CC BY
26
И.В. Измайлов
СВОЙСТВО РАВНОСИЛЬНОСТИ В КОНТЕКСТЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭВОЛЮЦИЕЙ СИСТЕМЫ
Введено понятие равносильности влияния групп значений параметров на эволюцию динамической системы. Разработан и применён (для случая нелинейного кольцевого интерферометра) метод выявления этой равносильности. Намечены пути применения свойств равносильности для решения задач управления, если последние сводимы к задачам идентификации и компенсации либо имитации влияния некоторого параметра на эволюцию динамической системы.
Задача управления эволюцией некоторой динамической системы предполагает среди прочих триаду важных аспектов: 1) обеспечение заданной (желаемой) эволюции управляемой динамической подсистемы (в составе системы с управлением - рис. 1); 2) исключение возможности осуществления нежелательной (неэффективной, опасной и пр.) эволюции её; 3) идентификация типа эволюции, т.е. режима функционирования, управляемой подсистемы.
При этом первые две задачи управления обычно приходится решать в условиях, когда управляемая подсистема подвергается неконтролируемому воздействию. Здесь оно понимается как неконтролируемая добавка к значениям (дополнительная модуляция) некоторых параметров подсистемы. Поэтому необходимо знать, каким образом возможно: 1) имитировать (для обеспечения желаемой эволюции) либо 2) компенсировать (для исключения нежелательной эволюции) влияние этого неконтролируемого воздействия на управляемую подсистему. Здесь термин «имитировать» понимается как обеспечение желаемой эволюции с помощью манипуляции контролируемыми нами параметрами.
Лежит ли третья задача в русле проблемы «Физика и управление»? Да, поскольку, как правило, в системах с управлением можно выделить вспомогательную подсистему в цепи управления (рис. 1). Её функция - вырабатывать сигнал управления, интерпретируя результат некой процедуры идентификации режима функционирования управляемой подсистемы системы с управлением.
Таким образом, указанную триаду задач управления можно сформулировать как задачи компенсации, имитации, идентификации неизвестного и/или неконтролируемого воздействия на управляемую подсистему.
По мнению авторов, один из путей их решения лежит через введение понятия равносильности влияния различных групп значений параметров управляемой подсистемы на характер её эволюции. Применительно к конкретной динамической системе это предполагает выяснение границ, в которых различные группы значений её параметров обеспечивают одну и ту же динамику процессов либо динамику, которая хотя и не идентична заданной, но сохраняет все её необходимые качества.
Ниже авторы введут понятие равносильности более строго и продемонстрируют его продуктивность на примере модели оптического нелинейного кольцевого интерферометра.
ПОНЯТИЕ СВОЙСТВА равносильности И МЕТОД ЕЁ ВЫЯВЛЕНИЯ
Идею равносильности можно проиллюстрировать, обратившись к закону Ома. Если некие конкретные значения токов i и сопротивлений г,- удовлетворяют соотношениям г'1г1=г2г2, i^i2, ^Фг2, то значения (ib г1) и (г2, i2) равносильны в смысле влияния на падение напряжения и на каждом из двух различных проводников, поскольку и=г1г1=г2г2. Дополняя традиционный символ равенства индексом, получим обозначение =u, которому придадим смысл утверждения: «равносильны в смысле влияния на и». Тогда в предлагаемых обозначениях имеем Оь г1) =„ (г2, i2). Нетрудно видеть справедливость выражения (г1, г1) =u (г2, i2) о г1г1=г2г2. Или, несколько обобщая: (ib п) =р(г2, г2) о F(ib гь г2, Г2)=0, где F(ib г1, i2, г2) = г1г1-г2г2. Очевидно, что в данном примере для любого фиксированного значения (г1, г1) можно указать сколь угодно много различных значений (г2, i2) таких, что (гь г1) =Р(г2, i2). То есть равносильные друг другу (в указанном выше смысле) значения токов i и сопротивлений г образуют некое множество M(const,) = {i, г : ir = const,}. Очевидно, что множества M(constk) и M(constj) не пересекаются, если constk Ф const,-, а при constk = const,- они совпадают: M(constk) = M(constj).
Теперь обобщим эти представления на случай двух абстрактных динамических (управляемых - в указанном выше смысле) систем.
