CC BY
3многогранников в центральном ньютоновском поле сил (см., например, [5]), исследование существования и устойчивости перманентных вращений параллелепипедов, близких к кубу, с помощью
теории Рауса было предпринято в работах [18, 19].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
2. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
3. Холостова О.В. Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008.
4. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии: Серия "Библиотека математического кружка". Вып. 19. М.: Наука, 1989.
5. Суликашвили Р. С. О стационарных движениях тетраэдра и октаэдра в центральном поле тяготения // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1987. 57-66.
6. Staude О. Über permanente Rotationsachsen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt // J. reine und angew. Math. 1894. 118. 318-334.
7. Ламб Г. Теоретическая механика. T. 3. M.; Л.: Ol ITH ГКТП, 1936.
8. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2. Ч. 2. М.: ИЛ, 1951.
9. Routh E.J. Treatise on the Stability of a Given State of Motion. Cambridge: Cambridge University Press, 1877.
10. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. L.: McMillan, 1884.
11. Дубошин Г.H. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968.
12. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.
13. Чаплыгинъ С.А. О некоторыхъ случаяхъ движешя твердаго тела въ жидкости. Статья вторая (продол-жеше) // Матем. сб. 1898. 20, № 2. 173-246.
14. Карапетян A.B. Инвариантные множества в задаче Клебша-Тиссерана // Прикл. матем. и механ. 2006. 70, вып. 6. 959-964.
15. Субханкулов Г.И. Об устойчивости некоторых стационарных движений твердого тела в жидкости // Задачи устойчивости, управления, колебания: Сб. тр. 5-й Четаевской конф. М.: ВЦ АН СССР, 1990. 50-56.
16. Doubochine G.N. Sur le développement de la fonction des forces dans le problème de deux corps finis // Celest. Mech. 1976. 14. 239-281.
17. Холостова O.B. Об устойчивости перманентных вращений Штауде в общем случае геометрии масс твердого тела // Нелинейная динамика. 2009. 5, № 3. 357-375.
18. Нараленкова И.И. О ветвлении и устойчивости положений равновесия твердого тела в ньютоновском поле. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1995. 53-60.
19. Карапетян A.B., Нараленкова И.И. О бифуркации равновесий механических систем с симметричным потенциалом // Прикл. матем. и механ. 1998. 62, вып. 1. 12-21.
Поступила в редакцию 29.06.2020
УДК 532+532.529.5
СВЯЗЬ ТЕОРИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ С ТЕОРИЕЙ ПСЕВДООЖИЖЕНИЯ
Я. Д. Янков1
Предлагается математическая модель дисперсных систем с постоянными значениями числовых плотностей дисперсной и несущей фаз (несжимаемая дисперсная система). Эта модель позволяет построить физически содержательную и математически корректную теорию движения пузырей в кипящем (псевдоожиженном) слое.
1 Янков Янко Добрев — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.
Yankov Yanko Dobrev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Aeromechanics and Gas Dynamics.
Ключевые слова: дисперсная система, несжимаемая дисперсная система, псевдоожи-женный слой.
A mathematical model of dispersed systems with constant values of the numerical densities of the dispersed and carrier phases (incompressible dispersed system) is proposed. This model allows us to construct a physically meaningful and mathematically correct theory of the movement of bubbles in a boiling (fluidized) layer.
Key words: dispersion system, incompressible dispersion system, fluidized layer.
1. Научная проблема. Система макроскопических уравнений, адекватно отражающих свойства дисперсных систем, при любых значениях размера дисперсных частиц и их объемного содержания была предложена автором в [1, 2]. Однако возникает естественный вопрос: как на ее основе вывести макроскопические уравнения для несжимаемых дисперсных систем? Такие уравнения прежде всего нужны для поиска аналитических решений с целью выяснения, как действуют одни или другие физические процессы при движении дисперсных систем.
