СВОЙСТВА ПРИТЯГИВАЮЩИХ МНОЖЕСТВ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СМЕЩЕНИЙ ИНСТРУМЕНТА В ТРАЕКТОРИЯХ ФОРМООБРАЗУЮЩИХ ДВИЖЕНИЙ ПРИ ТОЧЕНИИ ИЗДЕЛИЙ

Заковоротный В.Л.; Гвинджилия В.Е.

УДК 621.9:531.3 doi: 10.18698/0536-1044-2022-3-15-30

Свойства притягивающих множеств деформационных смещений инструмента в траекториях формообразующих движений при точении изделий*

В.Л. Заковоротный, В.Е. Гвинджилия

Донской государственный технический университет

The Properties of Attracting Sets of Tool Deformation

Displacements in the Trajectories

of the Shape-Generating Movements in Turning

V.L. Zakovorotny, V.E. Gvindjiliya

Don State Technical University

На сегодняшний день существует множество моделей сил резания в функции деформаций, определяющих динамическую связь процесса резания, которые опираются на экспериментальные данные, например, на фазовые сдвиги между деформациями и силами. Однако системного исследования свойств динамической системы резания и притягивающих множеств деформационных смещений инструмента не проводилось. Рассмотрены системные свойства формирования притягивающих множеств, предложены направления, позволяющие ими управлять. Исследованы силы резания, зависящие от деформаций, образующих внутрисистемную обратную связь, которая может стабилизировать равновесие, а также способствовать потере его устойчивости. Основные результаты получены математическим моделированием, также использованы методы экспериментальной динамики. По итогам проведенного исследования выявлены условия самовозбуждения динамической системы резания в зависимости от деформаций в направлении скорости резания. Полученные данные о механизмах формирования и эволюции притягивающих множеств деформационных смещений инструмента при резании позволили найти новое направление увеличения эффективности обработки на основе конструктивного изменения упругих свойств подсистемы инструмента, его геометрии и согласования программы ЧПУ с динамическими свойствами процесса резания.

Ключевые слова: динамическая система резания, притягивающие множества деформационных смещений, траектории формообразующих движений

To date, there are many models of cutting forces as a function of deformations determining the dynamic relationship of the cutting process, which are based on experimental data, for example, on phase shifts between deformations and forces. However, a systematic study of the dynamic cutting system properties and the attracting sets of tool deformation displacements has not been carried out. The article considers system properties of the attracting set formation and proposes directions allowing their controlling. The cutting forces depending on deformations that form an intra system feedback, which can stabilize the equilibrium as well

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 19-08-00022, 20-38-90074.

as contribute to the loss of its stability, were studied. The main results were obtained by mathematical modeling, and the methods of experimental dynamics were also used. Based on the results of the study, the conditions for self-excitation of the dynamic cutting system depending on the deformations in the direction of the cutting speed were determined. The obtained data on the mechanisms of formation and evolution of the attracting sets of tool deformation displacements during cutting allowed finding a new direction for increasing the cutting efficiency based on a constructive change in the elastic properties of the tool subsystem, its geometry and matching the CNC program with the dynamic properties of the cutting process.

Keywords: dynamic cutting system, attracting sets of strain displacements, trajectories of the shape generating movements

Традиционно для рассмотрения динамики процесса резания используют пространственную конечномерную модель динамической системы резания (ДСР) [1-48], включающую в себя подсистему инструмента, взаимодействующую с не-деформируемой заготовкой [33, 34]. Анализируют влияние вибрационных возмущений на динамику процесса резания [35-41], а также притягивающие множества, свойства которых отображаются в формообразующих движениях.

Взаимодействие подсистемы инструмента с заготовкой моделируют силами Б = {Рь Р2, -Р3 }т е е Я(3) (рис. 1), зависящими от деформационных смещений X = {Х1, Х2, Х3}т е Я(3) и их скоростей = Ух &) = {ух1 , vx2, Ух3}т е Я(3), а также от траекторий исполнительных элементов станка Ь = {Ь1, Ь2, Ь3}ге Я(3) и их скоростей ШЬШ = у(^) = {VI, У2, У3}т е Я(3) [33, 34, 42].

Анализируют вынужденные вибрации [3540, 49], формирующие синхронизацию, асин-

Рис. 1. Схемы преобразования траекторий формообразующих движений в силы резания:

а — силы в области передней грани; б — изменение направления движения вершины инструмента за счет скоростей Ух деформационных смещений; в — формирование направления движения и сил

в области задних граней инструмента

хронное взаимодействие, вибрационную стабилизацию, а также притягивающие множества деформаций (точка, предельный цикл, инвариантный тор, хаотический аттрактор), которые влияют на траектории формообразующих движений [1-22].

Анализируют следующие факторы, влияющие на устойчивость равновесия.

Силы зависят от площади срезаемого слоя 5 (рис 1, а). Их изменение запаздывает по отношению к ее вариациям [1, 6-8, 11-22] и моделируется апериодическим звеном, звеном чистого запаздывания и пр. Однако по первому приближению эти модели являются эквивалентными.

Рассматривают регенерацию следа от деформаций, оставленных на заготовке на предыдущем обороте, т. е. на площадь срезаемого слоя 5(г) в момент времени г влияет значение деформаций в момент времени (г - Т) [1, 6-8, 11-22] без учета зависимости площади срезаемого слоя 5(г) и запаздывающего аргумента Т от скорости уХз. Кроме того, суть подачи 5р как пути инструмента за время одного оборота заготовки фактически приводит к необходимости учета регенерации.

