Связь поромеханики и адсорбции в мультипористых твердых телах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.5

Связь поромеханики и адсорбции в мультипористых

твердых телах

W. Zhang, A. Mehrabian

Университет штата Пенсильвания, Юниверсити-Парк, Пенсильвания, 16802, США

Представлена общая определяющая модель, устанавливающая взаимосвязь между напряжением, поровым давлением и адсорбцией в мультипористых упругих твердых телах, насыщенных жидкостью. Рассмотрен общий случай сосуществования N числа поровых систем. Каждая поровая система может содержать жидкость в свободном или адсорбированном состоянии, а также в обоих состояниях. Разработанные определяющие соотношения применимы к материалам со сложной поровой структурой, содержащей поры разного масштаба. Эти соотношения получены на основе термодинамической функции плотности свободной энергии при деформации пористого твердого тела с учетом поверхностной энергии, возникающей на границе раздела между жидкой и твердой фазами. Рассмотрены частные случаи с использованием ранее опубликованных моделей пороупругости микропористых и мезопористых материалов с учетом адсорбции. Обсуждаются способы оценки определяющих параметров модели.

Ключевые слова: пороупругость, определяющая модель, пористая среда

DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_2_43

Coupled poromechanics and adsorption in multiple-porosity solids

W. Zhang1 and A. Mehrabian2

1 Department of Energy and Mineral Engineering, The Pennsylvania State University, University Park, PA 16802, USA 2 Earth and Mineral Sciences Energy Institute, The Pennsylvania State University, University Park, PA 16802, USA

This paper presents a general constitutive model to describe the coupling among bulk solid stress, pore fluid pressure, and adsorption in a fluid-saturated multiple-porosity elastic solid. The general case of N coexisting porosities is considered. Each porosity system may contain fluid in the free or adsorbed phase, as well as in both phases. Thus, the utility of the developed constitutive relations extends to materials with complex pore structures, which may involve several scales of pore size. These relations are obtained from the thermodynamic free energy density function for deformation of the porous solid frame while incorporating the surface energy stored at the interface between the pore fluid and solid phase. A number of previously published models for coupled adsorption and poroelasticity in microporous and mesoporous materials are examined as special cases. Possible means of estimating the constitutive model parameters are discussed.

Keywords: poroelasticity, constitutive modeling, porous media

Обозначения

Л, — суммарная площадь поверхности пор на единицу удельного объема недеформированного пористого материала, м2/м3; еар — безразмерная деформация сдвига; /— безразмерная функция в безразмерной математической модели;

Е — промежуточные функции для построения определяющей модели, Па;

Т — свободная энергия Гельмгольца материала на единицу удельного объема недеформирован-ного пористого материала, Па; Т, — свободная энергия Гельмгольца каркаса на единицу удельного объема недеформированного пористого материала, Па;

© Zhang W., Mehrabian A., 2023

^¡(а) — свободная энергия Гельмгольца каркаса и адсорбированного флюида на единицу удельного объема недеформированного пористого материала, Па;

О — модуль сдвига, Па; К — модуль объемного сжатия, Па; М — модуль Био, Па; N — количество поровых систем; N— модуль пористости, Па;

п — количество молекул жидкости на единицу удельного объема пористого материала, моль/м3; п(а) — количество абсорбированных молекул на единицу удельного объема породы, моль/м3; п^ — количество абсорбированных в каркасе молекул на единицу удельного объема пористого материала, моль/м3;

П® — количество абсорбированных в каркасе молекул на единицу объема каркаса, моль/м3; р — давление жидкости, Па;

— изменение давления в 7-й поровой системе, вызванное адсорбцией в /-й поровой системе, Па; рс — давление в системе трещин, Па; рт — давление в каркасе, Па; 5ар — напряжение сдвига, Па; t — время, с;

V — удельный объем, м3/моль;

х — расстояние до внутренней границы, м; а — безразмерный коэффициент Био; е — безразмерная объемная деформация пористого материала;

ет — безразмерная объемная деформация каркаса;

ц — химический потенциал, Дж/моль;

V — безразмерный коэффициент Пуассона; о — среднее нормальное напряжение, Па;

с(а) — изменение напряжения, вызванное адсорбцией в 7-й поровой системе, Па; Ф — безразмерное изменение пористости; ф0— безразмерная начальная пористость.

Верхние и нижние индексы

а — адсорбция; с — кливажная система;

0 — недеформированное (начальное) состояние; т — матрица;

7, / — индекс поровой системы.

1. Введение

Адсорбция может вызвать объемную деформацию каркаса пористых сред [1, 2]. Объемная де-

формация и поровое давление в свою очередь влияют на количество жидкости, адсорбированной на стенках пор пористого материала [3, 4]. Эмпирические модели трехсторонней связи между сорбцией, поровым давлением жидкости и напряжением или деформацией твердой фазы обычно предполагают линейную зависимость деформации, вызванной адсорбцией, от общей адсорбированной массы [5, 6]. При этом результирующая деформация суммируется с упругой деформацией для получения общей деформации, а затем и полного напряжения [7, 8]. Однако эмпирические модели не удовлетворяют требованию термодинамического равновесия между деформацией твердого тела, поровым давлением жидкости и поверхностными эффектами на стенках пор в пористой среде. Разработка более точных определяющих моделей требует расширения теории поро-упругости. Так, феноменологическая формулировка теории Био [9, 10] была модифицирована с использованием теории смесей и законов термодинамики [11-14]. Термодинамические основы поромеханики мультипористых твердых тел с двухфазным течением поровой жидкости представлены в [15-18]. Термодинамический подход к изучению поромеханики деформируемых пористых сред с одинарной пористостью был недавно расширен возможностью учета поверхностных эффектов и адсорбции [19, 20].

Построение определяющих моделей адсорбции и поромеханики продолжает привлекать интерес исследователей, что отчасти связано с возможностью их применения для добычи углеводородов из таких пород, как уголь или органические сланцы [1]. Теория пороупругости также применима для изучения адсорбции паров на поверхности золота с низкой пористостью [21], разработки датчиков, основанных на химии поверхностных явлений [22], а также для описания потока газа через цеолитовую мембрану [23]. Термодинамические модели адсорбции и деформации включают выражения для свободных энергий упругого каркаса, а также поровой жидкости в свободной и адсорбированной фазах, причем последняя рассматривается как поверхностный эффект. Разработка этих моделей часто предполагает использование соотношения Гиббса-Дюгема [19], хотя ВгосЬаМ и Нопогю [24] предложена менее строгая зависимость для химического потенциала, давления и молярного объема поровой жидкости. Успехи в этой области были достигнуты при разработке связанных определяющих соотношений

для микропористых материалов с одинарной пористостью, в которой поровая жидкость существует только в адсорбированной фазе [25], а также для мезопористых твердых тел, содержащих по-ровую жидкость как в адсорбированной, так и в свободной фазах [20, 26]. Позже эта модель была расширена и применена к метаноносным угольным пластам, где сорбция газа происходит в твердой фазе угля, а кливажная система содержит газ только в свободной фазе [27-30]. В некоторых работах поверхность раздела «жидкость - твердое тело» пористых сред рассматривается как отдельная термодинамическая система [4, 31], что позволяет учитывать поверхностные эффекты при термодинамическом подходе к описанию деформации твердой фазы. Также разработаны модели молекулярного моделирования в рамках функциональной теории плотности [32], статистической механики [33] и молекулярной динамики [34]. Частные модели, связывающие адсорбцию с деформацией, получены путем уточнения либо результирующего общего напряжения [35], либо изменения пористости [26, 36] в определяющих соотношениях классической поромеханики.