2. Уравнения движения дисперсных систем. Для дальнейших исследований напомним предложенные в [1, 2] макроскопические уравнения переноса, моделирующие свойства поступательных степеней свободы дисперсных систем, и запишем их в следующем виде:
двд dt
+ Vr ■ (Qg Ug ) = 0,
du„ ^ r. . -, 3 ^ 1 ( mp Л Qg\ nVT_, 1
Qanr = [(1 + ар)р°] + - 2 \VrPos " Щ \ 4) rPgi+
+ Vr ■ < ^g
Vrufl + Vrufl* - ~(Vr ■ ufl)I
+ Qg g,
(1)
Qg-
dUg
dt
Vr(XgVrTg) - 'Pg{ 1 + ap){Vr ■ U g) + /J,g(VrUg + VrUfl*) : VrUfl - ~Hg(Vr ' % )2 ,
dnp ~dt
+ Vr ■ (npUg) = Vr ■ DosVrPos - DpnpVrPg + DtnpVrTg ,
u
g
Pg-
Tg Ug
соответственно плотность, массовая скорость,
где = д/дЬ + ий ■ а дд, давление, температура и внутренняя энергия несущей фазы; уд — вязкость и \д — теплопроводность
- плотность единичный
газа; np и ap = vp^ — чистовая плотность и объемное содержание дисперсной фазы; q,
вещества дисперсных частиц; § — земное ускорение; Уг — оператор Гамильтона; I тензор; Угид* — транспонированный тензор Уги^. ^^^тической диффузии Dos,
бародиффузии Dp и ^^^^фореза Dт определены выражениями
Do
Db кТ„
Dp
Dos mp
1
= Dos Vp I
1
dt = ±l.
5Pg
1 3 б^Р'
(2)
где Dв — коэффициент броуновской диффузии сильноразреженных дисперсных систем; тд и тр — соответственно масса молекул несущей фазы и масса твердых частиц, а к — константа Больцмана. Объем твердых частиц ур зависит от диаметра частиц ар. Через р^ = (1 + 4архРР)пркТд обозначили осмотическое давление твердых частиц, а хрр — функция объемного содержания дисперсной фазы. Существующие экспериментальные данные не позволяют определить явный вид функции хрр Для концентрированных систем, но есть определенные основания считать, что с ростом числовой плотности дисперсной фазы осмотическое давление будет расти таким образом, что в состоянии плотной упаковки твердых частиц оно будет принимать бесконечное значение.
Возникает основательный вопрос: почему в теории броуновского движения используется понятие осмотического давления из теории сильноразбавленных растворов? Лучше А. Эйнштейна вряд ли можно ответить. Вот что он сам утверждает в работе [3]: "... Этим рассуждением показано, что существование осмотического давления является следствием молекулярно-кинетической теории теплоты и что, согласно этой теории, растворенные молекулы и взвешенные в равном количестве тела в сильно разбавленном виде совершенно равноценны для осмотического давления." На мой взгляд, предельно ясно сказано.
Массовая скорость твердых частиц up определяется по формуле
UpUp = UpUg - (DosVrPos - DpUpVrPg + DtUpVrTg) (3)
после решения макроскопических уравнений (1).
Естественно, что для полного замыкания системы макроскопических уравнений необходимо знать, как давление pg и внутренняя энергия Ug зависят от плотности gg и температуры Tg несущей фазы.
Предлагаемая теория является нетривиальным обобщением классической теории броуновского движения [3-5].
3. Уравнения движения несжимаемых дисперсных систем. При выводе макроскопических уравнений движения несжимаемых дисперсных систем воспользуемся стандартной для термодинамики процедурой перехода от одних термодинамических переменных к другим. В данном случае термодинамические переменные Qg, Tg и np заменим на pg, Tg и pos. Будем предполагать, что плотность несущей фазы Qg является функцией давления pg и температуры Tg (Qg = Qg(pg,Tg)),
np Pos
Tg (np = np (pos,Tg )). Допущение, что пл отность Qg не зависит от дав ления pg и температу ры Tg, а числовая плотность np соответственно не зависит от осмотического давления pos и температуры Tg, приводит к тому, что входящие в уравнения (1), (3) и в формулы (2) Qg, np и ap будут постоянны. Отметим, что числовую плотность np и объемное содержание ap можно рассматривать как постоянные величины в случае, когда дисперсная фаза находится в состоянии плотной упаковки. Для изотермических течений уравнения (1) можно записать в виде
Vr ■ Ug = 0, (4)
du„ г -, 3 _ 1 ( mp Л Qg\ 1 . . .
= ~ ^ + ap^ + bap rVo ~ 2 \ ~ ^Д ¡^J — + + (5)
где d/dt = d/dt + ug ■ Vr, уравнение для pos — в виде
Vr ■ (npUg ) = Vr ■ (DosVrPos - DpnpVrPg ), (6)
или с учетом (4)
Vr ■ (DosVrPos - DpnpVrPg) = 0, (7)
а для массовой скорости частиц из (3) — в виде
npUp = npUg - (DosVrPos - DpnpVrPg)• (8)
ug Pg
несущей фазы и осмотическое давление твердых частиц Pos.
