CC BY
9УДК 534.141
Свободные осесимметричные колебания двухслойной жидкости с упругим разделителем между слоями при наличии сил поверхностного натяжения
© А. А. Пожалостин, Д. А. Гончаров МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
На длительных пассивных участках полета разгонных блоков ракет-носителей реализуются условия микрогравитации. Чтобы исключить аварийные ситуации, необходимо бесперебойно подавать топливо в заборное устройство, например, с помощью полупроницаемых капиллярных фазоразделителей, обеспечивающих сплошность компонентов топлива. В статье проанализирована динамика непроницаемой мембраны, взаимодействующей с жидкостью. Рассматриваемую краевую задачу можно применять в качестве первого приближения для анализа динамики такого фазоразделителя. Изложено точное аналитическое решение краевой задачи о малых свободных осесимметричных колебаниях двухслойной жидкости с упругим разделителем между слоями при наличии сил поверхностного натяжения. Получено трансцендентное частотное уравнение, члены которого — быстро сходящиеся ряды.
Ключевые слова: краевая задача, разделитель, уравнение Лапласа, интеграл Коши — Лагранжа.
Введение. В настоящей работе описано точное аналитическое решение в рамках принятых допущений краевой задачи о малых свободных осесимметричных колебаниях двухслойной жидкости с упругим разделителем между слоями при наличии сил поверхностного натяжения. В качестве разделителя рассмотрена упругая тонкая непроницаемая мембрана. В ходе решения этой краевой задачи получено трансцендентное частотное уравнение, левая часть которого представляет собой мероморфную функцию.
Исследованию движения идеальной несжимаемой и нестратифици-рованной жидкости совместно с упругим днищем посвящена работа [1]. Постановка задачи с иным подходом к решению дифференциального уравнения движения пластины представлена в статье [2]. Исследование движения стратифицированной жидкости совместно с упругим днищем в виде пластины изложено в статье [3]. Схожая с рассматриваемой в статье задача решена с применением операторных методов, проводились также исследования свойств спектра, тем не менее было получено лишь приближенно-аналитическое решение, а не точное [4]. В работе [5] рассмотрены различные технические реализации фазоразделяющих экранов. Конструктивные исполнения, динамика и теплообмен в фазо-разделяющих экранах изложены в монографии [6]. Вопросам теплообмена впористых элементах конструкций посвящена работа [7]. В рабо-
тах [8, 9] получены приближенные аналитические решения задачи без учета и с учетом сил поверхностного натяжения. В работе [10] рассмотрена устойчивость малых колебаний свободной поверхности жидкости в жесткой цилиндрической оболочке. В работе [11] приведены исследования колебаний многослойных жидкостей совместно с разделяющими мембранами; получено приближенное решение, согласуемое с проведенным в [8].
Исследуемую краевую задачу можно рассматривать в качестве модельной для анализа динамики разгонного блока ракеты-носителя на пассивном участке траектории.
Постановка задачи. Для получения точного аналитического решения краевой задачи сделаем следующие допущения:
1) жидкость заполняет цилиндрический бак с плоским упругим разделителем, закрытый жестким плоским днищем;
2) материал мембраны однородный, изотропный и подчиняется закону Гука;
3) жидкость идеальная, несжимаемая, ее движение — потенциальное, с потенциалом скоростей Ф.
Рассмотрим нормальные колебания жидкости (рис. 1). Потенциал скоростей должен удовлетворять уравнению Лапласа У2Ф = 0 в области т (т — объем, занимаемый жидкостью). Слой 1 жидкости плотностью р! занимает полость объемом т и высотой Ъ1, а слой 2 плотностью р2 — полость объемом т2 и высотой к2. Невозмущенную поверхность жидкости обозначим как Е, невозмущенную поверхность мембраны — как Д. Уравнение движения упругого разделителя с граничным условием имеет вид
1 (д2 мМ 1 дм „ дм Л
— + -— + Ро5— =-р(г, 0,
-_ Т, _—_—_ —_- о -_-
==Т2=-
У////ШШ.
2а
-Г- 5 Ф---У--
Ш/////Ш
Рис. 1. Модель бака, заполненного жидкостью с разделителем
Т
дг г дг
дг
м(г, г) = 0 при г = я.
Здесь м — перемещение мембраны; мм = дм; р0, 5 , Т — плотность
дг
материала, толщина и натяжение мембраны соответственно; р - гидродинамическое давление жидкости на мембрану; Я — радиус цилиндра. В дальнейшем инерцией мембраны пренебрегаем.
Потенциал скоростей в объеме т обозначим через Фх, в объеме т2 — через Ф2. Функции Фх и Ф2 должны удовлетворять граничным условиям
дФ к
дг где
дФ 2
= 0, к = 1,2, г = Я, (1)
= 0, = 0. (2)
дх2
Запишем граничные условия на свободной поверхности [9]:
р1 дФ 1 р1 дП
-и _ Аи = 0 при х1 = И1,
о1 д1 о1 дх1
= М при х1 = Ии
дФ 1
дх1
Здесь ах — коэффициент поверхностного натяжения; и — смещение свободной поверхности; П = gx1 — потенциал массовых сил ( g — ускорение свободного падения); А — оператор Лапласа — Бельтра-ми, который в случае плоской свободной поверхности имеет вид оператора Лапласа.
