Научная статья на тему 'Свойства адамаровских композиций производных Гельфонда-Леонтьева аналитических функций'

Свойства адамаровских композиций производных Гельфонда-Леонтьева аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

62
19
Поделиться
Ключевые слова
аналитическая функция / производная гельфонда леонтьева / композиция адамара / максимальный член / hadamard's composition / gelfond-leont'ev derivative / analytic function / maximal term

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Луговая Любомира Любомировна, Мулява Оксана Мирославовна, Шеремета Мирослав Николаевич

Для целых и аналитических в единичном круге функций исследованы сходимость и рост адамаровских композиций их производных Гельфонда-Леонтьева. Изучено поведение максимальных членов таких композиций

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Луговая Любомира Любомировна, Мулява Оксана Мирославовна, Шеремета Мирослав Николаевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

For entire and analytic functions in the unit disk the convergence and the growth of Hadamards compositions of Gelfond-Leontev derivatives are investigated. It is studied the behavior of the maximal terms of this compositions.

Текст научной работы на тему «Свойства адамаровских композиций производных Гельфонда-Леонтьева аналитических функций»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 90-101.

УДК 517.5

СВОЙСТВА АДАМАРОВСКИХ КОМПОЗИЦИЙ ПРОИЗВОДНЫХ ГЕЛЬФОНДА-ЛЕОНТЬЕВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Л.Л. ЛУГОВАЯ, О.М. МУЛЯВА, М.Н. ШЕРЕМЕТА

Аннотация. Для целых и аналитических в единичном круге функций исследованы сходимость и рост адамаровских композиций их производных Гельфонда-Леонтьева. Изучено поведение максимальных членов таких композиций.

Ключевые слова: аналитическая функция, производная Гельфонда - Леонтьева, композиция Адамара, максимальный член.

1. Введение

Для степенного ряда

ГО

/ (* ) = £ Л *к (!)

к=0

с радиусом сходимости Я[/] = Я € [0, то] и степенного ряда /(*) = ^^=01к*к с

Я[/] = Я € [0, то] и 1к > 0 для всех к > 0 степенной ряд

оо ,

А1"’/(*) = £ ^/к+„гк' (2)

к=о 1к+"

называется [1] производной Гельфонда - Леонтьва п-го порядка. Если /(*) = ег, то

А("’/(*) = /("’ (*) является обычной производной п-го порядка.

Степенной ряд

ГО

(/ * д)(^ = £ Ддк *к (3)

к=0

ГО

называется адамаровской композицией ряда (1) и д(*) = ^ дк*к. Известно [2], что

к=0

Я[/ * д] > Я[/]Я[д] и обратное неравенство может не выполняться. Свойства адамаровских композиций используются для исследования аналитических продолжений функций (например, см. [3]-[4]).

Если Я[/] > 0, то для 0 < г < Я[/] пусть М(г,/) = тах{|/(*)| : |*| = г},

^(г,/) = тах{|/к|гк : к > 0} — максимальный член ряда (1), а

V (г,/) = тах{п : |/к |гк = ^(г, /)} — его центральный индекс. Связь между ростом максимального члена производной (/ * д)("’ адамаровской композиции / * д целых функций

L.L. Luhova, O.M. Mulyava, M.M. Sheremeta, Properties of Hadamard’s compositions of Gelfond-Leont’ev derivatives for analytic functions.

© Луговая Л.Л., Мулява О.М., Шеремета М.Н. 2010.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Поступила 1 марта 2010 г.

/ и д и ростом максимального члена адамаровской композиции /(п) * д(п) их производных исследовал М. Сен [5]—[6]. В частности, в [6] доказано, что если функция / * д имеет нижний порядок Л и порядок £, то для любого £ > 0 и всех Г > Го(е)

г(п+2)А-1-е < МГ/(П+1) * д(П+1)) < Г(п+2)е-1+в

< Мг (/ * д)п) < ’

Мы продолжим исследования М. Сена, рассматривая вместо обычных производных производные Гельфонда-Леонтьева и кроме целых функций аналитические в единичном круге функции.

