Течение вязкоупругой жидкости модели FENE-P в несимметричном канале с сужением 8:1, 16:1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2

Э. Р. Кутузова, Ф. Х. Тазюков

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ МОДЕЛИ FENE-P В НЕСИММЕТРИЧНОМ КАНАЛЕ С СУЖЕНИЕМ 8:1, 16:1

Ключевые слова: несимметричный канал, реологическое конститутивное соотношение FENE-P, сужение 8:1.

В настоящей статье рассматривается поведение вязкоупругой жидкости в несимметричном канале для сужения 8:1 и 16:1. Результаты моделирования сравниваются с результатами, полученными для течения ньютоновской жидкости в таких же каналах. В качестве реологического конститутивного соотношения выбрана модель FENE-P.

Keywords: asymmetrical channel, FENE-P rheological constitutive relation, 8:1 contraction.

At the present paper the behavior of viscoelastic liquid flow through asymmetric channel with 8:1 and 16:1 contraction is considered. Modeling results are compared with the results for Newtonian liquid flow at the same channels. As a rheological constitutive relation the FENE-P is chosen.

Введение

Изучение поведения течений вязкоупругих жидкостей в каналах различной конфигурации представляет особый практический интерес для производства полимеров. Ранее было рассмотрено течение жидкости модели FENE-P в несимметричном плоском 4:1 канале. Выбранный коэффициент сужения не случаен - уже много лет подряд задачи с такой формой канала являются эталонными [1].

Представляет определенный интерес смоделировать течение вязкоупругой жидкости для канала с другими коэффициентами сужения.

В данной статье рассматривается течение неньютоновской жидкости модели FENE-P в несимметричном канале с двумя вариантами смещения выходной части: смещение относительно оси на половину ширины канала и смещение относительно оси на половину канала.

Математическая постановка задачи

В безразмерном виде уравнения движения запишутся в следующем виде:

ди ди ди\ дР дтрХ дтР

1 dt dx dy dx dx dy M

(dv

Re I^T +u ^-vx" ) ^ir + ^F + ^+P

\dt dx dy/ dx dx dy

du dv — + — =0 dx dy

dv

'dy

dP dT?y

dTyPy

d2u d2u

dx2 dy2 d2v d2v dx2 dy2

Re= ^ We=—, p=

П L Щ+П2

Уравнения эволюции тензора конфигурации и

напряжений:

^5Axx dAxx dAx\ du xx =2We—A + dx

1

We I —-+u——+v- „ dt dx dy

du xy +2We—Axy--dy

1 [Axx+Ayy] 1-J_

1 3L2 L2

/dAyy dAyy dAyy\ dv xx We I —- +u —— +v——) =2We—Axx+ dt dx dy J dx

du xy +2We —Axy-dy

Ax

1

1 [Axx+Ayy ] 1-J2

3L2 '

L

dv

(dAxy dAxy dAxy\ .. xx We [—-+u—— +v——) =2We—A + \ dt dx dy J dx

du yy A +2We—Ayy-dy

1 [Axx+Ayy]

1- 3L2

= M

Txx - We

=

Tyy - We

\

1 [Axx+Ayy] 1-1 I- 2 I 2

/

3L2

\

A

УУ

1 [Axx+Ayy] 1-J_

1--I 2

/

3L2

TYY -

M

We

\

L7

1 [Axx+Ayy]

1- 3L2

В уравнения в безразмерном виде входят числа Рейнольдса, Вайссенберга и коэффициент ретардации[3]:

ре=РУЪ, we=

П ^ щ+П2

Для расчетов используется неравномерная сетка со сгущением в области сужения канала.

Расчеты проводились для значений Яе<<1, We=0.0H350, р=1/9 с помощью метода контрольных объемов на неравномерной сетке со сгущением вблизи острой кромки канала 300:1 в программном комплексе ОреиРоаш.

Граничные и начальные условия

На входе в канал задаются следующие условия:

и=и0=сот% у=¥0=0.