Взаимодействие адсорбционных процессов, одновременно происходящих в обеих системах материала с двойной пористостью, или их взаимное влияние на объемную деформацию и изменение пористости любой поровой системы не было ранее изучено. Кроме того, в литературе не встречаются обобщения теории на пористые среды с более чем двумя поровыми системами. С развитием технологий визуализации в субмикронном масштабе и соответствующих методов анализа в рамках геологических и биологических исследований стало известно, что некоторые природные материалы имеют несколько типов пористости, отличающиеся размером пор, геометрией, проницаемостью и адсорбционными свойствами [37-39]. Например, в сланцах различают системы трещин разного масштаба, органические поры, пустоты внутри частиц и пористость неорганической матрицы [40, 41]. С момента выхода работы Барен-блатта о теории фильтрации [42] появилось много исследований по обобщению теории пороупру-гости Био на систему с двойной пористостью [37, 43-50]. Дальнейшее расширение теории пороуп-ругости для мультипористых сред можно найти в [51-53].

В настоящей статье представлена общая определяющая модель трехсторонней связи напряжения в твердой фазе, порового давления и адсорб-

ции жидкости в мультипористой среде с произвольным числом N поровых систем. Рассмотрен общий случай адсорбции во всех сосуществующих поровых системах. Адсорбция жидкости на стенках пор продолжается до достижения термодинамического равновесия. Равновесное время адсорбции в пористых материалах с достаточно малой проницаемостью может быть значительно короче продолжительности макроскопических процессов переноса жидкости в поровом пространстве. Это особенно характерно для горных пород с достаточно низкой проницаемостью, таких как сланцы и уголь [54]. В связи с этим сделано предположение, что адсорбция является мгновенным процессом. Формулы выведены на основе функции плотности свободной энергии пористого материала. В эту функцию последовательно вводят соотношения Максвелла и Гиббса-Дюгема, чтобы получить выражения для полного напряжения, а также порового давления жидкости для каждой поровой системы. Показано, что взаимное влияние адсорбции и порового давления жидкости в системах мультипористого композита приводит к линейному росту числа членов кажущегося напряжения, в то время как число членов кажущегося давления адсорбции увеличивается с большей скоростью. В силу этого представлен необходимый и достаточный набор дополнительных параметров или переменных для описания сорбирующей мультипористой среды. Рассмотрены частные случаи представленной общей модели в сравнении с предыдущими исследованиями. Среди них модель пороупругого твердого тела с N числом поровых систем и без адсорбции [55], модель пороупругого тела с двойной пористостью и адсорбцией только в одной поровой системе [27], модель мезопористого твердого тела с одинарной пористостью, в котором поровая жидкость существует как в адсорбированной, так и в свободной фазе [20], и модель микропористого твердого тела с одинарной пористостью, в котором поровая жидкость существует только в адсорбированной фазе [25].

2. Поромеханика мультипористых сред с учетом сорбции, напряжения и давления

Рассматриваемая модель пористого тела включает произвольное число N взаимопроникающих поровых систем, обозначенных нижними индексами i = 1, 2, ..., N. В каждой поровой системе флюид может существовать в свободной фазе в

объеме пор или в адсорбированной фазе на стенках пор. Поровое давление может отличаться в разных, хотя и взаимосвязанных поровых системах. Изменение порового давления, вызванное переносом порового флюида при объемном течении [52, 53] или других физических процессах [56], происходит с разной скоростью и пространственными градиентами в различных поровых системах. Это обусловлено разной проницаемостью сосуществующих в среде поровых систем. Результатом будут неравномерные возмущения порового давления флюида в разных поровых системах мультипористой и мультипроницаемой сплошной среды.

В случае изотермического процесса свободная энергия деформируемого сорбирующего мульти-пористого твердого тела, насыщенного жидкостью, может изменяться за счет работы внешнего напряжения или за счет изменения общего числа молекул жидкости в материале. Поэтому изменение свободной энергии Гельмгольца на единицу удельного объема пористого материала можно выразить как [19]

N

(1)

7=1

где о = оаа/3, 5ар — средняя нормальная и девиа-торная компоненты тензора напряжений твердого тела соответственно; е, еар — объемная и сдвиговая деформации твердого тела соответственно; п7 — общее число молекул жидкости как в свободной, так и в адсорбированной фазах в 7-й поровой системе; ц7 — химический потенциал флюида в 7-й поровой системе.

Пористый материал может накапливать энергию в трех фазах [31]: свободной жидкой фазе, твердой фазе и граничной фазе между твердой и жидкой фазами, состоящей из стенок пор и адсорбированных молекул порового флюида. Изменение свободной энергии твердой фазы ? связано с работой внешнего напряжения, работой порового давления флюида, а также с работой на поверхности. Следовательно, можно записать

N N

=сс18 + 5араеар +ХрАф, -ХСА (2)

7=1 7=1

где р7 — поровое давление 7-й поровой системы; ф7 =ф7 -ф07 — изменение пористости 7-й поровой системы, где ф7, ф07 — пористость 7-й поровой системы в текущем и исходном состояниях соответственно; А,8 — удельная площадь поверхности пор 7-й поровой системы; с8 — поверхностное напряжение вдоль границы раздела пор и жидкос-

ти в 7-й поровой системе. Поверхностное напряжение характеризует величину обратимой работы на единицу площади, необходимую для упругого растяжения существующей поверхности. Физическим объяснением поверхностного напряжения является отсутствие соседних атомов на одной стороне поверхности. Равновесное расстояние между поверхностными атомами отличается от расстояния между внутренними атомами. Чтобы сохранить структурную целостность твердого тела, наложим связь на поверхностные и внутренние атомы. Эту связь можно рассматривать как напряжение, приложенное к поверхности твердого тела [57]. При этом свободная поверхностная энергия может изменяться за счет изменения количества адсорбированных молекул или работы поверхностного напряжения [4, 31]:

(а) = Х ц 1п,(а)+Х с -сц',

? (а)

(3)

7=1

7 =1

где п7(а) — число адсорбированных молекул в единице удельного объема пористого материала в 7-й поровой системе. Если твердую фазу и граничную фазу рассматривать как одну систему, то из уравнений (2), (3) можно вывести формулу баланса свободной энергии этой системы ?/а):

( ) N N

=с118 + 5ар1еар рАф, +1Мп,(а), (4)

7=1 7=1

где = + (а)— изменение свободной

энергии твердой фазы и адсорбированной фазы. Смысл уравнения (4) заключается в том, что свободную энергию твердой и граничной фаз можно изменить за счет работы внешнего напряжения, работы давления поровой жидкости и изменения числа адсорбированных молекул.