Пусть мы имеем две динамические системы с динамическими переменными (переменными состояния системы) Uij(r,f)eUi(r,t)={Uij(r,t)} и параметрами p(r,0={pi;k}, где ie{1; 2} - отвечает номеру системы, je{1;...; m,}, ke{1;...; N,}, m, и N, - количество динамических переменных и параметров для i-й системы.
Будем говорить, что динамики (эволюции) двух систем равносильны в смысле F, если выполняется соотношение равносильности эволюций
F[r,t, Ul(r,t), Ul(r,0), U2(r,t), Uz(r,0), Pl(r,t), p2(r,t)]»0,
(1)
Рис. 1. Структурная схема системы с управлением
где /’[...]={Р’1[...];...; Р^...]} - некоторая вектор-функция; ^(г,0), и2(г,0) - начальные условия. В общем случае в соотношении (1) под аргументами (^(гД ^(г,0), ^(гД Цг(г,0), ^(гД Р2(г,0) следует понимать полные пространственно-временные реализации функций, а не их отдельные значения и1, и2, Р\, р2 в одной точке (г,г). Соотношение (1) в частном случае может принимать смысл соотношения идентичности эволюций: и1(г,г)-Ц2(г,г) = 0.
11б
Будем говорить, что значения (U1(r,0), p1(r,?)) и (U2(r,0), p2(r,t)) равносильны в смысле выбранного соотношения F[...]«0 (выражая этот факт символически: (U^r,0), P1(r,t)) =р (U2(r,0), P2(r,?))), если выполняется условие (1) и р1(г,г)фр2(г,г).
Последнее условие ^1(г,г)фр2(г,г)) наиболее актуально при рассмотрении двух идентичных по структуре систем. То есть при анализе (сравнении) свойств одной и той же системы при различных значениях её параметров. Для существенно различных систем это условие можно опустить.
Очевидно, что выявлять такие значения можно, пользуясь методом, предусматривающим следующие действия:
1. Записать две математические модели рассматриваемых динамических систем.
2. Сконструировать соотношение типа (1), руководствуясь целью, стоящей перед исследователем: гарантировать определённые качества динамической системы (структура фазового пространства и/или его отдельных бассейнов, в частности режим функционирования, (не)регулярность процессов в системе etc.).
3. Рассмотреть это соотношение совместно с математическими моделями как систему уравнений. Причём неизвестными в них служат значения: а) вектора р1(г,г) исследуемых параметров; б) начальных условий U1(r,0) для первой системы, выражаемые как функции параметров p2(r,t) и начальных условий U2(r,0) второй системы, - и наоборот. То есть решением выступают зависимости вида
A(r’/)=./p1[r, t, U2(r,0),P2(r,?)],
U1(r’,0)=/„1[r, t, U(r,0),^M] (2)
либо P2(r’,t’)=/й[г, t, U1(r,0), P1(r,?)], U2(r’,0)=/„2[r, t, U1(r,0), p1(r,t)]. Эти зависимости (2) логично назвать соотношениями равносильности параметров двух систем (в смысле соотношения равносильности эволюций (1)). Здесь начальные условия можно понимать как некий специфический параметр динамической системы, изменение которого хотя и может повлиять на реализующуюся эволюцию системы, но не способно вызвать бифуркацию в ней.
Функции /р1, /м1 могут быть многозначны, т.е. одному значению их аргументов U2(r,0), p2(r,t) может соответствовать несколько значений U1(r,0), p1(r,t), удовлетворяющих (2). Тогда, видимо, функции /рЪ /м1 должны содержать некий дополнительный параметр.
При выяснении наличия равносильности необходимо иметь в виду: не исключено, что решения P1(r’,t’)=/p1[...], U1(r’,0)=/„1[...] будут существовать не на всём множестве допустимых значений векторов U2(r,0), p2(r,t), а на некотором подмножестве их.
Естественно предположить, что для выбранных двух динамических систем решения p1(r’,t’)=/p1[...], U1(r’,0)=/u1[...] не единственны. То есть возможно сосуществование нескольких свойств равносильности. В таком случае встаёт вопрос об их независимости в физическом и математическом смыслах. Но нетриви-альность этого вопроса выходит за рамки данной работы.
