Связь коэффициента поперечных деформаций и стандартных механических характеристик на растяжение с фрактальной размерностью поверхности разрушения Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 539.3

СВЯЗЬ КОЭФФИЦИЕНТА ПОПЕРЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И СТАНДАРТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НА РАСТЯЖЕНИЕ С ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ

© Г.Г. Савенков

НИИ «Поиск», г. Санкт-Петербург, Россия, е-mail: sav-georgij@yandex.ru

Ключевые слова: фрактальная размерность; относительное удлинение; сужение; предел прочности; поперечная деформация.

Разработана модель определения фрактальной размерности контура поверхности разрушения стандартного цилиндрического образца на растяжение. Получены аналитические зависимости, связывающие фрактальную размерность со стандартными характеристиками на растяжение и с коэффициентом поперечных деформаций. Проведена проверка на качественное и количественное соответствие полученных расчетных зависимостей экспериментальным результатам.

В общем виде положения фрактальной механики связывают понятия статистического самоподобия рельефа поверхности разрушения в некотором интервале масштабов с комплексом механических свойств твердого тела. Для многих конструкционных металлических материалов это положение получило экспериментальное подтверждение. Количественной характеристикой любого фрактального объекта является его размерность Df. В линейной механике установлена связь

между величиной Df для трещин и силовым критерием разрушения материала KIC [1].

Очевидно, что и стандартные характеристики материала на растяжение (временное сопротивление аь , относительное сужение ^ и относительное удлинение

8 ) будут связаны с фрактальной размерностью контура поверхности разрушения разрываемых образцов, поскольку они связаны с KIC различными корреляционными зависимостями [2]. Поиск таких связей - цель настоящей работы.

При разработке метода определения Df принято:

1) поверхность разрушения разорванного цилиндрического образца является фрактальной;

2) цилиндрические образцы для квазистатических испытаний являются стандартными (десятикратными). В соответствии с требованиями ГОСТ 1497-83 их размеры подчиняются соотношению:

= 11,3,

здесь l0 - начальная расчетная длина образца, F0 -начальная площадь поперечного сечения образца.

В соответствии с [3] между l0, F0, lcr и Fcr существует следующая зависимость:

(Fo/ Fcr ) = (lcr /lo)2Vcr , (1)

здесь vcr - коэффициент поперечной деформации в момент разрыва образца. Или, переходя к начальному r0 и конечному rcr радиусам поперечного сечения рабочей части образца, из (1) получим:

( Го/Гсг ) = (lcr /lo)Vcr. (2)

Поскольку относительное сужение образца в момент его разрыва по определению у = (F00 - Fcr )/ F0, то

Гсг = Го(1 - У)0,5 - (4)

радиус образца после разрыва без учета фрактального характера контура поверхности разрушения. Для фрактального контура поверхности конечный радиус

rf определяется на основе соотношения [4]:

rfr = Дг(rcr / Дг)Df = Дг • zDf (1 - y)0’5Df , (5)

где Дг - масштаб измерения; z = r0 / Дг - параметр подобия.

Подставляя (5) в (2) и разрешая получаемое уравнение относительно Df (с учетом того, что r0 = Дг • z ), будем иметь

D = 1 -Vcr (ln(1 + 8))/ln z f 1 + 0,5(ln(1 -y))/ln z '

Таким образом, из (6) следует, что фрактальная размерность линии контура разрушенной поверхности вдоль диаметра образца зависит от трех характеристик материала: 8,у, Vcr , а также выбранного масштаба измерения. Отметим, что соотношение (6) можно использовать лишь с определенными оговорками, по-

Рис. 1. Примеры изображений профиля - а) и морфологии очага разрушения образцов стали 28Х3СНМВФА после динамических -б) и квазистатических - в) испытаний

скольку мы молчаливо согласились со справедливостью выражения (2) во фрактальной среде.

