CC BY
28
ЮОЭКСПЛУАТАЦИЯ
УДК 539.3:630*31
С.И. Морозов, Д.Н. Шостенко
Морозов Станислав Иванович родился в 1929 г., окончил в 1952 г. Ленинградскую лесотехническую академию, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Архангельского государственного технического университета, член-корреспондент РИА, заслуженный деятель науки и техники РФ. Имеет более 160 печатных работ в области изучения устойчивости температурно-напряженного рельсового пути, закрепления его от угона рельсов, удара тел, применения ЭВМ при решении задач механики.
Шостенко Денис Николаевич родился в 1978 г., окончил в 2000 г. Архангельский государственный технический университет, аспирант кафедры теоретической механики АГТУ. Имеет 1 печатную работу в области теории удара.
СВЯЗЬ МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКОЙ И КОНТАКТНОЙ ТЕОРИЯМИ УДАРА
Дан вывод дифференциальных уравнений для решения задач удара с помощью контактной теории при соударении плоских свободных тел. Показана связь этих уравнений с расчетными зависимостями классической теории.
удар, силовая функция, сила удара, импульс ударной силы.
Как отмечено ранее [3], явление удара широко встречается в технике для различных производственных процессов. Оно требует дальнейшего как экспериментального, так и теоретического развития. В работе [4] рассмотрен способ обработки опытных данных при определении параметров силовых функций, а в работе [7] - получена теоретическая зависимость между коэффициентом восстановления 8 и параметрами силовой функции.
В данной статье приведены материалы теоретических исследований по определению связи между расчетными зависимостями в контактной и классической теориях удара.
1. Формулировка задачи.
На рис.1 показана схема соударения двух плоских свободных тел. Тело 1 - ударяющее. Оно имеет массу т1 и движется до удара со скоростями
Рис. 1.
vi и ю10. Тело 2 - ударяемое, его масса пъ, скорости v2 и ю20. Оба тела считаем абсолютно твердыми, а упругая (деформирующаяся) связь существует в точке соударения Е.
Систему координат x0y будем называть общей. В ней рассматриваем движение тел до и после удара. Положение центров масс тел (точки С1 и С2) определяем координатами х1, у1 и х2, у2.
Положение точки Е для первого тела определяется координатами х|/л уш, для второго х2е, v2б- На рис. 1 обе точки обозначены одной буквой Е, но на самом деле они отличаются друг от друга на величину а по оси х и на величину (3 - по оси у (вследствие деформаций тел).
Системы координат ~Z\En\ и ~z2En2 будем называть частными. Начало их совпадает с точкой Е. Оси П\ и п2 направляем по нормали к поверхности тел в точке соударения параллельно оси х, оси Т] и т2 направлены по касательной параллельно оси у.
Обе эти частные системы координат являются правосторонними. Положение точек Ci и С2 будем обозначать координатами р1, h1 для первого тела, р2, h2 - для второго. На рис. 1 изображены радиусы-векторы точки Е, которые проведены из точек С\ и С2. Наклон их к оси х обозначим углами (pi и ф2, которые откладываем от линий, параллельных оси х, против часовой стрелки.
Из рис. 1 находим
Р\ = Г\ coscpi; h\ = Г\ sincpi;
р2 = r2 coscp2; h2 = r2 sincp2. (1)
Деформируемую связь в точке Е можно выразить двумя способами. В классической теории ее характеризуют, по предложению И. Ньютона, кинематически с помощью уравнения
щЕщ + й2Еп2 = + v2En2), (2)
где v1E, v2E - скорости движения точки Е для первого и второго тел до удара; u1E, u2E - то же после удара;
в - коэффициент восстановления; щ,п2 - орты осей п1, п2.
В контактной теории, по предложению Г. Герца, эту связь характеризуют с помощью силовой функции. В общем случае при соударении уп-ругопластичных тел она имеет вид [1, 2]
Р„ = ВаГ, (3)
где /■'„ - нормальная сила удара;
а - деформация тел в точке Е по нормальным осям п\ и п2: В - коэффициент пластичности; п - коэффициент нелинейности.
2. Расчетные уравнения для классической теории удара. Они приведены в работах [3, 5] и имеют вид
+ + (1 + е)А ! = 0; (4а)
йД+ад +А2 = 0, (46)
где 8„, S-í - импульсы нормальных и касательных сил удара; О, G1, Н - инерциальные коэффициенты,
С =
1 1 1___1 % 1- 1 -1 ¿2 .
т1 Г П т2 Г \ •А V
1 1 \--- л. Л
т1 т2 •А ¿г
—+ —+ ^ + (5)
я_м , РгК
.] 2
где 31, ^ - моменты инерции тел относительно их центров масс; А1, А2 - скоростные коэффициенты,
А1 =у1й1 + ч2п2 +ю1й1 + ю2/?2;
А2=у1\+у2т2+(й1р1+(й2р2. (6)
Основным недостатком классической теории является то, что она не позволяет найти максимальные значения ударных сил Р„ и /'т. время соударения / и максимальные деформации тел а и Р в точке соударения тел.
