Связанные маятники при диссипации энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ ПРИ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ Р.А. Бузунов, М.С. Петрищев, А.А. Сизова Научный руководитель - доктор технических наук, профессор В.М. Мусалимов

В работе рассматривается модельная задача связанных маятников при различных видах диссипации энергии. Проведен анализ динамики линейной системы, системы при вязком трении, модели Максвелла.

Введение

Колебаниями двух масс, соединенных упругой связью, описывается достаточно широкий класс объектов. В частности, моделью связанных маятников описывается поведение молекул ДНК и ряд других систем. Линейная задача имеет аналитическое решение, для исследования нелинейных моделей используются асимптотические методы или численное моделирование.

В данной работе рассмотрим линейную модель системы, модель вязкого трения и модель Максвелла. Сравним полученные результаты.

Модельная задача связанных маятников

Два однородных стержня длиной Ь и весом Р каждый соединены на уровне И пружиной жесткости С, прикрепленной концами к стержням (рис. 1).

Рис. 1. Схема системы

Для составления уравнений движения рассматриваемой системы используем уравнение Лагранжа II рода. Для этого требуется выбрать обобщенные координаты и составить функцию Лагранжа. Уравнения движения определяются дифференцированием функции Лагранжа по соответствующей переменной.

Выберем в качестве обобщенных координат углы ф и у отклонения стержней от вертикали. Механическая система имеет две степени свободы, при составлении линейной модели будем пренебрегать силами трения в шарнирах. Так как силы тяжести и сила упругости пружины являются потенциальными, то потенциальная энергия системы равна

V = V + V2 + V3,

где Vj и Vz - потенциальная энергия сил тяжести первого и второго стержня, V3 - потенциальная энергия пружины.

1 P1 1 P1

V = P -2 (1 - cos ф) = — ф2, Vz = P 2 (1 - cos у) = PJ у2.

Потенциальная энергия растянутой пружины при малых ее деформациях и малых углах отклонения стержней равна h2

V3 = С —(у-ф)2.

Таким образом,

Р1 < 2 , 2, , ЛЧ

V = V + ^2 + Уъ = — (ф2 + у2) + с—(у-ф)2.

Найдем теперь кинетическую энергию системы т. Так как каждый из стержней вращается около неподвижной оси, то

Т ' 2 Т ' 2

Т = Т + Т = ■ 01 ф 1 ^ 02''

2

2

где Уо1 = ^02 = Р1 / 3%, % - ускорение свободного падения. Следовательно, Р12

Т = ■

6 %

■( Ф2 + '2).

Образуем функцию Лагранжа:

Р12 Р1 Ь2

Ь = Т - V = — (ф2 + '2) - р- (ф2 +'2) - с — ('-ф)2.

Определив вид необходимых величин, составим уравнения Лагранжа II рода:

ё

СдЬ Л

ёг ё

дЬ 1 Р12

1

ф + 1 СЬ2 + - Р1 ф- СЬ2 ' = 0, дф) дф 3 £ I 2 Г

V

СдЬ Л

ёг

дЬ 1 Р12

1

+ 1 СЬ2 +-Р11'-СЬ 2ф = 0. д') д' 3 % V 2 )

Вводя для краткости обозначения ш2 = % /1 и х2 = СЬ2 /2, получаем

ф + 3

С 2 ш2 Л

х + —

V 2 )

с

' - 3х 2ф + 3

ф - 3х ' = 0,

2 Л

х +■

ш

2

у = 0.

0,5ш

При соотношении —-—>1 и начальных условиях ф = 0,1 рад, ' = 0 рад первый

х

маятник, обладая энергией, начинает передавать ее второму маятнику (рис. 2). Пружина тормозит первый маятник, но помогает двигаться второму, что обеспечивает передачу энергии между маятниками. После того, как колебания первого маятника затухли, второй совершает колебания с той же амплитудой, что и первый в начальный момент

^ 0,5ш2 ,

времени. При тех же начальных условиях и при соотношении —■—<1 колебания ма-

х2

ятников происходят в противофазе с биениями (рис. 3).

При начальных условиях ф = у мятники колеблются в одинаковой фазе с одной и той же частотой и амплитудой, пружина не деформируется, можно считать, что маятники соединены жесткой связью. При ф = -у колебания происходят в противофазе с постоянной амплитудой.

Вязкое трение. Для учета вязкого трения добавим в уравнения движения слагаемые 2вф и 28':

ф + 3

с 2 ш2 Л х + —

V 2 )

с

у - 3х 2ф + 3

ф - 3х2у + 28ф = 0,

2 Л

х +-

то 2

у + 28' = 0.