2. Аналитичность адамаровской композиции производных ГЕЛЬФОНДА-ЛЕОНТЬЕВА

Естественно, что не всегда радиус сходимости производной Гельфонда - Леонтьева ряда (1) совпадает с радиусом сходимости этого ряда. Однако, используя формулу Коши-Адамара, нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Лемма 1. Для того, чтобы для любого ряда (1) равенства Я[/] = +то и

Я[Д(п)/] = +то были 'равносильными, необходимо и достаточно, чтобы

0 < д = Иш ^ /к//к+1 < Иш УЩ+1 = ^ < +то, (4)

к^те к^<х

а для эквивалентности равенств Я[/] = 1 и Я[Д(п)/] = 1 необходимым и достаточным является условие

Иш {//к//к+1 = 1- (5)

к^-го

Доказательство. Начнем с первой части леммы. Используя формулу Коши - Адамара, легко показать, что для радиусов сходимости рядов (1) и (2) в силу (4) справедливы неравенства дЯД1/] < Я[/] < ^ЯД1/], откуда следует, что равенства Я[/] = +то и ЯД1/] = +то равносильные.

Предположим теперь, что Иш к/к//к+1 = + то, т. е. не выполняется второе из усло-

к^-го

вий (4). Тогда существуют возрастающая последовательность (кп) натуральных чисел и последовательность (кп) положительных чисел такие, что кп ^ +то при п ^ +то и

/кп//к„+1 = кПп для п > 1. Положим /кп+1 = к-(кп+1)/2 и /к = 0 для к = к„ + 1. Тогда

Иш у/Г = Иш кп+У|/кп+1| = Иш к„1/2 = 0, т. е. / е А(+то), а с другой стороны, к

кп

/кп+1 = кПкп 1)/(2кп) ^ +то при п ^ +то, т. е. Д1/ е А( + то).

1кп+1

Если же не выполняется первое из условий (4), т. е. существует возрастающая последовательность (к-) натуральных чисел такая, что ././/к.+1 = £ ^ 0 (^' ^ то), то положим +1 = £-(кп+1)/2 и /к = 0 для к = к- + 1. Тогда Ч +У|/к"+7| = £-1/2 ^ +то и

|/к: .+1| ^ 0 при ] ^ то, т. е. Д1/ е А(+то) и / е А(+то). Первая часть леммы

1к.+1"'к. доказана.

Докажем вторую часть. При выполнении условия (5) = Иш к т~~ |/к+1| =

Я[Дг/] к^~ V /к+1

= Иш к|/к+1| = —трт, так что это условие является достаточным. Если же оно не выпол-к^~ Я[/]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

няется, то существует возрастающая последовательность (кп) натуральных чисел такая, что V/кп//кп+1 ^ д =1 при п ^ то. Полагая /к„+1 = 1 и /к = 0 для к = к„ + 1 (п > 1), получаем Я[/] = 1 и ЯД1 /] = 1/д = 1, а если положим /кп+1 = /^+1//^ и /к = 0 для

к = кп + 1 (п > 1), то получим ЯД1/] = 1 и Я[/] = д = 1, т. е. условие (5) является также необходимым. Лемма 1 доказана полностью.

Несмотря на общность, условия (4) и (5) в лемме 1 являются достаточными для одновременной аналитичности производной Гельфонда-Леонтьева адамаровской композиции

^ ,

к=0

функций / и д и адамаровской композиции

А(П) (/ * д)(*) = £ у— Ук+пдк+п^к (6)

-к+„

^ \ 2

(А(га)/ * А(га)д)(г) = £ ( ) Л+пдк+п^. (7)

, п \/к+п/

* В<“)д)(г)^ /к.+„д»+„,-к

к=0 /к

их производных Гельфонда - Леонтьева. Другими словами, справедлива следующая лемма.

Лемма 2. При выполнении условия (4) равносильными являются равенства Я[Д(п)/* Д(п)$] = +то и Я[Д(п)(/ * $)] = +то, а при выполнении условия (5) такими являются 'равенства Я[Д(п)/ * Д(п)д] = 1 и Я[Д(п)(/ * $)] = 1.

Доказательство. Используя формулу Коши - Адамара и свойства верхнего и нижнего предела, имеем

= ь( (£) |/к+*+“') ^

'г и

Д[Д((га)(/ * д)] к—те \-к+га/

1/к

-----ТГ~------П— - --------ГГ---- — (т-^)

Д[В((”)/ * С<“)д] Й[В((”)(/ * д)] к—« V-к+„У

1/к

'г J * г у] -“і^г откуда легко вытекает справедливость леммы 2.

3. РОСТ ПРОИЗВОДНЫХ ГЕЛЬФОНДА - ЛЕОНТЬЕВА

Наиболее употребительными характеристиками роста целой функции / являются ее нижний порядок А[/] и порядок ^[/], определенные формулами

А[/] = 1іш 1п1п,М(г/), / = ЙЫ ІПІП,М(г’/).

