CC BY
142
2013 Механика № 1
УДК 539.3
Н.Г. Бураго1, А.Б. Журавлев1, И.С. Никитин2
1 Институт проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского, Москва, Россия Институт автоматизации проектирования РАН, Москва, Россия
СВЕРХМНОГОЦИКЛОВОЕ УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ ТИТАНОВЫХ ДИСКОВ КОМПРЕССОРА
Описана процедура расчета напряженного состояния диска компрессора газотурбинного двигателя в полетном цикле нагружения (режим малоцикловой усталости - МЦУ) и при низкоамплитудных вибрациях лопаток (режим сверхмногоцикловой усталости - СВМУ). Исследуются критерии и модели многоосного разрушения в условиях малоцикловой усталости и в условиях сверхмногоцикловой усталости. Определены параметры моделей на основе экспериментальных данных одноосных усталостных испытаний при различных коэффициентах асимметрии цикла. С использованием рассчитанного напряженного состояния с помощью моделей многоосного усталостного разрушения получены оценки долговечности диска компрессора для альтернативных механизмов усталости МЦУ и СВМУ. С целью подтверждения полученных результатов решены две задачи теории упругости для кольцевого диска, моделирующие центробежные нагрузки от лопаток (аналог режима МЦУ) и нагрузки от кручения лопаток (аналог режима СВМУ). Оценки долговечности также указывают, что усталостное разрушение в режимах МЦУ и СВМУ может происходить за одинаковый период реального времени.
Ключевые слова: сверхмногоцикловая усталость, малоцикловая усталость, критерии многоосного усталостного разрушения, численное моделирование, долговечность, концентрация напряжений, диск компрессора, колебания лопаток, полетный цикл нагружения.
N.G. Burago1, A.B. Zhuravlev1, I.S. Nikitin2
1 Institute for problems in mechanics of RAS, Moscow, Russian Federation,
Institute for computer aided design of RAS, Moscow, Russian Federation
VERY-HIGH-CYCLE FATIGUE FACTURE OF TITANIUM COMPRESSOR DISKS
In the present paper there is outlined the procedure of stress state calculation for compressor disk of gas-turbine engine during flight-loading cycle (low-cycle fatigue regime - LCF) and under low-amplitude blade vibrations (very high-cycle fatigue - VHCF). The criteria and models of multiaxial fracture are studied in the case of low-cycle fatigue and in the case of very high-cycle fatigue. The model parameters are determined by using the experimental data of uniaxial fatigue tests for various asymmetry coefficients of the cycle. On the basis of the calculated stress state using multiaxial fatigue fracture criteria, the durability estimations for compressor disks are obtained for alternative mechanisms of LCF and VHCF. Two elasticity problems for circular disk are solved for confirmation of
the numerical results obtained. In the first problem the centrifugal loading from the blades (analogue of LCF regime) was modeled. In the second problem loading from blade torsion (analogue of VHCF regime) was modeled. The durability estimation also shows that the fatigue fracture in LCF and VHCF regimes can take place for the same period of real time.
Keywords: very-high-cycle fatigue, low-cycle fatigue, multiaxial fatigue fracture criteria, numerical simulation, durability, stress concentration, compressor disk, vibrations of blades, flight loading cycle.
Введение
В данной работе решается задача усталостного разрушения диска компрессора газотурбинного двигателя (на примере ГТД серии Д30) в полетных циклах нагружения и при вибрационных воздействиях. В настоящее время существует несколько основных типов критериев и моделей многоосного усталостного разрушения, позволяющих оценить число циклов нагружения образца материала или элемента конструкции до разрушения по напряженному состоянию, деформированному состоянию или накопленной повреждаемости. Определение параметров рассматриваемых моделей является непростой экспериментальной задачей и осуществляется, как правило, по результатам одноосных усталостных испытаний на растяжение, кручение или изгиб с различными коэффициентами асимметрии цикла. Приведено описание вычислительной процедуры определения напряженно-деформированного состояния (НДС) контактной системы диска и лопаток компрессора. На основе рассчитанного НДС и выбранных критериев получены оценки долговечности диска компрессора в условиях, моделирующих эксплуатационные, для двух альтернативных режимов малоциклового и сверхмногоциклового усталостного разрушения.
