СВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ С КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

13. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1999.

14. Петровский A.B. Нелинейная динамика и устойчивость неконсервативных систем. М.: Изд-во МЭИ, 2003.

Поступила в редакцию 22.03.2021

УДК 532+532.529.5

СВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ С КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Я. Д. Янков1

В статье изучается, как должна выглядеть теория фильтрации с точки зрения современной теории дисперсных систем, представляющей собой нетривиальное обобщение классической теории броуновского движения.

Ключевые слова: дисперсная система, фильтрация.

The article examines how the filtration theory should look from the point of view of the modern theory of dispersed systems, which is a non-trivial generalization of the classical theory of Brownian motion.

Key words: disperse system, filtration.

1. Научная проблема. Автором fl, 2] была предложена система макроскопических уравнений, адекватно отражающих свойства дисперсных систем, при любых значениях размера дисперсных частиц и их объемного содержания. Возникает очевидный вопрос: как на ее основе вывести все макроскопические уравнения классической теории фильтрации? Анализ уравнений показал, что можно не только решить поставленную проблему, но и сформулировать новую математическую модель фильтрации в дисперсных системах.

Обратим особое внимание на то, что все понятия, формулы и уравнения в статье относятся только к теории фильтрации в дисперсных системах.

2. Уравнения движения дисперсных систем. Для дальнейшего анализа напомним предложенную в [1, 2] систему макроскопических уравнений переноса, моделирующих свойства поступательных степеней свободы дисперсных систем, записав их в изотермическом случае (Tg = const) следующим образом:

dt +Vr 3

(вд ug) 1

0,

dug ^ r. . 3 ^ 1 i mp / eg\ np t-, 1

e'~dt= [(1 + ap)P°] + 5 apVrP° ~ 2VrP0S VrPai +

+ Vr

ßg

Vrug + Vrufl* — - (V-

Ug )I

+ вд g,

(1)

+ Vr • (ripUg) = Vr • (DosVrPos - DpHpVrPg), (2)

где d/dt = d/dt + ug ■ V^^ Qg: ng, u^ pg и Tg — соответственно плотность, числовая плотность, массовая скорость, давление и температура несущей фазы, — ее вязкоеть; np и ap = vpnp — числовая плотность и объемное содержание дисперсной фазы; Q0 — плотность вещества дисперсных частиц;

1 Янков Янко Добрев — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.

Yankov Yanko Dobrev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Aeromechanics and Gas Dynamics.

§ — земное ускорение; Уг — оператор Гамильтона; I — единичный тензор; Угид* — транспонированный тензор Уг ид. Коэффициенты осмотической диффузии и бародиффузии Ор определены выражениями

n Dos Шр( Qg \ ( Qp Л 1 3

Do* = wg> Пр = ^щ[ 7р)= р\Уя~ )' Vp = 6™» (3)

где Db — коэффициент броуновской диффузии сильно разреженных дисперсных систем, mg и mp — соответственно масса молекул несущей фазы и масса твердых частиц, k — константа Больцмана. Объем твердых частиц vp зависит от диаметра частиц ap. Через pos = (1 + 4apxpp)npkTg обозначили осмотическое давление твердых частиц. Существующие экспериментальные данные не позволяют определить явный вид функции %pp = Xpp(ap) для концентрированных систем, но есть определенные основания считать, что с ростом числовой плотности дисперсной фазы осмотическое давление будет расти таким образом, что в состоянии плотной упаковки твердых частиц примет бесконеч-

Dos

определить экспериментально.

Массовая скорость твердых частиц up определится по формуле

UpUp = UpUg — (DosVrPos - DpUpVrPg) (4)

после решения макроскопических уравнений (1) и (2).

В дальнейшем будем предполагать, что в состоянии хаотической плотной упаковки значения числовой плотности ng и объемного содержания ap = vpnp дисперсной фазы известны и постоянны. Плотность несущей фазы Qg связана с объемным содержанием твердых частиц ap формул ой Qg = Q0(1 — ap), где q0 — плотность вещества несущей фазы.

Естественно, что для полного замыкания системы макроскопических уравнений необходимо

Pg Qg

Очевидно, предложенная теория является нетривиальным обобщением классической теории броуновского движения [3-5].

3. Основной закон фильтрации в дисперсных системах. Под фильтрацией понимается такое движение несущей фазы (жидкости или газа), при котором дисперсная фаза (твердые сферические частицы) остается в состоянии покоя (up = 0). Понятно, что скорость частиц up = 0 тогда и только тогда, когда выполняется условие

^{^»-fO-fM- (5>

что следует из формулы (4). В нем через Qp = mpnp обозначена плотность дисперсной фазы.