Обратимся к упоминавшемуся случаю сравнения свойств одной и той же системы при различных значениях её параметров.
Покажем, что при изменении некоторого параметра периодичность его влияния на динамику системы есть частный случай равносильности его значений, образующих эквидистантный ряд. Действительно, пусть имеется некоторое свойство равносильности параметров (в смысле и1(г,г)-Ц2(г,г)=0), выражаемое соотношениями (2) такими, что _р1>к=р2>ь £/11/(г,0)=и2/(г,0) для к>1 и всех у, а для Ур2;1
^1,1=Р2,1(г’/)+Т,1. (3)
Из этого очевидно, что _р1,1=р2,1(г’,г’)+7р1Ж, где N -любое целое. Тогда равносильные значения первого параметра _р,д располагаются вдоль оси с одинаковым интервалом Тр1, обеспечивая тем самым периодичность его влияния на динамику системы. Здесь N оказывается предполагавшимся ранее дополнительным параметром, обеспечивающим многозначность функций _/рь
Как может представление о равносильности пригодиться для решения задач управления? Ответим на этот вопрос, обратившись к частному случаю.
Пусть некоторое свойство равносильности параметров (в смысле ,Р[...]=0) выражается соотношениями (2) такими, что р1,к=рг,к, и11/(г,0)=и2/(г,0) для к>2 и всех у, а для V р1;1, р1;2, р2;1, р2,2 имеет место
^1,1(г,0=/р1,1[Р2,1(гУ’), Л,2(г’/)], ^1,2(г,г)=/р1,2[Р2,1(г’,г’), Р2,2(г’,0]. (4)
Компенсация неконтролируемого возмущения 5р21 первого параметра _р21 второй системы с помощью контролируемого изменения Лр22 второго параметра р2,2 той же системы достижима, если возможно найти Лр22, удовлетворяющее системе уравнений
Р 1,1 (г,0=£.1,1 [Р2,1 (Г’,г’)+5р2,1 (Г’/), ^2,2(г’,^)+ЛР2,2(г’,^’)],
Р 1,2(г,0=/р1,2[Р2,1 (г’’/)+5р2,1 (г’’/), ,Р2,2(г’/)+ЛР2,2(гУ’)].
Причём р1;1(г,г) и р12(г,г) можно заменить на любую равносильную пару р’1;1(г,г) и р’12(г,г), множество которых в случае многозначности функций ^д, ^1;2 находится из (4). Таким образом, имеем систему уравнений относительно Лр22(г’,г’):
./р1,1[р2,1(г,г), Р2,2(г,г)] =
= ^р1,1 [Р2,1 (г,г)+5_Р2,1 (г, О, ,Р2,2(г,0+Лр2,2(г,0], ./р1,2[Р2,1(г,г), Р2,2(г,г)] =
= ./р1,2[Р2,1(г,0+5р2,1(г,0, ^2,2(г,г)+Лр2,2(г,г)]. (5)
Тогда, если решение Лр22(г,г) существует (при заданных р21(г,г), 5р2;1(г,г)), то можно сказать, что Лр22(г,г) компенсирует влияние 5р21(г,г). Перепишем (5), предполагая отсутствие неконтролируемого воздействия, в виде
^р1,1[Р2,1(г,г), Р2,2(г,0]=/р1д[р’2,1(г,0, ^2,2(г,г)+Др2,2(г,г)],
Ур1,2[Р2,1(г,г), Р2,2(г,г)] =
= ./р1,2[р’2,1(г,0, ,Р2,2(г,г)+Лр2,2(г,г)]. (6)
Тогда наличие в (6) контролируемого изменения параметра Лр22(г,г) можно интерпретировать как процедуру имитации влияния параметра _р21(г,г), отличного от имеющегося фактически р’21(г,г) на величину Лр2д(г,0, т.е. .р ’ 2,1 (г, г)=р 2,1 (г, г)+Л^2,1 (г, г).
А если, подбирая Др22(г,(), удаётся достичь известную эволюцию системы, наблюдающуюся при известных р21 (г,?), p2,2(r,t)l Тогда, используя соотношение (5), можно найти (идентифицировать) даже и неизвестное неконтролируемое воздействие 5р2;1(г,?).
