкости на стенке трубы. Заметим также, что входящий в уравнение Навье - Стокса член, содержащий давление жидкости, должен иметь такой же порядок величины, как и наибольший из оставшихся членов. Поэтому безразмерная величина VЯАр/(^^U2) имеет порядок единицы. В этом можно убедиться и несколько иначе, используя для приближенной оценки перепада давления на участке трубы длины I уравнение Пуазейля. Положим:
» ^и2
г ЯУ
В результате перехода к безразмерным переменным система уравнений гидромеханики запишется следующим образом:
V, +- + и2 = 0,
Яе^иГ + ии2) = —р2 + игг + у + ,
(1)
Яе:
■ + = —рг+Я$ (Vгг +7—-)+^
Здесь Яе = ■
число Рейнольдса, определенное по
среднему значению осевой составляющей скорости жидкости на входе в трубу и радиусу трубы, уЯ = Яе - £ (где £ = Я) - число Рейнольдса, определенное по радиальной составляющей скорости жидкости на стенке трубы. При записи уравнений гидродинамики в безразмерной форме значок «тильда» над безразмерными величинами для упрощения обозначений не ставились. Для придания уравнениям более компактной формы записи производные по координатам обозначаются при помощи подстрочных индексов. Например,
ду ди
— =vГ, — = и2 и т.п.
дг ' дг *
Сформулируем граничные условия для системы уравнений (1). Эти условия выставляются на оси трубы и на стенках трубы. На оси трубы радиальная составляющая скорости жидкости, а также производная по г от осевой составляющей скорости не должны иметь особенностей:
М < 00, 1иг1 < ОО при Г = 0.
Радиальную составляющую скорости жидкости на стенках трубы будем считать известной величиной, зависящей от координаты г:
v|г= 1 = vw(г).
Как уже говорилось, в некоторых случаях зависимость vw(г) может определяться из уравнения Дарси. Этот случай будет рассмотрен ниже.
Продольная составляющая скорости жидкости на стенке определяется из условия проскальзывания. В безразмерных переменных это условие можно записать так:
И | у — " --у | у — " .
(2)
Здесь 5 -
д
Будем считать, что число Рейнольдса й е„, является малым как по сравнению с единицей, так и по сравнению с й е. Если оба параметра й е„, и й е имеют одинаковый порядок величины, то изложенные ниже результаты становятся непригодными.
Решение системы уравнений (1) будем искать в виде разложения в ряд по степеням малого параметра й е№:
и - 0йе£и(Ч ^ - „Яе^М р - 2» 0йе5р(п).
(3)
Уравнения для коэффициентов разложений можно получить, если подставить выражения (3) в уравнения (1) и приравнять коэффициенты в левой и правой частях при одинаковых степенях й е№. В первом приближении получаем:
,( 0 )+^ + г4° )- о ,
о-_ р(° ) + м(у) + р(0)- 0.
(4)
Подстановка разложений (3) в граничные условия дает:
|г?( 0 )| < оо , м
V 0 )|
,( 0 )
при ,
_ " - 1^00,
Л 0 )|
( )| |г=1
( )
р(0)( 0) - --
Интегрируя (6) с учетом условия (7), получа-
ем:
В результате выражение для продольной составляющей скорости можно записать так:
Интегрируя уравнение для давления второй раз, находим:
р ( 0)-Р(0) + (/070Ч^2-|).
Рассмотрим теперь случай, когда протекание жидкости через стенку трубы определяется законом Дарси. Если перейти к безразмерным переменным как указано выше, закон Дарси можно сформулировать следующим образом:
к1г
V - —гРг.
К* ^г
Интегрируя это уравнение с учетом того, что в силу закона сохранения массы V - у№/г, получаем:
_ к12&р ^ - я4 ¡п^/Д).
Здесь Др - р - р р ! - давление жидкости с наружной стороны трубы, й" - наружный радиус трубы. Принимая во внимание соотношение (6), получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для давления жидкости:
р^-Я^р-р^. (8)
16(й/я2)
Здесь Я 2 - --, , (, / . '——. Будем считать,
( )( / ) ( / )
что величина постоянна. В этом случае уравнение (8) можно проинтегрировать. Принимая во внимание, что на входе в трубу должно выполняться условие (6), находим:
" -[£с/г(Яг)-5 /г (Я г)]. (9)
( )
Интегрирование второго уравнения из системы (4) с указанными граничными условиями позволяет найти продольную составляющую скорости жидкости:
(о)
и(0) - -Ег_( 1 + 2 5-г2 ).