Учитывают нелинейность изменения сил от скорости. Для объяснения потери устойчивости и образования автоколебаний используют уравнения Релея, Ван дер Поля и модели реверсивного трения [9, 10, 23-26, 49].

Авторы этих работ не учитывают, что силы резания, зависящие от деформаций, образуют внутрисистемную обратную связь, которая может стабилизировать равновесие, а также способствовать потере его устойчивости. Тогда в окрестности равновесия образуются притягивающие множества деформаций, изучению которых посвящено данное исследование. Рассмотрено только продольное невозмущенное точение абсолютно жесткой заготовки, т. е. формирование сливной стружки.

Математическая модель. Основные свойства ДСР можно раскрыть на основе базовой модели динамики [49, 50]

+ h—+ cX = F + Ф + Ф(1), (1) йг2 йг

где m, h и c — положительно определенные симметричные матрицы инерционных, скоростных и упругих коэффициентов; F, Ф и Ф(1) — силы, формируемые в области передней,

m

= [твк ] = -

задней и вспомогательной задней грани инструмента соответственно (рис. 1, б, в),

F = {, Ц, К}Т Ф = {ФьФ2,Фз }Т е^(3); Ф(1) ={Ф(1),Ф21),Ф(31) }Т е^(3).

В выражении (1):

Гт5к = т при 5 = к; [ т5к = 0 при 5 Ф к;

5, к = 1,2,3;

c = [с5к ]; h = [Ь.5к ].

В исследованиях [51, 52] использован си-стемно-синергетический подход. Поэтому силы необходимо представить в координатах состояния и технологических режимах, связанных с траекториями исполнительных элементов станка и деформациями следующими соотношениями:

5р(г) = |

г-Т

У2® -

йХ2 й\

I

г р(г) = 0,5Л(г) -1

уЛ® -

йХ1

й\

й^ + уХЛг - Т); (2)

у р(г) = Уз(г) -

йХз

йг

где 5р — подача, мм; Е, — условная координата; г р — глубина резания, мм; у — безразмерный параметр; ур — скорость резания, мм/с; Л — диаметр заготовки, мм; Т — время оборота заготовки, Т = й-1 (П — частота вращения шпинделя), с.

В выражении (2) учтено влияние следа на заготовке на предыдущем обороте уХх(г - Т), который отличается от упругих деформаций безразмерным параметром у (у< 1). Сформулируем гипотезы, упрощающие анализ, но позволяющие раскрыть основные свойства ДСР:

• сила F имеет неизменную ориентацию, т. е. р =%1р(0), где I = 1,2,3; Р(0) — сила, формируемая в области передней грани инструмента, пропорциональная площади срезаемого слоя; %! — коэффициенты, удовлетворяющие условию

1(ъ )2 = 1;

1=1

• параметры подсистемы инструмента и процесса резания являются неизменными;

• существует запаздывание изменения сил по отношению к площади срезаемого слоя 5;

• в среднескоростном диапазоне с увеличением скорости резания уменьшаются силы резания.

С учетом принятых гипотез имеем

F(t) = F<°>(t){i,Х2,Хз} ;

dF(0) f

T(0) + F(0) =p fl + ц exp

dt I

Si ^3 ■

dX3 dt

x (3)

x[40) -Xi(t) + YXi(t-T)] j [©-vx2©№,

t-T

где T(0) — постоянная времени, с; p — давление стружки на переднюю грань, кг/мм2; t р0) — глубина резания без учета деформаций, мм; д — коэффициент крутизны, мм/с; ц — безразмерный параметр, ц<1.

Временное окно T и параметр T(0) определяются выражениями

T =-1-; T(0) = —k-, (4)

H-Vx3/(rcD) v3 - VX3

где k(T' — параметр, характеризующий путь, который должен пройти инструмент при переходе от одного состояния к другому, мм.

Если деформационные смещения X малы, то величинами vX3/(nD) и vX3 можно пренебречь.

Цель работы — изучение свойств формируемых в окрестности равновесия X * = = {X*, X*, X*} притягивающих множеств деформаций.

В точке X * справедливы соотношения

dXidt = 0 (i = 1,2,3); dF(0)/dt = 0;

X* (t) = X*(t - T), T = const.

Тогда

c2 =

c 2 X * = F*;

Cii +%1Р5р0)[1 + ц exp [-a(v3)j C21 C31

C12 +Х2р5р0)[1 + ц exp[-a( v3)] C22 C32

C13 +Х3р5р0)[1 + цехр[-a(v3)] C23 C33

гаться по направлению суммарной скорости под углом a = arctg(v3/v2) = const.

Если в момент ti скорости упругих деформаций не равны нулю (см. рис. 1, б), то изменится направление движения инструмента. Сумму скоростей v(t) и vX (t) будем называть скоростями формообразующих движений. Новое направление движения будет зависеть от vX (t) (см. рис. 1, в) и, соответственно, от заднего угла

a(t) = a0 - arctg

v3 - vX3 (t) v2 -vX2(t)'

(5)

где F* =p{1 + цехр[-a(v3)]}Sftр0){Xi, X2, X3}T; 5р0) — подача без учета деформационных смещений инструмента.