С целью подтверждения полученных результатов решены две модельные задачи теории упругости о нагружении кольцевого диска постоянной толщины. В первой задаче к диску приложена центробежная нагрузка, а на внешнем контуре переменное по углу радиальное напряжение, моделирующее центробежную нагрузку от лопаток (аналог режима МЦУ). Во второй задаче решается уравнение для изгиба диска под действием переменных по углу крутящих моментов на внешнем контуре. Эти моменты моделируют влияние колебаний лопаток (аналог режима СВМУ). В обоих случаях напряжения резко возрастают в окрестности внешнего контура и приводят к появлению зон возможного усталостного разрушения. Оценки долговечности также указывают, что усталостное разрушение в режимах МЦУ и СВМУ может происходить за период реального времени одного масштаба.
1. Модели многоосного усталостного разрушения
в режиме МЦУ
Основой для определения параметров моделей многоосного усталостного разрушения являются экспериментальные кривые одноосных циклических испытаний при различных значениях параметра асимметрии цикла Я = а^п / атах, где атах и атп - максимальное и минимальное значения напряжения в цикле. При описании результатов одноосных испытаний на усталостную прочность принимаются следующие обозначения: оа = (атах -ат1п)/2 - амплитуда напряжения в цикле,
Да = атах - ат1п - размах напряжений в цикле одноосного нагружения.
Экспериментальные данные одноосных испытаний описываются кривыми Веллера, которые аналитически могут быть представлены соотношением Баскина [1, 2]
где ои - предел усталости; ос - коэффициент усталостной прочности; р - показатель усталостной прочности; N - число циклов до разрушения. Общий вид усталостной кривой представлен на рис. 1, в дан-
Задача исследования усталостного разрушения состоит в определении пространственного распределения функции числа циклов до разрушения N из уравнений типа (1), обобщенных на случай многоосного напряженного состояния и содержащих рассчитанные напряжения в рассматриваемой конструкции.
а = а + а Nр,
и с 5
(1)
о,
и
103 1 05 1 07 1 09 1 011 ы
Рис. 1. Бимодальная усталостная кривая для режимов МЦУ и СВМУ
Рассмотрим основные варианты обобщения результатов одноосных испытаний на общий случай многоосного напряженного состояния [2].
Обобщение одноосной усталостной кривой (1) на случай многоосного напряженного состояния согласно Сайнсу [4] имеет вид
Ат /2 + а,аmean = 50 + ANр, amean = (Gi + СТ2 + СТ3 )mean, (2)
Ах = yj(Аа1 -Аа2)2 + (Аа1 - Аа3)2 + (Аа2 - Аа3)2 /3,
где amean - сумма главных напряжений, осредненная за цикл нагружения; Ат - изменение октаэдрического касательного напряжения за цикл; Ат /2 - его амплитуда; а^, S0, A, р - параметры, определяемые
по данным эксперимента.
Параметры модели, определенные по одноосным усталостным кривым при R = -1 и R = 0, определены в [2]:
(3)
^ =л/2а„ /3, А = 10-3рл/2(ав-с„)/3, а, = л/2 (2к_1 -1) /3, к_1 = аи / (2а„оХ где ои и ои0 - пределы усталости по кривым ста (N) при Я = -1 и Я - 0 соответственно; ств - предел прочности.
Обобщение одноосной усталостной кривой на случай многоосного напряженного состояния согласно Кроссланду [5] имеет вид
Ат/2 + ас(атах-Ах/2) = ^ , сттах = ^ +СТ2 + Cтз)max, (4)
где сттах - сумма главных напряжений, максимальная за цикл нагружения.
В этом случае параметры модели соответственно [2]
S0 = °«
A = 10
-3р
V2/3 + (1 -V2/3)a с V^/3 + (1 ^V2/3)ac (aB -gu),
(5)
a.
