CC BY
7
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 40. №3. C. 88-100. ISSN 2079-6641
УДК 51-73:550.3 Научная статья
Связанные осцилляторы как модель высокочастотной геоакустической эмиссии
М. И. Гапеев1'2, A.A. Солодчук,1, Р. И. Паровик1
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, п. Паратунка, ул. Мирная, 7, Россия
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4, Россия
E-mail: gapeev@ikir.ru
Статья посвящена построению математической модели высокочастотной (от единиц до десятков килогерц) геоакустической эмиссии приповерхностных осадочных пород, регистрируемой на Камчатке. В основе модели лежит система связанных осцилляторов. Каждый осциллятор описывает дислокационный источник геоакустической эмиссии. Модель строится на основании предположения, что взаимодействие между источниками осуществляется только через излучение. В работе рассматриваются два взаимодействующих между собой дислокационных источника геоакустической эмиссии. Математическое описание этих источников представлено в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка. Методом Розенброка найдены численные решения модели при различных значениях коэффициента связи между источниками, построены расчетные осциллограммы, спектры и фазовые траектории. Анализ решений показывает, что при увеличении коэффициента связи наблюдается устойчивый обмен энергией между осцилляторами.
Ключевые слова: высокочастотная геоакустическая эмиссия, моделирование, связанные осцилляторы.
d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-88-100
Поступила в редакцию: 20.10.2022 В окончательном варианте: 18.11.2022
Для цитирования. Гапеев М.И., Солодчук А. А., Паровик Р. И. Связанные осцилляторы
как модель высокочастотной геоакустической эмиссии // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат.
науки. 2022. Т. 40. № 3. C. 88-100. d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-88-100
Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0
International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Гапеев М.И., Солодчук А. А., Паровик Р. И., 2022
Финансирование. Работа выполнена за счет средств РНФ (проект № 22-11-00064).
Введение
Геоакустическая эмиссия (ГАЭ) представляет собой излучение упругих волн горными породами в результате динамической перестройки их структуры. Известно [1, 2, 3], что особенности геоакустического излучения связаны с деформациями пород на различных стадиях сейсмотектонического процесса. Аномальные изменения в сигналах ГАЭ, связанные с подготовкой сейсмических событий, регистрируются в разных сейсмоактивных регионах планеты. Например, на северо-западной территории Армении [4], на Аппенинском полуострове в Италии [5], в России [6]. В частности, в результате исследований на Камчатском геодинамическом полигоне установлено существование высокочастотного (до первых десятков килогерц) акустоэмиссионного эффекта в приповерхностных осадочных породах [7].
Высокочастотную геоакустическую эмиссию можно считать эффективным индикатором изменения напряженно-деформированного состояния среды в пунктах наблюдений. Аномалии высокочастотной ГАЭ можно использовать в качестве оперативных предвестников землетрясений. Так, в работе [1] показано, что практически в половине случаев аномалии высокочастотной ГАЭ приповерхностных осадочных пород предшествовали сильным сейсмическим событиям в 1-3 суточном интервале.
Для эффективного исследования состояния пород и выявления предвестников землетрясений необходимо построение математической модели высокочастотной ГАЭ. Опираясь на результаты моделирования развития акустической эмиссии в композитных материалах [9], предлагается модель высокочастотной ГАЭ приповерхностных осадочных пород в виде системы связанных осцилляторов. Выбор вида осциллирующих уравнений основан на известных свойствах генерации и распространения акустического излучения в исследуемых породах.
Модель геоакустической эмиссии
Динамическая перестройка структуры горных пород возникает в результате изменения напряженно-деформированного состояния земной коры. При этом в среде возникает множество взаимодействующих между собой разномасштабных дислокационных источников, генерирующих акустическое излучение. Геоакустические сигналы килогерцового диапазона частот генерируются источниками, расположенными в объеме пород, ограниченном полусферой радиуса И = 37 м [8]. Схема процесса регистрации сигналов геоакустической эмиссии представлена на рис. 1.
Типичный сигнал высокочастотной геоакустической эмиссии представляет собой комбинацию релаксационных импульсов. Согласно ряду работ [10] эти импульсы наиболее близки по форме к импульсам Берлаге, которые описываются функцией следующего вида:
9(1)= А ■ -^Ртах)-А. / _ п(ртах) ■АЛ. дт(2пП + фо), (1)
^ Ртах ' -епЛ '
где A - амплитуда импульса, t - время, 0 < t < tend; tend - длительность импульса; pmax - положение максимума относительно длительности импульса; f - частота; n(pmax) и А - параметры, определяющие крутизну огибающей импульса.
