СВОЙСТВА МЕТОДА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЯЗОК В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

СВОЙСТВА МЕТОДА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЯЗОК В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

А.Н. Миронов, В.В. Лисицкий, О. Л. Шестопалова

Рассмотрены свойства метода многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязок в условиях временных ограничений. Даны оценки минимальной невязки и погрешности метода. Решены задачи локализации экстремумов и исключения лишних точек без проверки выпуклости функции невязки.

Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, сложная организационно-техническая система, синтез.

Существует научная проблема поиска оптимальных решений в сложных организационно-технических системах при согласованном учете в одинаковой степени ряда факторов: во-первых, требования обеспечения целевых характеристик, во-вторых, эксплуатационных характеристик, в-третьих, учета воздействия среды, в-четвертых, управляющих воздействий при минимальных или ограниченных затратах ресурсов. Как показано в работе [1], методология решения этой проблемы заключается в многокритериальной нелинейной оптимизации. В данной статье исследуем свойства метода многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязок в условиях временных ограничений работы [1].

Дадим оценку для величины минимальной невязки А0 системы, для этого сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 1. Для величины минимальной невязки А0 системы нелинейных уравнений работы [1] справедлива оценка

А2-Бу <А0 <А'2 + Бу ..

Г

(1)

Доказательство. Учитывая (26), (16), системы уравнений (41), (42) и (47) работы [1] представим соответственно в виде

п

I ] -Ь+ = 0, Ь+ = Ь* -Бу , iе I,

+

Ч=1

п

Ч ] ^

/

I Щ?] -Ь = Ь = Ь*+ Буг, i е I,

Ч=1

п

I аУ¥Ч -Ь = 0, Ь = Ь- + а-0, -е I. Ч=1

(2)

(3)

В соответствии с (23) работы [1] имеем

Д2 = тах /е/

п *

I - Щ*. (5)

]=1

Учитывая известное неравенство

а - щ < \а - ь < н+щ,

получаем с учетом (5)

Д*2 - ЕТГ <Д+ <Д*2 + Е^ ; Д*2 + ЕТ/ >Д- >Д*2 - ЕТ/ . (6)

В соответствии с (45) работы [1] в силу свойств / и Фг имеем

тт(л+, Д2) < Д0 < тахД, Д-). (7)

Отсюда на основе (6) находим

* о *

Д2 - Е1 г <Д0 <Д2 + Е1 г,

что и доказывает утверждение.

Следствие 1.1. Если выполнены условия следствия работы [1], то

Д0 =Д*2.

Доказательство. При выполнении условия (40) работы [1] из (1) непосредственно следует утверждение следствия.

Следующее утверждение конкретизирует результаты утверждения 1 на основе использования свойств / при аппроксимации / множеством

Ф /.

Утверждение 2. Для величины минимальной невязки Д0 системы (2) работы [1] при аппроксимации / множеством Ф^ справедлива оценка

< Ж+О+И, (8)

г+1 2 г+1 2

т на

/=1 /=1 где Д - определитель, полученный окаймлением произвольного отличного

от нуля минора г -го порядка матрицы А = а] с помощью столбца элементов Ь/ и не входящей в окаймляемый минор строки этой матрицы; А/ - алгебраическое дополнение Щ в Д.

*

Доказательство. Найдем соответствующие оценки для Д2 и Е^ , Для Е^ из (27) работы [1] имеем

< Е1, < ОМ. (9)

2 1 ? 2

*

Для величины невязки Д2 системы (4) из теоремы 6.14 и следствия 6.6 работы [2] находим

А*

А

г+1

II А

7=1

(10)

Из (9) с учетом (10) следует утверждение 2.

Данное утверждение носит конструктивный характер в методе [1] и позволяет после решения задач 1 и 2 определить величину невязки исходной системы (2) работы [1], что существенно сокращает время нахождения множество реализуемых (заданных) структур СОТС.

Соотношением (8) удобно пользоваться, если известна величина d +[/]. В противном случае более удобна оценка, которую дает следующее утверждение.

Утверждение 3. Для величины минимальной невязки А системы (2) работы [1] справедлива оценка

(11)

где

/

Ац,А

А

м

А

Ад<А<А м,

- соответственно минимум и максимум множества

А

' г+1

I

7=1

а;

+

а А , А+, А; , А+ - соответственно определители и ал-

г+1

I

V 7=1

гебраические дополнения, определяемые в соответствии с утверждением 2 для системы (3) и (2).