3. Расчетные уравнения для контактной теории удара. Решение этой задачи разобьем на несколько этапов: а) Найдем геометрические и кинематические соотношения. Запишем уравнения, связывающие координаты точек С1, С2 и Е:
хш = X! + ^соэфь уш=У\ + Г\ этфь
х2Е = х2 + г2совфз; у2Е = у2 + г2 этфз. (7)
Продифференцируем уравнения (7) по времени и получим уравнения, связывающие скорости этих же точек:
= - г1®1 втф!; у1Е = + /\fflj СОЭф^
*2Е =х2-г2(02 8Шф2; у2Е =у2 +г2ю2 соэфг. (8)
Еще раз дифференцируем уравнения (8) по времени и получим уравнения для ускорений:
хш = хх - г1в1 этф! - 1\а>1 соэф^ х2Е =*2-г2е2 втфг -'2®2 соэфз; (9)
Уш = У\ СОЭф! -Т\(о1 51Пф,;
У 2Е =У2 + >282 СОЭфг -Г20)22 51Пф2.
Дальнейшее преобразование выполним с помощью системы уравнений (1). Получим следующие выражения:
для скоростей
х1Б =х1- ©Л; уш = + (»!/>!; х2Е =х2-ю2/?2; у2Е = у2 +а>2р2; (10)
для ускорений
хш =х1-г1И1-&1р1-, (11а)
Х2Е=Х2-^2-^1Р2', (Пб)
уш=у1+е1р1-со^И1; (11в)
У2Е=У2+е2Р2-^2- (Иг)
Вычитаем из (11а) уравнение (11б), а из (11в) уравнение (11г):
Уш У2Е = А + Б1А У2 "б2Рг +С02Л2- (12)
Обозначим [5]
Х1Е ~ Х2Е =
У\Е У2Е ~ Р' (13)
где а - деформация тел в точке Е по осям п, а = х1Е - х2Е ; Р - деформация тел в точке Е по осям т, Р = у1Е - у2Е. Значит, выражения (12) принимают вид
0, = .^ —х2 — +е2Л2 + &>\р2', (14а)
Р = & У2 +е1 Р\ "е2Рг "та1л1 +та2Л2- (146)
б) Силовые и кинематические соотношения можно выразить двумя способами:
с помощью дифференциальных уравнений движения центров масс:
т2х2=Рп, т2у2=-Рх,
отсюда
1 77 " 1 77
п\ т1
- 1 77 1 77
Х2 =-Рп, У 2 ~--
(15)
тела:
с помощью дифференциальных уравнений вращательного движения
(16)
АФ1
Так как ф) = 8; и ф2 = е2, то из уравнений (16) получим е _ рпЬ2 | 1\Рг
Л
(17)
'2 2
Знаки моментов Р„И и /',/; определяем в соответствии с расчетной схемой: плюс - при вращении тел вокруг точек С против часовой стрелки, минус - по часовой стрелке.
в) Составим дифференциальные уравнения для соударяющихся тел. Подставим выражение (17) в уравнения (14а) и (14б):
а = —- — ¥п -
ш.
ш.
ш.
2 2 ®1 а +®2А;
-Ю1Й1 +Ю2/72.
Выполним преобразования, вынося общие множители за скобки:
а. = -А,
V '»I
1 /7, /?2 ■ + —+ ■
777т
—+ —+ ^ + ^ -Р
' РА , А^г!
V >»1
1 1 — + —
777
•Л
2 2 \ Рх ,Р2
2
•Л ■>
•Л
2 2
2;
¿»А Р2^2 Л
2 / \
J
— 0С>1+С02/72. (18)
2 /
Множители, записанные в скобках, встречаются и в классической теории удара (уравнение (5)). Там их называют инерциальными коэффициентами:
_ 1 1 к1 к22 С = — + — + —+—; т1 т2 >12
1 1 А2 р\ = — + — + —+—;
т1 т2 >12
Н _ РА | РгК
.12
Значит, уравнениям (18) можно придать вид
а = (19а)
Р^Я+^ВД "05^ +05^?2. (196)
С учетом специфических особенностей между классической и контактной теориями удара уравнения (19а) и (19б) частично совпадают с уравнениями (4а) и (4б), во всяком случае множители для ударных сил и их импульсов.
4. Связь между классической и контактной теориями
удара.
Покажем теперь, что такая связь является полной. Рассмотрим, например, уравнение (19а). Умножим его обе части на Л и проинтегрируем:
\ajdt = (¡\ /<пс/1 + Н\1'\с/1 - |ю1 /;,б// +\м\р2с11 + С, (20а)
где С - постоянная интегрирования. Здесь имеем
| шй = а; | = ; | = ^.