Таким образом, мы показали, как именно выяснение свойств равносильности способствует решению задач компенсации, имитации, идентификации, а через них - и решению задач управления.
Укажем на связь введённого понятия равносильности и категории соответствия, используемой в математике. Согласно определению, которое даёт «Математический энциклопедический словарь», соответствие (бинарное отношение) между множествами Л и Б - произвольное подмножество 5 декартова произведения ЛхБ (БсЛу-Б).
В нашем подходе соотношение равносильности эволюций Щ_г^, ^(гД ^(г,0), ^(гД ^2(г,0), р^(г,(), р2(г,01*0 (1) является неким бинарным отношением между множествами М1, М2, элементами которых являются соответственно (^(гД и1(г,0), ^(гД и (и2(гД и2(г,0), р2(гД. Более того, его можно трактовать и как отношение между множествами экземпляров двух динамических систем, характеризуемых конкретными наборами параметров и начальными условиями. Напомним, что в общем случае сопоставления двух различных динамических систем векторы и1(г,() и р1(г,?) могут иметь число проекций, отличное от таковых для и2(г,() и _р2(гД а также иной физический смысл. Тогда множества М1, М2 несводимы к одному множеству типа М1иМ2. Таким образом, конструируя (1), мы фактически конструируем именно соответствие между двумя (в общем случае - различными) множествами. И если вспомнить происхождение соотношения равносильности параметров двух систем, то подобное можно сказать и о выражениях (2).
Теперь уместно ответить на вопрос: как соотносятся между собой традиционное для математики понятие эквивалентности и предложенное понятие равносильности? Известно, что эквивалентность есть частный случай соответствия. То есть эквивалентность
- это бинарное отношение на множестве Л (произвольное подмножество Я декартова произведения ЛхЛ одного и того же множества Л (ЯсЛхЛ)), обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Соотношение равносильности оказывается эквивалентностью, если: 1) вместо отношения между
множествами экземпляров двух различных динамических систем строится отношение на множестве экземпляров одной динамической системы (т.е. сопоставляются свойства двух (из множества) экземпляров одной и той же динамической системы); 2) это отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Так, в примере периодичности влияния некоторого параметра на динамику системы как частного случая равносильности его значений (см. (3)) мы имеем дело с эквивалентностью, т.е. с рефлексивным, симметричным и транзитивным бинарным отношением на множестве {(и(гД и(г,0), р(гД} элементов (и(г,0, и(г,0), р(г,0).
Следовательно, эквивалентность есть частный случай соответствия и равносильности. Но всякое ли соответствие между множествами {(и1(г,?), и1(г,0), Р1(г,0)} и {(^(гД ^2(г,0), р2(г,0)} можно назвать равносильностью? Если под (1) подразумевать любое соответствие, то - да. Но контекст наших исследований ограничен проблемой сохранения свойств динамической системы при изменении её параметров либо проблемой сходства свойств (динамик) двух систем. Поэтому, принимая во внимание, что с помощью соотношения (1) формализована цель исследователя, на поставленный вопрос приходится ответить отрицательно. Тогда равносильность есть частный случай соответствия (который включает в себя эквивалентность).
По мнению авторов, вопрос о равносильности влияния тех или иных групп физических факторов на характер динамики системы важен и в другом плане. Так, в нелинейной динамике класс задач, подобный поставленной здесь проблеме равносильности, возникает, например, при выяснении эквивалентности так называемых динамических систем Дж. Спротта [1. С. 79]. А если доказано некоторое свойство равносильности, то удаётся, например, сэкономить вычислительные ресурсы при построении карт динамических режимов.
Ниже предпринято выяснение свойств равносильности применительно к модели процессов в нелинейной оптической системе с обратной связью, демонстрирующей (в лабораторных [2] и вычислительных [3] экспериментах) такие фундаментальные явления, как самоорганизация пространственно-временных структур, детерминированный (как временной [2], так и пространственный [4]) хаос и др.