г—+те 1п Г г—+те 1п Г

Имеет место следующая хорошо известная лемма:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Лемма 3. Для каждой целой функции (1)

Нш1^ = А[/], 1іш 1п^ = /

г—+те 1п Г г—+те 1п Г

Для порядка эту лемму доказал Ж. Валирон ([7], С. 33), а для нижнего порядка — Дж. Уиттекер [8].

Для функций, аналитических в круге О = (г : |г| < 1}, нижний порядок А*[/] и порядок £*[/] определяются формулами

А*[/] = Цш1п+ 1п М(Г,/), е*[/] =1іш1п+ ;п М(Г,/).

г|1 — 1п(1 — г) г|1 — 1п(1 — г)

Лемма 4. [9]. Для каждой аналитической в О функции (1) справедливы неулучшаемые оценки

1п+ V (г /) - 1п+ V (г /)

А/] < ИШ^П1-^1Г^- < А/] + 1, е*[/] < Цгп ^П1-^1Г^ < £*[/] + 1.

г|! — 1п (1 — Г) г-|1 — 1п (1 — Г)

Следующая лемма устанавливает связь между ростом целой функции и ее производной

Гельфонда - Леонтьева.

Лемма 5. При выполнении условия (4) для целой функции (1) имеют место равенства АД(га)/] = А[/] и £[А(га)/] = £[/].

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай п =1. Из условия (4) вытекает существование чисел 0 < < д2 < таких, что < /к//д+1 < для всех к > 0.

/к , „ , , 1 , . „ I ,1

Поэтому г^(г,^1/) = ша^< -------|/к+1|гк+1 : к > 0> < — шах{|/к+1|(д2г)к+1 : к > 0} <

I 1к+1 ) 02

^М?2г,/) / . М?1г,/) .

< и, аналогично, г^(г, ^1/) > ----------------- для всех достаточно больших г, так как

д2 д1

^(г, /) ^ при г ^ +то. Отсюда, учитывая, что для целых трансцендентных функций

1п г = о(1п ^(г, /)) при г ^ +то, получаем асимптотические неравенства

(1 + о(1))1п ^(^1г,/) < 1п ^(г,Д1/) < (1 + о(1))1п ^2г,/), г ^ +то. (8)

С другой стороны, в силу неравенства Коши

Мг, /) < М(г, /) < £ /|(2г)к2-к < 2^(2г, /). (9)

к=0

Из (8)-(9) легко следует справедливость леммы 5.

Следствие 1. Если / и д — целые функции, то при выполнении условия (4)

А[А(га)/ * А(га)д] = А[А(га)(/ * д)] = А[/ * д] и £[А(га)/ * А(га)д] = £[А(га)(/ * д)] = £[/ * д].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Действительно, равенства АД(га)(/ * д)] = А[/ * д] и ^[Д(га)(/ * д)] = ^[/ * д] вытекают

непосредственно из леммы 5. Чтобы доказать равенства АД(га)/ * Д(га)д)] = АД(га)(/ * д)] и

^[Д(га)/ * Д(га)д)] = ^[Д(га)(/ * д)], достаточно заметить, что, как при доказательстве леммы

5, можно получить неравенства д^Мг, ^(п)(/ * д)) < ^(г, Д((га)/ * Д((га)д) < д^Мг, ^(п)(/ * д)) и использовать (9).

В отличие от целых функций, для которых условие (4) является достаточным для равенства порядков функции и ее производной Гельфонда - Леонтьева, в случае аналитических в О функций условие (5) недостаточно для равности таких порядков. Например, функция /(г) = 1/(1 — г) имеет нулевой порядок, а ее производная Гельфонда - Леонтьева

ГО

^2 (/к/1к+1)гк в силу произвольности коэффициентов /д//д+1 может иметь даже бесконеч-

к=0

ный порядок. Однако если /д = 1/к!, то справедлива следующая лемма.

Лемма 6. Для каждой аналитической в О функции / имеют место равенства

А*[/] = А/'] и £*[/] = £*[/'].

Доказательство. Из интегральной формулы Коши / '(г) =

1 г / (т Ыт 2 /1 + г Д

= ---- ------— получаем неравенство М (г, /') < --------М --------, / , а в силу

2п |Г-*|=(1-|*|)/2 (Т — г)2 1 — г V 2 /

формулы Лейбница - Ньютона /(г) = / /'(т)^т + /(0) имеет место неравенство М(г, /) <

0

< М(г, /') + |/(0)|, откуда легко вытекают равенства А*[/'] = А*[/] и £*[/'] = [/].

Поскольку /к/-к+1 = к +1, если Д1/ = /', то естественно предположить правильным аналог леммы 6 при условии

0 < Иш —---------- < Иш —------------ < +то, (10)

к^го (к + 1)-к+1 к^те (к + 1)-к+1

т. е. справедлива следующая лемма.