В случае микрооднородного и изотропного материала адсорбция жидкости не оказывает влияния на зависимость девиаторных компонент тензоров напряжения и деформации [1, 19, 30]. Таким образом, девиаторные компоненты разработанной определяющей модели будут такими же, как и в традиционной теории поромеханики, т.е. 5ар = 2Оеар, где О — модуль сдвига. Поэтому для сокращения записи в дальнейшем будем опускать 5ар и еар из уравнений. Применим преобразование Лежандра к (4) и получим уравнение

N

?8(а) -Хц¿п,(а)

7=1

N

N

= с<18 + Х Рг¿ф, - Х п,(а)<1ц,г.

(5)

7=1

7=1

Из уравнения (5) можно вывести определяющее уравнение для полного напряжения в твердой фазе, используя соотношение Максвелла для е и ц,-:

авац j Fs(a) -ZN=lHdn(a)

Ф/ (i=1.....N), Hi (i=1.....N ,i * j)

сц f ав

. (6)

ф1(1-1.....N ),Ц| (1=1.....N ,1* ))

Использование первой частной производной в обеих частях позволяет упростить уравнение (6):

дп,(а)

ас

Ф,

ав

. (7)

ф/(/=1.....N ),Hi (/=1.....N)

в,ф1 (|=1.....N ),Ц| (1=1.....N ,1 * ))

Интегрирование уравнения (7) дает следующее выражение для напряжения в твердом теле: ■ - „(с)г

С = g j [в, ф/ (/=1,...,N ), Mi(i=1,..., N,i * j )]

dH. (8)

Ц an(a)

- J

дв

ф1 (1-1.....N ),Ц/(1-1.....N)

Используя соотношение Гиббса-Дюгема в изотермических условиях ^ - Vdp, где V — удельный молярный объем порового флюида, уравнение (8) можно переписать как

С = /<) )[в, ф (1-1,..., N), р1 (1 -1,..., N ,1 * )

Р/ an(a)

-J

ав

V, dp.

(9)

ф1 (i=1.....N), pi (i=1.....N)

В уравнениях (8), (9) g/)с)— произвольные интегрируемые функции. Уравнение (9) можно записать для каждой поровой системы, принимая ) = 1, 2, ..., N, в результате чего получим уравнения

с - Л^В Ф-- ФN, P2, ..., PN]

- p ania)

0 ав

V[dp,

Ф1,...,ФN, Pl,..., Pn

С = ./2(с)[в,ф,..., ФN, P1, Рз,..., Pn]

p2 an2a)

-J 2

ав

V2dp,

Фl,...,ФN, p^.., Pn

с = fN)\в, Фl,..., ФN, Рl,..., PN-1]

Pn an(a) - J N

ав

Vn dp.

(10a)

(10b)

(10c)

Дифференцирование по р2 в уравнениях (10а), (10Ь) дает

дс _ д/1(О)

аР2 аР2 '

(11a)

ас

аР2

an2a)

ав

V2.

(11Ь)

ф1,...,фN, Pl,..., PN

После вычитания уравнения (11а) из (11Ь) имеем

а/ с) = an2a) аР2

ав

V2.

(12)

ф1,...,фN, Pl,..., PN

Тем же способом получим следующее уравнение:

д/,Сс) - дп(а)

ар,

ав

Vj.

(13)

ф^...^, Pl,..., PN

Из уравнений (10), (13) ясно, что выражение, содержащее аргумент р- функции /(с), имеет вид

Р/ anf

J^-

ав

V,dp (j = 2,..., N).

Значит

Ф^...^, Рl,..., Pn

/1(с) = F(в, Ф1,..., ФN)

N Pj anг(a)

i=2 о ^

^р, (14)

ф^...^ ,Pl,...,PN

где Е(е, ф1, ..., фдг) — произвольная функция, выражающая общую часть функции /(с) через /^ Подставляя уравнение (14) в (10а), получим уравнение для о:

с-Е(в, ф1,..., фN)

дп(а) 1-10 дв

(15)

ф1,...,фN, Pl,..., PN

Аналогичным способом можно получить определяющее уравнение для рк. Применив соотношение Максвелла к уравнению (5), где фк и ц- рассматриваются как переменные, можно записать

Fs(a) -ZNlHini

,(a)

аФк aH j

Fs(a)-ZNW''

в,Ф (i=1.....N ,i*k ),Hi (i=1.....N ,i * j)

aH jaФк

Фl,...,ФN, Рl,..., Pn

в,Ф/ (i=1.....N ,i*k ),Hi (i=1.....N ,i* j)

Приведем уравнение (16) к виду

дРк

Ф,

8,ф7 (7=1.....N ,1*к ),Ц| (1=1.....N ,7'* /)

дфк

(17)

8,ф7' (7=1.....N ),Ц7' (7=1.....N )

Интегрирование обеих частей уравнения (17) дает

рк = ^^ ('/к )[8, ф7 (7=1,..., Ц7(7 =1,..., N,7 * / )]

•V дп(,а) -1 —

дФк

¿ц. (18)

8,ф7' (7=1.....N ,7* ] ),Ц7' (7=1.....N )

Применяя соотношение Гиббса-Дюгема к уравнению (18), получим

рк = //Рк)[8 Фl, ..., ФN, р,(7=1,...,N,1 */)]

р дп(а)

- I ——

0 дФк

V Ар.

(19)

8,ф7(7=1.....N ,7* ] ), р7(7=1.....N )

Подынтегральное выражение в формуле (19) указывает на влияние адсорбции, происходящей в /-й поровой системе, на давление флюида в к-й поро-вой системе. Поскольку индекс / является произвольным, адсорбция в каждой поровой системе будет влиять на рк через подынтегральное выражение в уравнении (19). Следовательно, уравнение (19) можно записать для каждой поровой системы:

рк = //Рк)[8 Ф^". ФN, Р2,..., РN]

р дп1а)

дФк

Vldp,

8,Ф1,...,Фк-1,Фк +1,...,ФN, Рl,..., РN

Рк = /2 Рк )[8, Фl,..., ФN, Рз,..., РN ]

-р/ дп2а)

0 дФк

8,ф1,...,фк-1,Фк+1,...,Ф«, Рl,..., Рн

Рк = /м'к)[8, Ф^ ..., ФN, Р2, ..., РN-1]

(20а)

(20Ь)

Ры дп(а)

0 дФк

VNdp. (20с)

8,ф1,...,фк-1,Фк+1,...,Ф«, Рl,..., Рк Сравнивая произвольные интегрируемые функции /(Рк ^ в уравнениях (20) и их аргументы р7 (7 Ф/), можно сделать вывод, что адсорбция в каждой поровой системе будет влиять на поровое давление флюида рк только через подынтегральное выражение функции /(Рк \ Таким образом,

дР,

= 0

и

д/(рк)

дп(а)

др,

= (7*/).