Доказательство. Используя равенство (10) для системы (2) и (3), в силу (7) получаем доказательство утверждения.

Следующее утверждение определяет погрешность метода работы [1] и, следовательно, погрешность локализации экстремумов системы (2) рассматриваемым методом работы [1].

Утверждение 4. Для величины максимальной погрешности метода

работы [1] Ах0 = тах

к

кх0 _к* Л Л

справедлива оценка

0 2Е1

0< Ах0 <-

т

т

^ • тах I

^ 7=1

а/

Доказательство. В соответствии с (49) работы [1] для Ахк =

(12)

кх0_к/ •Л- .Л-

имеем

0 < Ахк < тах

кх+_кх_

(13)

к _ к + 1 где х , х соответственно к -е корни уравнений

Т/Ы_/ =0

(14)

Г /x)- Y+ =о,

(15)

а У- , У+ - соответственно ] -е компоненты решений систем (2) и (3).

J ' V

XJ' XJJ

Для интервала Б-что у ] (х-) удовлетворяет условию

положим, как принято в работе [3],

m k

/ А»

Х J - Х j

J (XJ )-VJ (XJ )- MJ

/ //

X j - X j

k, .+

1Ч~Ч ^Ч^Ч^^Ч^Ч — (16)

Здесь х'-, х'- е Б*, 0 < Шч < Мч < ^. Полагая х' =кх-, х'- = кх+ и учитывая (14) и (15), получаем

Ш

Г №

Х J - Х j

-

Y - - Y+

- Mj

kX--kX+ xj xj

или в силу произвольного выбора ] е J

тах

ЧеJ

kX - -kX+

-

тах

ЧеJ

Y- - Y+

Оценку для тах АУ- = тах

ЧеJ чеJ

Y- - Y+

min m j

J^J

получаем из системы

(17)

(18)

Z ajAYj - 2EZf = 0

J=1

(19)

вычитанием системы (2) из (3). Для данной системы можно получить различные оценки, в частности, на основе (10) или через псевдообратную матрицу. В последнем случае оценка имеет вид

Ш

max AYv - 2Е

JeJ

J

-f

A

+

- 2 Е^ f max Z

jeJ i=1

a

+

iJ

(20)

тогда, полагая m = min mj, из (18) имеем

JeJ

max jeJ

kXj kX

2EZ

^f m -—— max Z

a.

iJ

(21)

Ш -=1 "

Поскольку данная оценка справедлива для произвольного к, то из (21) и (13) следует утверждение теоремы.

Несколько иная оценка для решения системы (19) дана в работе [4]. Из (10) следует оценка

2Бу,

0 -Ax0 -

m

r+1

ZI Ai\ i=1

(22)

где Ау - определитель, полученный окаймлением произвольного отличного от нуля монитора г -го порядка матрицы А с помощью столбца V-е I, Ь- = 2Бу и строки, не входящей в окаймленный минор.

Практически важной является задача локализации экстремумов, состоящая в определении области притяжения локальных экстремумов. Решение этой задачи дает следующая утверждение, которая устанавливает число локальных экстремумов исходной системы (2) работы [1] и определяет области (кх) конкретизацией значения £ = р0.

Утверждение 5. Система (2) работы [1] в области Б имеет не более М0 решений, где

0 п

м0 = Пв / _ к;, (23)

Jj

j=1

которые локализованы в сферах Sp радиуса

центрами в области

x x

min|Hi - hj\

p0 < --Ax0 (24)

min ¡i is I

< Ax0, K0 =

k s

1, M 0

Доказательство. Число решений системы (2) работы [1] в силу независимости решений уравнений (25) работы [1] определяется числом узлов п -мерной сетки образованной всеми в/ действительными корнями V/ е J

уравнений (25) работы [1] в области Б за исключением К; узлов, в которых функция невязки

А(х) = таХ /; (/)_ /; ((25) ;е1

не является выпуклой, и поэтому указанные узлы не являются решениями системы (2) работы [1]. Учитывая, что число сетки равно произведению всех в/, получаем (23).