Если точение заготовки происходит при v1 = 0, v2 = const, v3 = const, X * = const, то на ней образуется след от инструмента (см. рис. 1, в), сдвинутый на X* относительно траекторий исполнительных элементов станка. Поэтому точка X* в процессе резания будет дви-

где а0 — задний угол в статике.

В результате изменяются условия взаимодействия задней грани с заготовкой и формируются зависящие от а(^) силы Ф, препятствующие движению инструмента в сторону заготовки. Их удобно аппроксимировать экспоненциальной зависимостью.

Аналогично выражению (5) можно рассматривать изменение угла для вспомогательной задней грани а(1). При углах в плане ф = л/2, ф(1) ^ 0 можно записать

Ф1 =Р11 | [2 ехр[а(-а(1)];

т ^ (6) Ф2 =Р2 [р0) - Х1 (г) + 7X1 (г - т)] ехр [«2 (-а)];

Ф3 = кт[Ф1 + Ф2],

где р1, р2 — параметры, характеризующие жесткость, кг/мм; а1, а2 — коэффициенты крутизны, рад-1; кт — коэффициент трения.

Выражения (1), (3) и (6) позволяют определить основные свойства притягивающих множеств деформаций.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Условия устойчивости. Для анализа устойчивости необходимо получить линеаризованное уравнение в вариациях [49] относительно X* и соответствующей ему силы Р* = = Р(0)*{%1, %2, Х3}т. Введем обозначения параметров: х = х - х* и / (0)(г) = р (0)(г) - р (0)*. После линеаризации (3) в вариациях относительно X* и Р(0)* имеем

f0) dt

T(°) = + f(°) = pJ - Л1Х1 - Л2 X2 + A3 ^ k (7)

dt

где

5р0);

A1 =[i + ц exp (-av3)] S£ A2 =[1 + цexp(-av3)](tр0) -X*);

A3 = (tр0) - X*) ^р0)ца exp (-av3).

Уравнение (7) справедливо на временном отрезке г < Т. При г > Т необходимо учитывать влияние регенеративного эффекта следующим образом:

1 + 2^(1)T(1) p + (Г(1) )2 p2

(0)

T(0) = f" + f(0) = рAi [xi (t) - yxi (t - T)] -

-A2 [(t)-X2(t -T)] + Лз Hat J

(8)

Ai( p) =

A2( p) =

Аз( p) =

Xi h.2i p + C21 X2 mp2 + Й22 p + C22 X3 ^23 p + C23

mp2 + h11 p + c11

hi2 p + C12 hi3 p + C13

mp2 + h11 p + c11

hi2 p + C12 hi3 p + C13

h3i p + C31 h32 p + C32

mp2 + h33 p + c33

h3i p + C31 h32 p + C32

X3 mp2 + h33 p + C33

h2i p + C21 Xi mp2 + h22 p + C22 X2

h23 p + C23 X3

Xi X2

Для случая Л3 ^ 0 и у = 0 имеем W2 (p) = KW0( p)[i - exp(-Tp)]. Здесь К — безразмерный коэффициент уси-

ления;

W0( p) =

1 + 2^(1)T(1)p + (T(1) )2 p2

4 (1 + 2^2 T2 p + T22 p2 )(1 + 2^T, p + T32 p2)

(9)

Уравнения (7) и (8) имеют постоянные параметры и элементы чистого запаздывания. В силу малости x и f(0) справедливы соотношения T = const и T(0) = const. Тогда для анализа устойчивости можно воспользоваться критерием Найквиста [49, 50], а систему рассматривать как подсистему инструмента с обратной связью (рис. 2).

Тогда передаточная функция системы резания без учета упругих деформаций

W (p) = р(1 + T(0) p )-1 Ap-1 {AiAi( p) х х [1 - у exp(-Tp)] + Л2 А2 (p) [1 - exp(-Tp)] -- Л3А 3( p)}, где p — оператор Лапласа;

A( p) =

mp2 + hii p + Си h2i p + C21 h3i p+C31 hi2 p + С12 mp2 + h22 p+С22 h32 p+С32 hi3 p + С13 h23 p + С23 mp2 + h33 p + С33

где и Т(1) — коэффициент затухания и период колебаний передаточной функции анти-резонансов системы соответственно; и

— коэффициент затухания первого, второго и третьего колебательных контуров подсистемы инструмента соответственно; Т1 , Т2 и Т3 — период колебаний первого, второго и третьего колебательных контуров подсистемы инструмента соответственно.

Безразмерный коэффициент усиления

к = р{г ;х2 g 2 + 5Р0)Х1 gl}, где г ; = г р0) - хг;

Cii Xi С31 С11 С21 С31

g 2 = С12 X2 С32 С12 С22 С32

С13 X3 С33 С13 С23 С33

Xi С21 С31 С11 С21 С31

gi = X2 С22 С32 С12 С22 С32

X3 С23 С33 С13 С23 С33

(1 + T(0) p )(i + 2^iTi p + T12 p2)

Рассмотрим примеры преобразования амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) W0(;ю) в (;ю), где ю — собственная частота колебательных контуров подсистемы инструмента. Пусть первой собственной частотой является (Т1)-1.

