СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 37.013.46

Бойкова Н.А.

к.ф.-м.н., доцент СГУ г. Саратов, РФ Бойкова О.А.

к.ф.-м.н., доцент ЧУ ООВО МУ «РЕАВИЗ»

г. Саратов, РФ

СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Аннотация

Проблемы рассеяния частиц и описания связанных состояний систем относятся к числу основных задач квантовой теории. Теория рассеяния разработана более полно и её основные положения широко известны. Исследованиям связанных состояний также принадлежит исключительно важная роль в становлении и развитии современной физики.

Ключевые слова:

связанные состояния, экзотические атомы, постоянная Ридберга и тонкой структуры, теория

возмущений, энергетические уровни.

Исследования связанных состояний в квантовой электродинамике имеют важное значение для теоретического описания различных видов взаимодействий. Известно, что константа слабого взаимодействия Gf выражается в электрослабой теории через постоянную тонкой структуры а и массу промежуточного векторного бозона. Постоянной электромагнитного взаимодействия а определяются также массы магнитных монополей Дирака, возникающие в теориях «Великого объединения». Простейшими связанными системами, наиболее доступными для теоретических и экспериментальных исследований, являются водородоподобные атомы. Уровни энергии водородоподобного атома первоначально были определены при решении нерелятивистской задачи о движении электрона в поле неподвижного ядра. При этом характерно, что уровни энергии вырождены с кратностью n2. Полное решение нерелятивистской задачи основано на возможности отделения движения центра масс от относительного движения частиц.

Гамильтониан двух взаимодействующих частиц с массами mi и m2, образующих замкнутую систему, записывается в виде:

„2 - 2

H = P-L + Р^ + К(|?1 _ г2\), (1)

2щ 2m

где V - потенциальная энергия, зависящая от относительного положения частиц, рг - импульсы

частиц. Используя при переходе к системе центра масс новые динамические переменные: полный P и относительный p импульс системы, суммарную массу М, положение которой характеризуется вектором

R, и приведённую массу ¿и, движение которой описывается вектором - = — — — , гамильтониан представляется в виде суммы:

H = Hr + Нг, (2)

л P2 л Р2 — - m - m -

где Hr = —, Hr = p- + V(| r |), u = —R = -- + -1 -2.

2M 2и m + m2 и и

Уравнение Шредингера в представлении (R, г) имеет вид:

(hr + нг )¥(r r) = e¥(r (3)

где переменные разделяются, если положить у/(Я,г) = (К) + ф2(г) и собственную энергию полной системы равной сумме энергий, обусловленных движением центра масс (£<?) и относительным движением приведённой массы (£г). Таким образом, в нерелятивистской теории задача о системе двух взаимодействующих частиц распадается на две: задачу о свободной частице массы М и задачу о движении массы ц в поле с потенциальной энергией Щ г |).

Если в нерелятивистской теории координаты центра инерции определяются через массы отдельных частиц, то в релятивистской теории характеристикой связанного состояния является масса М, величина которой меньше суммы масс частиц, образующих связанную систему. Часть массы взаимодействующих частиц затрачивается на энергию связи. Закон сохранения масс не соблюдается, М<тх+т2. Задача на связанные состояния системы частиц в релятивистской теории не может быть сведена к задаче о движении частицы во внешнем поле. Отличие этих двух задач наглядно проявляется, если описывать их в терминах функций Грина.

Уравнение для полной функции Грина может быть записано в различных формах. Будем исходить из уравнения Швингера:

[(уж -М\(уж -М)2 - К]О = 112. (4)

Легко проверить, что имеется представление:

О = ОхО2 + ОхО2КО (5)

Действительно, подставляя это выражение в (4), получаем тождество:

[(уж-М\(уж-М)2]О = /12 + КО, /12 + КО = /12 + КО (6)

Введём в рассмотрение кулоновскую функцию Грина во, как решение

[(уж-М\(уж-М)2 -Кс]Ос = / (7)

Уравнение (7) позволяет представить во в виде

Ос = О0 + О0 КсОс, (8)

так как при подстановке (8) в (7) имеем:

(уж - М \(уж - М )2(Оо + Оо КсОс) = / + КсОс, (9)

Запишем уравнение Швингера в виде:

[(уж-М\(уж-М\ -Кс]ОС = / + КО, К = К + Кс, Кс =у10у20^с. (10)

При использовании (7), находим

[(уж -М)1(уж -М)2 - Кс ](Ос + ОсКО) = / + Ко, , (11)

поэтому

О = Ос + ОсКО. (12)

Несмотря на всю фундаментальность, релятивистская проблема связанных состояний даже для системы двух частиц полностью не решена и в классическом (неквантовом) пределе. В то же время уравнение Бете-Солпитера позволяет поставить и с возрастающей точностью решать задачу на собственные значения полной энергии изолированной системы двух частиц.

