CC BY
41
СЖАТИЕ СВЕТА В ДВУХАТОМНОЙ МОДЕЛИ ДЖЕЙНСА-КАММИНГСА С НЕВЫРОЖДЕННЫМИ ДВУХФОТОННЫМИ ПЕРЕХОДАМИ
Евгений Константинович Башкиров (профессор, e-mail: bash@ssu.samara.ru), Светлана Петровна Липатова (магистр, e-mail: bash@ssu.samara.ru) Самарский государственный университет
Аннотация
Исследованы особенности сжатия света в системе двух двухуровневых атомов с вырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующих с модой когерентного электромагнитного поля в идеальном резонаторе. В результате численного моделирования параметров сжатия показано, что в случае двухфотонных переходов максимальная степень сжатия поля значительно превосходит соответствующую величину для однофотонного случая.
Ключевые слова: двухуровневый атом, вырожденные двухфотонные переходы, сжатие света.
Одним из наиболее перспективных направлений в современной квантовой оптике является исследование сжатых состояний электромагнитного поля. Явление сжатия света изучено в настоящее время как теоретически, так и экспериментально в огромном количестве работ (см. ссылки в обзорах и монографиях [1],[2]). Такие состояния привлекают особое внимание не только потому, что они позволяют глубже понять природу электромагнитного поля, но и благодаря их широким возможным применениям для высокоточных оптических измерений, оптической связи, квантовых вычислений и др. [2]. Экспериментально сжатие света было впервые реализовано в 1985 году в нелинейном процессе четырехволнового смешения света в оптическом резонаторе [3]. Позднее для генерации сжатых состояний электромагнитного поля использовались различные нелинейные оптические процессы. В настоящее время выполнено более 40 различных экспериментов по наблюдению сжатых состояний света в различных нелинейных оптических средах, в том числе для пучков атомов в резонаторах [1]. Для атомов в резонаторах эксперименты по генерации сжатого света в настоящее время выполнены только для случая высоких плотностей атомов. При наличии точного резонанса моды резонаторного поля с атомным переходом такая система атомов представляет собой сильно нелинейную среду, в которой возможна генерация сжатого света, регистрируемого экспериментально. Имеются две группы экспериментов по наблюдению сжатых состояний света для пучков атомов в резонаторе. В эксперименте Орозко с соавторами [4] использовались плотные пучки атомов №, а в эксперименте X. Бэчера с соавторами [5] использовались атомные пучки Ba, создающие оптически тонкие слои атомов в резонаторе. В обоих экспериментах не удалось добиться заметного практически значимого подавления шума (уменьшение уровня шума для резонаторного поля составило примерно 20 %). При этом авторам не удалось проинтерпретировать результаты экспериментов в рамках обычной полуклассической модели нелинейной среды, основанной на уравнениях Максвелла-Блоха [6]. Таким образом, для адекватного описания особенностей атом-полевого взаимодействия в реализованных экс-
периментах необходим полный анализ квантовой динамики атомной и полевой подсистем. Хорошо известно, что простейшей нетривиальной моделью, позволяющей описать квантовые эффекты излучения атома в резонаторе, является модель Джейнса-Каммингса, описывающая двухуровневый атом, взаимодействующий с выделенной модой квантованного электромагнитного поля в идеальном резонаторе. В рамках этой модели и ее простейших обобщений, учитывающих наличие дополнительного третьего атомного уровня, многофотонных переходов, многомодовости квантового электромагнитного поля и второго двух- или трехуровневого атома, как оказалось, могут быть описаны практически все основные квантовые эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом, в том числе и сжатие света [7]. В настоящее время интерес к таким моделям перестал быть чисто теоретическим, поскольку реализация одноатомного однофотонного и двухфо-тонного мазера и микролазера [8],[9] предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики. Модель Джейнса-Каммингса с диссипацией была реализована также на ионах в магнитных ловушках, квантовых точках и в сверхпроводящих системах [2]. Для единичных ионов в магнитных ловушках Пауля наблюдалась генерация колебательных сжатых состояний ионов [10].