=(k_^V2/3 -V2/6)/ Г(1 -V2/6) - k_1(1 -V2/3)
Обобщение одноосной усталостной кривой на случай многоосного напряженного состояния по критерию Финдли имеет вид [6]
(ЛТ5 / 2 + а ^ ая )тах = ^0 + ^р, (6)
где х5, <зп - модуль касательного напряжения и нормальное напряжение на площадке с нормалью п1; индекс тах означает выбор площадки, на которой комбинация Ат^ /2 + аР<зп принимает максимальное
значение. По одноосным усталостным кривым при Я = -1 и Я - 0 определены параметры модели:
^0 =а„ (>/1 + а ^2 +а ^ )/2,А = 10_3Р ^1 + а ^2 +а ^ )(ав ~°и )/2,
(7)
а F
y/5k_12 - 2k_1 /2 - k_1(1 - k_1) /[k_1(2 - k_1)].
Имея в виду конкретный расчетный пример, рассмотренный далее, приведем приближенные значения параметров для титанового сплава Ti-6Al-4V [7]: предел прочности ств = 1100 MPa; пределы усталости по кривым <за (N) при R = -1 и R — 0 соответственно: стм = 450 MPa и стм0 = 350 MPa; показатель усталостной прочности р = -0,45; модуль
Юнга E —116 GPa; модуль сдвига G — 44 GPa; коэффициент Пуассона v = 0,32.
2. Пример расчета многоосного напряженного состояния и оценки долговечности в полетном цикле нагружения
(режим МЦУ)
Ранее [2] рассматривалась задача усталостного разрушения диска компрессора газотурбинного двигателя в полетных циклах нагружения. Предполагается, что циклом многоосного нагружения контактной системы диска и лопаток является полетный цикл нагружения (ПЦН), состоящий в достижении максимальных нагрузок на крейсерской скорости полета воздушного судна и соответствующих угловых скоростях вращения диска компрессора. Задача состоит в определении долговечности диска N (число ПЦН до разрушения) из соотношений (2), (4), (6). Для этого необходимо произвести расчет НДС системы диска и лопаток при действии комбинации внешних нагрузок, представленных центробежными силами, распределенными аэродинамическими давлениями на лопатки и силами нелинейного контактного взаимодействия диска и лопаток. Анализ трехмерного напряженно-деформированного
состояния контактной системы диска и лопаток компрессора (рис. 2, а) выполнен численно. Расчеты проводились с помощью конечноэлементного пакета программ, а распределенные аэродинамические нагрузки определены приближенно аналитически с использованием классических решений об обтекании решетки пластинок под произвольным углом атаки на основе гипотезы изолированного профиля [8] с учетом деформированного состояния лопаток (аэроупругий эффект).
Параметры расчета принимались такими: угловая скорость вращения ю = 314 рад/с (3000 об/мин), скорость потока 200 м/с при плотности 1,3 кг/м3. Свойства материалов принимались следующими: диск (титановый сплав): Е = 116 вРа, V =0,32, р = 4370 кг/м ; лопатки (алюминиевый сплав): Е = 69 вРа, V =0,33, р = 2700 кг/м3; фиксирующие штифты (сталь): Е = 207 вРа, V =0,27, р = 7860 кг/м3. На рис. 2, б показана зона концентрации максимальных растягивающих напряжений в левом углу паза в диске, в который вставляется лопатка.
а б
Рис. 2. Геометрическая модель сектора диска с лопаткой (а) и зона концентрации напряжений (б)
Видно, что концентрация напряжений нарастает от фронтальной к тыльной части паза, что совпадает с данными о расположении зон зарождения усталостных трещин в тыльной части диска [1, 8].
На рис. 3, а для окрестности левого угла контактного соединения диска и лопатки типа «ласточкин хвост» (в зонах максимальной концентрации напряжений) показаны рассчитанные величины числа полетных циклов до разрушения N для выбранных критериев многоосного усталостного разрушения. На рис. 3, б рассматриваемая окрестность левого угла контактного паза диска выделена сплошной линией.