Дифференцируя уравнение системы (1) по времени и преобразовывая, получаем
А=-®А; />2=-®г^;
К=(а1 Ри К=(агРг>
отсюда
1 / 1 /
Рх=--К Р2=-К
оо1 (02
Определим с их помощью интегралы:
/ со = | со2 — к^ = 051й1;
/ <Л2Р2& = / 052 -И2с11 = Ю2/?2 •
ю2
В результате уравнение (19а) принимает вид
ос = БпС + БХН + со1й1 - ю2/?2 + С\ • (206)
Найдем теперь значения С\ из нулевых начальных условий: / = 0: ос = ап; = ю10 ; оз2 = ся2П, отсюда
Сл =а0 ч-ЮщА! + ю20/?2.
Следовательно,
а = 8пС + 8тН + + &>2И2 +а0 +со10Л1 +со20И2. (20в)
Перепишем выражение (20в) в векторной форме:
БпС + 5ТН = й1Епг + й2Бп2 + юД + ш2й2 - \1Бпг - V2Бп2 + ю10/т" + со20й2.
Преобразуем его, используя уравнение (2):
ЩЕЩ +й2Еп2 =-е(у1Еп1 +У2Еп2),
и окончательно получим
8пС + 8ТС + (1 + г){~ушщ - V2Бп2 + й10/г, + ) = 0 .
Последнее выражение в скобках равно Ах, т. е.
й^ + йЯ+а +е)А1 =0.
Таким образом, преобразовывая уравнение (19а), получаем уравнение (4а). Аналогично из уравнения (19б) можно получить (4б).
Итак, материал статьи доказывает, что классическая и контактная теории удара взаимно связаны [7], что можно использовать при решении задач удара.
4. Проиллюстрируем этот вывод на примере. Расчетная схема приведена на рис. 2. Здесь имеем случай соударения двух тел. Сферическое тело 1 - ударяющее. Оно имеет массу тх и радиус Я. Центр масс этого тела отстоит от оси симметрии ударяемого тела 2 на расстоянии I. Если I = 0, то имеем случай прямого центрального удара; если / ^ 0 - случай внецентренно-го удара. Тело 2 массой т2 -поддерживается пружиной 3. Размеры тела 2 (длина Ь и толщина В) показаны на рис. 2. Центр масс его лежит на вертикальной оси симметрии.
Примем: VI ^ 0, \2 = 0, е>ю = 0, е>20 = 0. Координаты точек С и С2 равны: Их = 0, р1 = Я, к2 = I, Р2 = В/2.
Вычисляем инерциальные коэффициенты:
Рис. 2.
■А
т1
ш
т,,
А.
Л
_1_
»7,
_1_
/И,
. ->2
Я2 в2
ТТ РА , РтЬт. Рг° , В'21
п =--1--=--1- -
•Л 4.12 В1
•Л
л
А
J,
2./,
Случай 1. Прямой центральный удар, т. е. I = 0:
ш
г 1 1 р
т1 т2 ^
4/,
Н = 0.
Значит, дифференциальное уравнение (19а) при = 0 принимает
вид
а = -ВД
решение которого известно. Оно приведено в работе [6].
Случай 2. Внецентренный удар. Пусть I = Ы2. Здесь
1 1 /2
С = — + — + — ■
(21а)
тл
тп
А
1 Я2
С, = — + — + —
В1
ш
тп
Н =
В1 2/,
Дифференциальные уравнения имеют вид
(
а = - Р.
1
\Щ
В1 2 J,
1
т.
•А у В1 и2'
1 т2 Д2 в2
•Л 1 4Л
(21 б)
2 У
Таким образом, дифференциальные уравнения (21а) и (21 б) существенно различаются. Отличие еще больше, если одно или оба тела вращаются до удара, т. е. Ю] # 0 и ю2 ^ 0.
Анализ связи между классической и контактной теориями удара должен быть продолжен. В частности, требует пояснения величины р. характеризующая касательные перемещения тел по отношению друг к другу. Этот вопрос будет рассмотрен отдельно.
т т2
1
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давиденков Н.И. Проблемы удара в машиностроении. - М.: ОНТИ, 1993.
- 115 с.
2. Динник А.Н. Удар и сжатие твердых тел // Избр. тр. Т.1. - Киев: АН СССР, 1952. - С. 13-144.
3. Морозов С.И. Соударение тел. Классическая теория удара. Ч. 1. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. - 252 с.
4. Морозов С.И. Экспериментальное определение параметров силовой функции // Лесн. журн. - 2001. - № 3. - С. 57-63. - (Изв. высш. учеб. заведений).
5. Морозов С.И., Морозов В.С. Классическая теория удара: Конспект лекций по соударению плоских тел. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 1999. - 45 с.
6. Морозов С.И., Попов М.В. Контактная теория удара: Конспект лекций по элементарной теории. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 1999. - 42 с.
7. Морозов С.И., Шостенко Д.Н. Уравнение связи для решения задач удара // Лесн. журн. - 2002. - № 1. - С. 56 - (Изв. высших учеб. заведений).
Архангельский государственный технический университет
Поступила 12.04.02
S.I. Morozov, D.N. Shostenko
Relation between Classical and Contact Theories of Impact
The derivation of differential equations is presented for solving problems of impact at collision of flat free bodies based on the contact theory. The relation of these equations with estimated dependencies of the classical theory is shown.