С термодинамической точки зрения условие изотермичности (Tg = const) совместно с условием up = 0

Полученное соотношение (5) назовем основным законом фильтрации в дисперсных системах. Физический смысл этого закона очевиден: конвективный поток твердых частиц уравновешивается суммой потоков осмотического давления и бародиффузии. Сформулированный основной закон фильтрации в дисперсных системах определяет необходимые и достаточные условия, чтобы дисперсная фаза оставалась в состоянии термодинамического равновесия, хотя теория не запрещает хаотическое движение твердых частиц. С точки зрения термодинамики входящие в формулу (5) плотность

Qg np

но как функции давления pg и осмотического давления pos, т.е. Qg = Qg(pg) и np = np(pos) = const.

Dos

ng Qg

В дальнейшем для построения математической модели фильтрации необходимо вывести урав-

Pg Pos

np

основного закона фильтрации в дисперсных системах. Тогда уравнение (2) будет удовлетворяться тождественно, а (1) запишем в виде

ВЯ^ = ~{ 1 " | *P}VrP9 ~ \ [VrPos ~ fg (l - I ) VrP9 \ + ft,g>

(6)

пренебрегая вязкими напряжениями. С учетом фундаментального закона фильтрации (5) система уравнений (6) выглядит так:

du д Г 2 \ 1 np (7)

и формально почти совпадает с системой дифференциальных уравнений в монографии Л.С. Лейбен-зона [6, с. 76]. Основное отличие состоит в том, что не связанные между собой твердые частицы совершают хаотическое, броуновское движение даже в состоянии плотной упаковки, а это приводит к другим физическим представлениям.

4. Квазиравновесный режим течения. В теории фильтрации обычно изучаются достаточно медленные течения жидкости или газа, когда в уравнении переноса импульса можно пренебречь всеми членами, содержащими скорость up. Такой режим течения называется квазиравновесным. Система уравнений (7) максимально упростится:

1 (8) VrРд - g f ,

2Dos Qg | ка Ufl =--- 1 —

nP I Qg

где коэффициент ка = 1 — (2/5)ap = const. Выражение для скорости ug можно интерпретировать как модифицированный закон Дарси, который является следствием основного закона фильтрации в дисперсных системах.

Очевидно, что из двух уравнений (8) можно получить самое общее уравнение фильтрации

= (9)

dt np np

с математической точки зрения совпадающее с уравнением, предложенным Л.С. Лейбензоном [6, с. 78], но с другими коэффициентами. Из уравнений (8) можно также получить все уравнения классической теории фильтрации, если известно, как плотность несущей фазы Qg зависит от давления Рд.

5. Уравнение фильтрации тяжелой несжимаемой жидкости. В случае движения тяжелой несжимаемой жидкости ее плотность Qg — величина постоянная. Поэтому если направить ось z вверх по вертикали, то получаем из (9) уравнение Лапласа для давления:

ArPg = 0, (10)

так как Dos = const и Qg = const, а модифицированный закон Дарси принимает вид

_ 2DOSKg Орд _ 2DOSKg Орд _ 2DOS Kg Орд 2DQSQg

Ugx — „ ) Иду — о j UgZ — „ v-LJ-J

np ox np dy np dz np

В уравнении (10) символом Ar обозначен оператор Лапласа.

Определим понятие напор, или пьезометрический напор, выражением

+ (12)

Qg 9

Подставляя (12) в уравнения (11), получим

2Dosggg dtp _ 2Dosggg dip _ 2Dosggg dip

np dX gy np dy} gz np dz'

а из (10) будем иметь

Ar ip = 0.

(13)

Поверхность р = const называется поверхностью напора, из (12) следует, что частицы жидкости будут двигаться по линиям тока, нормальным к поверхности напора.

Из уравнений (10) и (13) получаем, что функции p(x, y, z, t) и p(x, y, z, t) гармонические и определяются граничными и начальными условиями.

6. Уравнения фильтрации газа. В данном случае плотность газа дд — функция координат и времени и определяется из уравнения состояния совершенного газа, записанного в виде

в0 = Тгдр°- (14)

В дальнейшем влиянием земного ускорения на движение газа будем пренебрегать.