4. Свойства несжимаемых дисперсных систем. Система макроскопических уравнений несжимаемых дисперсных систем состоит из уравнения неразрывности (4) и уравнения переноса импульса (5) несущей фазы, а также уравнения (7) для осмотического давления дисперсной фазы. В некоторых задачах удобно использовать уравнение (6), а не (7). Так как структура указанных уравнений похожа на структуру уравнений вязкой несжимаемой жидкости, то и их свойства будут частично или полностью совпадать в зависимости от изучаемых проблем.
Прежде всего если определить вихрь fig формул ой fig = V х Ug, то из уравнения переноса импульса несущей фазы (5) несложно получить обобщенное уравнение Гельмгольца
dfi а
^ + (ug-V)fig-(fig-V)ug = z/gAfig, (9)
совпадающее с аналогичным уравнением вязкой несжимаемой жидкости. Следовательно, поле скоростей несущей фазы Ug не зависит от наличия твердых частиц и удовлетворяет переопределенной системе уравнений (4) и (9). Однако если предположить, что поле скоростей Ug соленоидальное, ввести векторный потенциал по формуле Ug = V х где = ^gii + ^g2j + ^g3k, a i, j и k — единичные векторы, то уравнение неразрывности (4) тождественно будет удовлетворено. Тогда из обобщенного уравнения Гельмгольца (9) получим систему дифференциальных уравнений для компонент векторного потенциала. Решение этой довольно громоздкой системы уравнений позволит найти поле скоростей несущей фазы.
Рассмотрим движение несжимаемой дисперсной системы при малых числах Рейнольдса. Тогда систему дифференциальных уравнений (4), (5) и (7) можно значительно упростить:
Ут ■ ий = 0, (10)
ди 1
9д~Т^- = -КаУгРд ~ ^(УгРоз ~ ИЬ^тРд) + А%Аид + (11)
Ут ■ (DosУтРав - ОрирУгРд) = 0, (12)
где коэффициенты ка = 1 — = — делают запись компактной.
Очевидным образом уравнение (11) можно записать так:
бд9^^11^ = -КаКРд ~ ^(Дгров - КьКРд) + ^А(У • ид),
и с учетом (10) получим
КаКРд + ^(Агр08 - КЬАгрд) = 0. (13)
Из дифференциальных уравнений (12) и (13) следует
АтРд = 0, АтРав = 0, (14)
т.е. давления несущей фазы рд и дисперсной фазы рав удовлетворяют уравнению Лапласа и зависят от скорости несущей фазы ид только в том случае, когда она входит в граничные условия.
Квазиравновесные течения дисперсных систем являются очень важным классом медленных течений, когда скорость несущей фазы так мала, что в уравнении переноса импульса (11) можно пренебречь всеми членами, ее содержащими. Тогда формула
УгРд = --—--Ví.pos +
2ка — КЬ 2ка — КЬ
будет связывать давление несущей фазы рд, осмотическое давление твердых частиц рав и земное ускорение § и позволит записать выражение (8) для скорости дисперсной фазы ир в виде
тарир = прид - Д08| 2Ка—\7грОБ - 1 (15)
I 2ка — КЬ 2ка — КЬ )
удобном для дальнейшего использования.
Свойства несжимаемых дисперсных систем можно долго и подробно обсуждать, но в этой статье мы рассматриваем только те из них, которые будут использоваться при построении математической модели сферических пузырей в псевдоожиженном слое.
5. Сферические пузыри в псевдоожиженном слое. В теории псевдоожиженного слоя пузырями называются всплывающие вверх полости газа, в которых нет твердых частиц. Многие исследователи [6, с. 74; 7, с. 116], изучающие движение псевдоожиженных систем, отмечают наличие серьезных проблем физического и математического характера при построении модели пузырей в псевдоожиженном слое. Однако, если воспользоваться уравнениями переноса несжимаемых дисперсных систем (4), (5) и (7), проблему движения пузырей в псевдоожиженном слое можно решить и получить аналитические формулы, позволяющие понять причины возникновения областей без твердых частиц.
В теории несжимаемых дисперсных систем поле скоростей несущей фазы (газа) не зависит от твердых частиц, а следовательно, его можно найти методами механики несжимаемой жидкости. Предположение Пд = 0 тождественно удовлетворяет уравнению Гельмгольца (9) и позволяет воспользоваться решением хорошо известной в теории потенциальных течений задачи обтекания сферической поверхности постоянного радиуса.
В псевдоожиженном слое вертикально вверх поднимается с постоянной скоростью Пь газовый сферический пузырь радиуса ть, форма которого сохраняется неизменной в процессе движения. Далеко от пузыря скорость газа постоянна и равна ид, а скорость твердых частиц равна нулю: ир = 0. Скороети Пь и ид — положительные константы.