Исследуем два случая (рис. 3):

• если справедливо неравенство Т >> Т1, то

(;ю) имеет петлеобразные кривые, проходящие через начало координат на множестве ю = 2лТк~1 (к = 1, 2, 3), и выполняется условие неравенства амплитуд —(1)| < —(2)|; если Т >> Т1, то [1 -ехр(-Тю;)] способствует потере устойчивости;

• в связи с разработкой износостойких инструментальных материалов [44] и совершенствованием шпиндельных узлов [53] появилась возможность использования режимов, при которых Т < Т1; это справедливо и при обработке маложесткими инструментами (например, при растачивании глубоких отверстий); тогда АФЧХ [1 - ехр(-Тю;)] в области малых частот 0...ю(к) близка к нулю (см. рис. 3); за пределами полосы пропускания Щ0(;ю) характеристика

(;ю) быстро приближается к нулю вследствие затухания звена Щ0( ;ю); тогда амплитуды |А(1)| > —(2)|, и звено [1 - ехр(-Тю;)] лишь повышает устойчивость.

Рис. 2. Представление ДНР как системы с обратной связью: а — обобщенная схема; б — структурная схема преобразования подачи в ее величину; в — обобщенная структурная схема; г — развернутая структурная схема линеаризованной ДСР в вариациях относительно X* (^х (р) — передаточные функции, соответствующие трем направлениям

деформаций инструмента, г = 1, 2, 3)

Во всех случаях имеет место потеря устойчивости при увеличении безразмерного коэффициента усиления К, т. е. глубины резания, податливости и давления стружки.

Эволюционные свойства регенеративного эффекта. Ввиду регенеративного эффекта ДСР может потерять устойчивость при Т > £, так как становится возмущенной своей же траекторией на отрезке (£ - Т). На АФЧХ это отображается смещением точки А(1) в точку А(2) (см. рис. 3). Тогда в окрестности равновесия формируются притягивающие множества деформаций, которые создаются в результате суммирования X(í) = X(í - Т).

Причем время формирования установившихся траекторий может быть значительным при увеличении отношения Т/Т1. Формирование типа притягивающего множества зависит от безразмерного коэффициента усиления К и нелинейных элементов. Нелинейность связей приводит к необходимости при анализе использовать метод прямого цифрового моделирования.

В качестве примера рассмотрим точение вала из стали 45 диаметром Б = 40 мм при следующих параметрах динамической связи между инструментом и заготовкой: р1 = р2 = 50 кг/мм; д = 0,1 мм/с; а! = а2 = 120 рад-1; к(Т) = 1,5 мм; ц = 0,5; кт = 0,2; у = 1. Параметры ДСР [49, 50]

указаны в таблице. Обобщенная масса т = = 2-10-3 кг • с2/мм. Для упрощения анализа матрицы c и h приняты диагональными, т. е. оси ^(3) являются главными.

При расчете выполнялось согласование подачи и скорости резания, а также учитывалось изменение Т(0) при вариациях у3 = лDй. На рис. 4 приведена зависимость давления стружки на переднюю грань р от частоты вращения шпинделя й для четырех ДСР. Выше кривых равновесие неустойчиво.

Обычно при обработке собственные частоты колебательных контуров на порядок больше частоты вращения шпинделя (50... 100 Гц), поэтому на рис. 4, б этот диапазон выделен в дру-

гом масштабе отдельными графиками. Для более наглядного представления результатов на рис. 4 точки соединены кривыми. Изучение моделей динамики при изменении частоты вращения шпинделя й позволило определить следующие свойства.

1. Если выполняется условие Т >> Т ((= 1, 2, 3), то вариации Т не оказывают заметного влияния на устойчивость, в том числе отсутствует чередование областей устойчивости и неустойчивости, как это следует из теории Меррита — Тобиаса [7, 8]. Это связано с тем, что в окрестности точек ю = лТ_1 +2пк наблюдается «быстрое» вращение фазы, которое вызывает петлеобразный характер

у 1Ш((Й) 1,0

0 -1,0 -2,0

А(2)А(1) сс> = 0

(Щ Ш/ \ \ • У ща^У У , ^О)

-1,0

} 1т(ю)

1,0 2,0 Яе(со) а

0,5 0

-0,5 -1,0

~ ИЕО) ю = 0

1 ' \ ' - ч:- ^—ч— 1 0 V • / 1 1

-1,0

1,0 Яе(ш)

У1т(ю) 1,0

0 -1,0 -2,0 -3,0

'А™ А™

ъ 'ГН со = 0

* и л\ \ \ 1

4л \ \ ) \ ЧЛьу

1 N. Жо(/ш)

ч ^хО)

/

1 1 1 1

-1,0

1,0 2,0 Яе(ю) б

У 1т(ю) 0

-0,4 -0,8

-1,2 -1,6

\ ч — >. 1 |\(2) СО = 0 \ \ «V I - г 1 \ щи®>) / 1 1 1

-0,4

0,4 0,8 Яе(ю)

г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 3. АФЧХ ЩЯ) и И (р) при Т = 1, Т2 = 3, Тз = 5, Т(1) = 2, Т(2) = 4, ^ = ^ =^з = 0,08, ^(1) = ^(2) = 0,08 и времени оборота заготовки Т = 100 (а), Т = 50 (б), Т = 5 (б) и 0,5 с (г)