8,ф1,...,фк-1,Фк+1,...,ФN, Рl, РN Следовательно, уравнения (20) будут иметь вид

Рк = Ек[8 Ф^- ФN]

"У дп,(а)

-ХI ^—

7 =10 дФк

УАр. (21)

8,ф1,...,фк-1,Фк+1,...,ФN, Рl,..., РN Используя уравнения (15) и (21), суммируем полученные определяющие уравнения для сорбирующей мультипористой пороупругой среды:

N Р' дп(а) -

^ Л • уар

Ф1,...,ФN, Рl,..., РN

7=1 0

д8

= Е[8, ф1,..., фN],

^ дп,(а) ,=10 дФ1

УАр

8,Ф2,...,ФN, Рl,..., РN

= ^[8, ф1,..., фN],

^ дп,(а)

Р2

7=1 0 дФ2

V1р

8,ф1,фз,...,фN, Рl,..., РN

= Ф^- ФN],

(22а)

(22Ь)

(22с)

^ дп,(а)

РN +Х

7=1 0 ^

V■dp

8,Ф1 ,...,ФN-1, Рl,..., РN = FN[8, Ф1,..., ФN]. (221)

Левая часть уравнений (22) содержит кажущееся напряжение или кажущееся давление, которые отвечают за сорбционные эффекты поромехани-ческого поведения мультипористого твердого тела. В отсутствие сорбции во всех поровых системах, из уравнений (22) можно вывести определяющие соотношения классической теории пороуп-ругости мультипористых сред. Если требуется линейная формулировка теории, функции Е, ..., Е^т можно получить непосредственно из мульти-пористой формулировки классической пороупру-гости без сорбционных эффектов. Полагая, что напряженное состояние пористого тела находится в пределах упругости, и в силу линейного формализма классической пороупругости мультипорис-тых сред [55, 58] можно получить следующее уравнение:

(

N _(а) Л

-хг=1„.

^ Раа ьх^ Ра

РмРа,)

Р1

Р2

К ф _ Кфф1 _Кфф2 - _ кф Л pN Г р Л

_ Кфф1 N1? N?N ф1

_ Кфф2 N2ф1 N4, - N & ф2 , (23)

_KpN NN 1 NN2 - NNN У чФN У

„(а) = р дп7(а) ., РN (24)

„7 " J 0 др

Р^ =1

Р дп,(а)

дф,

У$р. (25)

8,ф!,...,ф]+1,...,ф„, Р1,..., Рм

В уравнении (23) К — модуль объемного сжатия породы при постоянной пористости; Кф — отношение изменения давления порового флюида в 7-й поровой системе к изменению пористости в этой системе при постоянной объемной деформации и постоянной пористости в других поровых системах;

1Nф

— коэффициенты податливости пористости, характеризующие чувствительность пористости в ]-й поровой системе к изменению порового давления в этой системе при постоянной пористости в других системах и постоянной объемной деформации. После перестановки членов в правой и левой частях уравнение (23) может быть дополнено коэффициентами Био-Уиллиса а7 и модулем объемного сжатия К мультипористого каркаса:

(

N „(а) Л

7

"Хг=1„

Ф1 Ф2

Фм

Г К

а,

а0

уЧа N Г

а

а

V N11

V N 21

1/ N12

1N22

¡/NN1 1/ N N 2 р Л

а

KN

V NlN

1N 2 N

Л

1N

Р1+^N1 р(а}

х^ Ра

Р2

, srN (а)

РN +Хг=1 рМ

NN У

(26)

а также зависимостью девиаторных компонент тензоров напряжения и деформации:

5ар= 2СеаР, (27)

где К — модуль объемного сжатия мультипорис-того композита без учета флюида; а7 — коэффициент Био-Уиллиса 7-й поровой системы; N — модуль пористости [14].

Уравнения (26) и (27) составляют полную систему определяющих уравнений, описывающих деформацию, вызванную адсорбцией однокомпо-нентной жидкости мультипористыми твердыми телами. Выведенные формулы неприменимы для случая адсорбции многокомпонентной жидкости, поскольку уравнение Гиббса-Дюгема не позволяет напрямую преобразовывать переменные химического потенциала в поровое давление. Это обусловлено инерционностью фазового поведения многокомпонентных смесей [18].

В уравнении (25) член дпг(а)/дф ] связывает адсорбцию в 7-й поровой системе с изменением пористости в ]-й поровой системе. Этот член может быть ненулевым при 7 Ф], потому что адсорбция в 7-й поровой системе может вызвать деформацию твердой фазы и, соответственно, изменение ф]. По той же причине модули перекрестной пористости N (7 Ф]) в общем случае ненулевые, что подразумевает, что изменение давления жидкости в ]-й поровой системе может вызвать изменение пористости в 7-й поровой системе. Рассмотрим этот процесс на примере угля. Адсорбция жидкости порами вызывает набухание угольной матрицы, что способствует уплотнению кливажной системы [27]. Члены р]7 необязательно симметричны, поскольку сорбционные способности двух различных поровых систем могут сильно отличаться, в результате чего получены неравные значения дп(аудф ] и дп(а)/дф7. В предельных случаях, когда 7-я поровая система имеет определенные сорбционные свойства, а ]-я поровая система не является сорбирующей, результирующий член дпг(а)/ дф ] принимает конечное значение, тогда как дп(а)/дфг тождественно равен нулю. Подробное описание этой модели можно найти в разделе 3.4.

Согласно уравнениям (24), (25) оценка о(а), р(а) требует определения переменных Vi (р), дп7(а) /др, дпг(а)/дф]. Переменная V (р) представляет собой удельный объем газа, который можно легко вычислить с помощью уравнения состояния газа. Производные уравнений (24) и (25) можно дополнительно выразить как

х

дп(а)

д8

д(ГаД,)

Ф^...^, Рl,..., РN

дп(а)

д8

, (28)

Ф1,...,ФN, Рl,..., РN

дф /

1 8,Ф1,...,Ф/-1,Ф^+l,...,ФN, Рl,..., РN

д (Г Л,)

дФ /

(29)

8,Ф1,...,Ф/-1,Ф/+1,...,ФN, Рl,..., РN где Га7 — количество адсорбированной жидкости на единицу площади поверхности. Используя правило дифференцирования сложной функции, уравнения (28) и (29) можно переписать как

дп(а)

дГа

д8 дп(а)

д8

А,,- +Г

фi,...,фN, Р1,..., РN

А' д8

(30)

Ф1 ,...,ФN, Рl,..., РN

дГа

дФ,

дФ /

А +Г а

А дф

Ф/-1,Ф^+l,. Л

^, Рl,..., РN

1

. (31)

8,Ф1,...,Ф/-1,Ф/+1,...,ФN, Рl,..., РN

В уравнениях (30), (31) количество адсорбированной жидкости на единицу площади поверхности пор Га7 можно получить из имеющихся изотерм адсорбции. Обычно используется изотерма адсорбции Ленгмюра [59]:

Г . = Гт

Р,

(32)

Р, + Ри

где Гтах — максимальное количество адсорбированной жидкости на единицу площади поверхности для 7-й поровой системы; ри7 — давление Ленгмюра в 7-й поровой системе.

В изотермических моделях адсорбции, таких как изотерма Ленгмюра (32), часто принимается, что Га7 не зависит от деформации, т.е.