НЕЛИНЕЙНЫЙ КОЛЬЦЕВОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТР И МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ В НЁМ
Оптическая схема нелинейного кольцевого интерферометра (НКИ) изображена на рис. 2, а. Здесь используются следующие обозначения: НС - нелинейная среда длиной I; О - линейный элемент, производящий крупномасштабное преобразование поля (например, поворот в плоскости х0у, сжатие пучка и т.п.); зеркала М1, М2 обладают коэффициентом отражения по интенсивности Я, а М3, М4 - коэффициентом, равным единице.
Рис. 2. Схематическое изображение нелинейного кольцевого интерферометра (а). Ход лучей (б) показан для случая поворота пучка (элементом О) в плоскости х0у на 120о
Пусть поле на входе НКИ состоит из двух компонент с круговой поляризацией (рис. 3):
Е(г,і) = е(©(г,і)) А(г,і) ео8(юг+ф(г,0)+
+ е(©(г,і)+л/2) В(г,і) 8Іп(юі+ф(г,і)), (7)
где ю - основная частота светового поля; ©(г,і) = = у(г,і) + Пі - угол между вектором е(©), задающим направление поляризации и осью 0х, лежащей в плоскости (ху) поперечного сечения пучка (П может быть сравнима сю); П - частота синхронного вращения векторов поляризации е, лежащих в плоскости, называемой нами плоскостью поляризации; А(г,і), В(г,і), ф(г,і), у(г,і) - незначительно меняющиеся за время
Г=2л/ю амплитуды, фаза, положение плоскости поляризации светового поля. Знак О характеризует направление вращения векторов поляризации е.
Если ввести обозначения а(г,г)=(Л(г,?)+Б(г,?))/2, Ъ(г,г)^(Л(г,?)-Б(г,?))/2, то (7) выразится через проекции Е(г,?) в форме
Ex(г,t)=a(г,t)cos[(a+Q.)t+^(г,t)+■^(г,t)1+
+Ъ(г,?)ео8[(ю-О)?+ф(г,?)-у(г,()],
Еу(г, ?)=а(г, г)вт[(ю+О) ?+ф(г, 0+у (г, ?)] -
-Ъ(г,?)8т[(ю-О)?+ф(г,г)-у(г,?)].
Рис. 3. Структура бихроматического оптического излучения Е(г, і). Толстые линии соответствуют мгновенному состоянию векторов напряжённости, пунктирные линии изображают возможные состояния этих векторов при произвольных Юі+ф(г, і)
Таким образом, на вход интерферометра поступает сумма двух квазимонохроматических полей с амплитудами а(г, ?), Ъ(г, ?) и с частотами ю±О круговой поляризации различных (при ю>О) либо одинаковых (при ю<О) направлений вращения (рис. 3, б, в). Здесь ю (либо О - при ю<О) имеет смысл средней частоты, а 2О (2ю - при ю<О) - частотный интервал между составляющими поля. Чтобы отразить специфику рассматриваемого оптического поля, мы оперируем параметром бихроматичности (немонохроматичности, согласно [5]) д^О/ю.
Тогда моделью процессов в НКИ в приближении больших потерь или одного прохода служат следующие соотношения:
т„(г)аи(г,?)/а? = д(г)ди(г,о - и(г,о + Дг,о,
Дг,0 = П2(г)1к ап <Е2нс(г,?)>г =
= ап П2(г)1к [а2нс(г,?)+Ъ2нс(г,?)] =
= Ка5(г,?,г) + рКа5(г',?-т,г) + [у(г',?)/ст] х х{ Ка(г,?,г',?-т)ео8[(1+д)ют+
+ф(г, ?)-ф(г', ?-т)+у (г, ?)-^(г', ?-т)]+
+ Кь(г,?,г',?-т)ео8[(1-д)ют+ +ф(г,0-ф(г',?-т)-у(г,0+у(г',?-т)] }. (8)
Здесь к = ю/с; £/(г,?) = юм(г,?) - нелинейный фазовый набег; т = т(г',?) = 4(г’,?) + и(г’,?-?е(г',?))/ю; у(г',0 =
= 2Як(г',?)Сп(г'); р=0 для приближения больших потерь, но р=[у(г',?)/ст/2]2 для приближения однопрохо-довости; «смешанный» (КаЬ) и «парциальные» (Ка, Кь) параметры нелинейности:
Каь(г,?,гп) = (1-Я) ап П2(г„)/к [а2(г,0+Ъ2(г,0], Ка(г,?,г',?-т) = (1-Я) ап п2(г)1к а(г,?)а(г',?-т), Кь(г,?,г',?-т) = (1-Я) ап п2(г)1к Ъ(г,?)Ъ(г',?-т),
an=1 либо an=2, Q=0, y=const.