Акустический
Рис. 1. Схема регистрации геоакустической эмиссии. Полусфера радиуса R определяет область приема геоакустических сигналов, r - расстояние от источника до акустического приемника. [Figure 1. Scheme of geoacoustic emission recording. The hemisphere of radius R defines the receiving area of geoacoustic signals, r is the distance from the source to the acoustic receiver.]
Построение математической модели
Можно показать, что функция (1) (импульс Берлаге), описывающая 1-ый источник является решением следующей задачи Коши:
а а\ (а
gi' (t)=( а - ^ММ а + c?)gi(t)+
аг ax П г аг л , л
— - 7- Ai Ci t^ exp (-—t) cos (Cit + Ф0,),
V'n .. , bi (2)
gi(to) = Ait^ exp( -^to)sin(cito + (pot),
bi
to bi^lv~°)_-------- "~rV bi
gi(to) = ( П - ai ) gi(t°) + AiCit^ exp( - ^tojcos(cit° + (pot),
где ai = ni(pmaxt) ■ Ai; bi = pmaxt ■ tend,; c = 2Пч; i = o, 1,2,3,...,N; N - количество источников.
Будем считать, что один геоакустический импульс излучается одним дислокационным источником, а взаимодействие между источниками осуществляется только через излучение. В таком случае математическая модель высокочастотной геоакустической эмиссии приповерхностных осадочных пород может быть представлена в виде системы связанных осцилляторов с начальными условиями.
В настоящей работе ограничимся рассмотрением двух взаимодействующих между собой линейным образом дислокационных источников:
9'"(t)=( Т - ^''И 7 + c09l(t)+
(а' а' \ а . а' , . , , . ,
+ VIT - b^/' С' tai ехР(-b't) cos(c't + cpd ) + kg2(t),
а2 а2
t b2
а2
g2'(t) = ^-?)g2(t)-( ff+c2)92(t)+
t2
(3)
/а2 а-2 \ , п . а2 л г л , , л
+ VТ - Ъ2/ А2С2г ехР(-^2 С05(С21 + ) + к91 Ш,
где к - коэффициент линейной связи между источниками через излучение.
Дополнив систему дифференциальных уравнений (3) начальными условиями типа (4), получим задачу Коши:
» +п! __ ( а
(4)
g'(to) = A'V exp—tojsin(c'to + фо1),
g'(to) = (^ - g' (to) + A' c' t^ exp^>0S(cto + Фо1),
а2
д2(1о) = А2"Ьа2 ехрЬ^о^ Зш(С2"Ьо + Ф02), д2(1о) = - 0^)92(1о)+ А2С21а^р (-021^0 Б(С21о + фо2).
Необходимо отметить, что задача Коши представляет собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами, которую в дальнейшем будем решать с помощью численных методов.
Вычислительный эксперимент
Численно решим, представленную выше задачу Коши (3) при разных значениях коэффициента линейной связи k методом Розенброка на интервале от to = 0.00001 до tend с шагом т = 2 ■ 10-5. В качестве среды моделирования была выбрана среда символьной математики Maple.
Здесь необходимо отметить, что метод Розенброка используется, в частности, для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [11]. Жесткие системы, в частности, могут возникать вследствие больших значений коэффициентов системы. В нашем случае речь идет о коэффициенте линейной связи k.
Значения параметров A,tend,pmax,n(pmax), A,f были выбраны в соответствии с параметрами геоакустических импульсов из работы [10] (Таблица).
Таблица
Параметры функций g-| (t) и g2(t) Parameters of the functions gi (t) and g2(t)
Параметр 91 (t) 92(t)
A 0.5 0.7
tend 0.02 0.02
pmax 0.2 0.3
n(pmax) 1.25 2.65
A 1.1 1.2
f 3000 3000
Фо 0 0
a 1.3785 3.1831
b 0.004 0.006
c 31416 31416
Для оценки адекватности модели сопоставим спектры модельных импульсов со спектром импульса высокочастотной геоакустической эмиссии (Рис. 2). На графиках спектров значения по оси ординат указаны в дБ (20 • 1§(А), где А - амплитуда сигнала).
0.5
s <
-0.5
(а)
0.004 0.009 t, с
0.014
30
ш
4
со"
5
со -30
-60
(Ь)
10 15 f, кГц
20
Рис. 2. Геоакустический импульс с частотой « 2.5 кГц (а) и его спектр (b) [Figure 2. Geoacoustic pulse with main frequency of « 2.5 kHz (a) and its spectrum (b)]
Решением рассматриваемой задачи Коши при к = 0 являются функции Берлаге вида (1) (Рис. 3). На рис. 4-6 приведены расчетные кривые, спектры модельных импульсов и фазовые траектории для значений коэффициента связи к > 0.