Значения компонентов матриц скоростных коэффициентов и упругости

Номер ДСР <4, кг/мм с2, кг/мм с3, кг/мм к\, кгх/мм к2, кгх/м к3, кгх/м

1 2000 1500 800 1,3 1,1 0,8

2 2000 1500 800 0,6 0,5 0,4

3 2000 200 800 1,3 0,5 0,8

4 2000 1500 200 1,3 1,1 0,1

р, кг/мм

, кг/мм2

1200 1800 а

1000 800 600 400 200

0

20

40

60 б

Рис. 4. Зависимость давления стружки на переднюю грань р от частоты вращения шпинделя П для первой ( ), второй ( ), третьей ( ) и четвертой ( ) ДСР (а) и ее фрагмент в укрупненном масштабе для П = 50...100 Гц (б)

80

100 О, с

-1

(;ю) и сглаживает вариации точек пересечения (;ю) оси абсцисс. В данном случае частота вращения шпинделя П является изменяющимся параметром. Все эксперименты подтверждают справедливость этого утверждения.

2. При Т < Т1 наблюдается быстрое затухание Щ (;ю)во всем частотном диапазоне, в связи с чем резко возрастает критическое значение давления стружки на переднюю грань р, после которого ДСР теряет устойчивость. Если же частота вращения шпинделя П близка к собственным частотам подсистемы инструмента, то устойчивость равновесия становится чувствительной к малым вариациям частоты вращения шпинделя. Причем частотный диапазон с увеличением допускаемого значения р не совпадает с собственной частотой одного из колебательных контуров подсистемы инструмента.

3. Область устойчивости уменьшается при возрастании добротности колебательных контуров подсистемы инструмента (кривые для первой и второй ДСР).

4. Увеличение податливости в направлении Х3 вызывает существенное снижение критического значения р в области малых П. При больших частотах вращения шпинделя это влияние нивелируется, что связано с уменьшением чувствительности ур к скоростям упругих де-

формаций. Здесь по отношению к вариациям площади среза формируется положительная обратная связь.

5. Деформации в направлениях Х1 и Х2 формируют отрицательную обратную связь, потенциально способствующую стабилизации. Однако увеличение отношения элементов жесткости в параметре gi (г = 1, 2) приводит к возрастанию коэффициента усиления к , влияющего на устойчивость.

Наибольший интерес представляет поведение ДСР не при г а при переходе от одного стационарного состояния к другому, в том числе «медленная» перестройка притягивающих множеств.

На рис. 5 приведен пример изменения деформационных смещений Х2 при точении заготовки из стали 45. При потере устойчивости в ДСР за счет нелинейных связей и особенностей суммирования траекторий со сдвигом на Т формируются различные притягивающие множества деформаций.

Для изменения коэффициента усиления к варьировалась глубина резания гр(0). В зависимости от нее гр(0) в ДСР образуется асимптотически устойчивая траектория (рис. 5, а), наблюдается трансформация «медленно» изменяющихся регулярных притягивающих множеств (рис. 5, б), а также образуется нерегулярная динамика (рис. 5, в).

X2, мкм

Рис. 5. Примеры преобразования траекторий Х2 в процессе точения стали 45 при ур = 1,2 м/с, = 0,1 мм, р = 500 кг/мм2 и различных значениях глубины резания без учета деформаций: р а — гр0) = 1 мм; б — гр0) = 2 мм; в — гр0) = 3 мм

Большое разнообразие регулярных и нерегулярных притягивающих множеств определяется законами суммирования двух траекторий Хг (г) - Хг (г - Т), г = 1,2, в зависимости от времени оборота заготовки Т, также изменяющегося в результате варьирования уХ3 (г).

Кроме традиционных множеств (предельных циклов, инвариантных торов и хаотических колебаний), изученных в нелинейной динамике, образуются притягивающие множества, кратные времени оборота заготовки. Они

зависят от Т, собственных частот подсистемы инструмента и ее пространственной податливости. Пример их преобразования приведен на рис. 5, б, где 1 соответствует полному времени точения 0.50 с, 2 — интервалу времени точения от 0 до 2 с (врезанию), 3 — от 12,45 до 13,30 с (обработке), 4 — от 40 до 50 с (завершению обработки).

Характерно, что после преодоления некоторого критического значения коэффициента усиления к в ДСР образуется хаотическая ди-

намика (см. рис. 5, в). Причем на формирование и эволюцию притягивающих множеств влияет отношение частот вращения шпинделя и собственных частот колебательных контуров подсистемы инструмента.

Установлено, что время перестройки зависит от отношения Т/Т. При Т/Т < 1 в ДСР практически сразу устанавливается терминальное притягивающее множество, сразу формируются автоколебания (рис. 6).

Анализ результатов. Рассмотрены проблемы устойчивости траектории упругих деформаций в подвижной системе координат, движение которой задает, например, программа ЧПУ, и стружкообразование полагается устойчивым. Показано, что регенеративный эффект обусловлен не столько следом от инструмента на обработанной части заготовки, сколько самой кинематикой формирования оборотной подачи, которая определяется интегральным оператором (2).