Практика моделирования показывает [3], что на динамику процессов в НКИ существенно влияет изменение следующих параметров НКИ и излучения, образующих множество P=P0={A, q, ф(г,г), y(r,t), v, rote(r,t), Kab(r,t,rn), Ka(r,t,r',tr), Kb(r,t,r',t')}.
РАВНОСИЛЬНОСТЬ ф,
В модели (8) в аргументы функций cos величины ф, у, te (последняя - в составе т) входят аддитивно. В связи с этим логично поставить вопрос: существуют ли такие наборы фь уь tel и ф2, у2, te2, не равные друг другу, для которых эволюция нелинейного фазового набега в НС НКИ одинакова? Очевидно, что при переходе от ф1, уь tel к ф2, у2, te2 динамика U(r,t) остаётся прежней, если значения y(r',t)/a, Ka(r, t, r", t-т), Kb(r, t, r' t-т), Kab(r, t, r), Kab(r', t-т, r) и значения аргументов cos в (8) не изменяются, т.е.
yi(r',t)/ai=y2(r',t)/a2, Kabi(r, t, r)=KaK!(r, t, r),
Kabi(r' t-т:, r)=Kab2(r' t—т2, r),
Kai(r, t, r' ^0=^2^, t, r' t-T2),
KM(r, t, r' t-^ )=Kb2(r, t, r' t-т2), (^)ют1+ф1(г, t)—ф:(г^ ^тО+^(г, t)-^i(r' t-т:) =
= (^)ют2+ф2(л О^г'^Н^лО-^г'^^го, (1^)ют1+ф1(г, t)-9l(r't-т:)—^l(r, t)+^l(r' t-тО^ =(1^)ют2+ф2(г, t) ф2(г f, t-т2) -
-V2(r, t)+V2(r', t-т2) -2л/. (9)
Введём обозначения: 5te(r', t)=te2(r', t)-tel(r', t) =
= т2-ть 5ф(г, t)^(r, t)-фl(r,t), 5^(r,t)=V2(r,t)-Vl(r,t). Поскольку Kab(r,t,rn) = (1-R) an n2(rn)lk [a2(r,t)+b2(r,t)], то, учитывая второе равенство в (9), разумно потребо-
вать равенства амплитуд полей: a^r, t) = a2(r, t),
bi(r, t) = b2(r, t). Будем полагать, что |Ste(r', t)| < Ste шах, причём Ste max мало настолько, что a(r, t)*a(r, t+Ste щах), b(r, t)«*2(r, t+Ste щах), ф(г, t) * ф(г, t+Ste щах), у(г, t) * * y(r, t+Ste max). Например, Ste щах=л//ю. При малых l данное предположение не является сильным ограничением: ведь при построении модели (8) использовалось приближение медленно меняющихся характеристик поля.
Третье и пятое равенства в (9) в общем случае неверны. Но, будучи смягчёнными до приближённых равенств и в силу того, что a(r, t)*a(r, t+Ste max), b(r, t)*b2(r, t+Ste max), они становятся справедливыми. А два последних равенства в (9), благодаря тому, что
ф(г, 0«ф(г, t+Ste max), ^(r, 0*^(г, t+Ste max), можно переписать более компактно:
юSte(r',t)+Sф(r,t)-Sф(r/,t-т1)«л(г+/), q roS te(r', t)+Sy (r, t)-Sy (r' t—т1 )*я(г-/). (10)
Равносильность влияния ф, у, te на динамику нелинейного фазового набега в НКИ как раз и выражается равенствами (10), аналогичными соотношениям равносильности параметров (2). Так, если Ste(r', t)^0, то для компенсации несовпадения значений te1(r', t) и te2(r, t) достаточно модулировать входное поле НКИ (дополнительно к пространственно-временной модуляции ф1(г, t), y1(r, t)) по закону
Sф(r, 0=л(г+/^ф(г', t-T1)-roS te(r', t),
Sy(r, t)=n(/-/)+S^(r' t-T1)-qroS te(r', t), или, что то же самое, обеспечить справедливость равенств
ф2(г, 0=л(г+/)+ф1(г, t)+Sф(r' t-T1)-roSte(r', t),
V2(r, t)=n(/-j)+V1(r, t)+Sy(r' t-T1)-qroSte(r', t). (11) Аналогично, если Sф(r, t)^0, то для компенсации необходимо удовлетворить условиям
roSte(r', 0=л(г+/^ф(г', t-т1)-Sф(r, t),
Sy(r, t)=n[(1-q)i-(1+q)/]+
+Sy(r' t-Tl)+q[Sф(r, 0-8ф(г' t—T1)]. (12)
Когда Sф(r, t)^0, одним из важных случаев является наличие оптического вихря в структуре монохроматического светового поля (yk(r, t)=0 и q=0) на входе НКИ. Тогда, используя свойство равносильности, можно идентифицировать порядок винтовой дислокации оптического поля и компенсировать влияния вихря на динамику в НКИ [6].