Отметим, что при увеличении коэффициента связи к происходит усиление взаимодействия между источниками через излучение и наблюдается обмен энергией между осцилляторами. Это отчетливо видно на рис.5, 6.
(а)
(Ь)
о
ю " О
О)
-20
-60
LH
4
(О
5 -100
-140
-180
0.01
0.02 t с
(с)
0.03
10 15 f, кГц
(е)
20
д,(0 *Ю , отн. ед.
9
о
X
-5
-140
LH
rf -180 I
-220
-260
0.01
0.02 t, с
(d)
0.03
10 15 f, кГц
(f)
20
g2(f) x10", отн. ед.
Рис. 3. Численное решение системы уравнений (3) с начальными условиями (4) при k = 0 (a, b), спектры модельных импульсов (c, d) и фазовые траектории (e, f) [Figure 3. Numerical solution of the equation system (3) with initial conditions (4) at k = 0 (a, b), spectra of model pulses (c, d) and phase trajectories (e, f)]
Рис. 4. Численное решение системы уравнений (3) с начальными условиями (4) при k = 2 ■ 106 (a, b), спектры полученных модельных импульсов (c, d) и фазовые траектории (e, f) [Figure 4. Numerical solution of the equation system (3) with initial conditions (4) at k = 2 ■ 106 (a, b), spectra of model pulses (c, d) and phase trajectories (e, f)]
(а)
(b)
О)
-20
-60
ш d
со"
5 -100
-140
-180
О)
-1.5
(с)
10 15 f, кГц
(е)
20
g,(t) х10 , отн. ед.
2.5
°> -2.5
-20
-60
ш
d
S -100
-140
-180
0.01
0.02 t, с
(d)
0.03
10 15 f, кГц
(f)
20
g2(t) х10 , отн. ед.
Рис. 5. Численное решение системы уравнений (3) с начальными условиями (4) при k = 5 ■ 10б (a, b), спектры полученных модельных импульсов (c, d) и фазовые траектории (e, f) [Figure 5. Numerical solution of the equation system (3) with initial conditions (4) at k = 5 ■ 106 (a, b), spectra of model pulses (c, d) and phase trajectories (e, f)]
Рис. 6. Численное решение системы уравнений (3) с начальными условиями (4) при k = 107 (a, b), спектры полученных модельных импульсов (c, d) и фазовые траектории (e, f)
[Figure 6. Numerical solution of the equation system (3) with initial conditions (4) at k = 107 (a, b), spectra of model pulses (c, d) and phase trajectories (e, f)]
Фазовые траектории являются незамкнутыми. Однако при усилении взаимодействия между осцилляторами, фазовые траектории могут некоторое время наматываться на определенную орбиту, а потом с нее сходить и т.д. Это происходит в результате перекачки энергии в осцилляторах.
Сопоставляя графики спектров смоделированных импульсов с графиком спектра импульса геоакустической эмиссии, можно сделать вывод о том, что амплитудные спектры имеют похожую форму. Отметим, что часто спектры геоакустических импульсов имеют более сложную структуру, поэтому требуется дальнейшее уточнение модели с учетом частотного разнообразия.
Заключение
В работе предложена модель высокочастотной геоакустической эмиссии приповерхностных осадочных пород, представляющая собой систему связанных осцилляторов. Найдены численные решения в зависимости от коэффициента связи к источников через излучение, построены спектры и фазовые траектории. Анализ решений показал, что при увеличении коэффициента связи наблюдается устойчивый обмен энергией между источниками геоакустического излучения.
Перспективным с точки зрения дальнейшего изучения является вопрос обобщения модели (3) на случай ^ого количества источников:
gf(t)=(f - bjgi(t)-(+ c?jgi(t) + (a a\. ,a. , at
tj COS(Ctt + ф0г) +
j=1(j=i) (5)
+ (Y - aJAtCit^ exp(-atjcostcit + фог) + L kij9j (tj,
д^о) = Лг"Ь-1 ехр(-^о) ЗШ^о + ф0г),
Ьг
д(^о) = (Т" - — )дг(1о) + ЛгОг^1 ехр(--^СОЗ^о + ф0г), 1 1о Ьг 0 Ьг
где г - номер источника, кц - коэффициент взаимодействия между г- и ]-ым источниками (г = ]).