Сайнс Кроссланд Финдли
а б
Рис. 3. Оценки долговечности титанового диска в зоне концентрации (а) и выделенная зона концентрации (б)
Критерии Сайнса и Финдли дали оценку долговечности дисков ГТД на уровне 20 000-50 000 циклов. Критерий Кроссланда предсказал возможность усталостного разрушения менее чем в 20 000 полетных циклов. В целом все критерии дали сходное расположение зон усталостного разрушения.
3. Пример расчета многоосного напряженного состояния и оценки долговечности элементов конструкций при низкоамплитудных осевых воздействиях в режиме СВМУ
В данной работе дополнительно исследуется альтернативный механизм усталостного нагружения, связанный с наблюдаемыми высокочастотными осевыми колебаниями бандажных полок. Амплитуды этих колебаний и вызываемые ими возмущения напряженного состояния в окрестности концентратора напряжений относительно невелики, однако число циклов при высокой частоте колебаний за время эксплуатации может достичь величин 109 -1010, что приводит к необходимости исследования режима сверхмногоцикловой усталости (СВМУ) и воз-
можности усталостного разрушения при уровне напряжений, меньшем классического предела усталости материала [1].
В настоящее время отсутствуют экспериментально обоснованные модели многоосной усталости в режиме СВМУ. Поэтому для оценок долговечности применялись известные критерии многоосного усталостного разрушения МЦУ (2), (4) и (6) с учетом общих предположений о характере поведения усталостных кривых в рассматриваемом режиме. Характерный вид усталостной кривой показан на рис. 1, в данном режиме представляет интерес правая ветвь при N > 108.
3.1. Обобщенные критерии сверхмногоцикловой усталости
Для определения параметров модели в режиме СВМУ по одноосным усталостным кривым используем соображения, которые применялись при их определении для режима МЦУ. При этом учтено подобие левой и правой ветвей усталостной кривой с заменами ств ^ <зи,
аи и, ои0 ^ &и0, где &и и сти0 - «новые» пределы усталости на правой ветви усталостной кривой для коэффициентов асимметрии Я = -1 и Я - 0. Значения параметров для обобщенной модели Сайнса (2) в режиме СВМУ имеют вид
50 - л/2д и / 3, А = 10-8^(а„ -а и) / 3, а, = ч/2(2к_. -1) / 3, к_, .6 и / а и 0 / 2.
Аналогично параметры обобщенной модели Кроссланда (4) в режиме СВМУ имеют значения
£0 =ст„[л/2/3 + (1-Т2/3К], А = 10"8Р(ст„-ст„)[л/2/3 + (1 -л/2/3)ас].
Также определены параметры обобщенной модели Финдли (6) в режиме СМВУ:
^ = <\ (у1 1 + < +а ^ )/2, А = 10"8Р К ){41 + а 2Г +а ^ )/2.
Для расчетов выбраны следующие значения усталостных параметров титанового сплава в режиме СВМУ: стм = 450 МПа, сти = 250 МПа,
&и0= 200 МПа, р = -0,3.
3.2. Расчетная модель низкоамплитудных осевых колебаний бандажных полок
Осевые смещения бандажных полок связаны с волновыми возмущениями, которые распространяются по угловой координате. На полный набор лопаток обычно укладывается 12-16 полуволн. Это дает возможность ввести в качестве крайних состояний элементарного цикла данного типа нагружения два положения сектора диска с одной лопаткой. В этих положениях при нулевом осевом смещении правого конца бандажной полки осевые смещения левого конца направлены в противоположных направлениях и в режимах эксплуатации достигают величины порядка 1 мм. Рассматриваемые низкоамплитудные воздействия накладываются на основное напряженное состояние в полетном цикле нагружения.
На рис. 4, а показана схема приложения низкоамплитудных осевых смещений. Таким образом, рассматриваются случаи, когда на левую границу приходится максимум или минимум амплитуды колебаний, равной ±1 мм при частоте 3000 об/мин.