Лемма 7. При выполнении условия (10) для аналитической в О функции (1) А*[Д(п)/] = А*[/] и д*Р<п)/] = е*[/].

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай п =1. Из (10) вытекает существование чисел 0 < Л < Л2 < +то таких, что Л (к +1) < /к//к+1 < Л2(к + 1) для всех к > 0. Поэтому ^(г,Е//) < Л2шах{(к + 1)|/к+1|гк : к > 0} = Л2^(г,/') и, аналогично, ^(г, /) > Л1^(г, /'). Так как для аналитической в О функции (1)

Мг,/) < М(г,/) < £|Л| (1-+^) (,/), (11)

то отсюда и леммы 6 следует лемма 7.

Следствие 2. Если / и д — аналитические в О функции, то при выполнении условия

П(га).

(10) А*[с;п)/*В,(П)д] = А-[С((П)(/*д)] = А*[/*д] и д*[Д(,,)/*С,(")д] = д*^/*д)] = д*[/*д].

Действительно, согласно лемме 7 достаточно доказать равеноства А* Д( )/ * )д)]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

>!п)(/*д)] и г*[в<")/ *о<")д)] = д*[в<

А*[д(га)(/ * д)] и д*[Е((га)/ * Д(п)д)] = д*[Е((га)(/ * д)], а для этого достаточно заметить, что

при условии (10) ^(г,Е(га)/*Е(га)д) < Л"ша^{ (к + 1) ... (к + п)--^-|/к+п||дк+п|гк : к > 0 1 =

I, 1к+п J

= Л"^(г, Е(га)), где

оо ,

Е(г) = £ ^/к+„дк+„гк'+" = г"0<")(/ * д)(г),

к=0 -к+га

и, аналогично, ^(г, Е(га)/* Е(га)д) > Л"^(г, Е(га)). Отсюда, используя (11), нетрудно получить равенства А*[В<П)/ * С,(")д] = А*[Е] = А*[С,(п)(/ * д)] и е*[Д'")/ * С,(")д] = е*[Е] =

= А*[ЕГга)(/ * д)], что и требовалось доказать.

4. Поведение максимальных членов Адлмлровских композиций целых

Функций

Используя формулу Адамара для нахождения порядка, можно показать, что 1/д[/ * д] > 1/д[/] + 1Мд]. Противоположное неравенство, вообще говоря, неверно: возможны даже равенства д[/] = д[д] = +то и д[/ * д] = 0. Поэтому далее рост максимальных членов ^(г, Е(га)(/ * д)) и ^(г, Е(га)/ * Е(га)д) будем изучать в терминах порядка и нижнего порядка функции / * д. Начнем со следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть / и д — целые функции, А[/ * д] = А и д[/ * д] = д, тогда:

1) если выполнено условие (4) с д > 1, то

Шп -иш ^<г.ДГУ * = А, 1ТШ ‘ьь * Д^д) = д.

г^+го 1п г ^(г,Е(га)(/ * д)) Г^+ГО 1п г ^(г,Е(га)(/ * д))

2) если выполнено условие (10), то

1 . ^(г,Е(га)/* Е((га)д) -— 1 ^(г,Е(га)/* Е((га)д)

1т :----1п ^^= пА, 11ш --------------------1п ^^= пд;

Г^+ГО 1п г ^ Д((га) (/ * д)) Г^+ГО 1п г ^ Е((га) (/ * д))

3) если

0 <рі < /к/4+1 < Р2 < (к > 0), (12)

то ^(г, Е(га)/ * Е(га)д) х ^(г, Е(га)(/ * д)) при г ^ +то.

Доказательство. Сначала покажем, что

С(г,д(п)(/*я)) ^(г,А(га)/ * / ^(г^"/*Д(п)й) ,10^

< , „(«.) , „ ^ < ; • (13)

С(г.Дг(п)(/*й))+га Мг, (/ * д)) С(г,Дг(п)/*Д(п)й)+га

Действительно, с одной стороны,

Мг А(га)(/ * д))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1(г,Р(п)(/*й)) () |гКг4п)(/*я))

/ ( ) |/^(г,Дг(п)(/*й))+га||д^(г,Дг(п)(/*й))+га|

1Кг,Дг(п)(/*я))+ге

= 1у(г,р(п ^/*й))+га / 1у(г,р(п ^/*д)) \ , / ,, |

= / (п ч \ / (п ч |/^(г,Рг(п )(/*й))+га||д^(г,Рг(" )(/*й))+га|Х

^(г,Р( Ч(/*д)) \ ^(г,Р( Ч(/*й))+га/

х^М"1/*»)) < /-(Г,Р!'"(/*»»+"^(г, С<“)/ * В((”)д),

^(г,Р((п Ч(/*й))