Система дифференциальных уравнений типа (5) позволяет построить каскадную модель высокочастотной геоакустической эмиссии путем введения иерархической системы разномасштабных дислокационных источников.
Вопросы о способах определения коэффициентов связи кг^ и масштабов источников остаются открытыми. Одним из возможных подходов для их определения является использование информации о вероятностном распределении межимпульсных интервалов и частот импульсов в сигналах геоакустической эмиссии. Предполагая, что коэффициент связи между источниками обратно пропорционален квадрату межимпульсного интервала, а масштаб определяется на основе частоты импульса.
Конкурирующие интересы. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении авторства и публикации.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы внесли свой вклад в эту статью. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательный вариант рукописи был одобрен всеми авторами.
Список литературы
1. Марапулец Ю. В., Шевцов Б .М. , Ларионов И. А., Мищенко М. А., Щербина А. О., Солодчук А. А. Отклик геоакустической эмиссии на активизацию деформационных процессов при подготовке землетрясений, Тихоокеанская геология, 2012. Т. 31, №6, С. 59-67.
2. Киссин И. Г. Флюиды в земной коре: Геофизические и тектонические аспекты. М.: Наука, 2015.328 с.
3. Долгих Г. И., Купцов А. В., Ларионов И. А., Марапулец Ю. В., Швец В. А., Шевцов Б. М., Широков О. Н., Чупин В. А., Яковенко С. В. Деформационные и акустические предвестники землетрясений, Доклады АН, 2007. Т. 413, №1, С. 96-100.
4. Моргунов В. А., Любошевский М. Н., Фабрициус В. З., Фабрициус З. Э. Геоакустический предвестник Спитакского землетрясения, Вулканология и сейсмология, 1991. №4, С. 104-106.
5. Gregori G. P., Poscolieri M., Paparo G., De Simone S., Rafanelli C., Ventrice G. "Storms of crustal stress" and AE earthquake precursors, Natural Hazards and Earth System Sciences, 2010. no. 10, pp. 319-337 DOI: 10.5194/nhess-10-319-2010.
6. Салтыков В. А., Кугаенко Ю. А. Развитие приповерхностных зон дилатансии как возможная причина аномалий в параметрах сейсмической эмиссии перед сильными землетрясениями, Тихоокеанская геология, 2012. Т. 31, №1, С. 96-106.
7. Марапулец Ю. В. Высокочастотный акустоэмиссионный эффект. Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 10, №1, С. 44-53 DOI: 10.18454/2079-6641-2015-10-1-44-5.
8. Марапулец Ю. В., Шевцов Б. М. Мезомасштабная акустическая эмиссия. Владивосток: Дальнаука. 126 с.
9. Крылов В. В., Ланда П. С., Робсман В. А. Модель развития акустической эмиссии как хаотизация переходных процессов в связанных нелинейных осцилляторах, Акустический журнал, 1993. Т. 39, №1, С. 108-122.
10. Tristanov A., Lukovenkova O., Marapulets Yu., Kim A. Improvement of methods for sparse model identification of pulsed geophysical signals, Conf. proc. of SPA-2019. —Poznan: IEEE, pp. 256-260 DOI: 10.23919/SPA.2019.8936817.
11. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.209 с.
Гапеев Максим ИгоревичА - аспирант Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, младший научный сотрудник лаборатории акустических исследований, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия ОЯСГО 0000-0001-5798-7166.
Солодчук Александра Андреевнай - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории акустических исследований, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия ОЯСГО 0000-0002-6761-8978.
Паровик Роман Иванович А - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия ОЯСГО 0000-0002-1576-1860.
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2022. vol. 40. no. 3. pp. 88-100. ISSN 2079-6641
MSC 86-10 Research Article
Coupled oscillators as a model of high-frequency geoacoustic
emission
M.I. Gapeev1'2, A. A. Solodchuk1, R.I. Parovik1
1 Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, 684034, Paratunka, Mirnaya Str., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683032, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Pogranichnaya str., 4, Russia
E-mail: gapeev@ikir.ru
The article is devoted to mathematical modeling of high-frequency (from units to tens of kilohertz) geoacoustic emission of near-surface sedimentary rocks recorded in Kamchatka. Dislocation emission sources are located in the volume of rocks bounded by a hemisphere of radius 37 m centered at the registration point. A typical signal of high-frequency geoacoustic emission is a combination of relaxation pulses. These pulses are closest in shape to the Berlage pulses. The article proposes a mathematical model of high-frequency geoacoustic emission of near-surface sedimentary rocks in the form of a system of coupled oscillators. Each oscillator describes a dislocation source of geoacoustic emission. The interaction between the sources is carried out only through radiation. A system of two coupled oscillators is considered. The Rosenbrock method was used to find numerical solutions for different values of the coupling coefficient between sources. Oscillograms, spectra and phase trajectories of the process under consideration are constructed. An analysis of the solutions showed that as the coupling coefficient increases, a stable energy exchange between the oscillators is observed.