4 4 7
Первое из уравнений (4) служит для нахождения поперечной составляющей скорости жидкости:
( )
17(0)-^_г[2 ( 1 + 2 5)г-г3 ]. (5) Как видно из этого выражения, зависимость радиальной составляющей скорости от расстояния до оси трубы является немонотонной. Максимум достигается при г - ^2 ( 1 + 2 5)/3. Согласно (5) давление жидкости и скорость протекания через стенку связаны
между собой при помощи соотношения:
( )
^-^Н 1 + 45). (6)
Выражение (5) для радиальной составляющей скорости можно переписать так:
— - г( 1 + 1-У2).
IV V 1+45/
Если зависимость ( ) известна, то соотношение (6) можно рассматривать как уравнение для нахождения давления. В силу определения безразмерных переменных должно выполняться условие на входе в трубу:
/и^—0гйг - 1 Это соотношение означает, что характерное значение продольной составляющей скорости представляет собой отношение расхода жидкости, поступающей в трубу, к поперечному сечению трубы. Отсюда вытекает, что:
~ " (7)
( )
Здесь введено следующее обозначение:
Если (9) продифференцировать
по и полученное выражение подставить в формулу для осевой составляющей скорости, получим:
м(0) - ^ [ с/(Яг) - £5/г(Яг)]( 1 + 2 5 - г2 ). (10) Выражение для радиальной составляющей скорости будет иметь вид:
!7(0) - ^ [ £ с /(Я г) - 5 /г(Яг)]г[2 ( 1 + 2 5) - г2 ].
(11)
Располагая выражениями для составляющих скорости жидкости, нетрудно вычислить расход жидкости на выходе из трубки и расход жидкости через боковую поверхность трубки . Обозначим через расход жидкости, поступающей в трубку. Тогда величину можно найти при помощи формулы:
<2-<г 0( с/гЯ-£5 /Я). (12)
Расход жидкости через боковую поверхность определяется из уравнения баланса массы жидкости:
<? + <? 1-<г 0.
Введем обозначение: / . Параметр показывает, какая доля жидкости, поступившей в трубку, покидает ее на конце трубки. Иными словами, чем больше этот параметр, тем меньше отток жидкости через боковую поверхность. Безразмерный параметр пропорционален безразмерной длине / трубки. Безразмерный параметр £ пропорционален разности давлений в на входе в трубку и снаружи трубки, т.е. движущей силе процесса фильтрации жидкости через боковую поверхность на входе в трубку. Рисунок 1 показывает, как изменяется отношение расхода жидкости, покидающей трубу, к расходу жидкости, поступающей в трубу, в зависимости от длины трубы при различных значениях параметра ( ).
П
Рисунок.1. Зависимости т](А) при % = 1 . 1, 1 . 5, 2 . 0, 2 . 5. Чем больше значение параметра тем ниже располагается график.
Второе приближение
Уравнения второго приближения можно получить следующим путем. В уравнения (1) надо подставить разложения (3) и приравнять коэффициенты при . В результате получим:
v(1 + ) = 0,
и.(Г) — р(1 ) = v( г )и(° ) + и(0 )и(° ), (13)
Г р.1) = 0.
Первое из этих уравнений получается при помощи уравнения неразрывности, второе и третье при помощи проекций уравнения Навье-Стокса на оси г и г цилиндрической системы координат.
Граничные условия для уравнений второго приближения имеют следующий вид:
\и(1 ^ < ОО при Г = 0, 1 ^<00 при г = 0, (14)
и( 1 = — 8и(1) при г = 1,
Первые два из этих соотношений представляют собой условия на оси трубы. Третье получается из условия проскальзывания на стенках трубы. Для нахождения поправки к давлению в первом приближении понадобятся дополнительные условия. Одно из них связывает между собой радиальную составляющую скорости жидкости на стенке и давление жидкости. Оно получается при помощи уравнения Дарси. Последние два соотношения представляют собой условия на входе в трубу.