а с другой стороны,

^(г,С<”)/ * В<“)д) = 1 4 2

Мг,Дг(п)/*Дг(п)й)

/ I |/^(г,Д( )/*Д( )й)+га||д^(г,Д( )/*Д( )й)+га|

/ / п(п ) ^ п(п ) \ I / 1 1 1 1

^(г,Д^ /*Д; й)+га/

Хг^(г,я<п)/*^(п )й) < КГ,Д(П )(/*а» ^(г,Д((га)(/ * д))

г,^і

^(г,Дг(" )(/*д))+га

так что неравенства (12) доказаны.

Из (4) с д > 1 вытекает существование чисел 1 < д1 < д2 < +то таких, что дкга < /к//к+га < 52™ для всех к > к0. Поэтому из (13) имеем

/ /"')(") /")(") ^

п^(г Е((га)(/ * д)) 1п 51 < 1п ^ г’ 1 (га) *—< п^(г, £(п)/ * Е((га)д)1п ^ (14)

^(г,Д( )(/ * д))

для г > г0. По лемме 3

1п „(^Ц * д) = А[в}.)(/ * д)], ЦШ 1п ^* д» = д[В}.)(/ * д)] (15)

Г^+ГО 1п г г^+го 1п г

и эти равенства остаются в силе, если вместо Е((га)(/*д) поставить Е((га)/*Д((га)д, а поскольку

0 < п 1п д1 < п 1п д2 < +то, то из (14) в силу следствия 1 легко получаем утверждение 1 теоремы 1.

Если же выполняется условие (10), то существуют числа 0 < Л1 < Л2 < +то такие, что Л1к" < /к//к+п < Л2к" для всех к > 0. Поэтому из (13) для всех г > г0 имеем

Мга(г, £>(га)(/ * д)) < ^(г,Д( (){* )д) < ^га(г, £>(га)/ * £>г(га)д), (16)

^(г,Д(га) (/ * д))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

откуда, как при доказательстве утверждения 1, получаем утверждение 2

Наконец, при выполнении условия (12) р" < /к//к+п < р" для всех к > 0, а из (13)

следует, что р— < - —^~(—)---1---- < Р— Для всех г > 0, что указывает на справедливость

Мг' в(—)(/ * д))

утверждения 3. Теорема 1 полностью доказана.

В следующей теореме указана связь между ^(г, Е(т)(/ * д)) и ^(г, Е(—)(/ * д)).

Теорема 2. Пусть / и д — целые функции, А[/*д] = Л и ^[/*д] = £, тогда для п Є ^+, т Є N и п < т:

1) если выполняется условие (4) с д > 1, то

ііт ^ып /<(г'Д;—))(/*д) = а, пт ^1п!п /<(г'Д|—)(/*д) = й

1п г МгВ( (/ * д)) 1п г МгВ)(/ * д))

2) если выполняется условие (10), то

1 г—-—^(г,в(—)(/ * д) , ^

1іт ------1п----------------------= (т — п)А

г^+те 1п г ^(г,В(—)(/ * д))

і(—)/

11т -----1п --------------------= (т — п)«;

г-+~ 1п г ^(г,В(—)(/ * д))

3) если выполняется условие (12), то г—-—^(г, В(—)(/ * д)) х ^(г, В(—)(/ * д)) при г

+то.

Доказательство. Сначала покажем, что для всех достаточно больших г > 0 имеют место неравенства

/у(г,р<п)(/*й)+п-щ < гт->(г,Д(га+1)(/ * д) < /у(г,р(т)(/*а) (17)

/^(г,Д(п)(/*й)) ^(г, (/ * д)) (г,Д;(т)(/*й)+т-п

Действительно, с одной стороны,

I тл(т)/ г \\ /^(г,^г(т)(/*й))

Мг,А( )(/ * д)) = -----------1---------х

^(г,Д;(п+1) (/*й))+т

х1/ ( ) По ( ) |гКГ,-°гт)(/*Й))

х| Л ^(г,Дг(т) (/*й))+т ||д^(г,Дг(т) (/*й))+т1'

= С(г,Д;(т)(/*й)) С(г,Д;(т)(/*й))+т-п

1^(г,Дг(т )(/*й))+т-п 1^(г,Дг(т )(/*й))т-п+п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

*1/ . . ||д . . |г^(г.Вг(т)(/*й))+т-пгп-т <

1 ^ ^(г,Д;(т ) (/*й))т-п+п ^ ^(г,Д;(т ) (/*й))+т-п+п1 —

< /у(г.р< т )(/*а)) Мг А(п)(/ * д))

< / I \ гт-п ’

^(г,Д;(т ) (/*й))т-п

откуда следует правое неравенство (17). Если г > 0 настолько большое, что

V(г, Д(п)(/ * д)) > т — п, то, меняя в последнем неравенстве местами т и п, получаем

/ (?