Анализируя форму второго равенства в (12), логично предположить:
Sy(r, t)=qSф(r, t)+const. (13)
Подставляя (13) в (12), получаем условие n[(1-q)i--(1+q)j]=0, связывающее q, i, j. Оно выполняется для любого q при i=0, j=0 или для q=(i—/)/(i+/) при г¥0,/V0. Последнюю альтернативу можно переписать в форме q=2i'/(i+/)-1. При этом любой паре чисел i, j можно поставить в соответствие пару n, l по правилу: i=nN, j-N(l-n), где N - произвольное целое, et vice versa. Иными словами, предположение (13) о связи функций y(r, t) и ф(г, t) в (12) правомерно либо когда i=0, j=0, либо когда q определяется равенством q=2n/l-1. Можно показать, что равенство q=2n/l-1 обеспечивает повторяемость (периодичность) свойств динамической системы при изменении rote(r', t) на величину, кратную nl.
Подставив выражения (г+/)=М, г-/=М(2п-Г) и (13) в (10), получим в дополнение к (13) соотношение
ю5ге(Г, г)«л/Ж+8ф(г' г-т1)-5ф(г, г). (14)
Обращаясь к варианту, когда г=0, у=0, можно убедиться, что подстановка г-0, у=0 и (13) в (10) даёт выражение, выводимое из (14) при N=0.
Нетрудно видеть, что для любого q при г=0, у=0 (N=0) или для q=2n//-1 при г¥0, у^0 выполнение равенств (14), (13) гарантирует справедливость выражений (10) и получаемых из них (11), (12). Но вид (14),
(13) является существенно более простым, чем у (10)
- (12), поскольку функция 5у(г, г) в (13) зависит не от трёх функций 5у(г' г-т1) 5ф(г, г) 5ф(г", г-т1), а лишь от 5ф(г, г). Более того, в (14), (13) устранена связь через г, у между парами равенств в (10) - (12).
Таким образом, если верны равенства (10) либо
(14), (13), то динамика нелинейного фазового набега в оптических системах с параметрами ф1, уь ге1 или ф2, у2, ге2 одинакова. То есть свойство равносильности существует на подмножестве параметров {ф, у, юге} для любых значений начальных условий и любых значений параметров. Но необходимо помнить о достаточной малости 5ге тах, которую затруднительно отразить в утверждении о свойстве равносильности.
Если в (14), (13) зафиксировать значение 5ф(г, г), то ему будет соответствовать единственное значение 5у(г, г), но отнюдь не единственное значение ю5ге(г', г). Совокупность значений ю5 ге(Г, г) образует эквидистантный ряд, что возвращает нас к обсуждению свойства периодичности как частного случая равносильности значений некоторого параметра (ю4 в данном сюжете), связанному с выводом (3).