Сайнс
Кроссланд Финдли
Рис. 4. Схема приложения низкоамплитудных осевых смещений (а) и оценки долговечности титанового диска в зоне концентрации (б)
3.3. Оценка долговечности элемента конструкции по критериям СВМУ
На рис. 4, б для окрестности левого угла контактного соединения диска и лопатки (в зонах максимальной концентрации напряжений) показаны рассчитанные величины числа циклов до разрушения N для трех выбранных критериев по напряженному состоянию (Сайнса, Кроссланда и Финдли) в режиме СВМУ. Несмотря на относительно невысокий уровень амплитуд напряжений в цикле, расчетами показано, что и в этом случае возникают зоны возможного усталостного разрушения, расположенные в тыльной зоне левого угла паза диска, примерно там же, где и в случае полетных циклов нагружения. Величина N, при которой они появляются, имеет порядок 109 -1010, что в пересчете на реальное время процесса с периодом цикла 0,02 с (при выбранной частоте колебаний) дает величину 30 000 ч, вполне достижимую в процессе эксплуатации. Хотя эти оценки весьма приблизительны, они указывают на принципиальную возможность развития усталостного разрушения в указанных зонах диска компрессора как по механизму МЦУ (полетный цикл нагружения), так и по механизму СВМУ (высокочастотные, низкоамплитудные вибрации элементов конструкции). Тем большую опасность может иметь результат взаимовлияния этих механизмов, поскольку они проявляют себя в близкорасположенных зонах и на близких масштабах реального времени.
4. Модельные задачи для кольцевого диска
4.1. Напряженное состояние в режиме МЦУ
С целью подтверждения полученных результатов решены две модельные задачи теории упругости о нагружении кольцевого диска с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь. В первой задаче к диску приложена центробежная нагрузка, а на внешнем контуре -переменное по углу радиальное напряжение, моделирующее центробежную нагрузку от лопаток и согласованное с ней по амплитуде (аналог режима МЦУ).
Для определения напряжений в диске решается бигармоническое уравнение для функции Эри с граничными условиями [9]
А2 ^ = 0,
стгг = 0, стг0 = 0 при г = а,
CTrr =а0S (0Х аге = 0 ПРИ r = Ь
ft = F / r + F / r2 ft = F / r2 — F / r ft = F
Urr F ,r ' >ee ' r ’ Ur6 F ’6 ' r F ’re ' r ’ Uee 1 ’rr •
Здесь a0 =pro2(bx2 -b2)/2; b - внешний радиус лопатки; 8 - ее ширина.
Периодическая функция распределения радиального напряжения на внешнем контуре (один период -к / N0 <Q<n / N0), N0 - число лопаток.
S5(0) = 1 при 9е[-5 / 2,5 /2], S5(0) = 0 при 9^[-5 /2,5 /2] •
Общее решение для функции Эри получается методом разделения переменных:
F = (Anrn + Bnr n + Cnrn+2 + Dnr n+2)cosnQ.
К вычисленным на его основе напряжениям добавляются напряжения от центробежной силы в диске [10]. Зависимости радиальных ftrr и тангенциальных стее напряжений от радиуса диска при 9 = 0 (под
лопаткой) для значений а = 0,05, b = 0,4 приведены на рис. 5, а (МПа).
0,34 0,36 0,38 0.4 0,37 0,38 0,39 0,4 0,37 0,38 0,39 0,4
а б в
Рис. 5. Распределение напряжений при МЦУ-нагружении (а); распределение напряжений для СВМУ-нагружения при кручении лопаток по (б) и против
часовой стрелки (в)
4.2. Напряженное состояние в режиме СВМУ
Во второй задаче решается уравнение для изгиба диска под действием переменных по углу крутящих моментов на внешнем контуре. Эти моменты моделируют влияние колебаний лопаток (аналог режима СВМУ).
Уравнение для изгиба пластинки и граничные условия [10]:
А2 w = 0,
Vr = 0, Mr = 0 при r — a
Vr = 2M* ю/r, Mr = 0 при r = b, где M* = M0Q5 (0),
Vr =(Me+ 2Mrv,%~(rMr),r)/r’ Mr =~D0(w,rr +vw’ee/r2 +vw,r/r^
M e=- D0 (Vw,rr + w’ee / r 2 + w,r / r)’ Mr6 = D0(1 “v)( W,r0 / r - w,e / r 2 ).