1(п)/^ \\ ^ 1^(г,Д(п)(/*Я)) Мг,А(

X

^(г,В(—)(/ * д)) <

/^(г,Д(п)(/*й))+———

/у(г,Д(п)(/*а)) Мг' в(—)(/ * д))

Т^(п)/

откуда следует левое неравенство (17).

и

Если теперь выполняется условие (4) с д > 1, то, как при доказательстве теоремы 1, из (17) для всех достаточно больших г > 0 имеем

(т. - „>(г, С<">(/ * 9)) 1п „ < 1п Гт-"^(г,В?;“+‘)(/ * 9) <

( ) ( , 1 < Мг,А("’(/ * 9)) <

< (т — п)^(г, Е(т)(/ * 9)) 1п д2, откуда, используя (15) и следствие 1, получаем утверждение 1 теоремы 2.

Если же выполняется условие (10), то, при доказательсте утверждения 2 теоремы 1, для всех достаточно больших г > 0 имеем

Л„/“-"(г, С<")(/ * 9)) < Гт-"^(ГпЙ("+‘)(/ * 9) < Л^”‘-"(г, С<т)(/ * 9)),

Мг,А( )(/ * 9))

откуда, как выше, получаем утверждение 2 теоремы 2.

Наконец, доказательство утверждения 3 теоремы 2 такое же, как доказательство утверждения 3 теоремы 1. Теорема 2 полностью доказана.

Взяв в доказательстве неравенств (17) Е(т)/ * Е((т)д и Е(га)/ * Е((га)д вместо Е(т) (/ * 9) и Е((га)(/ * 9) и учитывая, что ряд (7) отличается от ряда (6) только тем, что вместо //&+" стоит (/&/4+га)2, легко доказать неравенства

1Кг,Дг(п)(/*й)+га-т^ ^ г™ + )(/ * З) ^ ^(г,Д(т }(/*й)

С(г,Д(п)(/*д)) / Мг, )(/ * $)) \С(г,Д(т)(/*д)+т-га/

для всех достаточно больших г > 0, откуда, как при доказательстве теоремы 2, получим следующую теорему.

Теорема 3. Пусть / и 9 — целые функции, А[/*9] = Л и д[/*9] = д, тогда для п Є ^+, т Є N и п < т:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1) если выполняется условие (4) с д > 1, то

Ііт А. 1п1п ^ = А, пт ^ ІПІП '‘<^7* = „

г—1п г ^(г, Д(п)/ * Ег(га)д) г—+~ 1п г ^(г, Д(п)/ * Е((га)д)

2) если выполняется условие (10), то

Ііт ги *Д( т)9) =2(т - п)А

г—1п г Мг Д((п)/ * Д(( 9»

и

Ііт ^ 1п гт-><г,(ПТ/ *” ((т)9) = 2(т - п)«

г—+~ 1п г ^ Д((п)/ * Д((п)9))

3) если выполняется условие (11), то гт-га^(г, Д(т)/ * Д(т)9) х ^(г, Д(п)/ * Д(га)9) при г ^ +ТО.

Комбинируя доказательства теорем 1 и 2 (или теорем 1 и 3), можно установить связь между ^(г, Д(т)/ * Д(т)9) и ^(г, Д(п) (/ * 9)). Здесь мы остановимся только на случае, когда т = п +1, и докажем следующую теорему, обобщающую указанный во введении результат М. Сена.

Теорема 4. Пусть / и 9 — целые функции, А[/ * 9] = А и д[/ * 9] = д, тогда:

1) если выполняется условие (4) с д > 1, то

Ііт Л .піп Мг.ДГ’У * Д(('‘+1)9> = А,

г—1п г ^(г, Д(п)(/ * 9))

тг- 1 , , Мг,А("+1)/ * ^("+‘)9)

11т ----1п1п ^ ’ 1----------1-----— = £;

-+ГО 1п г Мг,Р(га)(/ * 9))

2) если выполняется условие (10), то

11т ^ 1п м(г, °("+‘2 * °("+‘)9) =(п + 2)Л — 1,

г^+го1п г ^(г, р )(/ * 9))

и

ит^1п * Д("+1)9) = (п + 2), — 1;

Г-+ГО 1п г Мг,Р(га)(/ * 9))

3) если выполняется условие (11), то г^(г, Р("+‘)/ * Р("+1)9) х ^(г, Р(")(/ * 9)) при г — +ТО.