(Л 5 Я2 ( 1+45)р(1)
V( = 46 , при г = 1, ¡1и( 1)( 0 ,г)г йг = 0 , р(1)( 0) = 0.
Подставив полученные в предыдущем разделе выражения для и(0) и v(0) в фигурирующие в правой части второго из уравнений (1.13) слагаемые, получим следующее соотношение:
v(-0)иf + и(0)и(0) = [2 (1 + 2 8)2 — 2 (1 + 2 8)г2 + г4].
Подставив теперь это выражение во второе из уравнений (13) и проинтегрировав полученное таким путем обыкновенное дифференциальное уравнение с использованием граничных условий, для продольной составляющей скорости получим следующее выражение:
(1) (0) (0) и( 1 = —Е^( 1 + 2 8 —г2 —( 2 9 + 114:8 +
4 ' 2304 4
3 6082 + 2 8883 ) + 3 6( 1 + 2 8)2 г2 — 9( 1 + 2 8)г4 + 2 г6].
Точнее говоря, это соотношение представляет собой поправку к первому приближению. Подставив полученное выражение в первое из уравнений (13) и проинтегрировав полученное таким путем уравнение, найдем радиальную составляющую скорости:
(D (Р^Р^) v(D =Р^[2(1 + 28) -r2]r+ --^ [2(29 + 1748 +
4 L 4 ' 1 9216 L 4
3 6082 + 28883) - 3 6( 1 + 28)2r2 + 6( 1 + 28)r4 - r6]r.
В первом приближении давление жидкости р(0) вычисляется по формуле (9). Поправка к первому приближению р( 1)1 может быть найдена при помощи граничного условия на стенке трубы, которое связывает между собой эту поправку и радиальную составляющую скорости жидкости на стенке. Введем в рассмотрение новую независимую переменную по формуле: . При помощи формулы (9) нетрудно получить следующее выражение:
(pfp(f), = [(^2 + ^ 2 О - 2 Ss h(2 о].
Обыкновенное дифференциальное уравнение для величины р( 1)1 будет иметь вид:
= -(""Zy 52 ^ 2 + 1)ch( 2 0-2 Ss h( 2 О]+р(1).
Общее решение этого линейного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:
р( ° = 2{7a+:sT [Ssh(2t) - ^ ch(2О] + CiCht + C2SЦ.
Здесь с1 и с2 - постоянные интегрирования. Они могут быть найдены при помощи последних двух из соотношений (14). В результате для расчета р(1) будем иметь следующую формулу: р( 1 = !■(2Ssh(2 t) - Ss ю - (S2 + 1 )( Ch(2О - Cht)].
Подстановка полученного выражения в формулу для расчета поправки к продольной составляющей скорости дает:
и( 1 =7i{^{(SCh( -(1 + S2)sht)(3 + 128 + 1682)( 1 + 28- r2 ) + ((1^(20~2^(20) [( 7 + 428 + 12082 + 9683) - 4882r2 - 9( 1 + 28)r4 + 2r6]}.
Выражение для поправки к радиальной составляющей скорости имеет вид:
° = 3 + 128 + 1682)[( 1 + S2)Cht -
Ss h(][2(1 + 28) - r2] + [2^(20-(1H2)cK20] [( 1 4 + 848 + 24082 + 19283) - 4882r2 - 6( 1 + 28)r4 + r6]}r.
Влияние числа Рейнольдса, вычисленного по скорости протекания на стенке, на продольную и поперечную составляющие скорости жидкости, показано на рисунках 2 и 3 соответственно. При увеличении этого параметра продольная составляющая скорости на оси трубы увеличивается, а на стенке уменьшается. Уменьшение скорости проскальзывания связано с уменьшением производной от продольной составляющей скорости по радиальной координате. Радиальная составляющая скорости при увеличении числа Рейнольдса увеличивается. Точка, где достигается максимальное значение этой величины при увеличении числа Рейнольдса смещается в сторону оси.
0.4 0.3 0.2 0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рисунок.2. Профили осевой составляющей скорости жидкости
при пяти различных значениях параметра й е„ (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8).Графики построены/ при следующих значениях параметров: г - 0 . 1, Я - 1, £ - 8, 5 - 0 . 0 5.