Key words: high-frequency geoacoustic emission, mathematical modeling
d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-88-100
Original article submitted: 20.10.2022 Revision submitted: 18.11.2022
For citation.Gapeev M.I. , Solodchuk A. A., Parovik R.I. Coupled oscillators as a model of high-frequency geoacoustic emission. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2022,40: 3,88-100. d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-88-100
Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Gapeev M.I., Solodchuk A. A., Parovik R. I., 2022
Funding. The work was carried out with the financial support of the Russian Science Foundation (project No. 22-11-00064).
ISSN 2079-6641
raneeB M. H., CoAognyK A. A., napoBHK P. H.
References
[1] Marapulets Y. V., et. al. Geoacoustic emission response to deformation processes activation during earthquake preparation, Russian Journal of Pacific Geology, 2012, 6:6, 457-464, DOI: 10.1134/S1819714012060048.
[2] Kissin I. G. Flyuidy v zemnoy kore: Geofizicheskie i tektonicheskie aspekty [Fluids in the Earth's Crust: Geophysical and Tectonic Aspects]. Moscow, Nauka, 2015, 328 (In Russian)
[3] Dolgikh G.I., et al. Deformation and acoustic precursors of earthquakes, Doklady Earth Sciences, 2007, 413:1, pp. 281-285, DOI: 10.1134/S1028334X07020341.
[4] Morgunov V. A., Lyuboshevskij M.N., Fabricius V. Z., Fabricius Z. E. Geoakusticheskij predvestnik Spitakskogo zemletryaseniya [Geoacoustic precursor of the Spitak earthquake], Vulkanologiya i sejsmologiya [Volcanology and seismology], 1991, 4, 104-106. (In Russian)
[5] Gregori G.P., et al. "Storms of crustal stress"and AE earthquake precursors, Natural Hazards and Earth System Sciences, 2010, 10, 319-337. DOI: 10.5194/nhess-10-319-2010.
[6] Saltykov V. A., Kugaenko Y. A. Development of near-surface dilatancy zones as a possible cause for seismic emission anomalies before strong earthquakes, Russian Journal of Pacific Geology, 2012, 6:1, pp. 86-95. DOI: 10.1134/S1819714012010113
[7] Marapulets Yu. V. High-frequency acoustic emission effect, Bulletin KRASEC. Phys. and Math. Sci., 2015, 10:1, 39-48. DOI:10.18454/2079-6641-2015-10-1-44-53 (In Russian)
[8] Marapulets Yu. V., Shevtsov B.M. Mezomasshtabnaya akusticheskaya emissiya [Mesoscale acoustic emission]. Vladivostok, Dal'nauka, 2012, 126 (In Russian)
[9] Krylov V. V., Landa P. S., Robsman V. A. Model' razvitiya akusticheskoy emissii kak khaotizatsiya perekhodnykh protsessov v svyazannykh nelineynykh ostsillyatorakh [Model of acoustic emission development as chaotic transition processes in coupled nonlinear oscillators], Akusticheskiy zhurnal [Acoustic journal], 1993, 39:1, 108-122 (In Russian)
[10] Tristanov A., Lukovenkova O., Marapulets Yu., Kim A. Improvement of methods for sparse model identification of pulsed geophysical signals, In: Conf. proc. of SPA-2019, Poznan, IEEE, 2019, 256-260. DOI: 10.23919/SPA.2019.8936817
[11] Rakitskiy Yu. V., Ustinov S.M., Chernorutskiy I.G. Chislennyye metody resheniyazh zhestkikh sistem [Numerical methods for solving stiff systems]. Moscow, Nauka, 1979, 209 (In Russian)
Gapeev Maksim IgorevichA - Postgraduate student of Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Junior Researcher, Lab. of Acoustic Research, Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Russia ORCID 0000-0001-5798-7166.
Solodchuk Aleksandra AndreevnaA - Cand. Sci. (Phys. & Math.), Senior Researcher, Lab. of Acoustic Research, Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Russia ORCID 0000-0002-6761-8978.
Parovik Roman IvanovichA - D. Sci. (Phys. & Math.), Assoc. Prof., Leading Researcher, Lab. for Simulation of Physical Processes, Institute for Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Russia, ORCID 0000-0002-1576-1860.
* 1