Возможность сжатия света в модели Джейнса-Каммингса и ее простейших обобщениях анализировалась многими авторами, начиная с работы П. Мейстре и М. Зубайри [11]. Многочисленные ссылки на последующие работы можно найти в обзоре [12] и монографии [1]. Для описания результатов экспериментов по генерации сжатого света пучками атомов в резонаторах [4],[5] естественно рассмотреть многоатомную модель Джейнса-Каммингса. При этом точные решения для временного поведения наблюдаемого поля могут быть получены только в простейшем случае двухатомных систем. Сжатие света в простейшей системе двух двухуровневых атомов с различными типами переходов в идеальном резонаторе в случае вакуумного, коге-
рентного и теплового состояний резонаторного поля было рассмотрено в работах [13]-[16]. При этом для случая, когда в атомах разрешены однофотонные переходы, максимальная степень сжатия для двухатомной модели составляет около 20 %, что находится в согласии с экспериментальными результатами. В настоящее время особое внимание в квантовой оптике и квантовой информатике уделяется многофотонным процессам ввиду высокой степени корреляции испускаемых атомами фотонов [17]. Представляет большой интерес исследовать особенности сжатия света в двухатомной модели Джейнса-Каммингса с невырожденными двухфотонными переходами, так как наличие сильной корреляции между фотонами должно приводить к усилению степени сжатия резонаторного поля. Сжатие света в многофотонной двухатомной модели рассматривалось ранее в [13], [14]. Однако авторы ограничились рассмотрением случая вакуумного или слабого когерентного начального состояния поля (среднее начальное число фотонов в моде п << 1), в то время как в указанных выше экспериментах выполнялось противоположное условие п >> 1.
В настоящей работе нами детально исследованы особенности сжатия света в вырожденной двухфо-тонной двухатомной модели Джейнса-Каммингса для различных начальных интенсивностей резона-торного поля и различных начальных состояний атомной подсистемы. Заметим, что аналогичное исследование для невырожденной двухфотонной модели проведено нами в работе [18].
Рассмотрим систему двух двухуровневых атомов с частотой атомного перехода ю0, взаимодействующих с модой квантового когерентного электромагнитного поля частоты ю посредством двухфотонных невырожденных переходов. Предположим также наличие в системе двухфотонного резонанса ю0 = 2ю. Тогда гамильтониан изучаемой системы в приближении вращающейся волны можно записать в виде 2 2
Н = Пюа+а + £ Йю0К* + £ hg (К+а2 + К-а+2), (1)
]=1 1=1
где а + (а ) - оператор рождения (уничтожения) фотона резонаторной моды, К* - оператор полуразности населенностей в 1 -ом двухуровневом атоме, К+ (К~) - повышающий (понижающий) оператор в 1 -ом двухуровневом атоме и g - константа атом-фотонного взаимодействия. Обозначим через | +) и | -) возбужденное и основное состояния одиночного атома, а через | п) фоковское состояние моды резо-наторного поля. Тогда двухатомная волновая функция есть | у2 ) =| у1 ) | у2 ), где V = +, -.
Пусть атомы приготовлены в начальный момент в произвольной чистой суперпозиции базисных векторов
| ¥(0)) = а\+, +) + Р | +, -) + Г\~+) + 5 | -, -),
где а, р, у, 5 - произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки, а резона-торное поле в когерентном состоянии
и=£ рп \ п).
Здесь ¥п = ехр(-п/2) —= ег^ , где п - среднее
п!
число фотонов в моде, а ф - фаза когерентного состояния.
Точное решение временного уравнения Шредин-гера для модели с гамильтонианом (1) и при выбранных начальных условиях имеет вид
\¥(Г)) = £ (Ап (/)| +, + | п + Вп (Г )| +,п + 2 +
+сп\ -,п+2+а,| -,п+4),
(2)
где
202
Ап С) = 77Т7 (Рп + С С08[2Оп^])а^п -
Щп 20,
■ ет[20п'] (Р + у)^п+2 - ^ ет2 [0п«+4,
02
Вп(/) = - 20- ®1п[20п^]а^п + (С082[0п^]р-2 п
-яп2^]у)Рп+2 -20-е1и[20п^]5^п+4,
а =-
Щп 20„
8т[20п/]а^ + (со82[0п/]у-
-яп2^]Р)^п+2 --20^20^]5^,+4,
^ =- Мп *т2[Ц/] ^ -
о2
Рп 51П[20п^]
20и
(Р + У)Сп+2 +
(д2п + Р,2 сое|20,,^|) 202
где
дп = ^ (п + 1)(п + 2), рп =у1 (п + 3)(п + 4),
и 0п = -^/(р + зп)/ 2 - частоты Раби.
Для того чтобы исследовать возможность сжатия моды поля введем стандартным образом медленно-меняющиеся квадратурные компоненты для моды резонаторного поля
X = (1/2)(аею + а+е~ю ),
X2 = (1/2г)(ае1Ю - а+е-ю ).
