Свойства допустимых и оптимальных последовательностей выполнения работ на одной машине Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

И нформационные технологии в управлении

УДК 519.8

СВОЙСТВА ДОПУСТИМЫХ И ОПТИМАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ НА ОДНОЙ МАШИНЕ

Ю.А. Зак

Рассмотрены свойства допустимых и оптимальных последовательностей выполнения заданий на одной машине в условиях наличия ограничений на сроки начала и завершения выполнения работ. Предложены методы решения сформулированной задачи последовательными алгоритмами оптимизации на основе преобразования расписания, допускающего разрывы в выполнении работ в оптимальную последовательность, в которой такие разрывы не допускаются. Приведены числовые примеры.

Ключевые слова: допустимые и оптимальные последовательности выполнения заданий, ограничения на времена выполнения работ, разрывы во времени выполнения работ, последовательные алгоритмы оптимизации.

ВВЕДЕНИЕ

Известно большое число публикаций, в которых рассматриваются постановки и эффективные методы решения «one-machine sequencing problem» — определения оптимальной последовательности выполнения n работ (заданий) на одной машине в условиях, когда заданы времена выполнения работ t, ограничения на начальные сроки их выполнения а,, а также заключительные времена g, необходимые для завершения выполнения каждой работы после окончания выполнения ее на данной машине. Все значения t, а,, g, i = 1, ..., n, — целые числа. Одновременно на машине не может выполняться более одной работы. Необходимо найти оптимальную последовательность выполнения всех работ на этой машине, а также времена начала x, и завершения о, выполнения каждой из них. В качестве критерия оптимальности рассматривается минимизация срока g. завершения наиболее поздней из всех работ с учетом добавления заключительного времени обработки каждой из них на других машинах.

Для сформулированной, как показано в работах [1, 2], NP-сложной задачи предложены достаточно эффективные алгоритмы решения (см., например, работы [1—5]), позволяющие находить точные и

приближенные решения практических задач достаточно большой размерности. Эффективные алгоритмы точного решения задачи с помощью Schrage-algorithms и их модификаций впервые были предложены в работе [1] и развиты в работах [3—5]. Эти алгоритмы наиболее часто применяются в настоящее время для получения точных решений практических задач большой размерности.

Однако для практических приложений календарного планирования производства, организации обслуживания и вычислительного процесса чрезвычайно актуальна постановка задачи, в которой учитываются ограничения на сроки завершения каждого из заданий d, i = 1, ..., n. Такая постановка задачи важна как в условиях, когда допускаются разрывы во времени выполнения отдельных работ, так и в условиях, когда ни одна из работ не может прерываться в процессе своего выполнения. В условиях ограничений на сроки завершения отдельных работ даже задача поиска допустимой последовательности их выполнения, как и известная «One-machine sequencing problem» [1—6], также относится к классу NP-сложных задач. В условиях этих дополнительных ограничений автором были предложены алгоритмы решения сформулированных задач [6, 7], позволяющие с таким же объемом вычислений, как и в работе [1], решать такие задачи при отсутствии ограничений. Поиск допустимых и оптимальных расписаний осуществляется

последовательными алгоритмами оптимизации в процессе анализа некоторого множества последовательностей, не допускающих разрывов во времени выполнения заданий.

В данной работе предлагается другой подход, основанный на преобразовании оптимальной и (или) допустимой последовательности, в которой допускаются разрывы во времени выполнения отдельных работ в допустимое и оптимальное расписание, в котором такие прерывания устранены. К преимуществам таких методов следует отнести возможность как на начальном, так и на каждом этапе решения установить факт несовместности заданной системы ограничений и выявить подмножество заданий, временной ресурс выполнения которых должен быть расширен. Оптимальное решение задачи как при наличии ограничений на времена выполнения работ, так и при их отсутствии может быть получено предлагаемым методом с эффективностью, сравнимой с эффективностью упомянутых методов [1].

2. ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Пусть I — подмножество работ, которые должны быть выполнены на одной машине. Заданы

времена выполнения операций t¡, I е I, ограничения на начальные и конечные сроки их выполнения х1 1 йр о. т й, а также заключительные времена g., необходимые для завершения выполнения каждой работы после окончания выполнения ее на данной машине. Ни одна из операций не может прерываться в процессе ее выполнения, и одновременно на машине не может выполняться более одной операции. Необходимо построить расписание выполнения работ, удовлетворяющее всем сформулированным требованиям и минимизирующее время завершения выполнения наиболее поздней из всех работ с учетом добавления заключительного времени g¡ обработки каждого из них на других машинах.

Следовательно, необходимо при выполнении условий, что ни одна из работ не может быть прервана в процессе ее выполнения, найти решение следующей экстремальной задачи:

п; (1)

atm хр di1 xi + 4

- xt = 4 i = 1,

xt + t. + 1 m x. или x. + t. + 1 m x,,

t t J J J t

i ф j, i = 1, ..., n; (2)

F = max(a; + g,) ^ min. (3)

ttt

Без ограничения общности будем полагать, что для всех заданий выполняются условия a. + t, m d,

i e I.

Даже при отсутствии условий непрерывности выполнения каждого из заданий из-за наличия альтернативных ограничений (2), которые могут быть математически строго сформулированы только введением булевых переменных, задача поиска допустимого расписания носит комбинаторный характер и требует специальных методов решения.

3. СВОЙСТВА ДОПУСТИМЫХ И ОПТИМАЛЬНЫХ РАСПИСАНИЙ

Пусть на каком-то 5-м этапе решения, 5 = 0, 1, 2, ..., определено некоторое значение критерия

оптимальности (3), равное Fs. Минимальная длина расписания не может быть меньше величины

F0 = max

minat + ^ t. + mrng, I;

t e I t e I t e I )

max (a. + t, + g) \. (4)

t e I J

Определив Fs 1 F0, s = 1, 2, ..., S, обозначим f di если di + gi < Fs,

D. =

Fs - gi если dt + gi > Fs.

(5)

Обозначим 9] и т] — соответственно наиболее ранние и допустимые наиболее поздние сроки начала выполнения 1-й работы на машине, обеспечивающие выполнение всех ограничений задачи (1), (2) и значение критерия оптимальности (3) не

более величины Fs,

es 1 at, tS m Di - t, + 1,

(6)

где es m xs m ts , i = 1,

n.

Если в результате преобразований значений 9г-

и т] для какой-либо из работ строящейся последовательности будет выполняться неравенство 9] > т], то не может быть построена последовательность, удовлетворяющая всем ограничениям на сроки выполнения работ, со значением критерия оптимальности меньшим или равным величине F

Утверждение 1. Если для каких-либо двух работ

О. и О,, выполняемых на машине, справедлива следу-

¡ )

ющая система неравенств

eS + t.. + 1 1 tS

eJ + t. + 1 1 t, ,

(7)

то не существует допустимых расписаний выполнения всех работ на машине за время, меньшее или равное Fs.

Утверждение 2. Если для двух работ О. и О, вы* }

полняемых на машине, справедливо хотя бы одно из пары условий

Tj < e;, е; + ; + 1 > т,,

(8)

то в допустимых расписаниях, удовлетворяющих системе ограничений (1), (2) и F < Fs, работа O, должна выполняться раньше работы O;, т. е.

xS + ts + 1 m xj.

Следствия утверждения 2.

es = max{( es + t,s + 1); eS},

TS = min{( eS - tS); tS }.

(9)

Здесь 9- и г,- — скорректированные допусти) I

мые наиболее ранние и поздние сроки начала выполнения соответственно 1-й и у-й работы на 5-й итерации решения задачи.