дГа, = дГа, = 0

дв дф/

Исходя из этого предположения, для оценки о(а), р(а) необходимо вычислить геометрические параметры дД,7/д8, дА,./дф/ а также Г)ах из уравнений (30), (31). Параметры дД,,/д8, дА,,/дф/ можно определить с помощью измерения удельной площади каждой поровой системы, значений пористости, объемной деформации до и после деформации образца. Эти параметры зависят от по-

ровой структуры мультипористого материала. Теоретические значения дА,,/д8, дА,,/дф/ можно получить в предположении идеальной поровой структуры. Такие значения дА,,/д8, дА,,/дф/ найдены в работе [19] для сферических и цилиндрических пор. Для материалов с более сложной морфологией и поровой структурой сначала применяют визуализацию с помощью компьютерной томографии, а затем по формулам (30)-(32) вычисляют дп,(а)/д8, дп,(а)/дф/.

3. Частные случаи

Разработана общая модель мультипористости, которая применима к произвольному числу поро-вых систем и процессам адсорбции в них. Показано, что соотношения, выведенные в настоящей работе для частных случаев, соответствуют ранее полученным определяющим моделям.

3.1. Мультипористое твердое тело без учета сорбции

Выведем определяющие соотношения для классической теории пороупругости мультипористого тела при отсутствии адсорбции во всех поровых системах. Удалив член, отвечающий за адсорбцию из уравнений (24), (25), приведем уравнение (26) к виду

Г с Л

Ф1 Ф2

ФN

Г К а,

а,

а0

ап

Ча N

1/N

V N

1 N12

V N 22

VNыl УК

N 2

а

N

V ^

1N2 N

1 N

NN

Г 8 Л

Р1

Р2

.Р^

.(33)

Уравнение (33) является аналогом определяющих соотношений классической пороупругости мультипористых сред, предложенных в работах [55, 58], в которых вместо пористости ф7 и модуля N использованы приращение жидкой фазы С. и модуль Био М/. Связь модулей N и Му задается следующим образом [14]:

1 * + я

М,, Ж,, К

7/

7/

где К — модуль объемного сжатия поровой жидкости; 5у- — символ Кронекера; — модуль пористости при использовании изменения пористости в качестве кинематической переменной; М7/ — обобщенный модуль Био при использовании приращения жидкой фазы в качестве кинематической переменной пороупругой фазы.

3.2. Микропористое твердое тело с одинарной пористостью и поровой жидкостью только в адсорбированной фазе

Когда размер пор пористого материала сравним с характерной длиной свободного пробега молекул газа, запасенные в порах каркаса молекулы находятся в адсорбированной фазе. В этом случае поры слишком узкие, чтобы содержать свободную жидкость. Поскольку модуль объемного сжатия материала практически равен модулю твердого зерна, коэффициент Био-Уиллиса равен нулю. При условии N = 1 и а ^ 0 из уравнения (26) можно вывести определяющую модель для данного частного случая:

р дп 0 д8

Vdp = К 8,

(35)

где п = п(а) — общее количество молекул газа в порах. Уравнение (35) соответствует уравнению, предложенному в [25]. Второе определяющее соотношение, описывающее изменение пористости в зависимости от порового давления флюида, механического напряжения и напряжения адсорбции, в этом разделе не приводится. Это связано с тем, что изменение пористости, а также соответствующей динамической переменной, т.е. механического давления р, может некорректно определяться для размеров пор, рассматриваемых в данном частном случае. Когда средний размер пор сравним со средней длиной свободного пробега молекул жидкости, объем адсорбированных молекул на стенках пор может быть сравним с общим поровым объемом. Кроме того, макроскопическое определение механического давления флюида может оказаться невозможным, если в поре отсутствует статистически адекватное количество свободных молекул флюида.

3.3. Мезопористое твердое тело с одинарной пористостью и поровой жидкостью в адсорбированной и свободной фазах

В пористой среде со средним размером пор от 2 до 50 нм поровая жидкость может находиться как в адсорбированной, так и в свободной фазах

[25]. Определяющую модель для этого случая можно получить из уравнения (26) при условии N = 1:

с + с(а) = К 8-а( р + р(а)),

Ф = а8 +—(р + р(а)) N

при

(а), ч рдп(а)

'(а)( р)=0-дг

р(а)( р)=/

р дп(а)

Vdp,

Vdp

(36)

(37)

(38)

(39)

0 дФ

или при использовании соотношения Гиббса-Дюгема:

с

(а)

(Р) = I

• дп(а)

д8

Р (а)( Р) = |

• дп(а)

дФ

1ц,

(40)

(41)

где р — поровое давление жидкости; ф — изменение пористости; па — количество адсорбированных молекул на единицу объема пористого материала, которое можно вычислить следующим образом:

п(а) =Га А,, (42)

где Га — количество адсорбированной жидкости на единицу площади поверхности пор. Подставляя уравнение (42) в (40), (41), получим

с

(а)

(Р) = I

ЦдГ а А

д8

1ц,

р

Р (а)( Р) = |

• дГа А

дф

1ц.

(43)

(44)

8, Р

Уравнения (43), (44) можно переписать, используя правило дифференциального исчисления:

с

(а)(р) = |

•ГдГа

Г"

(Р) =|

д8

дГа

А +Г

дА,

р

дф

А, +Г

д8 -а

8, Р

дф

р

Л

8, р у

1ц, (45)

1ц. (46)

Для дальнейшего упрощения полученных уравнений вводится поверхностное натяжение или поверхностная энергия у. Эта переменная является мерой работы, необходимой для создания единицы площади поверхности путем преодоления сил межмолекулярного сцепления вдоль тангенциального направления поверхности. Изотерма адсорб-

ф

ф

8

ции Гиббса связывает поверхностное натяжение с химическим потенциалом адсорбированных молекул соотношением [20, 31]

¿У = Га^, (47)

или

У = | Г,^.

(48)

С поверхностным натяжением тесно связана другая переменная — поверхностное напряжение с-. Хотя эти величины имеют одинаковую размерность, их следует различать. Поверхностное натяжение является скаляром, а поверхностное напряжение — тензором второго ранга. Для общей поверхности главные оси можно выбрать так, чтобы недиагональные компоненты были тождественно равны нулю. Кроме того, поверхность, обладающая трехкратной или более высокой степенью симметрии, характеризуется равными диагональными компонентами. Это означает, что поверхностное напряжение для поверхностей с высокой степенью симметрии изотропно и может считаться скаляром [57]. Поскольку поры (сферические, эллиптические, щелевидные) обладают, как правило, высокой степенью симметрии, поверхностное напряжение для пористой среды может быть аппроксимировано как скаляр. Это также согласуется с общим представлением о том, что поверхностные эффекты, вызванные адсорбцией, не оказывают влияния на зависимость девиаторных компонент тензора напряжения и деформации [19, 30]. Уравнение Шаттлворта связывает поверхностное напряжение с поверхностным натяжением для твердой поверхности следующей формулой [60]:

Л ду

_у+А тА:

(49)

Подставляя уравнение (48) в (45), (46), запишем

»/-„Л _

ду - ^<8 У

дв ф, р ф, р

ду дА, дф

дф в, р в, р

(50)

(51)