1

1

+

Длина широкой части канала принимается равной 15Н1, где Н1- высота входной части канала, для обеспечения формирования профиля скорости П0.

На выходе из канала:

- = 0.

дх

Длина узкой части канала принимается равной 10Н1 - для обеспечения установления течения.

На твердых стенках канала задается условие прилипания:

и = 0, V = 0.

В качестве начальных условий принимается равенство нулю скоростей во всей области за исключением входного течения.

Результаты

На рис. 1-4 представлены результаты моделирования для сужения 8:1.

Рис. 1 - Контуры линий тока для модели ньютоновской жидкости для смещения на ширину узкой части канала

Результаты моделирования, для симметричного и несимметричного каналов с различными вариантами сужениями (4:1, 8:1, 16:1) показали, что для ньютоновской жидкости существует образование только углового циркуляционного течения.

We=2

Рис. 2 - Контуры линий тока для модели неньютоновской жидкости для смещения на ширину узкой части канала

Смещение канала на половину ширины выходной части показывает, что в обеих угловых зонах проявляется эффект образования, развития lip vortex и его объединение с угловым течением, хотя, и несимметрично. В нижней части канала весь процесс происходит при меньших значениях числа We. Такое поведение справедливо для обоих видов смещения.

We=4

Рис. 3 - Контуры линий тока для модели неньютоновской жидкости для смещения на ширину узкой части канала

Случай We=100 соответствует моменту совместного вращения углового течения и lip vortex как для верхней, так и для нижней частей канала. Такая картина характерная для широкого диапазона значений числа We от 3 до 250.

We=150

Рис. 4 - Контуры линий тока для модели неньютоновской жидкости для смещения на ширину узкой части канала

Увеличение значений упругости приводит к тому, что в верхней и нижней части канала увеличение угловых зон в размерах.

Результаты моделирования течения для сужения 8:1 показали следующее:

• Для смещения на половину ширины канала наблюдается симметричное возникновение и развитие течения lip vortex для верхней и нижней частей канала.

• Для смещения на ширину канала -симметрия в возникновении и развитии lip vortex отсутствует.

Для канала с сужением 16:1 результаты моделирования имеют существенные отличия от каналов с другими коэффициентами сужениями, к примеру, 4:1 и 8:1. Для канала со смещением на половину ширины узкой части канала развитие как углового течения, так и течения lip vortex происходит симметрично для верхней и нижней части канала. При таком сужении смещение всего лишь на половину ширины канала можно считать незначительным.

Сужение на половину ширины канала дает результаты, схожие с сужением 8:1, развитие lip vortex и углового течения, а так же их объединение происходит несимметрично для верхней и узкой части канала.

Результаты

В данной статье рассмотрены результаты численного моделирования для модели вязкоупругой жидкости FENE-P. Графически было

продемонстрировано влияние коэффициента сужения на поведение жидкости. Приведены результаты моделирования для каналов с сужениями 8:1 и 16:1.

Литература

1. Ф.Х. Тазюков, Э.Р. Кутузова, Б.А. Снегирев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 18, 120123 (2014).

2. Ф.Х. Тазюков, Ф.А. Гарифуллин, Э.Р. Кутузова, Вестник Казанского технологического университета,17, 16, 97-10 2(2014).

3. Э.Р. Кутузова, H.A. Halaf, С.А. Кутузов, IX Школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова, Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении (Казань, Россия, Сентябрь 10-12, 2014), Академэнерго, Казань, 2014, С. 117-119.

© Э. Р. Кутузова - ассистент каф. АССОИ КНИТУ, [email protected]; Ф. Х. Тазюков - д.т.н., профессор каф. ТМиСМ КНИТУ, [email protected].

© E. R. Kutuzova - assistant of the Automated Data Acquisition and Processing Systems department, KNRTU, [email protected]; F. Kh. Tazuykov - Ph.D, Professor of the Theoretical Mechanics and Strength Materials department, KNRTU, [email protected].