Связь однородных бент-функций и графов пересечений Текст научной статьи по специальности «Математика»

52

Прикладная дискретная математика. Приложение

9. Canfield E. R., Gao Z., Greenhill C., et al. Asymptotic enumeration of correlation-immune

Boolean functions // Cryptography and Communications. 2010. No. 1. P. 111-126. 10. Панков К. Н. Уточнённые асимптотические оценки для числа (n, m, к)-устойчивых двоичных отображений // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. №10. С.46-49.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X711/16

СВЯЗЬ ОДНОРОДНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ И ГРАФОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ1

А. С. Шапоренко

Исследуется связь однородных бент-функций и графов пересечений Г(п,£). Граф

Г(„Д, -граф, верШИНЫ КСТОРОГС СОС,™,^ НеуП°ряд°ЧеННЫМ подмнс-

жествам размера к множества {1,... ,п}, две вершины соединены ребром в том и только в том случае, если соответствующие им подмножества имеют в точности один общий элемент. Выделены те п и к, для которых справедливо, что в Г(п,^) есть клики размера к + 1. Выдвинуто предположение о том, что для таких п и к клики размера к + 1 являются максимальными. Получено, что при п = (к + 1)к/2 количество клик размера к + 1 в графе Г(п,к) равно п!/(к + 1)!. Установлено, что однородные булевы функции, полученные путём взятия дополнения к кликам максимального размера в графах Г(10,4) и Г(28,7), не являются бент-функциями.

Ключевые слова: графы пересечений, однородные бент-функции.

Бент-функцией называется булева функция от п переменных (п чётно), такая, что расстояние Хэмминга от данной функции до множества всех аффинных функций является максимально возможным. Бент-функция называется однородной, если все одночлены её АНФ имеют одинаковые степени.

В [1] определён граф пересечений Г(п,&), вершины которого соответствуют ^

неупорядоченным подмножествам размера к множества {1,... ,п}. Две вершины соединены ребром в том и только в том случае, если соответствующие подмножества имеют в точности один общий элемент. Будем называть дополнением к клике графа Г(га,к) множество всех вершин этого графа, кроме тех, которые являются вершинами рассматриваемой клики.

В графе Г(6,3) 20 вершин вида {а,Ь,е}, где а,Ь,е Е {1,..., 6} и различны. В этом графе были выделены клики размера 4 (к +1) и, как указано в [1], такой размер клики является максимальным. Всего в графе Г(6 3) 30 таких клик.

В Г(6,з) дополнением к клике С с вершинами {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5} и {2, 4, 6} будет множество, состоящее из 16 вершин. Если мы будем сопоставлять вершинам {£, т,п} одночлены хцхтхп, то 16 вершин дополнения к клике С будут соответствовать 16 одночленам АНФ однородной бент-функции от шести переменных степени 3 [2]. Поскольку таких клик 30 (равно как и однородных бент-функций от шести переменных степени 3 [2]), справедливо, что такие функции находятся во взаимно однозначном соответствии с дополнениями клик (максимальных) С графа Г(6 3), % = 1,... , 30. Встаёт вопрос о возможности классификации однородных бент-функций от большего числа переменных с помощью выделения некоторого подмножества вершин графа Г(п,&).

1 Работа поддержана Министерством образования и науки (задание №1.12875.2018/12.1).

Дискретные функции

53

Теорема 1. В графе Г(п,к), n, k G N, не всегда есть клика размера k + 1.

Теорема 2. Пусть n ^ (k + 1)k/2, k G N. Тогда в графе Г(п,к) найдётся клика размера k + 1 .

Теорема 3. Если в графе Г(п,к), n, k G N, есть клика размера k + 1, она не всегда является максимальной.

Компьютерные вычисления показали, что для n = 10 и k = 4 максимальный размер клики в графе Г(10,4) равен 5. В этом случае (как и в случае n = 6 и k = 3) n выражается через k формулой n = (k + 1)k/2. В связи с этим появляется предположение о том, что при n = (k + 1)k/2, k G N, в графе Г(га,&) клика размера k + 1 является максимальной.

Теорема 4. Пусть n = (k + 1)k/2, k G N. Тогда в графе Г(п,к) количество клик размера k + 1 равно n!/(k + 1)!.

Было установлено, что однородные булевы функции, полученные путём взятия дополнения к кликам максимального размера в графах Г(10,4) и Г(28,7), не являются бент-функциями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Charnes С., Rotteier M., and Beth T. Homogeneous bent functions, invariants, and designs // Designs, Codes and Cryptography. 2002. No. 26. P. 139-154.

2. Qu C., Seberry J., and Pieprzyk J. Homogeneous bent functions // Discrete Appl. Math. 2000. V. 102. No. 1-2. P. 133-139.