Согласно правилу дифференцирования сложной функции вычитание дА,/дв|фр из уравнения

(50) и дА,/ дф|£ из уравнения (51) дает

.(а)

(Р) _

дА

ф, р

А,

_дУ_

ф, р дА

ф, р

дА

дв

ф, р

А,

дА,

ф, р

/а)( р)=дф дф

_ дА,

дф

в, р (

А- Г дф

в, р

в, р

А,

дА

-у

дф дА,

-У

(52)

в, р

ф, р

(53)

Уравнение (49) позволяет упростить уравнения (52), (53) следующим образом:

дА,

дв

с

(а)

(р) _

(54)

р (а)(р) _

дА дф

ф, р

в, р

(55)

Подстановка уравнений (54), (55) в уравнения (36), (37) позволяет вывести определяющие уравнения для твердого тела с одинарной пористостью и двухфазной поровой жидкостью:

.дА

сё

(

С _Кв-а

ф, р

дА,

дф

Л

ф_ав +

N

.дА, дф

в, р

\

в, р

(56)

(57)

Уравнения (56), (57) являются аналогом уравнений, приведенных в [20], хотя для их вывода использовался несколько иной способ. Уравнения из работы [20] основаны на балансе свободной энергии твердой фазы, поэтому содержат в явном виде член, представляющий поверхностное напряжение. Формулы, выведенные в данной работе, основаны на функции свободной энергии твердой фазы и энергии, запасенной на поверхности. Показано, что общая определяющая модель, используемая в данной статье, дает аналогичные определяющие соотношения.

3.4. Мультипористое твердое тело с сорбцией в одной поровой системе

Другой частный случай относится к материалам, в которых адсорбция происходит только в одной поровой системе мультипористого твердого тела. Предположим, что жидкость может находиться в свободной и адсорбированной фазах только в поровой системе 1, в то время как другие поровые системы могут накапливать жидкость только в свободной фазе. В таком случае члены, представляющие адсорбцию в системах пористо-

1

сти от 2 до N в уравнениях (24)-(26), равны нулю. Далее уравнение (26) можно привести к виду

Гс + с(а) Л

Ф1 Ф2

ФN

Г К

а,

ап

Ча N

а

а

1N11

V N21

2

1/ N12

1/ N 22

У^! 1/ N N 2

Г 8 Л

Р1 + Рц

а

N

V ^

V N 2 N

V N

NN У

Р2 + Р2д

РN

■РЙ

(58)

Определяющие соотношения (58) можно упростить до модели с двойной пористостью. Если жидкость в поровой системе 1 находится как в свободной, так и в адсорбированной фазах, а система пористости 2 содержит только свободные молекулы жидкости, определяющая модель имеет вид

с + с(а) = К8-а1 (Р1 + р1а)) -а2 (Р2 + Р2а1), (59) Ф1 = ^8 + ^^ + р(а)) + ~~ (Р2 + Р2а1)), (60)

Ф2 = а28

N1 1

N1,:

(Р1+рЙ})+^ (Р2

^ 2

1

N.

2,1

-р2а1}). (61)

Формулировки, приведенные в уравнениях (59)-(61), можно использовать для описания деформации угля, вызванной адсорбцией. Микропористая угольная матрица адсорбирует и накапливает жидкость, а крупномасштабные кливажные трещины содержат незначительное количество адсорбированного флюида. Если матрица горной породы настолько плотная, что не имеет эффективного объема пор для хранения значительного количества молекул свободного газа, то модуль объемного сжатия матрицы становится равным твердотельному модулю. В этом случае коэффициент эффективного напряжения Био-Уиллиса матрицы будет равен нулю.

Модуль Био перекрестной пористости М7/ (или модуль пористости N при 7 Ф/) можно выразить с помощью формулы [55]

= = ООт. (62)

N М К

^ ст ст

Уравнение (62) показывает, что 1/ ^"ст обращается в ноль при ат = 0. Этот результат согласуется с выводами, сделанными в работе [15] из уравне-

ния (89), где показано, что 1/Ncm = 1/^"тс пропорционально ат.

Заменив нижний индекс 1 на т для обозначения матрицы и 2 на с для обозначения кливажной пористости, а также при условии ат ^ 0 и 1/^"ст ^ 0, уравнения (59)-(61) можно упростить до следующих уравнений: р? дп£а)

-8

Vmdp

= К8 -ас

Ф^ Рm, Рс

/гт < 0 дФс

Vmdp

Фс = ас8 ■

' Nс

8 Рm, Р,

рот -пи

0 -Фс

Vmdp

8, Рm, Рс

(63)

(64)

Объемную деформацию материала с двойной пористостью можно линейно разложить на две части на основе следующего геометрического соотношения:

8 = (1 -фс0) 8 т + (65)

где фс0 — кливажная пористость в недеформиро-ванном состоянии; фс =фс - фс0 — изменение кливажной пористости; ет — объемная деформация матрицы. По цепному правилу из уравнения (65) можно получить следующее уравнение:

-пта)

-8 т

-пта)

д8

-пта)

-Фс

(66)

8, Рm, Рс

Фc, Рm, Рс

где пт(а) — число адсорбированных молекул на единицу объема недеформированной матрицы, т. е.

З(а)_.

.(а)

1-ф

(67)

с0

Определяющие уравнения для двойной пористости, представленные в [27, 29, 30], могут быть получены путем подстановки уравнения (67) в уравнения (63), (64):

рт -пта) с+ 0

0 -8т

Vmdp

(

= К 8 - ас

Рт -пта)

Рс- 0^гт"

п -8т

Vmdp

Фс = ас8 "

N

рт -пта)

Рс - 0

-8 т

Vmdp

(68)

(69)

X

т

т

Таблица 1. Параметры материала, характеризующие адсорбцию и пороупругость мультипористых твердых тел. М— число поровых систем с адсорбированной жидкостью, Ь — число поровых систем, содержащих свободную жидкость

Модель Число параметров Параметры

Обобщенное мультипористое твердое тело: N=М, N=Ь (N + 1)(N + 2)/2 + N(N + 1) K, a N, a,(a), py(a) (i = 1-N, j = 1-N)

Мультипористое твердое тело: N=М+Ь (L + 1)(L + 2)/2 + M(L + 1) K, ah Nj, ak(a), p,,k(a) (i = 1-L, j = 1-L, k = 1-M)

Мультипористое твердое тело: М = 0, Ь = N (N + 1)(N + 2)/2 K, a,, Nj (i = 1-N, j = 1-N)

Твердое тело с двойной пористостью: Ь = 2 (мезопористость), М = 1 (микропористость) 9 K, a!, a2, N11, N12, N22, а/Чpu(a),P2,1(a)

Твердое тело с двойной пористостью: Ь = 1 (кливажная макропористость), М = 1 (микропористость матрицы) 5 K, ac, Nc, Om(l), pc,m(a)

Мезопористое твердое тело с одинарной пористостью: Ь = 1, М = 1 5 K, a, N a(a), p(a)

Микропористое твердое тело с одинарной пористостью: Ь = 0, М = 1 2 K, a(a)

В табл. 1 приведены параметры (зависящие от давления или постоянные), необходимые для описания объемной деформации пористых материалов с разным числом поровых систем, насыщенных жидкостью в свободной или адсорбированной фазах, а также в обеих фазах.