Теория Швингера-Бете-Солпитера позволила на порядок по а уточнить значение сверхтонкого расщепления основного уровня энергии позитрония, найденного Ферми ещё в 30-е годы. В работе [1] было получено выражение для сверхтонкого расщепления основного уровня энергии позитрония:

4

а m

v„„ =

ee

7 а ,16 . - — (- + Ы2) 6 ж 9

(13)

2

Позднее этот результат был подтвержден в работе [2] на основе квазипотенциального уравнения:

2

(Ж - ) = (2ж)-3¡V(РК^. (14)

где ц - приведенная масса, W=E-mi-m2 - энергия связи системы. Представим квазипотенциал V(p,q;E) в виде разложения:

V(p,q;E) = vc +AV(2) + V(4) +..., AV(2) = V(2) -vc, vc = ее . . (15)

(p - q)

Элементы разложения можно выразить через амплитуду рассеяния Т

V(2) = T(2), V(4) = T+(2)F T(1), T+ = T(2) + T(4). (16)

В слабо связанных системах частицы находятся вблизи массовой поверхности

E = yjp2 + ml +tJp2 + m2 =^Jq2 + m2 q2 + m2 . Поэтому выражение для амплитуды рассеяния Т+(р, q, E) записывается в соответствии с правилами диаграммной техники Фейнмана. Для получения поправок к кулоновским уровням энергии

W =-^0т (n = 1,2,...), (17)

2n

решаем уравнение (14), используя теорию возмущений.

АЕи = (n| AV(2) + V(4) +£{ AV(2)|m)-1-(m| AV(2)}n). (18)

m^n En Em

где , ^m| - собственные волновые функции уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом, соответствующие значениям En и Em. Волновая функция основного состояния хорошо известна

у

(Р) = (0)Ф^, фс(0) = , Фр = (Р2 +а2^2)-1, (19)

Явный вид кулоновских волновых функций указывает на то, что при вычислении матричных элементов в (18) в интегралах по радиальной части р основной вклад будет давать область р2~ц2 а2. Поэтому в выражении для квазипотенциала можно использовать разложение по степеням р2/т,-2.

Согласно (18) вклад в сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония в низшем порядке теории возмущений определяется выражением:

АЕ = (2ж)-< (р)АУ {2)(р, д)рс (д)й Зр й Зд, (20)

После разложения по степеням р2/т2 для диаграммы однофотонного обмена получим:

V(2) (р, 4) = 7-^ (1 + -1г ((¿1 (Р - (Р - 4)) - (Р - я)2 ))). (21)

|р - 4 4т

Последующее интегрирование обеспечивает следующий основной вклад [3]:

АЕ = ж<с (0)\2^2> . (22)

Однако выделение этого вклада можно выполнить и с помощью приближения:

Рс (Р) = (2ж)г<с (0ЖР), Е = т, + т2. (23)

В этом случае последовательно находим:

АЕ = (2ж)(0)1<: (Р)£.(а,а2 - 3р =

с 4т2 р 2 (24)

2

= (2ж) 2<с (0){ (Р)й3 р.

Выполняя последующие вычисления с помощью (23), имеем

,2 2

Рс (°\<Г1*2) . (25)

Совпадение результатов (22) и (25) обосновывает правомерность приближения (23) для

AE = e

кулоновской волновой функции при исследовании однофотонного взаимодействия. Данное приближение можно использовать при вычислении поправок от двухфотонных диаграмм с точностью до

а5, поскольку 7^4)~а2, (0)|2 ~а3. При этом низкочастотная область по виртуальному импульсу обрезается

в целях исключения инфракрасных особенностей. В работах [4, 5] показано, что суммарный вклад от двухфотонных диаграмм является конечным и не зависит от параметра обрезания. Итак, значение сверхтонкого расщепления основного уровня с точностью до а5 находится наиболее просто при использовании приближения (23).