Кроме того, функции Фх и Ф 2 должны удовлетворять граничным условиям на поверхности мембраны 5:
^ = м, х = 0. (3)
дх1
Теперь найдем явные выражения для потенциалов скоростей частиц жидкости Фх и Ф2. Согласно методу Фурье
ад
Ф к =Х X, (хк )Яг (г) 5 (0. (4)
/=1
Далее временной множитель 5 (/) опущен. Подставляя соотношение (4) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, для /-го члена ряда получаем
1
Х± = _ г_= _м_
X, ~ Я, ~ Я2
-я;+ЯГ 2
, =_г-= ._ , = 1,2,
где
X/ =
йхк
Я' =
Я
йг
Я =
й2 Я йг2 '
Таким образом,
X/ _ X, = 0, Я" +1 Я/ + Я, = 0.
Я2 г г Я2 г
Частные решения уравнений (5) представим в виде
X, (хк) = СцсЪ
. /хк Я
С 2,^
. /хк Я
Я (г) = Л^ 0|Я 1 + л21н 0
(5)
(6)
(7)
где С^, Съ, Л1г-, Л2, — константы, определяемые из граничных условий; J 0, Ы0 — бесселевы функции первого и второго рода соответственно. Ввиду ограниченности функций Фi при г = 0 имеем
Л2, = 0.
С учетом соотношений (6) и (7) запишем следующие выражения для потенциалов скоростей жидкости:
ф 1 = С20 + Сю х1+£ л^
М 1=1 ¡V Я
Ф 2 = С21 + С22 х2 + Е Л2^0 Я
г=1
. ,г
С з,-еЬ
Я
Я
СсЬ I 1 + С 2, вЬ^х
+ С 4, вЬ I
Я
Я
, (8)
. (9)
Здесь . — 7-й корень бесселевой функции первого рода. Временной множитель в соотношениях (8) и (9) опущен.
Дифференциальное уравнение движения мембраны имеет вид
д 2мм + 1 дм = 1 дг2 г дг Т
"Рг
д 2Ф!
дг2
д 2Ф 2
х!=0
+Р 2 аг!
х2 = Й2
(10)
где Рк =рк-
дФ к
дг
гидродинамическое давление жидкости на мем-
брану. Отметим, что однородное уравнение (10) удобно записывать для функции м> = С1 + С21п г.
. дм(г, г)
для функции мм =-. Его решение можно представить как
дг
В силу граничных условий (1)-(3) выражения для потенциалов скоростей принимают вид
ф 1 = -сю Яад [я |Л г, (11)
ф 2 = -С 22 + £ С^ 0 сЬ ^^ , (12)
где
Л, =
Р1^ +Г Ц г 12 1 я1 [Цг | сЬ ^ )-Р1 ^ |
р1 ю2сЬ (цА Р1^ +Г Ц г 12 Р1 1 я ^ [Я I
я
я
Окончательно, с учетом соотношений (4), (11), (12) и дифференциальное уравнение движения запишем следующим образом:
V 2У = Р!Ш2
УК
-Сю яс^ о )Л,
Р 2<Ю
-С22 С3^о1 ^ I сЬ|
г =1
Ц гУ 2
я
(13)
V2 =
а2 1 а
ёг2 г ёг '
где ю — собственная частота колебаний механической системы. Решение уравнения (13) имеет вид
уу = С! + р1ю2
2 ® ( Я 12
—с Г — С Сю / С],
10 Я 4 £ 1г
Ц г )
-Р 2<Ю
,2 да
С22 Л + 20 I Ц,
г=1
Я
^ Я 12
Ц г )
' о 1.Т >
Ц,Н 2 1
сЬ
Я
Здесь полагаем С2 = 0, поскольку прогиб мембраны ограничен при г = 0.