Поскольку квадратурные компоненты удовлетворяю коммутационному соотношению [X1, X2 ] = г / 2, соотношение неопределенностей для них принимает вид
п=0
п
(АХ1)2(АХ2)2 > 1/16,
где (AXi )2 = <X2 > - <X >2 (i = 1,2) - дисперсии квадратурных компонент. Как известно, сжатое состояние минимизирует соотношение неопределенностей для квадратурных компонент. При этом для одной из компонент (сжатой) выполняется соотношение (AXi )2 < 1/4 (i = 1,2). Для анализа численных расчетов удобно ввести так называемые параметры сжатия следующим образом
S = ÍAXilbií = 4(AX)' - 1(i = 1,2).
г 1/ 4 г
Условие Si < 0 для какой-либо из квадратурных
компонент будет означать наличие в ней уменьшения флуктуаций поля ниже квантового предела.
Значению Si = — 1. соответствует полное отсутствие
квантовых флуктуаций в соответствующей квадратурной компоненте. Часто в качестве критерия сжатия используют также величину | Si | Х100 %. Тогда
100% сжатию соответствует нулевая неопределенность одной из компонент. В терминах операторов рождения и уничтожения фотонов параметры сжатия можно представить в виде
S = 2<a+a> + 2Re<a2e2lwt > — 4(Re<aelwt >)2, (3)
S2 = 2<a+a> — 2Re<a2e2lwt > — 4(Im<aeíWt >)2. (4)
Используя явное выражение для волновой функции (2) нетрудно вычислить явные временные зависимости параметров сжатия, определяемые формулами (3) и (4). Указанные соотношения не приведены из-за их слишком громоздкого вида. Результаты численного моделирования временной зависимости параметров сжатия для различных значений параметров модели приведены на рис. 1-3.
Si -0,05 -0,10 -0,15 -0,20
0 2 4 6 8 ^
Рис. 1. Длинновременное поведение параметра сжатия S1 для модели с п = 0,2 . Атомы в начальный момент времени находятся в состоянии | -, -).
На рис. 1 показано длинновременное поведение параметра сжатия в первой квадратурной компоненте для малых значений начальной интенсивности резона-торного поля и атомов, приготовленных в начальный момент времени в основном состоянии | -, -).
Из рисунка видно, что для малых начальных интенсивностей поля параметр сжатия S1 принимает для любых моментов времени отрицательное значение, это говорит о стационарном характере сжатия в первой квадратурной компоненте. Естественно, что при этом в любой момент времени S2 > 0 , т.е. во второй квадратурной компоненте сжатие отсутствует при любых начальных интенсив-ностях резонаторного поля. Такое поведение модели заметно отличается от поведения двухатомной однофотонной модели, для которой при выбранных начальных интенсивностях поля параметры сжатия S1 и S2 осциллируют во времени, принимая как положительные, так и отрицательные значения.
При этом максимальная степень сжатия составляет около 20%. При увеличении начальной интенсивности поля число пиков для параметра сжатия S1 в области отрицательных значений сжатие уменьшается (при условии п > 1,5 остается всего один пик в отрицательной области). При этом максимальная степень сжатия в первой квадратурной компоненте в области первого пика достигает 60% в случае п = 1,5 (см. рис.2).
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6
J 1 /
\\ ч a)J !
\ V \ 7
Л А \ V Is /
\ ^— г
V Л
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Рис. 2. Коротковременное поведение параметра сжатия S1 для модели с: a) п = 0,5 б) п = 1,5 в) п = 5 . Атомы в начальный момент времени находятся в состоянии 1-, -).
Таким образом, максимальная степень сжатия в двухфотонной модели почти в три раза превосходит соответствующую величину для однофотонной модели, исследованной в [14-17]. На рис. 3 показано коротковременное поведение параметра сжатия S1 в случае возбужденного начального состояния атомов. Максимальная степень сжатия в первой квадратурной компоненте составляет около 40% и достигается для среднего числа фотонов п = 15. При этом сжатие в первой квадратурной компоненте возникает с запаздыванием во времени. Интересно отметить, что в случае однофотонных переходов сжатие в первой квадратурной компоненте возникает только в случае, когда атомы первоначально приготовлены в основном состоянии [14,15]. Для двух-фотонного случая, как показывает численное моделирование, сжатие возможно при любом начальном состоянии атомов.