Периодическая функция распределения крутящего момента на внешнем контуре (один период -2л:/N0 <0<2 тс/N0)
отлична от нуля на интервалах 01 = [тс / N0 - 5 /2,тс / N0 + 5 /2]
и ®2 = [_я / N0 -8 / 2,-тс / N0 +8 /2].
Q5(0) = 1 при 0е01, Q5(0) = -1 при 0е02,
Qg(0) = 0 при 0^01,0£02.
Общее решение для изгибных смещений диска имеет вид w = (Anrn + Bnr n + Cnrn+2 + Dnr n+2)cosn0.
Компоненты напряжений связаны с моментами формулами [11]
<jrr = 12Mrz/h3, аее = 12M0z/h3, orQ= 12Mr0z/h3.
Величина амплитуды крутящего момента M0 = Gу82h /3 и определяется из решения задачи о кручении пластины эллипсоидального поперечного сечения с полуосями 8 и h и с погонным углом кручения у в предположении 8 ^ h [11]. Жесткость диска D0 = Eh3 /12/(1 -v2),
модуль Юнга Е, модуль сдвига G. Напряжения от центробежной силы в лопатках и диске, определенные ранее, суммируются с полученными напряжениями от крутящих моментов, соответствующих максимальным углам поворота лопаток по- и против часовой стрелки.
Зависимости радиальных (сплошная линия), тангенциальных (штрихпунктирная) и касательных (пунктирная) напряжений от радиуса диска для крайних состояний цикла (под лопаткой) приведены на рис. 5, б, в. В обоих режимах МЦУ (см. рис. 5, а) и СВМУ (см. рис. 5, б, в) напряжения резко возрастают в окрестности внешнего контура и приводят к появлению зон усталостного разрушения.
4.3. Оценки долговечности в режиме МЦУ и СВМУ
На основе критерия многоосного усталостного разрушения Сайн-са (режим МЦУ) и его обобщения (режим СВМУ) были проведены оценки долговечности N для рассматриваемых нагружений диска.
а
Рис. 6. Распределение логарифма долговечности при МЦУ- (а) и СВМУ-режиме (б)
Эти оценки для 1^ приведены на рис. 6, а (~4,3 для МЦУ) и рис. 6, б (~9,6 для СВМУ). С учетом значений периодов цикла Т~2 ч и Г~0,02 с легко вычислить, что усталостное разрушение в режимах МЦУ и СВМУ происходит за примерно одинаковый период реального времени ~20 000-40 000 ч. Тем самым подтвержден вывод об альтернативности данных режимов усталостного разрушения для титановых дисков.
Выводы
В работе проведен сравнительный анализ и оценка долговечности диска компрессора ГТД для двух альтернативных механизмов усталостного разрушения - МЦУ и СВМУ. Выполненные расчеты указывают на близкое расположение зон усталостного разрушения и близость оценок долговечности для МЦУ и СВМУ в реальном времени.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-08-00366-а, 12-08-01260-а).
Библиографический список
1. Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов. - Уфа: Монография, 2007. - 498 с.
2. Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of Multiaxial Fatigue Fracture and Service Life Estimation of Structural Elements // Mechanics of Solids. - 2011. - Vol. 46. - No. 6. - P. 828-838.
3. Investigation of multiaxial fatigue in the prospect of turbine disc applications: Part II. Fatigue criteria analysis and formulation of a new combined one / V. Bonnand, J.L. Chaboche, H. Cherouali, P. Kanoute [et al.] // Proceedings the 9-th Intern. Conf. of Multiaxial Fatigue and Fracture (ICMFF9). - Parma, Italy, 2010. - P. 691-698.
4. Sines G. Behavior of metals under complex static and alternating stresses. Metal fatigue. - New York: McGraw-Hill, 1959. - P. 145-169.
5. Crossland B. Effect of large hydrostatic pressures on torsional fatigue strength of an alloy steel // Proc. Int. Conf. on Fatigue of Metals. -London, 1956. - P. 138-149.
6. Findley W. A theory for the effect of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending // J. of Eng. for Indust. -1959. - Vol. 81. - No. 4. - P. 301-306.
