Связь матриц‌ прямых арифметических операций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Связь матриц прямых арифметических операций

(Дополнение к работе Расплетина Б.К. « Прямые арифметические операции»)

Памяти Расплетина Б.К. А.Ф. Каменщиков

Аннотация

Доказаны соотношения связи матриц прямых арифметических операций, найденных а работе Расплетина Б.К. [1]. Показано, что в ряду операций: операция - свертка - свертка свертки и т.д. операция пред-сложения является первой. Построена матрица шестой операции в указанном ряду [1]. Рассмотрены примеры операций, не лежащих в ряду свертки. Дана интерпретация операции предсложения.

В предыдущей работе представлен новый взгляд на прямые арифметические операции. Поскольку с этой работой Расплетина Бориса Константиновича [1] автор этой заметки, на правах ученика, знаком почти с момента ее написания (около 1975 года), то и тогда, и сейчас у него возникли и некоторые важные на его взгляд дополнения, и комментарии.

1. В начале отметим, что в работе [1] обнаружен фундаментальный факт, что диагональ матрицы данной операции становится второй строкой в матрице соответствующей свертке этой данной операции. Это свойство, является по нашему мнению простым следствием свертки. Запишем указанное свойство для сложения - умножения, умножения-возведения в степень, возведения в степень - возведения в ранг:

а+а=2%а, а • а= а'2 (или а2) , а а = а |2 (1) В общем виде это свойство записывается следующим образом:

а г а=а (г+1) 2 (2)

Левая часть этого соотношения и описывает диагональные элемент

матрицы операции г, а правая часть - вторую строку матрицы операции

свертки (г+1), что в целом и является следствием определения свертки.

2. Выведем другой замечательный факт - связь соседних элементов матрицы свертки через предыдущую операцию, сформулированный в работе [1]: каждый следующий (/+1) элемент 1-ого столбца матрицы свертки, т.е. 1 выводится из предыдущего элемента/у

путем сопряжения последнего с числом I посредством операции, предшествующей операции свертки в общем ряду операций и их сверток. В [1] это свойство записано в виде формулы (3) :

/1]+1 = /у (г - 1) I (3)

Докажем это свойство. Запишем элемент матрицы /' I ]+1= I г (У+1) как свертку предыдущей операции (г - 1):

/1]+1= I (г-1) I (г-1) I (г-1) ¡... (г-1) 1=

1-1-1

(у+1) раз

{1 (г-1) I (г-1). (г-1) (г-1) I = /у (г-1)г

1-1-1

у раз

Теперь уже указанное свойство (3) из работы [1] представляется очевидным. Заметим, что для коммутативных операций и соответственно симметричных матриц свойство (3) применимо и для столбцов и для строк, а для несимметричных матриц - для операции возведения в степень и последующих сверток свойство (3) применимо только для столбцов, т.е. только в «направлении» свертки.

В рамках логики работы Расплетина Б.К. [1] попробуем построить матрицу операции предпредсложения, предшествующей операции предсложения. В начале воспроизведем матрицу предсложения

т

6

5

4

3

2

1

7 7 7 7 7

6 6 6 6 7

5 5 5 6 6

4 4 5 5 6

3 4 4 5

6

3 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

п

Воспользуемся предложенным в работе [1] алгоритмом построения матрицы операции.

Диагональю матрицы предпредсложения является вторая строка матрицы предсложения. Для построения недиагональных элементов матрицы операции предпредсложения попробуем использовать указанное выше свойство (3) из работы [1]. Оказывается, что, поскольку в столбцах матрицы предсложения присутствуют одинаковые значения для разных элементов, операция предпредсложения оказывается неоднозначной. Например, из четвертого столбца, по элементам четвертой и

третьей строки получаем: 6—5 ^4, а по третьей и второй строкам получаем используем две указанных выше связи между матрицами

операций: 5—5 Ц (где ь -знак предпредсложения). Указанный факт говорит о том, что, строго говоря, такой операции как предпредсложе-ние не существует. Однако, воспользовавшись формулой (3) для элементов строки, а не столбца, мы можем все-таки построить элементы операции предпредсложения

2 I- 1=3

5= 7

3 I 1=4 5= 8

4 I 1=5 5= 9

5 I 1=6 5= 10

3 I 2= 4 4 I 3= 5 5 I 4= 6 6 I

4 I 2= 5 5 I 3= 6 6 I 4= 7 7 I

5 I 2= 6 6 I 3= 7 7 I 4= 8 8 I

6 I 2= 7 7 I 3= 8 8 I 4= 9 9 I

Диагональные элементы матрицы предпредсложения мы получаем по (1) в результате превращения второй строки матрицы предсложения в диагональ матрицы предпредсложения:

1 I 1=3, 2 I 2= 4, 3 I 3= 4, 4 I 4= 5, 5 I 5= 6, ...

Записывая диагональные элементы в общем виде, получаем формулу

П L П = П+2 при п < 2 п I П = П +1 при П > 2

Первую строку получаем, как симметричную первому столбцу относительно диагонали. В результате получаем полную матрицу пред-

предсложения Q П I Ш ( I -знак предпредсложения):

т

6 5 4 3 2 1

7 7 7 7

6 6 6 6

5

4

3

2

4 4

4 4

3

3

4

4

5

7 7

6 7

6 7

6 7

6 7

6

6

7

п

Глядя на эту матрицу, приходим к важному выводу. Поскольку у матрицы предпредсложения совпадают диагональ и вторая строка, то она является предельной, и операции более элементарной, чем пред-предсложение не существует! Однако, проверка показывает, что операция предсложения не является сверткой для операции предпредсложе-ния. Даже, если мы построим недиагональные элементы матрицы пред-

предсложения не по выбранной выше модели вида 6—5 Ц , а по второму упомянутому выше возможному исходу вида 5—5 ^4, то все равно свертки на уровне предсложения не получается. Поэтому приходим к выводу, что операция предпредсложения является искусственной, (хотя, возможно, и полезной).

Оказывается, что, строго говоря, самой первой полноценной операцией в ряду прямых арифметических операций является предсложение, открытое в работе [1]. Сложение является сверткой операции предсло-жения, и об этом тоже упомянуто в работе [1]! В этом легко убедиться на примере:

5

5

5

5

3

5

5

1

10=4+6=4^4^4^4^4^4=

6 раз

6^4±4±4±4=7±4±4±4=8±4±4=9±4= 10

И в общем виде:

П+Ш=П^П^П.. Ап=

т раз

(п+2) -^п-^п-^п ... ^п = п+ш (4)

(т-2) раз

Получаем, что операция предсложения является элементарной и первой возможной прямой операцией, влекущей за собой свертку. Эту операцию следует назвать операцией Расплетина. Операция сложения является второй операцией и первой сверткой. Этот факт до Расплетина Б.К. [1] никто не обнаружил! Это открытие можно было сделать и сотни лет назад, но никто этого не сделал! Операция умножения является третьей операцией и второй сверткой. Операция возведения в степень является четвертой операцией и третьей сверткой. Операция возведения в ранг является пятой операцией и четвертой сверткой. И, видимо, так далее. Но в такой перспективе, до работы [1] - невиданной, возникает, кстати, вопрос - почему, начиная с четвертой операции (возведение в степень) прямая операция становится некоммутативной, (а ее матрица несимметричной) хотя два раза до этого свертка не приводила к такому новому качеству? Ответ на поставленный вопрос, возможно, лежит во «внутренней структуре числа», если можно так сказать. Но нужен более точный ответ на этот вопрос.

Теперь попробуем осмыслить операции предсложения (и предпред-сложения во всей ее оговоренной выше условности) в математических понятиях, не привлекая пока интерпретации. Получается, что до операции сложения мы имеем дело с соотношениями «больше - меньше» между числами, точнее имеем дело с полноценной арифметической операцией, основанной на трихотомии отношений больше, меньше, равно. Более того, мы получаем даже более дифференцированное отличие. На уровне операции предпредсложения мы различаем числа по принципу «больше или равно» и «меньше» (или «больше» и «меньше или равно»),

т.е. на уровне предпредсложения мы в явном виде не выделяем равенство, присовокупляя его либо к «больше» либо к «меньше». На уровне же следующей операции - предсложения мы выделяем равенство в отдельную позицию при сравнении чисел, и имеем уже три исхода при оперировании с числами: «больше», «меньше», «равно». Именно поэтому при равенстве членов в предсложении мы сдвигаемся уже на две единицы в данной операции - таков смысловой вес обнаруженного равенства (напомним при этом, что матрица операции предсложения получается чисто формально, без искусственных допущений! [1]). Отличие предсложе-ния от предпредсложения в складывании одинаковых количеств при

при п > 2 : предпредсложение дает результат п ■ п = п +1 , тогда

как предсложение дает п ■ п = п +2. Что говорит, так сказать, о повышении цены умения складывания одинаковых количеств. (Напомним об условности и определенной неполноценности операции пред-предсложения, представленной в настоящей работе). Конечно, можно и не использовать знак сложения в описании результатов операций, предшествующих сложению, а воспользоваться каким-то специальным придуманным знаком для числа, следующим в натуральном ряду за предскладываемым числом (и знаком для двойного применения этой операции при предсложении двух равных чисел). Но в рамках этой работы автор вслед за Б.К.Расплетиным пренебрежет такой эстетствующей строгостью.