Доказательство. Поскольку

^(г,Р,("+‘)/* Р("+‘)9) = ^(г,Р,("+‘)/ * Р,("+‘)9) ^(г,Р(("+‘)(/ * 9))

^(г,Р<")(/ * 9)) ^(г,Р'"+‘)(/ * 9)) ^(г,Р,(")(/ * 9)) ,

то в силу (13) и (17) имеем

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С(Г,д(п)(/*й)) /С(г,д(п)/*д(п)й)-Л г^г,^”^/* 9)

1^(г,д(п)(/*й))+га \ 1^(г,д(п)/*Д(п)й) / ^(г, (/ * 9))

< /^(г,д(п)/*д(п)й) 1^(г,д(п+1)/*д(п+1)й)

С(г,д(п)/*д(п)й)+га \1^(г,д(п+1)/*д(п+1)й)+‘ , откуда, используя следствие 1, как выше, получаем утверждения 1-3 теоремы 4.

Упомянутый результат М. Сена вытекает из утверждения 2 теоремы 4, если выбрать = 1/к!.

Замечание 1. Условие д > 1 в утверждении 1 теорем 1-4 существенно. Остано-

ГО

вимся только на теореме 1. Пусть /(г) = 9(2:) = Е /л/ГГ, а 4//^+‘ = дк. То-

й=0

1 го (2д")к

гда (/ * 9)(2) = е", 4= q"k+"("-1)/2, Р((")(/ * 9)(г) = Е —ту- и

д 2 &=" к!

1 ГО (2д2")&

(Р^^/ * D((ra+1)9)(z) = "("_‘) га Е —^—. Поэтому для всех достаточно больших г

имеют место равенства ^(г,р(")(/ * 9)) = ^(гд") и =

^(гд2"), где ^(г) — максимальный член степенного разложения функции е".

д"("- ‘) г"

Ясно что Л[/ * 9] = £[/ * 9] = ^ а ^(г,р(")(/ * 9)) = / * если д = ^

и М^"/ * р(")9) = ( - о при г - +то, если д < 1 (см. [10], с.12), т. е.

Мг,р(га)(/ * 9)) д^^Мгд") ' 1 ь 7

утверждение 1 теоремы 1 неверно.

2

5. Поведение максимальных членов адамаровских композиций

аналитических в D функций

Аналоги теорем 1-4 для функций, аналитических в единичном круге, отличаются от этих теорем тем, что в силу леммы 4 вместо равенств теперь будем иметь неравенства. Кроме того, утверждения 1 из теорем 1-4 не могут иметь аналогов согласно сделаному в п. 3 замечанию. Наконец, из равенства R[f] = R[g] = 1 вытекает только неравенство R[f * g] > 1, и поэтому в условиях дальнейших утверждений будем требовать, чтобы

R[f * g] = і.

Теорема 5. Пусть / и g — аналитические в D функции, R[f * g] = 1, Л* [/ * g] = Л* и Q*[f * g] = Q*, тогда:

1) если выполняется условие (10), то

„л* < ii? , 1 in+ * °!n)g> = п(Л* + 1>

rT1 _ in(1 _ r) /(r,D((n)(f * g))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

„в* < 11^______1____ 1П+ / * Д‘">9) = П(в‘ + 1)-

С--Т. - 1п(1 - г) д(г,В<”>(/ *д)) {е + )'

2) если выполняется условие (12), то ^(г, Е(га>/ * Е(га>д) х ^(г, Е(га>(/ * д)) при г | 1.

Доказательство. Если выполняется условие (10), то из (13), как видно из доказательства теоремы 1, вытекает (16). По лемме 4

л-[4“>(/ * д)] < Ит1п+ -(г,°;“>(/; д)) < Л*|В}">(/ * д)] + 1,

T1 _ in(1 _ r)

Q*[D((n)(/ * g>] < Шп" ’" < Q*РП/ * g>] + 1.

ln+ v(r.D((n)(/ * g>> '' (f * g)] < 7?------------_ in(1 _ r>

и эти неравенства имеют место, если вместо Е(га)(/ * д) поставить д. Поэтому

в силу следствия 2 утверждение 1 теоремы 5 доказано.

Утверждение 2 также легко вытекет из (13).

Следующие три теоремы доказываются аналогично к доказательству теорем 2-5.