Утверждение 3. Если для нескольких работ Ор, р = 1, ..., Р, выполняемых на машине, установлено, что они стоят в последовательности их выполнения перед работой О, т. е. выполняется условие

хр + {р + 1 т х,, р = 1, ..., Р, то справедливы соотношения

е, = min<! eS; ( max ep + tp + 1);

' [ 1 < p < p f f

p

(min ep + у tpS + P)

1 < p < P p ^ p p p = 1

(10)

Доказательство следует из условий (7)—(9), а также из того, что время начала выполнения работы О; не может быть ранее времени завершения всех работ Ор, р = 1, ..., Р, предшествующих ей, плюс допустимый наиболее ранний срок начала выполнения работ этого подмножества.

Разобьем все множество выполняемых работ I на два подмножества 11 и 12 — соответственно подмножества работ, для которых заданы и не заданы граничные сроки их завершения выполнения, 11 и 12 = 1, 11 п 12 = 0.

При установленном значении максимальной

длины расписания Р- в условиях заданной системы ограничений на сроки выполнения заданий рассмотрим следующий алгоритм вычислений.

Алгоритм 1^). Значения счетчиков гА1 и гВ1 положим равными нулю.

Шаг 1. Для каждой из двух работ О. и О., вы* }

полняемых на машине, проверяется выполнение условий (7) и (8). Если выполняется хотя бы одно

из этих неравенств, то устанавливаем значения := 2 и Zai := 2 и

А- := шт(9, - т,), либо (11)

А- := шin{( 9, + $ + 1 - т;); (9. + . + 1 - т,)}.

Если выполняемая работа принадлежит подмножеству работ 11, то система ограничений задачи является несовместной, и необходимо расширить временной ресурс, выделенный для выполнения соответствующей работы на величину, не меньшую чем значение А4, и алгоритм завершает работу. Если I е 12 или у е 12, то выполним необходимые вычисления, предусмотренные в шаге 5. В противном случае переходим к шагу 2.

Шаг 2. Рассматриваем все пары работ, выполняемых на машине. Если для какой-то пары работ О. и О. выполняются условия (8), то полагаем * )

1А1 := 1, 1В1 := 1, корректируем соответствующие граничные значения времен начала выполнения работ, выполнив преобразования (9). Переходим к шагу 3.

Шаг 3. Если для нескольких работ О , р = 1, ..., Р, выполняемых на машине, установлено, что они должны выполняться раньше работы О, т. е.

хр + *р + 1 < хр, р = 1, ..., Р, то полагаем гА1 := 1 и гВ1 := 1 и выполняем пересчет граничных значений времен начала выполнения этих работ по формулам (11), для 1-й работы рассчитываем значение

9,; по формуле (10). Переходим к шагу 4.

Шаг 4. Если гА1 := 0, то алгоритм выполнения преобразований завершает свою работу. Если гА1 := 1, то полагаем zA1 := 0, и переходим к выполнению шага 1.

Шаг 5. Положив Р* + 1 = Р* + А5, 5 := (5 + 1), выполняем пересчет значений 9р и тр по формулам (5) и (7), после чего снова выполняем алгоритм 1(8).

Упорядочим все работы по неубыванию значений в последовательность

и = {ы„ ы„ ..., ыр, .., ып \ы„ е I; Ли < Ли ,

I р 2 ' Р' ' пк' Р ' "а "А +1

р = 1, ..., (п - 1)}. (12)

Утверждение 4. Если хотя бы для одной из работ

ыр е и, упорядоченных в последовательности (12), несправедливы условия

max

p -1

min qu + у tu ; а..

1 < i < p - 1м' у u' u

U' / i U'^

i = 1 p = 1,

+ tu m du , •p i up up

n

то не существует расписаний, удовлетворяющих системе ограничений задачи. ♦

Доказательство утверждения 4 приведено в работах [6, 7].

4. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующий алгоритм построения расписания выполнения работ на одной машине, допускающий прерывание работ в процессе их выполнения (обозначим такое расписание т. е. построения некоторой последовательности выполнения работ W (^), а также определения времен начала и завершения выполнения каждой операции этой последовательности.