Он раскрывает очевидный факт: подача определяется в результате интегрирования скорости в течение времени оборота заготовки. Поэтому при определении устойчивости необходимо рассматривать две задачи. Первая связана с анализом траекторий упругих деформаций на отрезке 0...£ при t < Т, вторая —

с рассмотрением динамики ДСР, возмущенной своей же траекторией на отрезке 0...^ - Т) при t > Т. В частности, из свойств интегрального оператора, имеющего без учета упругих деформаций передаточную функцию Ш(р) = = к[1 - ехр(-Тр)]/р, вытекает следующее:

• управление силами резания путем варьирования подачи на частотах, равных или кратных частоте вращения шпинделя, не представляется возможным;

• увеличению суммарной податливости по направлению Х2 соответствует возрастание переходных процессов в формировании значения подачи и сил; это вызвано функциональной связанностью сил и деформаций в выражении (9);

• вследствие суммирования траекторий возможна потеря устойчивости, и тогда в ДСР наблюдается формирование притягивающих множеств деформаций, в формировании которых участвуют и нелинейные связи (3)-(6); многие из них не являются традиционными для нелинейной динамики.

Анализ результат исследования выявил следующее:

• кроме традиционно рассматриваемых в нелинейной динамике притягивающих множеств (предельного цикла, инвариантного тора, хаотического аттрактора) в ДСР формируются пе-

мкм

2,0 4,0 Х2, мкм

б в

Рис. 6. Примеры деформационных смещений: а — функция Х2^) при точении заготовки, К = 2; б — фазовая траектория Х2 — ¿Х2/^, К = 2; в — фазовая траектория Х2 — ¿Х2/Л, К = 10

риодические (с периодом Т) регулярные временные образования деформаций (см. рис. 5);

• время установления терминальных (окончательных) периодических деформаций зависит от удаленности частот колебательных контуров подсистемы инструмента Д' = Т— от частоты вращения шпинделя Д. Чем дальше частоты Д' = Т-1 от Д, тем больше длительность эволюционных изменений;

• деформации в направлениях Х1 и Х2 формируют по отношению к силам отрицательную обратную связь, которая может стабилизировать равновесие; например, при обработке заготовки; ее жесткость изменяется вдоль траектории инструмента, стабилизация сил лишь увеличивает погрешность;

• деформации в направлении Х3 формируют по отношению к силам положительную обратную связь, колебательные скорости в этом направлении вызывают изменение временного окна Т; эти два фактора способствуют самовозбуждению ДСР.

Литература

Выводы

1. Математическим моделированием и экспериментальным исследованием доказано, что вариации пространственной динамической податливости изменяют превалирующие источники самовозбуждения системы резания.

2. Показана склонность ДСР к потере устойчивости вследствие деформаций в направлении скорости резания, а также повышение устойчивости равновесия, если частота вращения шпинделя превышает собственные частоты колебательных контуров, формируемых подсистемой инструмента.

3. Изученные механизмы формирования и эволюции притягивающих множеств деформационных смещений при резании открывают новое направление увеличения эффективности резания на основе конструктивного изменения упругих свойств подсистемы инструмента, его геометрии и согласования программы ЧПУ с динамическими свойствами резания.

[1] Hahn R.S. On the theory of regenerative chatter in precision grinding operation. Trans.

ASME, 1954, vol. 76, pp. 356-260.

[2] Кудинов В.А. Динамика станков. Москва, Машиностроение, 1967. 359 с.

[3] Вейц В.Л., Васильков Д.В. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества

при механической обработке маложестких заготовок. СТИН, 1999, № 6, с. 9-13.

[4] Tlusty J., Polacek A., Danek C. et al. Selbsterregte Schwingungenan Werkzeugmaschinen. Ber-

lin, VEB VerlagTechnik, 1962. 395 p.

[5] Tlusty J., Ismail F. Basic non-linearity in machining chatter. CIRP Ann., 1981, vol. 30, no. 1,

pp. 299-304, doi: https://doi.org/10.1016/S0007-8506(07)60946-9

[6] Tobias S.A., Fishwick W. Theory of regenerative machine tool chatter. The Engineer, 1958,

vol. 205, no. 7, pp. 199-203.

[7] Tobias S.A. Machine tool vibrations, London: Blackie, 1965. 351 р.

[8] Merrit H.E. Theory of self-excited machine-tool chatter-contribution to machine tool chatter

research. J. Eng. Ind., 1965, vol. 87, no. 4, pp. 447-454, doi: https://doi.org/10.1115/L3670861

[9] Жарков И.Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом, Ленинград, Маши-

ностроение, 1986. 184 с.

[10] Городецкий Ю.И. Теория нелинейных колебаний и динамика станков. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление, 2001, № 2, с. 69-88.

[11] Litak G. Chaotic vibrations in a regenerative cutting process. Chaos Solit. Fractals, 2002, vol. 13, no. 7, pp. 1531-1535, doi: https://doi.org/10.1016/S0960-0779(01)00176-X

[12] Namachchivaya N.S., Beddini R. Spindle speed variation for the suppression of regenerative chatter. J. Nonlinear Sci., 2003, vol. 13, no. 3, pp. 265-288, doi: https://doi.org/10.1007/ s00332-003-0518-4

[13] Wahi P., Chatterjee A. Self-interrupted regenerative metal cutting in turning. Int. J. Non Linear Mech., 2008, vol. 43, no. 2, pp. 111-123, doi: https://doi.org/10.1016/ j.ijnonlinmec.2007.10.010

[14] Warminski J., Litak G., Lipski J. et al. Chaotic vibrations in regenerative cutting process. In: IUT AM / IFToMM symposium on synthesis of nonlinear dynamical systems. Springer, 2000, pp. 275-284.