Взаимосвязь между пределом прочности <зь и

фрактальной размерностью, полученная в работе, выглядит следующим образом:

= 1 + 1п(2— .>(1 + 5)/), (7)

^ 21п г + 1п(1 -у)

где Б Ь( — истинный предел прочности образца.

Для проверки полученных соотношений проведены исследования образцов двух марок сталей: 30ХН4М и 28Х3СНМВФА. Квазистатические испытания десятикратных образцов (ё0 = 5мм) проводили на универсальной машине ^йоп 4202. Были также проведены динамические испытания при скорости деформации

8 = 5 -103 с-1 с помощью составного стержня Гопкин-сона (ССГ) из тех же материалов на образцах с й0 = = 5 мм и 10 = 10 мм.

После испытаний образцы были разрезаны вдоль оси с таким расчетом, чтобы получить изображения профилей поверхностей разрушения (рис. 1). Затем участки профилей, которые соответствовали очагам начала разрушения образцов (вблизи оси), рассматривались с помощью светового («Аксиоверт») и элек-

тронного растрового («Камскан») микроскопов при разных увеличениях. В итоге по результатам замеров длин ¡{ профилей изломов с вариацией масштаба измерений п не менее трех порядков были построены зависимости ^( )^^( п). Поскольку в массиве данных коэффициент корреляции был не менее 0,89, искомые зависимости были сглажены методом наименьших квадратов. По углу наклона полученных прямых определялись значения фрактальной размерности изломов в зонах очагов разрушения (табл. 1). Кроме экспериментально измеренных значений в столбцах 6 и 10

приведены её расчетные значения (по формуле (6)).

Анализ полученных результатов показывает, что сходимость экспериментальных и расчетных значений фрактальной размерности вполне удовлетворительная. Лучшие результаты по сходимости показывают образцы после динамических испытаний. Можно отметить, что более хрупкие образцы имеют лучшую сходимость расчетных и экспериментальных данных. На качественном уровне подтверждена формула (7): фрактальная размерность увеличивается с уменьшением предела прочности: у высокопрочной стали 30ХН4М значения О^ меньше, чем у более вязкой и менее прочной стали

28Х3СНМВФА.

Таблица 1

Механические характеристики испытанных образцов и их фрактальная размерность

Марка стали CTb , МПа 8 W , D D f , МПа 8д Va Df Df

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

30ХН4М 1300 0,2 0,22 1,01 1.02 1350 0,42 0,46 1,03 1,03

8Х3СНМВФА 750 0,2 0,32 1,023 1,07 1220 0,26 0,54 1,057 1,08

Примечание: в столбцах 2-6 приведены результаты квазистатических испытаний, а в столбцах 7-11 - динамических.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. Определены аналитические зависимости между фрактальной размерностью поверхностей разрушения и стандартными механическими характеристиками материалов.

2. Результаты расчетов удовлетворительно совпали с данными экспериментального определения Df поверхностей разрушения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mu Z.Q., Lung C.W. Studies on the fractal dimension and fracture toughness of steel // J. Appl. Phys. 1988. V. 21. № 5. P. 848-850.

2. Романив О.Н. Вязкость разрушения конструкционных сталей. М.: Металлургия, 1979. 176 с.

3. Ишлинский А.Ю. Эйлерово описание деформирования одной изотропной среды // Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механи-

ка вязкоупругих и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. С. 333336.

4. Иванова В.С. Синергетика: Прочность и разрушение металлических материалов. М.: Наука, 1992. 160 с.

Поступила в редакцию 15 апреля 2010 г.

Savenkov G.G. The link of factor of cross-section deformations and standard mechanical characteristics on the stretching with fractal dimension of the surface destruction

The definition model of fractal dimensions of a contour of sample destruction of a standard cylindrical surface on a stretching is developed. The analytical dependences connecting fractal dimension with both standard characteristics on a stretching and the factor of cross-section deformations are received. Qualitative and quantitative conformity of the received settlement dependences tests to experimental results have been controlled.

Key words: fractal dimension; relative lengthening; narrowing; strength; cross-section deformation.