Алгоритм 2(s). Обозначим Q = q(up)|, p = 1, ..., n, количества временных интервалов в момент времени ^ = 1, ..., T, необходимых для завершения выполнения каждой операции. Все операции упорядочены в последовательности (12). В начале работы алгоритма положим q^(up) = tu , p = 1, ..., n.

В каждый из временных интервалов ^ = 1, ..., T выполняем работу ur, выбираемую из условий

ur = arg mn {Du k e U, eu m q,(u ) > 0}. (13)

' 1 < p < n p p p s p

Если таких работ несколько, то среди них выбираем работу с наименьшим индексом р. Для выбранной операции ur, полагаем q^(ur) := q^(ur) — 1. Если работ, удовлетворяющих условиям (13) не существует, то в данном ^-м временном интервале не выполняется ни одна из множества работ. Полагаем ^ = (^ + 1) и переходим к следующему временному интервалу

Алгоритм завершает свою работу в некоторый момент времени T, когда выполняются условия

qT(up) = 0, up e U, p = 1, 2, ..., n.

Обозначим N1 n — суммарное число отрезков времен полного и частичного выполнения различных работ в расписании

Пусть построено допустимое расписание выполнения заданий т. е. последовательность выполнения операций W (^1). Обозначим CTt m ст, — времена завершения выполнения работ в последовательности W (^1).

Рассмотрим некоторые свойства преобразований этого расписания в расписание работ, не допускающее прерываний времени их выполнения (расписание ¥2).

Показано [6], что для последовательности выполнения работ на одной машине U, временах вы-

полнения этих работ tu и наиболее ранних сроках начала выполнения работ 9и , а также в условиях

недопустимости прерываний времени выполнения работ справедливо утверждение 5.

Утверждение 5. Если выполняется хотя бы одно из системы неравенств

max

min eup + z ч; eup+1

upe ii

+ eu

p = 1

p = 1, 2, ..., (N — 1),

up +1

> D

up + 1'

то не существует допустимых расписаний выполнения работ на этой машине, удовлетворяющих всей системе ограничений на сроки начала и завершения их выполнения. ♦

Пусть некоторая работа у в последовательности

№ начинает выполняться в момент времени ^ и выполняется в течение Ь,, I. = 1, ..., Ь,, различных отрезков времени. Обозначим соответственно:

I I А

х,, о,, , — время начала, окончания и длительности выполнения этой работы на 1-м отрезке времени;

О (у) — подмножество работ, выполняемых в № в промежутках времени

1 Ь1 -у е [ о, + 1, о, = о, ], т. е.

~ ~ ■ 1 1

О (у) = [I е Ж(^1)|о] < х1 < о,; = о,}; (14)

тг, х; — допустимые наиболее поздние и фактические сроки начала выполнения подмножества работ

I е О (у) в расписании

Как следствие утверждения 5 может быть сформулировано

Утверждение 6. (1) Если в последовательности Ж (^1) хотя бы для одной из работ I е I выполняется неравенство ог > Б, то не существует допустимых расписаний выполнения работ на машине, удовлетворяющей всей системе ограничений при установленной длине расписания Fs.

(2) Если в последовательности Ж (^1) хотя бы для одной из работ I е 11 выполняется неравенство о1 > Б., то система ограничений задачи является несовместной. ♦

Доказательство следует из утверждения 4, так как допустимость прерывания выполнения заданий ослабляет систему ограничений утверждения 4.

В качестве другого способа доказательства утверждения 6 может быть рассмотрена возможность

увеличения числа выполняемых работ. Представим каждую у-ю работу расписания W (^1), которая выполняется с Ь. прерываниями, длительнос-

.1 I

тью каждого отрезка выполнения . и началом х., I = 1, ..., Ь., в виде Ь. различных операций со значениями 9. = 9., ^ = и временем выполнения,

равным .. Тогда доказательство утверждения 6

полностью совпадает с доказательством утверждений 4 и 5.