Операцию предпредсложения по смыслу можно было бы назвать следованием, а предсложение - следованием с равенством. Если более развернуто, предпредсложение по его смыслу можно назвать операцией следования меньшего числа за большим (или равным), приводящим к результату, равному большему числу, увеличенному на единицу.

Операцию предсложения можно по смыслу назвать операцией следования с равенством. Она отличается от предыдущей, от первой операции при «складывании» одинаковых чисел п ■ п = п +2, т.е. при следовании с равенством для равных чисел получаем в результате число на две единицы большее сочетаемых равных чисел.

Важно, что все таблицы чисел мы получаем формально, применяя формулу (3) из работы [1] и связь между диагональю в матрице данной операции и второй строкой в матрице свертки этой операции, формально записанной в настоящей работе (1).

Еще раз обратим внимание, что первые два элемента в матрицах предпредсложения и предсложения совпадают по формуле (1), т.е.

1 I- 1— 1 ■ 1 — 3

2 I 2= 2 -1 2 = 4

Это является следствием перемещением диагонали данной операции в положение второй строки в матрице свертки. Интересно, что это «вращение» происходит вокруг «точки» (или элемента матрицы) два -на - два. Таким образом получается, что знаменитое «Дважды два равно четыре», является следствием формулы (1), следствием «вращения» диагонали во вторую строку «вокруг точки» дважды два. Получаем более точную словесную формулу риторической алгебры:

Дважды два посредством любой операции равно четырем,

т.е. 2 ъ 2 = 4, где Ъ — любая прямая арифметическая операция (следование, предсложение, сложение, умножение, возведение в степень и т.д.)

Теперь интересно посмотреть - живы ли в человеческой культуре операции предсложение и следование. Трудно предполагать, что можно обнаружить где-то матрицы этих операций, но качественные следы подобного оперирования с объектами обнаружить можно. Обнаруживаются подобные следы при «складывании» объектов, не совсем эквивалентных в смысле некоторого определяющего их качества. Приведем пример.

У нас не вызывает удивления выражение, мы его даже считаем правильным, «в сентябре 1942 года Красной Армии в Сталинградской битве (187 тыс.чел.) противостояло 20 немецких дивизий, румыны и венгры». Это оценка силы на уровне операции предсложения! Потому что если провести операцию сложения по людским ресурсам, то получается - Красной Армии противостояла германо-румыно-венгерская группировка, всего 608 тыс.чел. (немецкая шестая армия, 270 тыс.чел, 228 тыс.чел. - румын, плюс 110 тыс.чел венгров, всего примерно 48 дивизий). Но, учитывая боеспособность, мы используем первую формулировку, сделанную на уровне предсложения. Формула выглядит примерно так:

20 нем.дивизий ^ 18 рум.дивизий 9 венгер.дивизий ~ (по смыслу) 22 дивизии, т.е. мы говорим, что Сталинград атаковали: 20 немецких дивизий, румыны и венгры. При этом мы никогда не скажем, что Красной Армии противостояла румыно-венгерская группировка (338 тыс.чел.) плюс немцы (270 тыс.чел), хотя из чистого сложения дивизий могли бы, т.к. определяющей военной силой, противостоящей Красной Армии были немцы. (Фактические данные взяты из работы [2].)

Математические операции чисто инструментальны и в чистом виде в природе им ничего не соответствует. Но нам всегда хочется найти какие-то подпорки в природе для того, что происходит в нашем мышлении. Например, когда две связанные нити в молекуле ДНК расплетаются, и каждая из нитей достраивается до полной молекулы ДНК, присоединяя из окружающей среды комплиментарные соединения, а затем две образовавшихся молекулы опять распадаются на отдельные нити и т.д., то мы говорим, что реализуется экспоненциальный процесс, и по «закону» 2П растет количество молекул ДНК. Аналогично хочется найти и природный процесс, «подпирающий» операцию возведения в ранг. В чистом виде такой процесс обнаружить пока не удалось. Можно только сказать качественно, что если возведение в степень охватывает ветвящиеся процессы, то возведение в ранг должно охватывать лавинные процессы.