4. Выводы

В работе получены определяющие уравнения, устанавливающие взаимосвязь между напряжением, поровым давлением, деформацией, пористостью и адсорбированной массой в мультипорис-том пороупругом материале. Определяющие уравнения выведены на основе термодинамической функции плотности энергии материала. Разработанная модель учитывает адсорбционные процессы, протекающие одновременно в любом количестве сосуществующих поровых систем. Определяющая модель показывает, что адсорбция флюида во всех поровых системах будет вызывать изменение предварительного напряжения и предварительного давления в пористой среде. Величина механических эффектов, вызванных адсорбцией, зависит от дпг(а)/дв и дпг(а)/дф;, которые можно свести к соответствующим производным от площади поверхности пор по изменению деформации и пористости. Показано, что для полного описания деформации, вызванной адсорбцией, для обобщенного мультипористого твердого тела с N числом поровых систем, способных к адсорб-

ции, требуется (N + 1)(N + 2)/2 + N(N + 1) параметров.

Предложенная общая модель согласуется с ранее полученными частными случаями, среди которых пороупругость мультипористой среды без сорбции, пороупругость среды с двойной пористостью и с сорбцией в одной из поровых систем, а также модели сорбции с одинарной пористостью для пороупругих материалов, известных в литературе как микропористые и мезопористые.

Литература

1. Gor G.Y., Huber P., Bernstein N. Adsorption-induced deformation of nanoporous materials—A review // Appl. Phys. Rev. - 2017. - V. 4. - P. 011303.

2. Hol S., Spiers C.J. Competition between adsorption-induced swelling and elastic compression of coal at CO2 pressures up to 100 MPa // J. Mech. Phys. Solids. -2012. - V. 60. - P. 1862-1882.

3. Pini R., Ottiger S., Burlini L., Storti G., Mazzotti M. Role of adsorption and swelling on the dynamics of gas injection in coal // J. Geophys. Res. B. - 2009. -V. 114. - P. 04203.

4. Eskandari-Ghadi M., Zhang Y. Mechanics of shrinkage-swelling transition of microporous materials at the initial stage of adsorption // Int. J. Solids Struct. -2021. - V. 222-223. - P. 111041.

5. Palmer I., Mansoori J. Permeability depends on stress and pore pressure in coalbeds: A new model // SPE Res. Eval. Eng. - 1998. - V. 1(6). - P. 539-544.

6. Shi J.Q., Durucan S. Drawdown induced changes in permeability of coalbeds: A new interpretation of the

reservoir response to primary recovery // Transp. Porous Med. - 2004. - V. 56(1). - P. 1-16.

7. Connell L.D., Detournay C. Coupled flow and geome-chanical processes during enhanced coal seam methane recovery through CO2 sequestration // Int. J. Coal Geol. - 2009. - V. 77(1-2). - P. 222-233.

8. Cui X., Bustin R.M. Volumetric strain associated with methane desorption and its impact on coalbed gas production from deep coal seams // AAPG Bull. - 2005. -V. 89(9). - P. 1181-1202.

9. BiotM.A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. - 1941. - V. 12. - P. 155-164.

10. Biot M.A., Willis D.G. The elastic coefficients of the theory of consolidation // J. Appl. Phys. - 1957. -V. 24. - P. 594-601.

11. Bowen R.M. Incompressible porous media models by use of the theory of mixtures // Int. J. Eng. Sci. -1980. - V. 18(9). - P. 1129-1148.

12. Bowen R.M. Compressible porous media models by use of the theory of mixtures // Int. J. Eng. Sci. -1982. - V. 20(6). - P. 697-735.

13. Coussy O., Dormieux L., Detournay E. From mixture theory to Biot's approach for porous media // Int. J. Solids Struct. - 1998. - V. 24. - P. 3508-3524.

14. Coussy O. Poromechanics. - Chichester: Wiley, 2004.

15. Zhang Q., Borja R.I. Poroelastic coefficients for aniso-tropic single and double porosity media // Acta Geo-tech. - 2021. - V. 16. - P. 3013-3025.

16. Zhang Q., Yan X., Shao J. Fluid flow through anisotro-pic and deformable double porosity media with ultra-low matrix permeability: A continuum framework // J. Pet. Sci. Eng. - 2021. - V. 200. - P. 108349.

17. Zhang Q., Yan X., Li Z. A mathematical framework for multiphase poromechanics in multiple porosity media // Comp. Geotech. - 2022. - V. 146. - P. 104728.

18. Zhang W., Mehrabian A. Full coupling of CO2-CH4 transport and sorption with solid deformation in gas shale enhances natural gas recovery and geological CO2 storage capacity // J. Nat. Gas Sci. Eng. - 2022. -V. 106. - P. 104736.

19. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids. -Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd., 2010.

20. Vandamme M., Brochard L., Lecampion B., Coussy O. Adsorption and strain: The CO2-induced swelling of coal // J. Mech. Phys. Solids. - 2010. - V. 58. -P. 1489-1505.

21. Detsi E., Chen Z.G., Vellinga W.P., Onck P.R., De Hosson J.T.M. Reversible strain by physisorption in nanoporous gold // Appl. Phys. Lett. - 2011. - V. 99. -P. 083104.

22. Liu M., Zhang Y., Wu J., Gan Y., Chen C.Q. Analytical solutions for elastic response of coated mesoporous materials to pore pressure // Int. J. Eng. Sci. - 2016. -V. 107. - P. 68-76.

23. Barrer R.M. Flow into and through zeolite beds and compacts // Langmuir. - 1987. - V. 3(3). - P. 309-315.

24. Brochard L., Honorio Y. Revisiting thermo-poro-me-chanics under adsorption: Formulation without assuming Gibbs-Duhem equation // Int. J. Eng. Sci. -2020. - V. 152. - P. 103296.

25. Brochard L., Vandamme M., Pellenq R.J.M. Poromechanics of microporous media // J. Mech. Phys. Solids. - 2012. - V. 60. - P. 606-622.

26. Perrier L., Pijaudier-Cabot G., Grégoire D. Porome-chanics of adsorption-induced swelling in microporous materials: A new poromechanical model taking into account strain effects on adsorption // Continuum Mech. Thermodyn. - 2015. - V. 27. - P. 195-209.

27. Nikoosokhan S., Vandamme M., Dangla P. A poromechanical model for coal seams injected with carbon dioxide: From an isotherm of adsorption to a swelling of the reservoir // Oil Gas Sci. Technol. Rev. IFP Energies Nouvelles. - 2012. - V. 67. - P. 777-786.

28. Espinoza D.N., Vandamme J.M., Dangla P., Perei-ra J.M., Vidal-Gilbert S. A transverse isotropic model for microporous solids: Application to coal matrix adsorption and swelling // J. Geophys. Res. Solid Earth. - 2013. - V. 118. - P. 6113-6123.