Утверждение 7. Если выполняется система неравенств

1

х, + . - . т т, V I е £2 (у),

то увеличение длительности интервала выполнения ]-й работы до величины t■ и выполнение этой операции до конца без прерываний не приведет к нарушению ограничений на сроки выполнения всех других работ расписания ♦

Обозначим и1(^) и и2 соответственно подмножество работ последовательности и , выполнение которых в момент времени ^ завершено

или требуется их завершение, и1 и и2 = и, и1(^) п и2 = 0. Число членов в последовательности и1 равно п1(^), и они, как и в последова-

получено расписание, удовлетворяющее всем ограничениям задачи и не содержащее разрывов во времени выполнения работ.

Каждое преобразованное расписание или

определяется временем ^ начала выполнения работы, разрыв во времени выполнения которой является первым среди всех работ этой последовательности, индексом этой работы у е

временем начала ^ = {х.\ у е (^)} и длительности

ее выполнения на данном отрезке {. |у е ^в (^)}, а

также некоторым признаком а[ (^)]; а = -2, если данная подпоследовательность не содержит допустимых продолжений, удовлетворяющих системе ограничений на времена выполнения работ; а = -1, если не существует допустимых продолжений при значении критерия оптимальности, меньшем или равном Ря, и это значение должно быть увеличено; а = 1, если не установлен факт, что не может быть построено расписание, не содержащее разрывов во времени выполнения работ, со значением критерия оптимальности, меньшем или равном Р,; а = 0, если рассмотрены все возможные перспективные преобразования данного расписания; а = 0,5, если рассмотрен только один из двух вариантов устранения прерывания выполнения

этой работы. Обозначим 11[(£)], 12 [(^)] со-

тельности и , упорядочены по возрастанию значе- ответственно подмножество работ в расписании ний Ьир. Пусть в момент времени $ в анализиру- ^ ф, выполняемых без прерывания до момента

времени и работ, для которых х. 1 т. е. выполняемых после времени

/1 [ ($)] и 12 [ ^ ($)] = I, / [ ($)] п /2 [^ ($)] = 0.

Алгоритм 3 Шаг 0. В расписании находим

первую работу у, у которой . < .. Если таких работ не существует, то = и получено решение задачи. В противном случае, полагаем ^ = х1. Определяем

^ ($) = ^1, у е ^ ф, {е ($)} = . , а[ ^ ($)] = 1.

емой последовательности назначено начало первого отрезка времени выполнения работы у, и длительность этого отрезка равна . временным интервалам. Определим

— ~ — 1

9, = 9, V I е {\]2Ш}; 9. = 9. + . + 1.

Рассмотрим алгоритм преобразования расписания в допустимое расписание не допускающее разрывов во времени выполнения работ. Алгоритм решения задачи представляет собой ветвящийся процесс последовательного преобразования расписания в различные расписания ^

и (^), каждое из которых некоторым образом

устраняет процесс прерывания выполнения первой претерпевающей разрывы работы, начало выполнения которой было в момент времени После этого анализируется возможность выполнения всех ограничений задачи и исключаются недопустимые продолжения. Процесс решения завершает-

Определим подмножества работ /1 [(^)] и

ся, если на каком-то ^ -м временном интервале /2[ (^)]. Переходим к шагу 1.

58

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 5 • 2012

Шаг 1. Находим расписание (ю), удовлетворяющее требованиям

У в (ю) = {max max{ у в (£)| у в (£) m 1}.

в = 1,2 %

Если таких расписаний не существует, то переходим к шагу 2. В противном случае — к шагу 3.

Пусть j — номер первой работы в последовательности Ув (ю), которая прерывается в процессе ее выполнения.

Шаг 2. Если среди всех расписаний Ув (£), ß = 1, 2, найдется хотя бы одно, для которого признак {а| Ув (£)} = 1, то это расписание принимается в качестве У2, т. е. является решением задачи. Если таких расписаний не существует, то задача не содержит допустимых решений. Как в первом, так и во втором случаях, алгоритм завершает свою работу, и переходим к шагу 6.