7. Kallmeyer A.R., Krgo A., Kurath P. Evaluation of multiaxial fatigue life prediction methodologies for Ti-6Al-4V // ASME J. Eng. Mat. Technol. - 2002. - Vol. 124. - P. 229-237.
8. Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин И.С. Анализ напряженного состояния диска компрессора ГТД // Вестник ПГТУ. Механика. -Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. - № 1. - C. 46-54.
9. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
10. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. - М.: Машиностроение, 1978. - 247 с.
11. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 744 с.
References
1. Shanyavski A.A. Modelirovanie ustalostnykh razrusheniy metallov. [Modelling of fatigue fracture of the metals]. Ufa: Monografiya, 2007. 498 p.
2. Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of Multiaxial Fatigue Fracture and Service Life Estimation of Structural Elements. Mechanics of Solids, 2011, vol. 46, no. 6, pp. 828-838.
3. Bonnand V., Chaboche J.L., Cherouali H., Kanoute P., Ostoja-Kuczynski E., Vogel F. Investigation of multiaxial fatigue in the prospect of turbine disc applications: Part II. Fatigue criteria analysis and formulation of a new combined one. Proceedings the 9-th Intern. Conf. of Multiaxial Fatigue and Fracture (ICMFF9), 2010, Parma, Italy, pp. 691-698.
4. Sines G. Behavior of metals under complex static and alternating stresses. Metal fatigue. New York: McGraw-Hill, 1959, pp. 145-169.
5. Crossland B. Effect of large hydrostatic pressures on torsional fatigue strength of an alloy steel. Proc. Int. Conf. on Fatigue of Metals. London, 1956, pp. 138-149.
6. Findley W. A theory for the effect of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending. J. of Eng. for Indust, 1959, vol. 81, no. 4, pp. 301-306.
7. Kallmeyer A.R., Krgo A., Kurath P. Evaluation of multiaxial fatigue life prediction methodologies for Ti-6Al-4V. ASME J. Eng. Mat. Technol, 2002, vol. 124, pp. 229-237.
8. Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Analiz napryazhennogo sostoyaniya diska kompressora GTD [The stress state analysis of the GTE compressor disk]. Vestnik Permskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2011, vol. 1, pp. 46-54.
9. Novatski V. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: Mir, 1975. 872 p.
10. Dem’yanushko I.V., Birger I.A. Raschet na prochnost’ vrashcha-yushchikhsya diskov [Strength calculation of rotating disks]. Moscow: Mashinostroenie, 1978, 247 p.
11. Rabotnov Yu.N. Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela [Mechanics of Solids]. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matemati-cheskoy literatury, 1979, 744 p.
Об авторах
Бураго Николай Георгиевич (Москва, Россия) - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования Института проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлин-ского (119526, г. Москва, пр. Вернадского, 101 к. 1, e-mail: bura-gong@yandex.ru).
Журавлев Алексей Борисович (Москва, Россия) - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лабора-
тории геомеханики Института проблем механики РАН им. А.Ю. Иш-линского (119526, г. Москва, пр. Вернадского, 101 к.1, e-mail: zhu-ravlev.alex2010@yandex.ru).
Никитин Илья Степанович (Москва, Россия) - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования Института автоматизации проектирования РАН (123056, г. Москва, 2-я Брестская ул., 19/18, e-mail: i_nikitin@list.ru).
About the authors
Burago Nikolay Georgievich (Moscow, Russian Federation) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Laboratory of Modelling in MS IPMech RAS (101, Vernadskogo prospect, 119526, Moscow, Russian Federation, e-mail: buragong@yandex.ru).
Zhuravlev Alexey Borisovich (Moscow, Russian Federation) - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Laboratory of Geomechanics IPMech RAS (101, Vernadskogo prospect, 119526, Moscow, Russian Federation, e-mail: zhuravlev.alex2010@yandex.ru).
Nikitin Ilya Stepanovich (Moscow, Russian Federation) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Department of Math. Modelling ICAD RAS (19/18, 2-nd Brestskaya str., 123056, Moscow, Russian Federation, e-mail: i_nikitin@list.ru).
Получено 15.02.2013