29. Espinoza D.N., Vandamme M., Pereira J.M., Dang-la P., Vidal-Gilbert S. Measurement and modeling of adsorptive-poromechanical properties of bituminous coal cores exposed to CO2: Adsorption, swelling strains, swelling stresses and impact on fracture permeability // Int. J. Coal Geol. - 2014. - V. 134-135. - P. 80-95.

30. Espinoza D.N., Vandamme M., Dangla P., Perei-ra J.M., Vidal-Gilbert S. Adsorptive-mechanical properties of reconstituted granular coal: Experimental characterization and poromechanical modeling // Int. J. Coal Geol. - 2016. - V. 162. - P. 158-168.

31. Zhang Y. Mechanics of adsorption-deformation coupling in porous media // J. Mech. Phys. Solids. -2018. - V. 114. - P. 31-54.

32. Grégoire D., Malheiro C., Miqueu C. Estimation of adsorption-induced pore pressure and confinement in a nanoscopic slit pore by a density functional theory // Continuum Mech. Thermodyn. - 2018. - V. 30. -P. 347-363.

33. Chen M., Coasne B., Derome D., Carmeliet J. Coupling of sorption and deformation in soft nanoporous polymers: Molecular simulation and poromechanics // J. Mech. Phys. Solids. - 2020. - V. 137. - P. 103830.

34. Kulasinski K., Guyer R., Derome D., Carmeliet J. Po-roelastic model for adsorption-induced deformation of biopolymers obtained from molecular simulations // Phys. Rev. E. - 2015. - V. 92(2). - P. 022605.

35. Gor G.Y., Neimark A.V. Adsorption-induced deformation of mesoporous solids // Langmuir. - 2010. -V. 26. - P. 13021.

36. Pijaudier-Cabot G., Vermorel R., Miqueu C., Mendi-boure B. Revisiting poromechanics in the context of microporous materials // Comptes Rendus Méc. -2011. - V. 339. - P. 770.

37. Cowin S.C., Gailani G., BenallaM. Hierarchical poro-elasticity: Movement of interstitial fluid between porosity levels in bones // Philos. Trans. Roy. Soc. A. Math. Phys. Eng. Sci. - 2009. - V. 367(1902). -P. 3401-3444.

38. Tully B., Ventikos Y. Cerebral water transport using multiple-network poroelastic theory: Application to normal pressure hydrocephalus // J. Fluid Mech. -

2011. - V. 667. - P. 188-215.

39. Curtis M.E., Sondergeld C.H., Ambrose R.J., Rai C.S. Microstructural investigation of gas shales in two and three dimensions using nanometer-scale resolution imaging // Microstruct. Gas Shales. AAPG Bull. -

2012. - V. 96(4). - P. 665-677.

40. Slatt R.M., Abousleiman Y. Merging sequence stratigraphy and geomechanics for unconventional gas shales // The Leading Edge. - 2011. - V. 30(3). -P. 274-282.

41. Zhang W., Xu J., Jiang R., Cui Y., Qiao J., Kang C., Lu Q. Employing a quad-porosity numerical model to analyze the productivity of shale gas reservoir // J. Pet. Sci. Eng. - 2017. - V. 157. - P. 1046-1055.

42. Barenblatt G.I., Zheltov I.P., Kochina I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks // J. Appl. Math. Mech. - 1960. -V. 24(5). - P. 1286-1303.

43. Wilson R.K., Aifantis E.C. On the theory of consolidation with double porosity // Int. J. Eng. Sci. - 1982. -V. 20(9). - P. 1009-1035.

44. Beskos D.E., Aifantis E.C. On the theory of consolidation with double porosity—II // Int. J. Eng. Sci. -1986. - V. 24. - P. 1697-1716.

45. Auriault J.L., Boutin C. Deformable porous media with double porosity. Quasi-statics. I. Coupling effects // Transp. Porous Med. - 1992. - V. 7. - P. 63-82.

46. Elsworth D., Bai M. Flow-deformation response of dual-porosity media // J. Geotech. Eng. - 1992. -V. 118(1). - P. 107-124.

47. Berryman J.G., Wang H.F. The elastic coefficients of double-porosity models for fluid transport in jointed rock // J. Geophys. Res. Sol. E. - 1995. -V. 100(B12). - P. 24611-24627.

48. Berryman J.G. Extension of poroelastic analysis to double-porosity materials: New technique in microgeo-

mechanics // J. Eng. Mech. - 2002. - V. 128(8). -P. 840-847.

49. Rohan E., Naili S., Lemaire T. Double porosity in fluid-saturated elastic media: Deriving effective parameters by hierarchical homogenization of static problem // Continuum Mech. Thermodyn. - 2016. -V. 28. - P. 1263-1293.

50. Svanadze M. Potential method in the coupled theory of elastic double-porosity materials // Acta Mechanica. -2021. - V. 232. - P. 2307-2329.

51. Hellmich C., Celundova D., Ulm F.J. Multiporoelasti-city of hierarchically structured materials: Microme-chanical foundations and application to bone // J. Eng. Mech. - 2009. - V. 135(5). - P. 382-394.

52. Mehrabian A., Abousleiman Y.N. Generalized Biot's theory and Mandel's problem of multiple-porosity and multiple-permeability poroelasticity // J. Geophys. Res. Solid Earth. - 2014. - V. 119(4). - P. 2745-2763.

53. Mehrabian A., Abousleiman Y.N. Gassmann equations and the constitutive relations for multiple-porosity and multiple-permeability poroelasticity with applications to oil and gas shale // Int. J. Num. Anal. Meth. Geo-mech. - 2015. - V. 39(14). - P. 1547-1569.

54. Gawor M., Skoczylas N. Sorption rate of carbon dioxide on coal // Trans. Porous Media. - 2014. -V. 101. - P. 269-279.

55. Mehrabian A. The poroelastic constants of multiple-porosity solids // Int. J. Eng. Sci. - 2018. - V. 132. -P. 97-104.

56. Liu C., Mehrabian A., Abousleiman Y.N. Theory and analytical solutions to coupled processes of transport and deformation in dual-porosity dual-permeability poro-chemo-electro-elastic media // J. Appl. Mech. -2018. - V. 85(11). - P. 111006.

57. Cammarata R.C. Surface and interface stress effects in thin films // Prog. Surf. Sci. - 1994. - V. 46. - P. 1-38.

58. Mehrabian A., Abousleiman Y.N. Theory and analytical solution to Cryer's problem of N-porosity and N-permeability poroelasticity // J. Mech. Phys. Solids. -2018. - V. 118. - P. 218-227.

59. Langmuir I. The adsorption of gases on plane surfaces of glass, mica and platinum // J. Am. Chem. Soc. -1918. - V. 40. - P. 1403-1461.

60. Shuttleworth R. The surface tension of solids // Proc. Phys. Soc. A. - 1950. - V. 63. - P. 444.

Поступила в редакцию 01.07.2022 г., после доработки 07.10.2022 г., принята к публикации 11.10.2022 г.

Сведения об авторах

Wei Zhang, Dr., The Pennsylvania State University, USA, wei.zhang3@ucalgary.ca

Amin Mehrabian, PhD, Assist Prof., The Pennsylvania State University, USA, amin.mehrabian@psu.edu