Уравнение фильтрации газа получим в двух случаях: в первом коэффициент осмотической диффузии Dos постоянный, а во втором постоянно произведение Dosgg. Подставляя уравнение состояния (14) в (9), в случае Dos = const приходим к уравнению Лейбензона [6, с. 83]:

dpg 2Dos Ka ^ ^

-ТГГ = -vr • PgVrPg,

dt np

а в случае Dosgg = const — к уравнению параболического типа

ArPg

dp g _ 2Dos KaQg kTg

дЬ Пр шд

для упругого режима фильтрации.

Зная распределение давления рд, очевидным образом найдем скорость ид, а для осмотического давления рС8 из соотношений (5) и (8) получим систему из трех уравнений в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции:

1 вр (л вд

VrPos = -2 j/ia - - - J jVrPg + 2çgg,

которую во всех рассмотренных случаях несложно найти.

Изучая квазиравновесное течение жидкости или газа, заметим, что их движение достаточно медленное. Возникает естественный вопрос о том, как моделировать более быстрые течения, когда скоростью несущей фазы ug в уравнении переноса импульса нельзя будет пренебречь. Такой режим течения будем называть неравновесным.

7. Математическая модель неравновесной фильтрации в дисперсных системах. Модель неравновесной фильтрации в дисперсных системах можно построить на основе теории несжимаемых дисперсных систем, уравнения которой можно вывести так: уравнение состояния несущей фазы запишем в виде дд = дд(pg,Tg) и аналогично для дисперсной фазы np = ng(pos,Tg), а затем считаем, что плотность дд и числовая плотность np постоянны. При этом предполагается, что дисперсная фаза находится в состоянии хаотической плотной упаковки. В результате уравнения переноса будут выглядеть так:

Vr ■ Ug = 0, (15)

Qg lit = "j1 ~ \ ap}VrP° ~ ~ ^ ~ ^o) + Vg^rUg + 6gg, (16)

Vr ■ (npUg) = Vr ■ (DosVrPos - DpnpVrPg). (17)

ug pg

pos

кость несущей фазы известны и постоянны. При указанных условиях по формуле

S HW

можно ввести потенциал скорости неравновесной фильтрации Ф = Ф(х,у, z,t) и записать фундаментальный закон фильтрации в виде

Ug = Vr Ф. (19)

После подстановки (19) в уравнение (17) полученное уравнение удовлетворится тождественно, а из уравнения неразрывности (15) будем иметь уравнение Лапласа

Дг Ф = 0 (20)

для потенциала скорости неравновесной фильтрации в дисперсных системах. Это основное уравнение предлагаемой модели.

Уравнение переноса импульса (16) запишем в форме Ламба:

,2

1 Y7 L 8Р (л , ^

<21)

где вихрь Пд определен формулой Пд = Уг х ид. Для любого вектора а выполняется равенство

Да = У(У ■ а) -Ух (Ух а),

а в силу уравнения неразрывности (15) будем иметь

Дгид = —Уг х 0,д.

Однако так как вектор скорости ид потенциален (Пд = 0), то из (21) следует дид , ^ и2 _ /1 2 \т7 Рд 1 тг 6р (л Яд

т + Vrf = _ - -vr|p„ - fa ^ - M - g. m

Подставляя выражение (19) в систему уравнений (22), окончательно получим

У.

где неизвестное давление pg связано с потенциалом скорости неравновесной фильтрации в дисперсных системах Ф. Очевидно, что если ось z координатной системы направить вертикально вверх, а ускорение силы тяжести — вдоль вертикали вниз, то система уравнений (23) легко решается:

§ + W)2 + {l - * + -Зг-Ф +gz = C(t), (24)

dt 2 15 J Qg 2 Qg Dos

здесь C(t) — произвольная, не зависящая от координат функция времени. Полученный первый интеграл можно рассматривать как обобщение интеграла Коши-Лагранжа.

Все макроскопические параметры можно найти следующим образом: сначала решаем уравнение

Ф

Pg из выражения (24), а осмотическое давление pos — из формулы (18). Определенный формулой (12) напор р можно найти из обобщенного интеграла Коши-Лагранжа (24)

и использовать в тех задачах, где это целесообразно.

8. Граничные условия для модели неравновесной фильтрации в дисперсных системах. Далее будут обсуждаться граничные условия только для модели неравновесной фильтрации в дисперсных системах. Наше внимание будет направлено на то, как вывести эти условия из общих принципов современной теории дисперсных систем [2]. Однако в случае несжимаемых дисперсных систем все сильно упрощается. Прежде всего систему дифференциальных уравнений (15) и (16) можно записать в виде

Уг ■ ий = 0, (25)

¿и

9д = + ЦдАгиЙ + (26)

характерном для вязкой несжимаемой жидкости. В уравнении (26) сделана замена переменных

либо с учетом (18) получим

Р = I 1 - -Ор ) Va + — Ф.