Шаг 3. Преобразуем расписание Ув (ю) в расписание Ур (£), устранив прерывания в выполнении работы j е

ув (ю), для которой х, = ю, определив

{Xjl j е Ур (£)} = ю, {ст, j е у1 (£)} = ю + j, £ = ю + j + 1,

Ji [Ур (£)] = J [ Ув (£)] и j, J [ Ур (£)] = J [ ув (£)]/j.

Если J2 [Ур (£)] = 0, то определяем подмножество работ {Q (j)|у1 (ю)} в соответствии с выв

ражением (14), где Wk(Ур) = Ур (ю). Для всех работ

~ в 11 i е {Q (j)| У в (ю)} значения хг- и стг- увеличиваем на

Aj = (j - tj1), т. е. х1 = х1 + Д, ст1 = ст1 + Д..

Если справедлива система неравенств

ст, < D V i е {Q (j)| У в (ю)}, то получено решение задачи, и алгоритм завершает свою работу. Если 12 [ у1 (£)] ^ 0, то положив ю = £, переходим к шагу 5.

Шаг 4. Если а[Ув (£)] = 0,5, преобразуем рас-

в2 писание У1 (ю) в расписание У1 (£), перенеся начало выполнения операции j е Ув (ю) на более поздний срок. Полагаем

Для всех остальных работ множества

- 2 в /2 [ У1 (£)] * 0, выполняемых в расписании У1 (ю)

после момента времени ю, оставляем значения

2 _ ~ [9г|/ е (г) и Щ (ю), I * у} = 9Г

Шаг 5. С помощью алгоритма 28, начиная с момента времени ю, строим расписание У? (£), допускающее разрывы во времени выполнения операций. Если для вновь построенного расписания выполняется хотя бы одно из неравенств системы неравенств

[о,]/ е уЦ (£)} > й¡, I е 11 П /2 [У' (£)],

то данное расписание не содержит допустимых решений, и полагаем а[ У2 (£)] = —2. Если выполняются условия [ог|/ е У? (£)} < V I е 11 и при этом для некоторых работ выполняются неравенства [ог|/ е у1 (£)} > V I е 12, то полагаем

а[ У? (£)] = —1. Как в первом, так и во втором случаях строящееся расписание не содержит допустимых продолжений и полагаем £ = ю + 1.

В случае если ог- < Б V I е I, полагаем

а{ У? (£)} = 1. В качестве £ выбираем, как и в шаге 3,

время начала первой работы в расписании выполнение которой не было осуществлено до конца. Значение У? (ю) полагаем равным 0, у1 (ю) = 0. Переходим к шагу 1.

Для расписаний У? (£), в = 1, 2, если а{ У? (£)} =

= 1, значение £ как время начала выполнения той операции, в которой происходит прерывание, т. е.

£ = { min х.111 < t.}.

i е ^(ffl)

(15)

{6,-1 j е У2 (£)} = ю + xj .

Если задача (15) не имеет решений, то построено допустимое расписание У2, не содержащее прерываний во временах выполнения операций, и алгоритм завершает работу.

Шаг 6. Если алгоритм 3(8) завершил свою работу, не построив ни одного расписания У2, и среди

всех расписаний У? (£) содержатся только расписания с признаком а{ У? (£)} = —2, то задача не имеет допустимых решений и временные ресурсы выполнения некоторых работ должны быть расширены. Если при этом содержатся некоторые расписания, для которых а{ У? (£)} = —1, то граничное значение критерия оптимальности должно быть

увеличено на некоторую величину Fs := Fs + 8s, где 8s = min min min (a- — D ).

Таблица 1

ß

5 i e J2 [¥?(5)]

С новым значением критерия оптимальности последовательно выполняем вычисления (5), (6), алгоритмы 1(^), 2(^) и 3(я) до тех пор, пока не получим решения задачи, либо подтверждения того, что система ограничений задачи является несовместной. ♦

Предложенный алгоритм реализует метод последовательного приближения к оптимальному расписанию снизу F0 < Г1 < ... < Fs < ... < Гкаждая большая итерация которого — некоторая модификация метода ветвей и границ с отсевом неперспективных продолжений. Ветви дерева, не обеспечивающие выполнение всех ограничений задачи или значение критерия оптимальности, равное величине Г5, отсеиваются как неперспективные. На первых шагах алгоритма устанавливается факт несовместности системы ограничений и идентификация узких мест.

5. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ

Пример 1. Необходимо найти допустимую последовательность выполнения пяти работ, начальные сроки, времена и граничные сроки завершения выполнения которых сведены в табл. 1.

При ограничениях на сроки завершения пятой работы й5 = 28 уже в процессе выполнения алгоритма определяется, что система ограничений задачи является несовместна. При увеличении значения й5 = 29 было получено допустимое расписание выполнения работ.

Рассчитав по формулам (5) значения Б, построим

последовательность и = {1, 2, 4, 5, 3}. Процесс решения сведен в табл. 2. Допустимая последовательность выполнения работ — Ж (^2) = {3, 1, 2, 4, 5}, сроки начала и завершения выполнения работ для расписания см. в табл. 2.

Пример 2. Необходимо найти оптимальную последовательность выполнения шести работ, начальные сроки а¡, времена ^ и граничные сроки завершения выполнения й¡, а также поствремена g¡ (табл. 3).

Вычисленное по формуле (4) значение нижней границы критерия оптимальности равно ¥0 = 33. Положив ¥1 = 35, по формуле (5) вычислим значения Б, которые приведены в последней строке табл. 3.

В соответствии с этими значениями построена последовательность выполняемых работ и = {2, 3, 1, 4, 6, 5}. Вычисленные по формулам (6) и преобразованные в процессе работы алгоритма значения 9, и т, приведены во втором и третьем столбцах табл. 4. Последовательность Ж (^1) определяет построенное алгоритмом 2б расписание, в котором допускается прерывание выпол-

Исходные данные Примера 1

Показатели Индексы работ

1 2 3 4 5

ai 6 3 1 19 15

ti 5 4 7 6 5

Di ' II 15 18 32 25 (28) 29

Таблица 2

Процесс и результаты решения Примера 1

Номер работы Допусти- мое время начала Последовательность (Yj), допускающая разрывы времени выполнения работ Расписание не допускающее разрывы времени выполнения работ

е,- Т 1 tl 1 2 2 x t

1 6 11 6 5 10 _ _ _ 8 5 12

2 3 15 3 3 5 11 1 11 13 4 16

3 1 12 1 2 2 12 5 16 1 7 7

4 19 19 19 6 24 _ _ _ 19 6 24

5 25 25 25 5 29 _ _ _ 25 5 29

Таблица 3

Исходные данные Примера 2

Показатель

ai t d gi D

Индексы работ

1 2 3 4 5 6

12 4 1 8 10 15

7 4 5 4 2 3

28 15 18 32 32 35

15 6 5 11 6 10

20 15 18 24 29 25

Таблица 4

Процесс и результаты решения Примера 2

Номер работы Допусти- мое время начала Последовательность (Yj), допускающая разрывы времени выполнения работ Расписание не допускающее разрывы времени выполнения работ

е Ti 1 tl 1 ai 2 t2 2 x t

1 12 14 12 7 18 — - - 12 7 18

2 4 10 4 4 7 - - - 6 4 9

3 1 14 1 3 3 8 2 9 1 5 5

4 8 21 10 2 11 19 2 20 19 4 22

5 10 28 24 2 25 - - - 10 2 11

6 19 23 21 3 23 - - - 23 3 25

нения работ. Алгоритмом Зб на 2-м шаге преобразования это расписание было преобразовано в последовательность, не допускающую разрывов во времени выполнения работ Ж (У2) = {3, 2, 5, 1, 4, 6}, в которой выполнены все ограничения на сроки выполнения работ и значение критерия оптимальности минимально. Времена начала и завершения выполнения каждой работы в этом расписании приведены в последних столбцах табл. 4. Значение критерия оптимальности определяется шестой работой и равно И = а6 + g6 = 25 + 10 = 35.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Поскольку сформулированная задача относится к классу МР-сложных, то предложенный алгоритм, реализующий некоторую модификацию метода ветвей и границ, как и алгоритм [1], относится к классу экспоненциально сложных.