В системе координат, связанной с пузырем, скорость твердых частиц up = — Ubk, а скорость несущей фазы ug = — (Ub — Ug)k, где k — направленный вверх единичный вектор оси Oz правой координатной системы Oxyz, а Ub > Ug. Речь идет о скоростях газа и твердых частиц на бесконечности (далеко от пузыря).
В сферической системе координат
x = r sin 9 cos y = r sin 9 sin fi, z = r cos 9,
0 < r< œ, 0 < 9 < n, 0 < fi< 2n поле скоростей несущей фазы связано с потенциалом (g и функцией тока ф формулами
Ur = d<Pa = 1 дФя ^ ив = 1®£з =__(1б)
9Г дг г2 sin 9 дв ' 9 г дв г sin 9 дг '
при этом
fig = ~(Ub - Ug) ^ + Щ eos 9, фд = - иду - á j sin2 9 (17)
удовлетворяют уравнению Лапласа и окончательно из (16) и (17) получаем
Ugr = -(Ub ~ Ug) - cos 9, Ugo = (Ub - Ug) + sin9. (18)
Таким образом, предполагается, что поле скоростей несущей фазы (газа) моделируется осесим-
rg
Внутренняя область сферы иногда называется циркуляционной зоной, функция тока (17) и поле скоростей (18) несущей фазы достаточно хорошо соответствуют эксперименту [6, с. 122]. В дальней-
rg
rb
нение для осмотического давления твердых частиц и найти их поле скоростей.
Записанное в сферической системе координат, связанной с центром газового пузыря, уравнение для осмотического давления твердых частиц (14)
1JL + 1 JL (sinO^) = 0 (19)
r2 dr \ dr j r2 sin в дв \ дв )
необходимо решить с граничными условиями upr = —Ub cos 9 при r ^ œ, а также pos = 0 и upr = 0 при r = гь [6], где проекции скорости твердых частиц задаются формулами (15):
( 2Ka dPos 2кЬ Qg 9 а\
îipUpr = îipUgr - Dos i ------h --— cos 9 ?, (20)
l 2Ka — Kb dr 2Ka — Kb J
( 2Ka 1 dpos 2KbQg9 . a\ /01x
npUpe = npuge - ~ sin* j. (21)
Физический смысл граничных условий очевиден: скорость твердых частиц далеко от пузыря на-
Ub r = rb
давление равно нулю [2].
Обратим особое внимание на то, что при выводе выражений для скорости твердых частиц (20) и (21) мы воспользовались уравнением (15), полученным при предположении о квазиравновесности
Ub — Ug
содержащими скорость газа в уравнении (11). Без этого предположения получить аналитическое решение уравнения для осмотического давления вряд ли возможно.
Функция тока твердых частиц фp тождественно удовлетворяет уравнению (6) и в сферических координатах задается выражениями
1 дфр 1 дфр Upr г2 sin 9 д9 ' Upd г sin 9 дг '
где скорости газа и твердых частиц определяются формулами (18), (20) и (21).
Решение уравнения для осмотического давления (19) будем искать в виде
pos = ( Ar + ) cos в,
где A и B — пока неизвестные константы, которые находятся из граничных условий.
На поверхности r = гь имеем pos = 0, а следовательно, A = — B/r\. Значение константы B находится из граничного условия upr = —Ub cos в при r ^ то. Равенство (20) позволяет получить
B —
(:2па - Kb)r¡
2 KaD os
2 KbDosßag 2ка —
и окончательно для осмотического давления будем иметь
Pos = -
(2ка - кь)
2ка Dos
2nbDosßgg п ц
2ка — Kb
- npUg
г 1 - 4 COS в,
где радиус пузыря гь пока неизвестен. Его значение найдем из условия непроницаемости газового пузыря ирг = 0. После несложных, но громоздких вычислений получим формулу для радиуса гь
г3 =
'А —
Пр(ЦЬ - Ug) г3
(23)
позволяющую выразить поле скоростей (20), (21) и функцию тока твердых частиц (22) через радиус газового пузыря гь'
г3\ / r3
Upr = -Ub ( 1 - з ) cos в, Upe = Ub ( 1 + ) sin 9,
r
(24)
(25)
что является окончательным решением поставленной задачи.
Поле скоростей (24) и функции тока (25) твердых частиц качественно совпадают с полем скоро-
гь
дых частиц. Причина образования непроницаемой для дисперсной фазы полости радиуса гь < гд очевидна. Газ выталкивает твердые частицы, входящие в циркуляционную зону, в направлении к
гд г = гь
условие непроницаемости ирг = 0.