I
\, \ ! /
л 1N ^a)
kJ
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 gt
Рис. 3. Коротковременное поведение параметра сжатия S] для модели с: a) n = 8 б) n = 15 в) n = 25. Атомы в начальный момент времени находятся в основном состоянии | +, +)
Таким образом, в настоящей работе мы детально исследовали особенности сжатия света в системе двух атомов с вырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующих с модой когерентного поля в резонаторе без потерь. При этом было показано, что такая нелинейная среда является значительно более выгодной для генерации сжатого света в сравнении с системой атомов, в которой разрешены однофотонные переходы. Поэтому представляло бы интерес проведение эксперимента по наблюдению сжатого света для систем атомов в резонаторе с использованием двухфотонных переходов.
Литература
1. Bachor, H.-A. A Guide to experiments in quantum optics. / H.-A. Bachor, T. Ralph - Weinheim: Wiley - VCH, 2004. - 420 p.
2. Walls, D.F. Quantum optics / D.F. Walls, G. Milburn -Berlin: Springer, 2008. - 651 p.
3. Slusher, R.E. /R.E. Slusher, L.W. Hollberg, B. Yurke, J.C. Mertz and J.F. Valley // Phys. Rev. Lett. - 1985. -V.55. - P. 2409- 2416.
4. Orozco, L.A. Squeezed-state generation in optical bista-bility / L.A. Orozco [and other] // J. Opt. Soc. Am. - 1987. - V.B4. - №11. - P. 1490-1500.
5. Hope, D.M. The atom-cavity system as a generator of quadrature squeezed states / D.M. Hope [and other] // Appl. Phys. - 1992. - V.B55. - №3. - P. 210 - 215.
6. Пластун, И.Л. Исследование влияния нестационарных когерентных эффектов и резонансного самовоздействия на характеристики лазерного пучка, модулированного по частоте / И. Л. Пластун, В. Л. Дербов // Компьютерная оптика. - 2009. - Т.33. - №3. - С. 233 - 239.
7. Shore, B.W. On the Jaynes-Cummings model / B.W. Shore, P.L. Knight // J.Mod.Opt. - 1993. - V.40. - P. 1195-1238.
8. Haroche, S. Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons /S. Haroche, J.-M. Raimond - New York: Oxford University Press, 2006 - 606 p.
9. Walther, H. Cavity quantum electrodynamics / H. Walther [and other] // Rep. Prog. Phys. - 2006. - V.69. -P. 1325-1382.
10. Meekhof, D.M. Generation of nonclassical states of a trapped atom / D.M. Meekhof [and other] // Phys. Rev. Lett. -1996. - V.76. - №11. - P.1796 - 1799.
11. Meystre, P. Squeezed states in the Jaynes-Cummings model / P. Meystre, M.S. Zubairy // Phys. Lett. - 1982. -V.A89. - №8. - P. 390-392.
12. Dodonov, V.V. Nonclassical' states in quantum optics: a 'squeezed' review of the first 75 years / V.V. Dodonov // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. - 2002. - V.4. - P.R1-R33.
13. Kadantseva, E.P. Light squeezing in the two-atom one-mode model with multi-photon transitions / E.P.Kadantseva, Fam le Kien, A.S. Shumovsky // Physica.
- 1988. - V.C150. - P. 445-456.
14. Bashkirov, E.K. Squeezing of the square of the field amplitude in the two-atom one-mode model with multiphoton transitions / E.K. Bashkirov, A.S. Shumovsky A.S.// Intern. Journ. Mod. Phys. - 1990. - V.B4. - №9. P. 1579 - 1587.
15. Bashkirov, E.K. Squeezing and amplitude-squared squeezing in the model of two nonidentical two-level atoms / E.K. Bashkirov // Intern. Jour. Modern Phys. -2007.
- V.21. - №2. - P. 145-157.
16. Башкиров Е.К. Сжатие и статистика света в диссипа-тивной двухатомной модели Джейнса-Каммингса / E.K. Башкиров, М.С. Русакова // Оптика и спектроскопия. - 2008. - Т.105. - № 1. - С. 82-88.
17. Dell'Anno, F. Multiphoton quantum optics and quantum state engineering / F. Dell'Anno, S. De Siena, F. Illuminati // Phys. Reports. - 2006. - V.428. - P. 53-168.
18. Bashkirov, E.K. Dynamics of two-atom Jaynes-^mmings model with nondegenerate two-photon transitions / E.K. Bashkirov // Laser Physics. - 2006. -V. 16. -№ 8. - P. 1218-1226.