Для определения соответствующих постоянных разложим член в ряд по функциям J0 [ -Я- |:
7 = 2 т' 0 ^1 + в 0
Я2
4 Я2
где Р 0 = —; у, = 2
8 J0(.,) ц2
Вводя обозначения:
= У, = Ц ,Н 2
а 0, —-, а 2 г — -,
р0 2! Я
,(,) = —
Я
2
2 я (,) 2 Я , ( ц Н2 а11 = ^т_Р 1® —, а(2) =р2® — еЬI — Я ц, ц, V Я
Ъц = I —- 1Ла2, + Р2®2 Ъ2, = а(1) +
Я
Я2
а12
2 Я 2
Р1® — ц 2
Ри = а с
1 _■
а( 2
еЬа ,,Ъ,
Ц ,
, в 2, =
еЬа2, ( Ц
Я2
Я | Ла 2, _Р 2® —Г
Ц ,
а0
еЬа 2,Ъ
Пи 2,
! 1 2 Я2
1 + — Рх®2 —
Ъ2г ЦГ
О ('') 1 _ 12
еЬа2гЪ2г
представим частотное уравнение в виде
®
ад Я 2 ад Я 2
Р 2 2 в 2, —Г J0(Ц, )еЬа 2, _ Р12 в " _Г J0(Ц' )Л'
,=1 ц, ,=1 ц,
= 2^^. (14)
,=1 р0
Ограничим сумму ряда (14) пятью членами и получим зависимость квадрата собственной частоты первого тона колебаний ®2 от числа Бонда Во (рис. 2). При построении зависимостей принимали: т5 = 30 кг, Р2 = 70 кг/м3, Рх = 0,9Р2, Я = 1 м, кх = 1 м, к2 = 1 м. Из условия Во = 0 находим значение критической частоты, которая свидетельствует об отсутствии нарушения односвязности объема жидкости.
Рис. 2. Зависимость квадрата собственной частоты ®2 от числа Бонда Во при т = 2 000 Н/м, ®кр = 2,39 с-1 (1), т = 1500 Н/м, ®кр = 2,26 с-1 (2), т = 1800 Н/м, ®кр = 2,37 с-1 (3), т = 1900 Н/м, ®кр = 2,38 с-1 (4)
Заключение. Таким образом, получено точное аналитическое решение модельной задачи о малых движениях жидкости, совместно с фазоразделяющим устройством. Частотное уравнение (14) позволяет контролировать результаты численного моделирования и при исследовании зависимости собственной частоты от влияния соотношения массовых сил и сил поверхностного натяжения (характеризуемых числом Бонда), выявлять опасные режимы на пассивном участке траектории полета, где движение жидкости может быть неустойчивым.
Работа выполнена в рамках гранта Президента РФ № НШ. 4 748.2012.8 ЛИТЕРАТУРА
[1] Пожалостин А.А. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим плоским дном. Известия высших учебных заведений. Сер. «Авиационная техника», № 4, 1963, с. 25-32.
[2] Петренко М.П. Собственные колебания жидкости со свободной поверхностью и упругого днища цилиндрической полости. Прикладная механика, Киев, 1969, т. V, вып. 6, с. 44-50.
[3] Андронов А.В. "Колебания идеальной стратифицированной жидкости в контейнере с упругим днищем. Вопросы волновых движений жидкости, Краснодар, 1987, с. 7-15.
[4] Нго Зуй Кан. О движении идеальной жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, заполняющей сосуд с плоским днищем. Механика твердого тела, 1980, № 3, с. 143-153.
[5] Сапожников В.Б., Меньшиков В.А., Партола И. С., Корольков А.В. Развитие идей профессора В.М. Поляева по применению пористо-сетчатых материалов для внутрибаковых устройств, обеспечивающих многократный запуск жидкостных ракетных двигателей. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Москва, 2006, вып. 2, с. 42-57.
[6] Капиллярные системы отбора жидкости из баков космических аппаратов. Поляев В.М., ред. Москва, УНПЦ «Энергомаш», 1997, 328 с.
[7] Пелевин В.Ф., Авраамов Н.И., Орлин С.А., Синцов А.Л. Эффективность теплообмена в пористых элементах конструкций жидкостных ракетных двигателей. Инженерный журнал: наука и инновации, № 4, 2013, с. 32.
[8] Гончаров Д.А. Осесимметричные колебания двухплотностной жидкости в цилиндрическом баке. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 4. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/ 362856.html (дата обращения 26.09.2013)
[9] Гончаров Д.А. Динамика двухслойной жидкости, разделенной упругой перегородкой с учетом сил поверхностного натяжения. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №11.Б01: 10.7463/ 1113.0619258
[10] Шунгаров Э.Х., Гончаров Д.А. Об устойчивости малых колебаний свободной поверхности. Молодежный научно-технический вестник, № 4, 2013, с. 24.
[11] Кононов Ю.Н., Татаренко Е.А. Свободные колебания упругих мембран, разделяющих многослойную жидкость в цилиндрическом сосуде с упругим дном. Динамические системы, 2006, вып. 21, с. 7-13.
Статья поступила в редакцию 26.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Пожалостин А.А., Гончаров Д.А. Свободные осесимметричные колебания двухслойной жидкости с упругим разделителем между слоями при наличии сил поверхностного натяжения. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1147.html
Пожалостин Алексей Алексеевич родился в 1940 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1963 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 150 печатных работ в области гидроупругости: e-mail: a.pozhalostin@mail.ru
Гончаров Дмитрий Александрович родился в 1988 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2011 г. Аспирант кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского МГТУ им. Н.Э. Баумана. Область научных интересов: гидродинамика и динамика космических аппаратов. e-mail: goncharov@bmstu.ru