Теорема 6. Пусть / и д — аналитические в О функции, Л[/ * д] = 1, Л * [/ * д] = Л * и д* [/ * д] = д*, тогда для п < т:

1) если выполняется условие (10), то

1 и(г Е(т)( / * д))

(т — п)Л * < Ііт —-— ----- 1п+ ---,—1—*---------= (т — п)(Л * + 1)

< — 1п(1 — г) ц(г,Ег(га)(/ * д)) 1 '

и

і и(г п(т)( / * д))

(т — п)д * < Ііт —-— ----- 1п+ ---,—1—*--------= (т — п)(д * + 1);

( )д <„п _ 1п(1 - г) ц(г,в<")(/ * д)) ( )(д

2) если выполняется условие (12), то ц(г, Е(т)(/ * д)) х ц(г, Е((га)(/ * д)) при г | 1.

Теорема 7. Пусть / и д — аналитические в О функции, R[/ * д] = 1, Л * [/ * д] = Л * и д * [/ * д] = д *, тогда для п < т:

1) если выполняется условие (10), то

1 //(r D(m) f * D(m)g)

2(m _ п)Л * < iim —-— -------------- in+ -----.—l——,----------------тЦ-= 2(m _ п)(Л * + 1)

( > < i? _ in(1 _ r) /(r, D((n)f *D((n)g) ( )( >

и

і ,,(г пМ / * п(т)д)

2(т - п),* < Ііт—-— ----------г 1п+ --,—1-т-л-----(і-= 2(т - п)(,* + 1);

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

гТ1 - 1п(1 - г) „(г,п!-)/*п!-)д)

2) если выполняется условие (12), то „(г, П(т)/* П((т)д) х „(г, П(-)/* Пг(-)д) при г | 1.

Теорема 8. Пусть / и д — аналитические в О функции, Я[/ * д] = 1, Л* [/ * д] = Л* и

,*[/ * д] = ,*, тогда:

1) если выполняется условие (10), то

(п + 2)Л* < Ііт 1 /, ) 1п+ ^і"*/ * ДТ’"+1)д) = (п + 2)(Л* + 1)

< - 1п(1 - г) „(г, -)(/ * д))

и

(п + 2),* < ііт 1 іп+ „<г.д(-+;)/ * п(-+1)д) = (п + 2)(в. +1);

гТ1 - 1п(1 - г) „(г,П((-)(/ * д))

2) если выполняется условие (12), то „(г, П((-+1)/*Пг(-+1)д) х „(г, П((-)(/*д)) при г | 1.

Замечание 2. Из утверждения 1 теоремы 8 следует, что если функция / * д имеет нижний порядок Л* > 0 и порядок < +то, то для любых є > 0 и п Є Ъ+ и всех г Є [г"(є), 1) имеет место следующий аналог неравенств М. Сена

1 \ (-.+2)а*-є „(г п(-+1)/ * п(-+1)д) / 1 \ (-+2)(£*+1)+£

1 - r> ^(r.D<n)(/»g)) V1 - r

и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 1957. Т. 23, №3. С. 477-500.

2. J. Hadamard Theoreme sur le series entieres // Acta math. Bd. 22. 1899. P. 55-63.

3. J. Hadamard La serie de Taylor et son prolongement analytique // Scientia phys.-math. 1901. №12. P. 42-63.

4. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 239 с.

5. M.K. Sen On some properties of an integral function f * g // Riv. Math. Univ. Parma (2). 1967. V. 8. P. 317-328.

6. M.K. Sen On the maximum term of a class of integral functions and its derivatives // Ann. Pol. Math. 1970. V. 22. P. 291-298.

7. G. Valiron Integral functions. Toulouse. 1923. 354 p.

8. J.M. Whittaker The lower order of integral functions // J. London Math. Soc. 1933. V. 8. P. 20-27.

9. L.R. Sons Regularity of growth and gaps // J. Math. Anal. Appl. 1968. V. 24. P. 296-306.

10. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. II. M.: Наука, 1978. 432 с.

Любомира Любомировна Луговая,

Институт предпринимательства и перспективных технологий, ул. Горбачевского, 18,

79000, г. Львов, Украина E-mail: Lyubomyrka@ukr.net

Оксана Мирославовна Мулява,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Киевский национальный университет пищевых технологий, ул. Владимирская, 68,

01038, г. Киев, Украина E-mail: info@nuft.edu.ua

Мирослав Николаевич Шеремета,

Львовский национальный университет имени Ивана Франко, ул. Университетская, 1,

79000, г. Львов, Украина E-mail: m_m_sheremeta@list.ru