References
1. Bachor, H.-A. A Guide to experiments in quantum optics. / H.-A. Bachor, T. Ralph - Weinheim: Wiley - VCH, 2004. - 420 p.
2. Walls, D.F. Quantum optics / D.F. Walls, G. Milburn -Berlin: Springer, 2008. - 651 p.
3. Slusher, R.E. /R.E. Slusher, L.W. Hollberg, B. Yurke, J.C. Mertz and J.F. Valley // Phys. Rev. Lett. - 1985. -V.55. - P. 2409- 2416.
4. Orozco, L.A. Squeezed-state generation in optical bista-bility / L.A. Orozco [and other] // J. Opt. Soc. Am. - 1987.
- V.B4. - №11. - P. 1490-1500.
5. Hope, D.M. The atom-cavity system as a generator of quadrature squeezed states / D.M. Hope [and other] // Appl. Phys. - 1992. - V.B55. - №3. - P. 210 - 215.
6. Plastun, I.L. Investigation of the nonstationary coherent effects and resonant self action influence on the characteristics of a frequency modulated laser beam / I.L. Plastun, V.L. Derbov // Computer Optics. - 2009. - V.33. - №3. -P. 233 - 239.
7. Shore, B.W. On the Jaynes-Cummings model / B.W. Shore, P.L. Knight // J.Mod.Opt. - 1993. - V.40. - P. 1195-1238.
8. Haroche, S. Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons /S. Haroche, J.-M. Raimond - New York: Oxford University Press, 2006 - 606 p.
9. Walther, H. Cavity quantum electrodynamics / H. Walther [and other] // Rep. Prog. Phys. - 2006. - V.69. -P. 1325-1382.
10. Meekhof, D.M. Generation of nonclassical states of a trapped atom / D.M. Meekhof [and other] // Phys. Rev. Lett. -1996. - V.76. - №11. - P.1796 - 1799.
11. Meystre, P. Squeezed states in the Jaynes-Cummings model / P. Meystre, M.S. Zubairy // Phys. Lett. - 1982. -V.A89. - №8. - P. 390-392.
12. Dodonov, V.V. Nonclassical' states in quantum optics: a 'squeezed' review of the first 75 years / V.V. Dodonov // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. - 2002. - V.4. - P.R1-R33.
13. Kadantseva, E.P. Light squeezing in the two-atom one-mode model with multi-photon transitions / E.P.Kadan-tseva, Fam le Kien, A.S. Shumovsky // Physica. - 1988. -V.C150. - P. 445-456.
14. Bashkirov, E.K. Squeezing of the square of the field amplitude in the two-atom one-mode model with multiphoton transitions / E.K. Bashkirov, A.S. Shumovsky A.S.// Intern. Journ. Mod. Phys. - 1990. - V.B4. - №9. P. 1579 - 1587.
15. Bashkirov, E.K. Squeezing and amplitude-squared squeezing in the model of two nonidentical two-level at-
oms / E.K. Bashkirov // Intern. Jour. Modern Phys. -2007. - V.21. - №2. - P. 145-157.
16. Bashkirov Е.К. Statistics and light squeezing and field statistics in dissipative two-atom Jaynes-Cummings / E.K. Bashkirov, M.S. Rusakova // Optics and Spectroskopy Оптика и спектроскопия. - 2008. - Т.105. - № 1. - P. 73-78.
17. Dell'Anno, F. Multiphoton quantum optics and quantum state engineering / F. Dell'Anno, S. De Siena, F. Illuminati // Phys. Reports. - 2006. - V.428. - P. 53-168.
18. Bashkirov, E.K. Dynamics of two-atom Jaynes-Cummings model with nondegenerate two-photon transitions / E.K. Bashkirov // Laser Physics. - 2006. -V.16. -№ 8. - P. 1218-1226.
LIGHT SQUEEZING IT TWO-ATOM JAYNES-CUMMINGS MODEL WITH DEGENERATE TWO-PHOTON TRANSITIONS
Eugene Konstantinovich Bashkirov (professor, e-mail: bash@ssu.samara.ru), Svetlana Petrovna Lipatova (master, e-mail: bash@ssu.samara.ru) Samara State University
Abstract
The light squeezing for two two-level atom interacting with coherent field in ideal cavity via degenerate two-photon transitions has been investigated. The computer modeling of the squeezing parameter revealed that degenerate two-photon process is of great efficiency than that from one-photon process.
Key words: two-level atom, degenerate two-photon transitions, light squeezing.
В редакцию поступила 23.10.2009 г.