Разработанные алгоритмы прошли апробацию при решении тестовых задач построения расписаний, включающих в себя несколько сотен работ. Исходные данные примеров выбирались случайным образом в пределах заданного диапазона значений.

Эффективность алгоритмов решения задач построения расписаний, не допускающих прерывания выполнения работ, зависит от трех параметров:

числа N и среднего времени Т выполняемых заданий и процента работ Р, на завершение выполнения которых наложены ограничения. Объем вычислений определяется числом Q пересчетов нижней границы длины расписания, числом Ж развиваемых ветвей дерева и числом Я устраняемых разрывов выполнения работ в процессе решения задачи. Результаты проведенных вычислительных экспериментов приведены в табл. 5.

Как показали результаты большого количества вычислительных экспериментов, при решении тестовых задач достаточно большой размерности (до 1500 работ) благодаря эффективности оценки

Таблица 5

Результаты вычислительных экспериментов

Параметры задачи

Параметры эффективности алгоритма

N T Р, % Q W R

До 200 5-7 10-20 0-6 10-15 12-30

100-200 8-10 До 50 7-11 20-30 25-38

400-500 3-5 До 30 12-20 40-45 42-50

800-100 3-7 До 25 30-42 65-80 90-105

1500 4 15 52 114 136

длины оптимального расписания точное решение задачи было получено при относительно небольшом числе приближений и ветвлений. Число устранений разрывов в выполнении работ и преобразований расписания в расписание при отсутствии ограничений на сроки завершения работ в несколько десятков раз меньше размерности решаемой задачи. Получение допустимых расписаний выполнения работ достигалось за полиномиальное время при числе преобразований расписаний, допускающих разрывы в выполнении работ, равном 5—15.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построение допустимых и оптимальных расписаний, допускающих разрывы во времени выполнения работ, осуществляется предложенными алгоритмами за полиномиальное время. Факт несовместности системы ограничений и определение «узких мест», требующих расширения временных ресурсов выполнения отдельных работ, устанавливается на первых шагах алгоритмов.

Эффективность решения задач построения оптимальных расписаний без учета ограничений на сроки завершения выполнения работ с помощью предложенных алгоритмов сравнима с эффективностью известных ранее алгоритмов [1].

Предложенные алгоритмы могут успешно применяться в алгоритмах точного и приближенного решения ]оЪ-8Иор-ргоЪ1еш.

ЛИТЕРАТУРА

1.

Carlier J. The one-machine sequencing problem. — European

Journal of Operational Research. — 1982. — N 11. — P. 42—47. Lenstra J.K., Rinnooy Kan A.H.G., Brucker P. Complexity of machine scheduling problema. — Annals of Diskrete Mathematics. — 1977. — N 1. — P. 343—362. Domschke W., Scholl A., Voß S. Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. — Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. — 2005. — 456 p.

Brucker P. Scheduling Algorithms. — Berlin, Heidelberg und New York: Springer-Verlag, 1998.

5. Лазарев A.A., Графов Е.Р. Теория расписаний. Минимизация суммарного запаздывания для одного прибора. — М.: ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, 2004. — 129 с. Зак Ю.А. Прикладные задачи теории расписаний и маршрутизации перевозок. — М.: URSS, 2012. — 394 с. Зак Ю.А. Построение допустимых и оптимальных расписаний выполнения работ на одной машине // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — № 1. — С. 62—82.

2.

3.

4.

6.

7.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Н. Бурковым.

Зак Юрий Александрович — д-р техн. наук, науч. консультант, г. Аахен, Германия, ®+49 (0) 241/543255, И [email protected], http\\www.optmorum.de.