Второй член в знаменателе формулы радиуса пузыря (23) не зависит от ка и так как ка <С кь,
гь гд
определяется исключительно динамикой течения.
Знание математической модели движения сферического пузыря позволит методом конформных отображений рассмотреть аналогичную проблему для полости другой формы.
6. Заключение. Основной результат работы состоит в том, что и теорию несжимаемых дисперсных систем, и теорию псевдоожижения можно и нужно развивать путем нетривиального обобщения теории броуновского движения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Япков Я.Д. Современная теория дисперсных систем // Деп. в ВИНИТИ РАН 30.08.2016, № 123-В2016.
2. Янков Я.Д. Граничные условия в современной теории дисперсных систем // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 1. 33-39.
3. Einstein А. Uber die von der molekular-kinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchem // Ann. Phys. 1905. 17. 549-560 (рус. пер.: Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты. Собр. науч. тр. Т. 3. М.: Наука, 1966. 108-117).
4. Einstein А. Zur Theorie der Brownschen Bewegung // Ann. Phys. 1906. 19. 371-381 (рус. пер.: Эйнштейн А. К теории броуновского движения. Собр. науч. тр. Т. 3. М.: Наука, 1966. 118-127).
5. Smoluchowski М. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und Suspensionen // Ann. Phys. 1906. 21. 756-780 (рус. пер.: Смолуховский M. Кинетическая теория броуновского молекулярного движения и суспензий. Броуновское движение / Под ред. Б.И. Давыдова. М.: ОНТИ, 1936. 133-165).
6. Fluidization / Ed. by J.F. Davidson, D. Harrison. L.; N.J.: Academic Press, 1971 (рус. пер.: Псевдоожижение / Под ред. П.Д. Дэвидсона и Д. Харрисона, М.: Химия, 1974).
7. Протодьяконов И.О., Чесноков Ю.Г. Гидродинамика псевдоожиженного слоя. Л.: Химия, 1982.
Поступила в редакцию 27.11.2020
УДК 511
МОДЕЛИ ЗАДАЧИ НАЧАЛЬНОЙ ВЫСТАВКИ БЕСКАРДАННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПРИ УГЛОВОМ ДВИЖЕНИИ ОСНОВАНИЯ
Г. О. Баранцев1, А. А. Голован2, П. Ю. Кузнецов3
Работа посвящена выводу опорных моделей задачи начальной выставки бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) на неподвижном основании. Предполагается, что система не перемещается относительно Земли, но ее корпус может совершать неконтролируемые угловые движения. Описываемые модели основаны на аппроксимации показаний ныотонометров БИНС, взятых в проекциях на оси "замороженного" в инер-циальном пространстве приборного трехгранника, ориентация которого определяется его положением в начальный момент выставки.
Ключевые слова: БИНС, начальная выставка, инерциальные датчики, аппроксимация.
The problem of strapdown inertial navigation system (INS) initial alignment is considered. It is assumed that this system does not move relative to the Earth, but its body frame can perform uncontrolled angular motions. The basic mathematical models of the mentioned problem are described. These models are based on a special approximation procedure applied to accelerometer measurements. These measurements are projected onto the axes of the "frozen" INS instrument reference at the initial time instant of the alignment.
Key words: strapdown INS, initial alignment, inertial sensors, approximation.
Введение. Рассматривается известная задача начальной выставки бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) на неподвижном основании (см. [1]). Предполагается, что точка M — приведенный центр блока ньютонометров БИНС — неподвижна относительно Земли, а приборный трехгранник Mz БИНС может совершать неконтролируемые угловые движения, вызванные, например, колебаниями корпуса самолета из-за ветровых возмущений, работой двигателей, регламентными работами экипажа.
Требуется при помощи показаний датчиков угловой скорости (ДУС) w'z и ньютонометров (или акселерометров) fZ БИНС определить параметры ориентации приборного трехгранника БИНС — углы истинного курса тангажа крена y в конце выставки.
1 Баранцев Глеб Олегович — мл. науч. сотр. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gob.95Qmail.ru.
2 Голован Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aagolovanQy andex. ru.
3 Кузнецов Павел Юрьевич — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pav .kuznetsovQmail .ru.
Barantsev Gleb Olegovich — Junior Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Laboratory of Control and Navigation.
Golovan Audrey Andreevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of Laboratory of Control and Navigation.
Kuznetsov Pavel Yurievich— Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