В завершении хотелось бы отметить важный на наш взгляд методологический аспект рассмотрения числовых рядов в работе [1] и в настоящей работе. Числа, образующие как бы оси операций (натуральный ряд) и числа, составляющие собственно матрицу операции имеют различный, видимо, различный деятельностный статус: натуральные ряды на осях операций априорны, а числа в матрицах - апостериорны. Поэтому любопытно отметить, что натуральный ряд, как результат операции - как первая строка в матрице операции (а не как априорное средство на оси матрицы), появляется только на четвертой операции, на умножении. Это говорит в частности, видимо, о методологической (а, следовательно, и психологической) непростоте единицы (именно в единице на первый план выходит абстрактность числа: когда мы оперируем с яблоками и говорим об одном яблоке, то имеем в виду некоторое абстрактное яблоко, так как в действительности яблоки все разные или когда оперируем с яблоками и грушами, то говорим об абстрактном объекте фрукт). Если первую строку матриц определить как результат счета (последовательно каждое число из натурального ряда сопрягаем с единицей), то счет в следовании и предсложении начинается с тройки : 3, 3, 4, 5, 6, 7,.. В сложении счет начинается с двойки : 2, 3, 4, 5, 6, 7,...И только в матрице умножения мы получаем натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., как результат умножения числа на единицу.

Второй операцией Расплетина можно было бы назвать операцию возведения в ранг, но лучше оставить название для операции, данное автором работы [1], Расплетиным Б.К. Эта операция более очевидна, чем операция предсложения. Воспользуемся алгоритмом порождения операций и составим матрицу операции, следующей за операцией возведения в ранг. Назовем ее второй операцией Расплетина, и обозначим символом двойной стрелки 'Ц'. Вторая строка этой матрицы равна диа-

гонали матрицы возведения в ранг [1], согласно формуле (1). Остальные элементы получаем по соотношению (3) и в работе [1], и в данной работе. Используя связь соседних элементов через операцию возведения в ранг, в результате получаем следующую матрицу:

т

5 1 ((256|2) |2)

4 1 (256|2)

3 1 256 (19683|3) (е |4) (УТ5)

2 1 4 19683 е У

1 12 3 4 5 Р

1 2 3 4 5

И хотя, довольно трудно представить, как это 3 сопряженное с 2 может дать такое большое число как 19683, однако, это так, поскольку:

3||2=3|3= (33)3=273=19683.

В связи с этим важно отметить применимость традиционных записей для двух последних операций. Для возведения в ранг применимо естественное обозначение: (((а ) ) )■■■ ) . Проверим на второй и третьей строках:

2|2=22=4, 3|2=33=27, 4|2=44=246, 5|2=55=3 1 25,... 2|3=(22)2=42=16, 3|3=(33)3=273= 19683, 4|3=(44)4=2564=4294967296=^, 5|3=(55)5=31255,...

а

а

А вот операция а , которую назовем сверхстепень, искусственная. Эта операция применяется в работе [3] для оценки особенно больших чисел. Элементы матрицы этой операции растут быстрее, чем элементы матрицы возведения в ранг. Может быть, сверхстепень является сверткой операции возведения в ранг? Однако, это не так! Покажем искусственность операции сверхстепень. Обозначим эту операцию

вполне понятной функцией^о= f6о(p, т) , как претендента на шестую

операцию (и пятую свертку). Здесь р — основание по горизонтали ,Ш -кратность свертки, переменная по вертикали. Сравним элементы матрицы, вычисленные по формуле сверхстепени и по последней матрице.

Для двойки, сопряженной с тропой сверхстепень дает £ю(2,з) =

2 =16, а свертка ранга 2Ц3=16 =256. Для двойки, сопряженной с

четверкой сверхстепень дает^бо(2,4)= 2 16=164 =2562, а свертка

ранга дает 2Ц4=256|2=256 . Получаем, что значение элементов вто-

рой операции Расплетина Б.К., операции свертки ранга не является сверхстепенью и растет гораздо быстрее, чем сверхстепень. Кроме того, можно утверждать, что так называемая «сверхстепень» является искусственной операцией и не является сверткой, она не входит в ряд прямых операций, ряд, построенный по принципу: операция - свертка - свертка свертки и т.д. Можно даже дать определение прямой операции - прямая операция, это операция, над которой возможна свертка. Окончательно ряд прямых операций выглядит следующим образом: 1.Предсложение (или следование с равенством, первая операция Расплетина Б.К.) - 2.Сложение - 3.Умножение - 4.Возведение в степень - 5.Возведение в ранг - 6. Вторая операция Расплетина Б.К.(Свертка возведения в ранг) - и т.д. А операции «Следования» (без выделения случая равенства) и операция «Сверхстепень» не являются в этом смысле прямыми опера- циями.

Автор выражает благодарность Маркову Аркадию Николаевичу за внимательное прочтение статьи и содержательные замечания, учтенные автором.

Литература

1. Расплетин Б.К. Прямые арифметические операции.

2. Сталинградская битва. 100 битв, которые изменили мир, Издательство «Де Агостини», Москва, 2011

3. Т.Данциг, Статья «Символы» (из работы «Числа - язык науки»), Сб. «Математики о математике», Издательство «Знание», Москва, 1967.