Из определения сферы Бр притяжения к -го локального минимума

системы (2) работы [1] следует, что для радиуса р0 сферы справедлива

оценка

0 < p0 < inf

xk sD

arg ¡oc max A(x)- arg ¡oc min A(x). (26)

» xksD xk sD

Из (25) следует возможность оценки p° через f:

C|I )— fi (хм

A(x|)—A(xM+1 )< max is I

fi (x|)— f (x.+1), (27)

где хЦ, хм+ - соответственно точки минимума и максимума функций. Введем, как принято в работе [3], оценку для /; (х):

1;\х* _ х' < |/; (х') _ /; (х") < Ц\х _ х'|, (28)

где 0 < ¡1 < Ц .

Тогда, полагая х^ = х', х^+1 = х" и обозначая

Н = (х ) , И, = (х ) , (29)

получаем |х" - х' < \Н} - И, | < Ц |х" - х'.

Поскольку оценка справедлива для любого / е I и |х ' - х ' = р, то из (28) имеем

шт/гр < т1п|НI - И, < таХН, - Иг| < тахЦ х" - х'.

iel iel

iel iel

Отсюда имеем оценки для радиуса сферы Sp

minli min|Hj -hj|

jeI maxi Hj - hA < p0 < jeI

-------__ t . .t — ^ —

max Li te I min If

te I te I

Верхняя оценка справедлива, если центр сферы определен точно и

k k * 0 совпадает с x . Поскольку x определяется с погрешностью Ax , то цен-

тром сферы может быть любая точка области

x x

< Ax 0 ,а радиус необ-

ходимо уменьшить на эту величину для исключения попадания в сферу притяжения следующего минимума. Отсюда получаем искомую оценку (24). Утверждение доказана. Ряд других оценок даны в работах [4, 5].

Из утверждения 5 следует, что в общем случае для нахождения глобального экстремума необходимо проанализировать функцию (25) в достаточно большом числе точек (23), количество которых резко возрастает с ростом степени аппроксимирующих полиномов. Поэтому важной практической задачей является исключение лишних точек без проверки выпуклости функции невязки. Эту задачу решает следующая утверждение.

Утверждение 6. Если k x0 - решение системы (2) работы [1], то в сфе-min|Hj - hj |

ре Sp, радиусаp < -не существует других решений.

min lj

iel

Доказательство. Из определения сферы Sp притяжения k -го локального экстремума в силу утверждения 6 непосредственно следует (30). Следствие 6.1. Точки xs e Sp, xs Ф xk дискретного множества Xß

образованного декартовым произведением

Xß= X1 x X2 x... x Xj x... x Xn , (30)

где Xj = {xjk jk e [l, ß j }, Vj e J - множество действительных корней j -го

уравнения (25) работы [1], не является решением системы (2). Здесь xs - n -мерный вектор, компоненты которого являются действительными корнями уравнения (25) работы [1]:

xs ={(xj1,•••, xjkxjn )jk e 1 ß j 1j e J }. (31)

Следствие 6.2. Дискретное множество X0 приближенных решений системы (2) работы [1] равно

X О = _Х^_, (32)

и 4

к

где Хк - множество точек (31), лежащих в сфере Бр притяжения хк и неравных тождественно хк, Хк =

Данные утверждения непосредственно следуют из утверждения и поэтому их доказательство опускаем.

Применение свойств утверждения 6, позволяет существенно (в 20100 раз) уменьшить количество анализируемых точек по сравнение с теоретически возможным в соответствии с (23).

Необходимо отметить, что использование свойств конкретных

классов функций И®, Н^ , тМНю и основных результатов теории приближения функций [6, 7, 8] позволяет улучшить полученные выше оценки. Рассмотренные теоремы показывает существенные преимущества предлагаемого метода по сравнению с другими известными методами, в том числе методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, признанного в мировой практике одним из эффективных методов решения нелинейных экстремальных задач [9].

Заключение. В статье рассмотрены свойства метода многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязок в условиях временных ограничений. Сформулированы и доказаны утверждения, дающие оценку минимальной невязки и погрешности метода. Для уменьшения количества анализируемых точек решены задачи локализации экстремумов, и исключения лишних точек без проверки выпуклости функции невязки. Полученные результаты можно применять в задачах управления развитием сложных организационно-технических систем для решения проблемы учета много-критериальности при синтезе облика желаемой системы. Данные свойства позволяют примерно в 20-100 раз уменьшить количество анализируемых точек по сравнение с теоретически возможным при синтезе облика желаемой системы.