л! =
(1 =
( / ) ( / ) ( ( ) )
2 Я 2 -\1 ¡ п(Я ! /Я )
Величины и , и , связаны между собой
так:
Я-:?=*, £-£^ТТ45.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рисунок.3. Профили радиальной составляющей скорости жидкости при пяти различных значениях параметра й е„ (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8).Графики построены/ при следующих значениях параметров: г - 0 . 0 1, Я - 1, £ - 2 0, 5 - 0.05.
Выражения для величин и содержат параметр 5. Чтобы проиллюстрировать влияние этого параметра на вид зависимости продольной и радиальной составляющих скорости от радиальной координаты введем в рассмотрение два других параметра и , которые не зависят от . Эти величины определим по формулам:
16(й/Я2)
Рисунки 4 и 5, иллюстрирующие влияние длины проскальзывания на профили продольной и поперечной составляющих скорости, построены при фиксированных значениях и . При увеличении в осевой зоне продольная составляющая скорости уменьшается, а в окрестности стенки увеличивается. Радиальная составляющая скорости при увеличении уменьшается, а точка, где достигается максимальное значение этой величины, смещается в сторону стенки.
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рисунок.4. Профили осевой составляющей скорости жидкости при пяти различных значениях параметра 5 (0, 0.02, 0.04, 0.06, 0.08).Графики построены/ при следующих значениях параметров: г - 0 . 1, Я" - 1, £" - 4, й е„ - 0 . 5.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рисунок.5. Профили осевой составляющей скорости жидкости при пяти различных значениях параметра 5 (0, 0.04, 0.08, 0.12, 0.16).Графики построены/ при следующих значениях параметров: г - 0 . 0 1, Я" - 1, £" - 8, й е„ - 0. 5.
Вместо формулы (12), позволяющей найти расход жидкости, покидающей трубу в первом приближении, во втором приближении получаем следующее соотношение:
Ч - с/гЯ - £5 /Я + й е№^16г[(£сггЯ - ( 1 + ^Я) + "(( 1 + £2)5 /г(2 Я)-2 £с/г(2 Я))].
При помощи этой формулы построен рисунок 6. Рисунок 6 показывает, что при увеличении числа Рейнольдса при прочих равных условиях отток жидкости через боковую поверхность происходит быстрее. Чем больше й е„„ тем ниже располагается график. Такое же влияние имеет и параметр 5 (безразмерная длина проскальзывания). Чем больше этот параметр, тем быстрее убывает величина 4.
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Рисунок.6. Влияние числа Рейнольдса на зависимость между отношением расходов жидкости, покидающей трубу и поступающей в трубу и ее длиной. Графики построены/ при пяти различны/х значениях й е„ (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8). £" - 1 . 1, 5 - 0 . 0 5.
Заключение
В работе получены явные аналитические выражения, которые позволяют рассчитать изменение продольной и радиальной составляющих скорости по поперечному сечению трубы с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания на стенках. Получены также формулы для расчета изменения давления жидкости по длине трубы и соотношения расходов жидкости, поступающей в трубу и покидающей ее. Эти результаты могут использоваться для разработки методов расчета аппаратов мембранного разделения.
и
V
и
Литература
1. Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls. // J. Appl. Phys. 1953. V. 24. N 9. P. 12321235.
2. Чесноков Ю.Г., Марцулевич Н.А. Ламинарное движение жидкостей в мембранных волокнах // Журн. прикл. химии. 1989. Т. 62. № 9. С. 1954-1961.
3. Регирер С.А. О приближенной теории течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с проницаемыми стенками. // Журн. техн. физ. 1960. Т. 30. № 6. С. 639-643.
4. Чесноков Ю.Г. Изменение характеристик пульсационного течения жидкости по длине канала с проницаемыми стенками // Журн. прикл. химии. 1994. Т. 67. №. 3 С. 423-432.
5. Ghidossi R, Veyret D., Moulin P. Computational fluid dynamics applied to membranes: State of the art and opportunities. // Chem. Eng. Processing. 2006. V. 45. P. 437-454.
6. Kerr G, Jegatheesan V. A review of computational fluid dynamics applications in pressure-driven membrane filtration. // Rev. Environ. Sci. Biotechnol. 2014. V. 13. P. 183-201.