Практикуя предложенный подход, можно доказать, что свойство равносильности существует на подмножестве ^, ю4, КаЪ, Ка, Къ} для любых значений начальных условий и любых значений параметров из Р. Оно формулируется в виде q2 = 1^ь Ка2(г,г,г',г') = qlKal(r,г,r',г'), Къ2(г,г,г',г') = qlKъl(r,г,r',г'),
КаЪ2(г,г,г„) = qlKaЪl(r,г,rn), ,г) = qlЮl4l(r',г), обес-
печивая равносильность эволюций в смысле соотношения: и2(г,г) = q1U1(r,г). (Поэтому при q=Q/ю>1, когда роль оптической частоты переходит от ю к О, тогда мера бихроматичности - 1^, а не параметр q.) Это можно продемонстрировать, строя бифуркационные диаграммы статических состояний (рис. 4).
Рис. 4. Демонстрация свойства равносильности: ветви диаграммы симметричны относительно прямой х=1 (пунктир). Ка=Кь=Ко/(1+4), Кай=2Ко/(1+^), «^=«^0/(1+?), Ко=3, «^=0, ?(х)=х при хе[0; 1] и ?(х)=1/(2-х) при хе[1; 2)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложено понятие свойства равносильности параметров динамической системы в смысле выбранного соотношения равносильности эволюций /’[...]«0. Построен метод выявления этого свойства.
Благодаря свойству равносильности, возможна манипуляция некоторыми параметрами с сохранением качеств динамической системы, заложенных в соотношение ^[.]«0 при его конструировании, т.е. возможно обеспечить заданную эволюцию. Поэтому свойство равносильности указывает и на характер манипуляции параметрами, гарантирующей изменение качеств системы, т.е. исключение нежелательной эволюции.
Намечены пути применения свойств равносильности для решения задач управления. Это осуществимо, если они сводятся к задачам идентификации и компенсации либо имитации влияния некоторого параметра на эволюцию динамической системы (см. рис. 1).
Свойство равносильности в смысле идентичности динамик систем позволяет распространить найденные зависимости динамики от одних параметров на зависимость для других. Тем самым удаётся, например, сэкономить вычислительные ресурсы при построении карт динамических режимов.
Продуктивность метода выявления равносильности показана на примере модели процессов в НКИ.
Обращение к равносильности позволяет: а) управляя законом пространственно-временного изменения любых двух параметров: фазы (например, порядка винтовой дислокации оптического поля с вихрем), положения плоскости поляризации оптического поля на входе НКИ, времени запаздывания в НКИ - идентифицировать закон изменения третьего параметра и компенсировать либо имитировать его влияние на динамику процессов в НКИ; б) выяснить условия периодического повторения всех свойств НКИ при изменении фазового набега в контуре обратной связи; в) установить, что за счёт увеличения параметра би-хроматичности излучения можно уменьшить параметры нелинейности и фазовую задержку в НКИ, обеспечивая заданную динамику.
Касаясь актуальности предлагаемого подхода, сошлёмся на мнение профессора Саратовского госуни-верситета С.П. Кузнецова (2001). Он полагает, что выяснение эквивалентности как сводимости одной динамической системы к другой нетривиальной заменой переменных в общем случае оказывается до сих пор нерешённой проблемой [1. С. 79]. В этом контексте соотношение равносильности Р[...]«0 выступает именно как замена переменных, переводящая одну динамическую систему в другую, а также - как операция сравнения динамических систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: ИФМЛ, 2001. 296 с.
2. Новые физические принципы оптической обработки информации: Сб. ст. / Под ред. С.А. Ахманова, М.А. Воронцова. М.: Наука, 1990. С.263-326.
3. Бифуркации в точечной модели кольцевого интерферометра с запаздыванием и поворотом поля / И.В. Измайлов, В.Т. Калайда, А.Л. Магазинников, Б.Н. Пойзнер // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. №2 5. С. 47-59.
4. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н. Варианты реализации нелинейно-оптического устройства скрытой передачи информации // Оптика атмосферы и океана. 2001. Т. 14. № 11. С. 1074—1086.
5. Измайлов И.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Моделирование процессов в кольцевом интерферометре с нелинейностью, запаздыванием и диффузией при немонохроматическом излучении // Изв. вузов. Физика. 2000. № 2. С. 29-35.
6. Измайлов И.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Идентификация винтовой дислокации волнового фронта и компенсация ее влияния на структурообразование в моделях кольцевого интерферометра // Оптика атмосферы и океана. 2000. Т. 13. № 9. С. 805—812.