В дальнейшем [6] было показано, что вклад от трёхфотонных обменов, не изучавшийся при расчётах с точностью до а5, содержит некомпенсирующийся параметр обрезания интеграла по виртуальному импульсу в инфракрасной области. Это привело к необходимости использовать более точное выражение для волновой функции связанной системы и учитывать зависимость квазипотенциала от относительных трёхимпульсов и полной энергии. При этом фейнмановская диаграммная техника несколько меняется. Порядок диаграммы определяется не только числом вершин, но и эффектами связанности в промежуточных состояниях. В работах [7, 3] был сформирован новый метод учёта эффектов связанности и релятивистского характера взаимодействия в двухчастичной системе на основе последовательного использования кулоновской функции Грина в квазипотенциальном подходе.

В результате его применения в работах [6, 5] величина сверхтонкого расщепления основного уровня энергии атома позитрония установлена с точностью до членов порядка а6!па:

4

am

AEhfS =-

7 a , 16 , _ч 5a2,

---(— + ln2) +-lna

6 я 9 12

(26)

2

Расчёт логарифмических поправок порядка a6lna-1 к известной с точностью до а5 величине ДЕ/fs был инициирован работами [8, 9]. Результат (26) также известен по работам [10, 11]. Твёрдо установленный теоретический результат для сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония в настоящее время равен:

ДЕЬ^ ее(теор.)= 203 400,3 MHz. (27)

Соответствующее экспериментальное значение, полученное для сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония [12], составляет:

ДЕ/fs ее(эксп.)= 203 389,10 (74) MHz, (28)

что находится в согласии с теоретическим результатом. Исследование спектров водородоподобных атомов - одна из тех областей, где фундаментальные и прикладные вопросы переплетаются чрезвычайно тесно.

Так, например, величину тонкого сдвига 5-уровней энергии в позитронии можно представить в

виде:

ДЕ = CRX (aa4 + ba5lna + ca5 + da6lna + ea6 +...) (29)

Как видим, уточнение значения ДЕ не нарушает зависимости величины сдвига от фундаментальной физической константы - постоянной Ридберга. В свою очередь, эта постоянная даёт сведения о константе электромагнитного взаимодействия a. Известно, что в электрослабой теории константа слабого взаимодействия выражается через постоянную a, также, как константа сильного взаимодействия в теориях Великого объединения. Выбор теоретических моделей сильных взаимодействий во многом определяется значением константы электромагнитного взаимодействия. Если в левую часть (29) подставить теоретическое, а в правую - экспериментальное значение величины тонкого сдвига, то можно определить постоянную Ридберга.

В последние время стало ясно, что повышение точности измерений с помощью радиочастотных методов наталкивается на серьёзные препятствия. Так, естественная ширина 2Р состояния составляет ~ 100 MHz, что принципиально ограничивает точность измерений для уровней энергии, отличных от

основного. Дальнейшее повышение точности возможно на основе методов бездоплеровской лазерной спектроскопии. Прогресс, достигнутый в экспериментальных работах, стимулирует развитие теоретических методов по прецизионному определению поправок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии связанных состояний. Список использованной литературы:

1. T. Fulton, R. Karplus // Phys. Rev. 1954. vol.93, no.5. p.1109-1116.

2. Р.Н. Фаустов // ТМФ. 1970. т.3, №2. с.240-254.

3. Н.А. Левченко, Ю.Н. Тюхтяев, Р.Н. Фаустов // ЯФ. 1980. т.32, вып.6.

4. Н.А. Бойкова, О.А. Бойкова, Ю.Н. Тюхтяев // Известия Саратовского университета. 2011. т.11, вып.1. С.52-58.

5. Н.А. Левченко, Ю.Н. Тюхтяев и др. // ОИЯИ. 1979. p2-12355.

6. Н.А. Бойкова, С.В. Клещевская, Ю.Н. Тюхтяев, Р.Н. Фаустов// Сообщения ОИЯИ. 1981. p2-81582.

7. Н.А. Бойкова, Ю.Н. Тюхтяев, Р.Н. Фаустов // Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля. Протвино. 1983. т.1. c.116-127.

8. T. Fulton, D.A. Owen, W.W. Repko // Phys. Rev. A 1971. vol.4, no.5. p.1802- 1811.

9. D.A. Owen // Phys. Rev. Lett. 1973. vol.30, no.19. p.887-888.

10.G. Feldman, T. Fulton // Nucl. Phys. 1980. vol.167 B, no.2. p.364-377.

11.R. Barbieri, E. Remiddi // Nucl. Phys. 1978. vol.141 B, no.2. p.413-422.

12.P.J. Mohr, B.N. Taylor, D.V. Newell // Review of modern physic. 2008. Vol.80. p.633-730.

© Бойкова Н.А., Бойкова О.А., 2022