7. Lauga E, Brenner M.P., Stone H.A. Microfluidics: the no-slip boundary condition. In: Handbook of experimental fluid mechanics / Ed. Tropea C, Yarin A.L., Foss J.F. Springer, 2007. P. 1219-1240.
8. Neto C, Evans D.R., Bonaccurso E, Butt H.-J, Craig V.S.J. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies // Rep. Prog. Phys. 2005. V. 68. P. 2859-2897.
9. Rothstein J.P. Slip on superhydrophobic surfaces // Annu. Rev. Fluid Mech. 2010. V. 42. N 1. P. 89-109.
10. Whitby M, Quirke N Fluid flow in carbon nanotubes and nanopipes // Nat. Nano. 2007. V. 2. N .2. P. 87-94.
11. Majumder M, Choppa N, Hinds B.J. Mass transport through carbon nanotube membranes in three different regimes: ionic diffusion and gas and liquid flow // ACS Nano. 2011. V. 5. N 5. P. 3867-3877.
12. Singh R., Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance I. Channel flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22. N 5. P. 721-729.
13. Singh R, Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance II. Tube flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22. N 5. P. 731-737.
14. Cox. B.J, Hill J.M. Flow through a circular tube with permeable Navier slip boundary // Nanoscale Research Letters. 2011. V. 6:389.
15. Farooq J,, Chung J.D., Mushtaq M., Lu D, Ramazan M, Farooq U. Influence of slip velocity on the flow of viscous fluid through a porous medium in a permeable tube with variable bulk flow rate // Results in Physics. 2018. V. 11. P. 861-868.
References
1. Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls. // J. Appl. Phys. 1953. V. 24. N 9. P. 12321235.
2. Chesnokov Y.G., Martsulevcch N.A. Laminar-flow of a liquids in membrane fibers // Russian Journal of Applied Chemistry. 1989. V. 62. N. 9. P. 1817-1826
3. Regirer S.A. O priblizhennoj teorii techenija vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti v trubah s pronicaemymi stenkami. // Zhurn. tehn. fiz. 1960. T. 30. № 6. S. 639643.
4. Chesnokov Y.G. Variation of characteristics of a pulsatory flow of a liquid along a planar channel with permeable walls // Russian Journal of Applied Chemistry. 1994. V. 67. N. 3. P. 376-380.
5. Ghidossi R., Veyret D., Moulin P. Computational fluid dynamics applied to membranes: State of the art and opportunities. // Chem. Eng. Processing. 2006. V. 45. P. 437-454.
6. Keir G., Jegatheesan V. A review of computational fluid dynamics applications in pressure-driven membrane filtration. // Rev. Environ. Sci. Biotechnol. 2014. V. 13. P. 183-201.
7. Lauga E., Brenner M.P., Stone H.A. Microfluidics: the no-slip boundary condition. In: Handbook of experimental fluid mechanics / Ed. Tropea C., Yarin A.L., Foss J.F. Springer, 2007. P. 1219-1240.
8. Neto C., Evans D.R., Bonaccurso E., Butt H.-J., Craig V.S.J. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies // Rep. Prog. Phys. 2005. V. 68. P. 2859-2897.
9. Rothstein J.P. Slip on superhydrophobic surfaces // Annu. Rev. Fluid Mech. 2010. V. 42. N 1. P. 89-109.
10. Whitby M., Quirke N. Fluid flow in carbon nanotubes and nanopipes // Nat. Nano. 2007. V. 2. N .2. P. 87-94.
11. Majumder M., Choppa N., Hinds B.J. Mass transport through carbon nanotube membranes in three different regimes: ionic diffusion and gas and liquid flow // ACS Nano. 2011. V. 5. N 5. P. 3867-3877.
12. Singh R., Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance I. Channel flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22. N 5. P. 721-729.
13. Singh R., Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance II. Tube flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22. N 5. P. 731-737.
14. Cox. B.J., Hill J.M. Flow through a circular tube with permeable Navier slip boundary // Nanoscale Research Letters. 2011. V. 6:389.
15. Farooq J., Chung J.D., Mushtaq M., Lu D., Ramazan M., Farooq U. Influence of slip velocity on the flow of viscous fluid through a porous medium in a permeable tube with variable bulk flow rate // Results in Physics. 2018. V. 11. P. 861-868.