Список литературы

1. Миронов А.Н., Лисицкий В.В. Метод многокритериальной нелинейной оптимизации сложных организационно-технических систем на основе минимизации невязок в условиях временных ограничений // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 9. С. 330-343.

2. Оффман Ю.П. О наилучшем приближении функций двух переменных функциями вида ф(х) + y(y) // Изв. АН СССР. Сер. «Математика». 1961. Т. 25. Вып. № 2. С. 239-252.

3. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. 488 с.

4. Курилин Б.И. К решению чебышевской задачи приближения для несовместной системы нелинейных уравнений // ЖВМ и МФ. 1970. № 1. С. 3-14.

5. Резников Б.А. Анализ и оптимизация сложных систем. Планирование и управление в АСУ. Ленинград, 1981. 147 с.

6. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.

7. Бакушинский А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративных регуляризаций // ЖВМ и МФ. 1977. 17. № 6. С. 1350-1362.

8. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

9. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

Миронов Андрей Николаевич, д-р техн. наук, профессор, mironov-anikayandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Лисицкий Владимир Вадимович, канд. техн. наук, докторант, Itstckttayandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Шестопалова Ольга Львовна, канд. техн. наук, доцент, декан, neman2004a matl.ru, Россия, Байконур, филиал «Восход» Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

PROPERTIES THE METHOD OF MUL TICRITERIAL NONLINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS OF COMPLICATED ORGANIZATIONAL AND TECHNICAL SYSTEMS

BASED ON MINIMIZING THE RESIDUALS IN THE TIME CONSTRAINTS

A.N. Mironov, V. V. Lisitskiy, O.L. Shestopalova

In article properties of a method of multi-criteria nonlinear optimisation of difficult organizational-technical systems on the basis of minimisation are considered is nonviscous in the conditions of temporary restrictions. Estimations minimum are given method errors are nonviscous also. Problems of localisation of extrema are solved, and exceptions of superfluous points without check of camber offunction are nonviscous.

Key words: multi-criteria optimisation, difficult organizational-technical system, synthesis.

Mironov Andrey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mironov-anikayandex.ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Lisitskiy Vladimir Vadimovich, candidate of technical sciences, doctoral candidate, lisickiiayandex. ru, Russia, Saint-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Shestopalova Olga Lvovna, candidate of technical sciences, dean, docent, neman2004@mail. ru, Russia, Baikonur, A Branch «Voskhod» of the Moscow Aviation Institute (National Research University)

УДК 004.9; 655.3.02

ЦИФРОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕЧАТНЫХ БУМАГ И ЦВЕТНЫХ ТЕСТ-ОБЪЕКТОВ

Е.Л. Виноградов, В.В. Ваганов

Представлены результаты применения метода компьютеризованного ре-флектометрического сканирования для исследования оптических свойств бумажных субстратов и напечатанных на них модельных одноцветных оттисков. Доказаны универсальность, высокая информативность и перспективность применения сканирования запечатываемых материалов и полиграфических продуктов в целях повышения качества репродуцирования.

Ключевые слова: струйная печать, электрофотография, сканирование, цветопередача, качество репродуцирования.

Отличительные черты полиграфии XXI столетия - это оперативность, множество способов распространения информации печатными средствами (преимущественно, способов новационных, бесконтактных), широкое разнообразие запечатываемых материалов и высокая степень компьютеризации процессов тиражирования исходных сведений, которые, кстати, в настоящее время иначе, чем в форме электронных оригинал-макетов, не представляются [1 - 4]. Естественно, в условиях всеобъемлющей модернизации печатного дела, начавшейся во второй половине ХХ века, умножилось количество вариантов репродуцирования оригиналов и, как следствие, к настоящему времени заметно возросла роль объективного (приборного) оценивания качества полиграфических продуктов [5].

Вне всяких сомнений, качество оттисков определяется взаимодействием компонентов триады, запечатываемый материал - краска - печатающее устройство [6]; оттиски считаются высококачественными, если в процессе репродуцирования указанные компоненты взаимодействуют таким образом, что различия параметров оптических свойств копий и оригинала находятся в заданных пределах или, в идеале, эти параметры совпадают. Основная причина снижения качества и черно-белых, и цветных репродукций - искажение градаций тона из-за закрашивания их пробельных участков (локального и пространственного растискивания) [7]. В то же время, несовершенные копии многоцветных иллюстраций не только темнее оригиналов - при их печатании еще нарушается цветопередача [8, 9].