[15] Stepan G., Szalai R., Insperger T. Nonlinear dynamics of high-speed milling subjected to regenerative effect. In: Nonlinear dynamics of production systems, 2004, pp. 111-127, doi: https://doi.org/10.1002/3527602585.ch7

[16] Stepan G., Insperger T., Szalai R. Delay, parametric excitation, and the nonlinear dynamics of cutting processes. Int. J. Bifurcat. Chaos, 2005, vol. 15, no. 9, pp. 2783-2798, doi: https://doi.org/10.1142/S0218127405013642

[17] Stepan G. Modelling nonlinear regenerative effects in metal cutting. Philos. Trans. A Math. Phys. Eng. Sci., 2001, vol. 359, no. 1781, pp. 739-757.

[18] Gouskov A.M., Voronov S.A., Paris H. et al. Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2002, vol. 7, no. 4, pp. 207-221, doi: https://doi.org/10.1016/S1007-5704(02)00014-X

[19] Moradi H., Bakhtiari-Nejad F., Movahhedy M.R. et al. Nonlinear behavior of the regenerative chatter in turning process with a worn tool: forced oscillation and stability analysis. Mech. Mach. Theory, 2010, vol. 45, no. 8, pp. 1050-1066, doi: https://doi.org/10.1016/ j.mechmachtheory.2010.03.014

[20] Гуськов М., Динь Дык Т., Пановко Г. и др. Моделирование и исследование устойчивости процесса многорезцового резания «по следу». Проблемы машиностроения и надежности машин, 2018, № 3, с. 19-27, doi: https://doi.org/10.31857/S023571190000533-7

[21] Лапшин В.П. Влияние скорости резания металлов на регенерацию вибрационных колебаний инструмента в станках токарной группы. Обработка металлов (технология, оборудование, инструменты), 2020, т. 22, № 1, c. 65-79.

[22] Gouskov A., Gouskov M., Lorong Ph. et al. Influence of the clearance face on the condition of chatter self-excitation during turning. Int. J. Mach. Mach. Mater., 2017, vol. 19, no. 1, pp. 17-39.

[23] Заковоротный В.Л., Фам Д.Т., Быкадор В.С. Самоорганизация и бифуркации динамической системы обработки металлов резанием. Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2014, т. 22, № 3, c. 26-39, doi: https://doi.org/ 10.18500/0869-6632-2014-22-3-26-39

[24] Zakovorotny V.L., Gubanova A.A., Lukyanov A.D. Stability of shaping trajectories in milling: synergetic concepts. Russ. Engin. Res., 2016, vol. 36, no. 11, pp. 956-964, doi: https://doi.org/10.3103/S1068798X16110216

[25] Zakovorotny V.L., Gubanova A.A., Lukyanov A.D. Parametric self-excitation of a dynamic end-milling machine. Russ. Engin. Res., vol. 36, no. 12, pp. 1033-1039, doi: https://doi.org/10.3103/S1068798X16120194

[26] Zakovorotny V.L., Gvindzhiliya V.E. Influence of spindle wobble in a lathe on the tool's de-formational-displacement trajectory. Russ. Engin. Res., 2018, vol. 38, no. 8, pp. 623-631, doi: https://doi.org/10.3103/S1068798X1808018X

[27] Воронов С.А., Киселев И.А. Нелинейные задачи динамики процессов резания. Машиностроение и инженерное образование, 2017, № 2, с. 9-23.

[28] Voronov S.A., Weidong Ma. Simulation of chip-formation by a single grain of pyramid shape. VibroengineeringProcedia, 2016, vol. 8, pp. 39-44.

[29] Ozturk E., Budak E. Modeling of 5-axis milling process. Mach. Sci. Technol., 2007, vol. 11, no. 3, pp. 287-311.

[30] Budak E., Ozturk E., Tunc L.T. Modeling and simulation of 5-axis milling processes. CIRP Ann. Manuf. Technol., 2009, vol. 58, no. 1, pp. 347-350, doi: https://doi.org/10.1016/ j.cirp.2009.03.044

[31] Ozturk B., Lazoglu I. Machining of free-form surfaces. Part I: Analytical chip load. Int. J. Mach. Tools Manuf., 2006, vol. 46, no. 7-8, pp. 728-735, doi: https://doi.org/10.1016/ j.ijmachtools.2005.07.038

[32] Bravo U. Stability limits of milling considering the flexibility of the workpiece and the machine. Int. J. Mach. Tools Manuf., 2005, vol. 45, no. 15, pp. 1669-1680, doi: https://doi.org/10.1016/j.ijmachtools.2005.03.004

[33] Заковоротный В.Л., Гвинджилия В.Е. Синергетическая концепция при программном управлении процессами обработки на металлорежущих станках. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2021, № 5, с. 24-36, doi: http://dx.doi.org/ 10.18698/0536-1044-2021-5-24-36

[34] Заковоротный В.Л., Гвинджилия В.Е., Закалюжный А.А. Влияние жесткости механической части привода и параметров резания на управление упругими деформациями

формообразования. Advanced engineering research, 2021, т. 21, № 2, с. 154-162, doi: https://doi.org/10.23947/2687-1653-2021-21-2-154-162

[35] Агапов С.И. Стойкостные исследования процесса зубофрезерования мелкомобульных зубчатых колес с введением в зону резания ультразвуковых колебаний. Вестник машиностроения, 2008, № 4, с. 66-68.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[36] Бржозовский Б.М. Ультразвуковые технологические процессы и оборудование в ма-шино- и приборостроении. Саратов, Изд-во СГТУ, 2009. 348 с.