2

0 2 4

фазовый портрет ф(

0.5-.-

-0.5 -0.1

6 8 10 12 фазовый портрет )( ц)

0.5

14

16

18

20

20

начальные условия ф=0.1 рад начальные условия щ =0 рад начальные условия ф =0 рад/с начальные условия щ' =0 рад/с х2 =1

- -0.5-1-

0 0.1 -0.1 0 0.1

Рис. 2. Передача энергии от одного маятника к другому

0 2 4 6 8 10 12

фазовый портрет ф (ф) фазовый портрет )( ц)

0.4 0.2 0 -0.2

-0.4 ^ -0.1

14

16

18

20

20

0.1

0.4 0.2 0 -0.2

-0.4 -0.1

начальные условия ф=0.1 рад начальные условия щ =0 рад начальные условия ф' =0 рад/с начальные условия щ' =0 рад/с

0.1

Рис. 3. Противофазные колебания связанных маятников

В случаях, когда начальные условия ф = ) и ф = —ц, тип колебаний не изменяется, происходит их затухание. При ф = 0,1 рад, ц = 0 и соотношении 0,5(0 <1 происхо-

0

0

х2 =5

0

0

дит затухание колебаний, причем амплитуда второго маятника примерно в полтора раза меньше амплитуды первого маятника (рис. 4). При тех же начальных условиях и соот-

ношении

0,5ш2

х

>1 амплитуда колебаний первого маятника падает вдвое, амплитуда

второго маятника достигает своего максимального значения, но примерно в 7 раз меньше амплитуды первого маятника. Чем больше значение коэффициента вязкого трения, тем быстрее происходит затухание колебаний.

-0.4 — -0.1

10

0 1 2 фазовый портрет ф'(

0.4-,-

0.2 0 -0.2

3 4 5 6

фазовый портрет '(')

0.4 ,-,-

0.2 -0 --0.2 -

8

9

10

начальные условия ф=0.1 рад начальные условия ) =0 рад начальные условия ф'=0 рад/с начальные условия )=0 рад/с

х2 =5

2 =

0.1

-0.4 — -0.1

0.5*ш2 =1

б =0.75

0.1

Рис. 4. Движение связанных маятников в случае вязкого трения

Модель Максвелла. В соответствии с моделью Максвелла соединим каждый из стержней с неподвижным основанием последовательно пружиной и демпфером (рис. 5).

Рис. 5. Модель Максвелла

Введем коэффициент к, который устанавливает соотношение между пружинной жесткостью и коэффициентом демпфирования. Соответственно, добавим слагаемые в уравнения движения:

ф + 3

с 2 ш2Л х + —

V 2 )

с

)) - 3х 2ф + 3

ф - 3х ) + к - ф - ф = 0

2Л

х' +-

то 2

) + к -) - ) = 0

7

0

0

При неравных начальных углах отклонения маятников их переход слева направо занимает меньше времени, чем справа налево. Чем больше коэффициент к, тем сильнее заметна эта тенденция (рис. 6).

10 5

§. 0

■а

-5 -10

0

30

05 фазовый портрет ф'())

0.5

-0.5 — -0.2

10 15 20

фазовый портрет )(ц)

1 -:-

0.5

25

30

-0.5 — 0.2 -0.2

0.2

начальные условия ф=0.1 рад начальные условия щ =0 рад начальные условия ф =0 рад/с начальные условия щ' =0 рад/с х2 =5 0.5* а2 =1

к=60

0

0

0

0

Рис. 6. Движение маятников в модели Максвелла Заключение

Исследовано поведение системы связанных маятников при различных видах диссипации энергии. Рассмотрены линейная модель, система при вязком трении и модель Максвелла. Проведен сравнительный и качественный анализ динамики системы по результатам численного исследования в пакете Simulink системы Matlab. В случае линейной системы, которая представляется идеальной, процесс диссипации энергии отсутствует. При введении вязкого трения колебания затухают по экспоненциальному закону. Чем больше значение коэффициента вязкого трения, тем выше степень затухания колебаний. В модели Максвелла имеет место неравномерный процесс колебаний относительно нижнего положения равновесия маятников. Чем больше значение коэффициента, определяющего соотношение между пружинной жесткостью и коэффициентом демпфирования, тем более ярко выражена эта особенность.

Литература

1. Мусалимов В.М. Методические указания по курсу «Аналитическая механика». СПб: СПб ГИТМО(ТУ), 2002. 52 с.

2. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MatLab. Учебный курс. СПб: Питер-пресс, 2000. 432 с.

3. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в Matlab. Учебный курс. СПб: Питер; Киев: BHV, 2005. 512 с.