УДК 532.516 А. П. Корнилков
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ С УПРУГО-ЭЛАСТИЧНЫМИ СТЕНКАМИ
Рассмотрена специфика решения гидродинамических задач применительно к трубам с эластичным характером стенки. Приведена линеаризованная система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в трубе, которая позволяет установить появление радиальной составляющей колебаний стенки, при движении пульсовой волны по трубе. Показано, что с ее использованием можно осуществить регистрацию всех возможных отклонений исходного режима движения жидкости, вызванных различного рода отклонениями.
Ключевые слова: Вязкая жидкость, эластичная стенка, уравнение Новье— Стокса.
Aleksey P. Kornilkov. FOR VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLOW THROUGH PIPES WITH ELASTIC-ELASTIC WALLS (Far Eastern State Academy for Social and Humanity Studies).
Specifics of the decision of hydrodynamic tasks with reference to pipes with elastic character of a wall is considered. The linearized system of the equations of movement of viscous incompressible liquid is given in a pipe which allows to establish emergence of a radial component of fluctuations of a wall, at movement of a pulse wave on a pipe. It is shown that with its use it is possible to carry out registration of all possible deviations of an initial mode of movement of the liquid, caused by different deviations.
Keywords: Viscous liquid, elastic wall, Nov'e—Stokes equation.
Большая часть "классических" технических задач течения жидкости по трубам базируются на утверждении о том, что стенка трубки абсолютно жёсткая. Однако при решении огромного числа практических задач это условие не выполняется, и становится необходимым учитывать эластичный характер стенки трубки.
При движении жидкости по трубе с упругим характером стенки большое практическое значение имеет учет появляющейся радиальной составляющей скорости Vr, вследствие чего появляется возможность регистрации различных отклонений исходного режима движения жидкости.
В гидродинамике течение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье—Стокса, которые в совокупности с уравнениями неразрывности, состояния и теплопроводности образуют замкнутую систему [4; 5]. Однако её решение в общем виде сопряжено с практически непреодолимыми математическими сложностями, главным образом за счет нелинейности уравнений. Тем не менее, эти сложности могут быть преодолены, если речь идет о решении конкретных практических задач.
Для упрощения классических уравнений, приведённых в работах [4— 6] необходимо сформулировать ряд условий:
- течение жидкости является осесимметричным, то есть каждое осевое сечение остается круговым в течении всего времени движения стенок сосуда. Радиус трубки R является функцией времени t и осевой координаты z;
- стенка сосуда перемещается только вдоль радиального направления;
- трубка растягивается и сжимается вдоль оси цилиндра, которая фиксирована во времени;
- предполагается, что давление постоянно на каждом сечении.
Будем использовать цилиндрическую систему координат [7]
ди.
+и„
ди„
1 ^ р дх
д1 '4 д2и
3 8х2
дх
д2и„
дг
+и„
и
дг
1 дН 1 д
- + -• г
дг
3 дх
ди^+и^
дг г у
(1)
диг +и диг
1 дР р дг
д1
4 дЧ^ з’ дг2
+ -
дг
4 диг
■и
диг
дх
(1 дих диг Л
Зг дг 3 г
дх
3 дг дх
(2)
где их и иг — проекции скорости движения жидкости на оси х и г ; х — осевая координата; г — радиальная координата;
Ф — угловая координата предполагается равной нулю при отсутстви-закручивания потока;
р — плотность жидкости;
V — кинематическая вязкость жидкости;
Р — давление.
Представленные уравнения (1) и (2) — линеаризованный вариант уравнений Навье—Стокса по координатам х и г .
Дальнейшие упрощения, позволяют принять вязкость среды постоянной, можно сразу перейти к уравнению неразрывности, которое в той же системе цилиндрических координат примет вид
— + р ■ + р- — + р- + и• — + и• — = о. (3)
с! дг г дх дг дх
Дальнейшее упрощение уравнений (1)—(3) основано на пренебрежении членами высоких порядков. В итоге имеем [12]
он
р0 дх р0г0 ’
-д-^=Е (4)
& 45 дх
где Р — осредненное давление по сечению трубки;
V = 0/ 2 — средняя скорость в сечении трубки радиуса г0 при задан-
/71Г0
ном расходе среды Q;
Ер — приведенный модуль упругости стенки трубки;
ГдиЛ
— нестационарное касательное напряжение на
^он = Ро -V
дг
- ди і
внутренней поверхности стенки, а —^|г=г0 — градиент скорости на стенке
сосуда радиуса г0.
В наибольшей степени определяют режим движения среды в трубке последние два параметра, входящие в систему уравнений (4)
Для определения параметра используются приведённые в работах
[1], соотношения
(5)
V
9 у
8Е'Ро
где с0 — скорость звука в неограниченной среде заданных свойств; с — скорость звука в волноводе с упругими стенками;
Е
Е =----- — модуль упругости материала стенки;
!-^п
уп — коэффициент Пуассона;
Р0 — сжимаемость среды в трубке;
5 — толщина стенки.
/| г=г0
Учитывая, что Сп =
РоРо
имеем
гс л2
‘■'о
= 1 + ■
2г„
ЪЕ’ Ро
и далее
Е* =
Е
2 г 1+- °
Ж'Д
Оценивая второй параметр базовой системы (4), а именно т он, отметим, что его можно принять равным т при установившемся режиме движения среды, если следовать гипотезе квазистационарности [6]. В соответствии с этой гипотезой при малых частотах распределение скоростей остается таким же, как и при установившемся движении. В этой связи речь идет об осреднении по периметру касательных напряжений на внутренней стенке волновода, тогда
(7)
где X — коэффициент гидравлического сопротивления в формуле Дарси— ейсбаха, который можно определить по двум главным параметрам: шероховатости стенки трубки и числу Рейнольдса Яе.
С учетом сказанного, приводим систему уравнений (4) к ее базовому виду, более удобному для дальнейшего практического использования:
дР дУ
— = Ро------+ А-У,
дх д/
д¥_
дх
Е„
пр
дР
дt
(8)
где А--
Хр0У
4 к
— осредненныи по сечению диссипативныи параметр потерь
энергии движения среды в волноводе на трение;
Линеаризованная система уравнений (8) может быть использована для анализа режима движения жидкости в трубках любого типа, причем данная система уравнений позволяет моделировать различные возможные отклонения от номинального режима путем изменения значений входящих в нее параметров.
1
С
он
1
Литература
1. Заремба Н. П., Шлык Ю. К., Кузнецов В. А. Специфика развития волнового процесса в трубопроводе с упругими стенками // Изв. вузов. «Нефть и Газ» ТюмГНГУ. 2006. № 3. С. 61—66.
2. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
3. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: справочник: В 2 кн. / Под. ред. д.т.н., проф. В. В. Клюева. Кн. 2. М.: Машиностроение, 1976. 328 с.
4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.
5. Джеймсон Э. Мюллер Т. и др. Численные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1981. 408 с.
6. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. 296 с.
7. Попов Д. Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.: Машиностроение, 1976. 424 с.
8. Бегун П. И., Афонин П. Н. Моделирование в биомеханике. М.: Высш. шк., 2004.
390 с.
9. Биофизические характеристики тканей человека: Справ. / Березовский В. А., Ко-лотилов Н. Н.; Отв. ред. и авт. предисл. П. Г. Костюк. Киев: Наук. думка, 1990. 224 с.
10. Ольсон Г. Динамические аналогии. М.: Изд-во иностр. лит., 1947. 224 с.