[37] Асташев В.К., Андрианов Н.А., Крупенин В.Л. Об авторезонансном ультразвуковом резании материалов. Вестник научно-технического развития, 2017, № 1, с. 3-16.

[38] Ahmadi K., Savilov A. Modeling the mechanics and dynamics of arbitrary edge drills. Int. J. Mach. Tools Manuf., 2015, vol. 89, pp. 208-220, doi: https://doi.org/10.1016/ j.ijmachtools.2014.11.012

[39] Altintas Y. Manufacturing automation. Vancouver, University of British Columbia, 2012. 366 р.

[40] Pirtini M., Lazoglu I. Forces and hole quality in drilling. Int. J. Mach. Tools Manuf., 2005, vol. 99, no. 11, pp. 1271-1281, doi: https://doi.org/10.1016/j.ijmachtools.2005.01.004

[41] Roukema J.C., Altintas Y. Generalized modeling of drilling vibrations. Part I: Time domain model of drilling kinematics, dynamics and hole formation. Int. J. Mach. Tools Manuf., 2007, vol. 47, no. 9, pp. 1455-1473, doi: https://doi.org/10.1016/j.ijmachtools.2006.10.005

[42] Zhou Y., Yang W., Zhou Y. et al. Consistency evaluation of hole series surface quality using vibration signal. Int. J. Adv. Manuf. Technol., 2017, vol. 92, no. 1-4, pp. 1069-1079, doi: https://doi.org/10.1007/s00170-017-0184-6

[43] Киселев И.А. Геометрический алгоритм 3MZBL для моделирования процессов обработки резанием. Методика описания поверхности заготовки. Инженерный журнал: наука и инновации, 2012, № 6, doi: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2012-6-269

[44] Воронов С.А., Киселев И.А. Геометрический алгоритм 3MZBL для моделирования процессов обработки резанием. Алгоритм изменения поверхности и определения толщины срезаемого слоя. Инженерный журнал: наука и инновации, 2012, № 6, doi: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2012-6-261

[45] Воронов С.А., Киселев И.А., Аршинов С.В. Методика применения численного моделирования динамики многокоординатного фрезерования сложнопрофильных деталей при проектировании технологического процесса. Инженерный журнал: наука и инновации, 2012, № 6, doi: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2012-6-260

[46] Рыжкин А.А. Синергетика изнашивания инструментальных материалов при лезвийной обработке. Ростов-на-Дону, Донской гос. техн. ун-т, 2019. 289 c.

[47] Заковоротный В.Л., Флек М.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход. Ростов-на-Дону, Терра, 2006. 880 с.

[48] Заковоротный В.Л., Фам Д.Т., Нгуен С.Т. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении. Вестник Донского государственного технического университета, 2010, т. 10, № 7, с. 1005-1015.

[49] Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Москва, Гостехиздат, 1950. 471 с.

[50] Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. Москва, Наука, 1972. 768 с.

[51] Haken H. Information and self-organization. Elsevier, 2006. 251 p.

[52] Колесников А.А. Прикладная синергетика: основы системного синтеза. Ростов-на-Дону, Изд-во ЮФУ, 2007. 384 с.

[53] Пуш А.В. Шпиндельные узлы. Качество и надежность. Москва, Машиностроение,

1992. 288 с.

References

[1] Hahn R.S. On the theory of regenerative chatter in precision grinding operation. Trans.

ASME, 1954, vol. 76, pp. 356-260.

[2] Kudinov V.A. Dinamika stankov [Dynamics of machines]. Moscow, Mashinostroenie Publ.,

1967. 359 p. (In Russ.).

[3] Veyts V.L., Vasil'kov D.V. Problems of dynamics, modelling and quality assurance at me-

chanical processing of low-rigidity blanks. STIN, 1999, no. 6, pp. 9-13. (In Russ.).

[4] Tlusty J., Polacek A., Danek C. et al. Selbsterregte Schwingungenan Werkzeugmaschinen. Ber-

lin, VEB VerlagTechnik, 1962. 395 p.

[5] Tlusty J., Ismail F. Basic non-linearity in machining chatter. CIRP Ann., 1981, vol. 30, no. 1,

pp. 299-304, doi: https://doi.org/10.1016/S0007-8506(07)60946-9

[6] Tobias S.A., Fishwick W. Theory of regenerative machine tool chatter. The Engineer, 1958,

vol. 205, no. 7, pp. 199-203.

[7] Tobias S.A. Machine tool vibrations, London: Blackie, 1965. 351 p.

[8] Merrit H.E. Theory of self-excited machine-tool chatter-contribution to machine tool chatter

research. J. Eng. Ind., 1965, vol. 87, no. 4, pp. 447-454. DOI: https://doi.org/10.1115/ 1.3670861

[9] Zharkov I.G. Vibratsii pri obrabotke lezviynym instrumentom [Vibrations at processing by an

edge tool]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1986. 184 p. (In Russ.).

[10] Gorodetskiy Yu.I. Theory of nonlinear oscillations and machine tool dynamics. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. Ser. Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravlenie [Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod], 2001, no. 2, pp. 69-88. (In Russ.).