I к р 119 2Dos

или

Очевидно, что систему дифференциальных уравнений (25) и (26) можно записать в дивергентной форме и получить интегральные соотношения на поверхности разрыва. Однако для уравнения переноса импульса это возможно только в случае несжимаемых дисперсных систем.

В нашем случае при переходе через поверхность разрыва должны сохраняться поток массы, поток импульса несущей фазы (жидкости или газа) и поток массы твердых частиц:

№ (d - un) = в™ (d - ug) , (27)

Q(l)u« (D - и$) - F« ■ n = q(2)ug2) (D - )2)) - Pg2) ■ n, (28)

Q{pl) (D - uPpl2) = вP2) (D - ug) , (29)

Qp ) - Ugn) - mPJpm, = вр ) - Ugn) - mPJpn ,

где приняты обозначения: u,gn = ug ■ n upn = up ■ n и Jpn = Jp ■ n, & n и D — соответственно нормаль и скорость перемещения поверхности разрыва. Диффузионный поток твердых частиц

Jp = mp(DOS Vr pos Dpnp^r 'Pg )

и тензор напряжений несущей фазы

Pg = -PI + 2/j.g eg (30)

замыкают соотношения (28) и (29). В тензоре напряжения (30) обозначен через eg тензор скорости деформации несущей фазы.

Если несущая фаза состоит из двух несмешивающихся жидкостей или из жидкости и газа, а дисперсная фаза — из твердых частиц одного размера, то поверхность их раздела является сильным разрывом и называется поверхностью депрессии или фреатической поверхностью. Эта граница непроницаема для компонент несущей фазы, и на ней согласно (27) имеют место кинематические условия

D - ЦП) =0, D - ЦП =0 (31)

и два динамических условия

Р%)Щ n = р(213)щ nи pOS) = pO2S) (32)

— соответственно проекция уравнения сохранения потока импульса несущей фазы (28) на нормаль к поверхности депрессии и равенство осмотических давлений твердых частиц на обеих сторонах разрыва.

Если вспомнить, что на поверхности раздела с уравнением f (х, у, х,Ь) =0 единичные векторы нормали п и скорости движения поверхности Ю равны

n= gradf , D =__i—П,

|grad f |grad f |

то из формул (31) для поверхности получим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка

<9/ <9Ф <9/ <9Ф <9/ <9Ф <9/ _

дЬ дх дх ду ду дх дх '

в котором воспользовались основным законом фильтрации в дисперсных системах (19). В потенци-

Ф

несущей фазы.

Окончательный вид компонент тензора напряжения несущей фазы, входящих в динамические условия (32), получим после того, как компоненты тензора скорости деформации выразим через

Ф

1 ( д2Ф д2 Ф е-а = т: т^г--Ь

v 2 \dxidxj dxjdxi

Таким образом, получили необходимые граничные условия на поверхности депрессии. Аналогично можно получить любые граничные условия неравновесной теории фильтрации в дисперсных системах, но в этой статье нет особой необходимости это делать.

9. Заключение. Современная теория дисперсных систем позволяет построить теорию фильтрации на основе теоретических представлений, являющихся нетривиальным обобщением классической теории броуновского движения, что само по себе чрезвычайно интересно с научной точки зрения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Япков Я.Д. Современная теория дисперсных систем // Деп. в ВИНИТИ РАН 30.08.2016, № 123-В2016. М., 2016.

2. Янков Я.Д. Граничные условия в современной теории дисперсных систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 1. 33^39.

3. Einstein А. Uber die von der molekular-kinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchem // Ann. Phys. 1905. 17. 549-560 (рус. пер.: Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты / / Собр. науч. тр. Т. 3. М.: Наука, 1966. 108-117).

4. Einstein А. Zur Theorie der Brownschen Bewegung // Ann. Phys. 1906. 19. 371-381 (рус. пер.: Эйнштейн А. К теории броуновского движения // Собр. науч. тр. Т. 3. М.: Наука, 1966. 118-127).

5. Smoluehowski М. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und Suspensionen // Ann. Phys. 1906. 21. 756-780 (рус. пер.: Смолуховекий M. Кинетическая теория броуновского молекулярного движения и суспензий. Броуновское движение / Под ред. Б.И. Давыдова. М.: ОНТИ, 1936. 133-165).

6. Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.: Гостехиздат, 1947.

Поступила в редакцию 25.12.2020