Сужение «Вилки» Фойгта-Рейсса в теории упругих структурно неоднородных в среднем изотропных композиционных тел без применения вариационных принципов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ДРтот. СЕРИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»

№ 3 2014

УДК 539.3

СУЖЕНИЕ «ВИЛКИ» ФОЙГТА-РЕЙССА В ТЕОРИИ УПРУГИХ СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ В СРЕДНЕМ

ИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ ТЕЛ БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ

ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ

Тарасюк Иван Александрович

студент

Кравчук Александр Степанович

д-р физ.-мат. наук Белорусский государственный университет, Минск (Беларусь)

аи^ог@аргюг1-]оигпа!. ги

Аннотация. В теории композиционных тел сложился определенный стереотип - для сужения «вилки» Фойгта-Рейсса необходимо использовать вариационный принцип и получить более узкую и, соответственно, точную «вилку» Хашина-Штрикмана. Данная последовательность действий в той или иной форме воспроизводится в большинстве научных работ посвященных механике композиционных материалов. При этом следует подчеркнуть, что экспериментального подтверждения верности получаемого сужения («вилки» Хашина-Штрикмана) до настоящего времени выполнено не было. В данной работе предлагается другой теоретический подход к сужению «вилки» модулей упругости композиционного материала без использования вариационных принципов. Он основан на вычислении эффективных матриц жесткости и податливости, определяющих связи усредненных по правилу смеси напряжений и усредненных по правилу смеси деформаций, вычисленных по гипотезам Фойгта и Рейсса в элементарном объеме композиционного материала. На последнем шаге вычисляется математическое ожидание коэффициентов полученных матриц, определяющих суженую «вилку». В отличие от устоявшегося в научной литературе мнения установлено, что только модули упругости, стоящие на диагоналях матриц податливости, полученных по Фойгту и Рейссу, всегда являются верхней и нижней границей реальных модулей упругости композитов. Остальные коэффициенты матриц могут (в смысле верхней и нижней оценки) меняться местами, что зависит от конкретной реализации упругих характеристик компонент композиционного материала.

Ключевые слова: гомпозиционный изотропный материал; гипотеза Фойгта; гипотеза Рейсса; сужение «вилки» модулей упругости композиционного материала.

CALCULATION OF VOIGT-REUSS «RANGE» IN THE THEORY OF ELASTICITY OF STRUCTURAL HETEROGENEOUS, AVERAGE ISOTROPIC, COMPOSITE BODIES WITHOUT APPLICATION OF VARIATIONAL PRINCIPLES

Tarasyuk Ivan Alexandrovich

student

Kravchuk Alexander Stepanovich

doctor of physical and mathematical sciences Belarus State University, Minsk (Belarus)

Abstract. In the theory of composite bodies formed stereotypical - it is necessary to use a variational principle to narrow the «range» of Voigt-Reuss and obtain, respectively, a more precise «range» of Hashin-Shtrikman. This sequence of operations appears in one form or another in most scientific papers dealing with the mechanics of composite materials. It should be emphasized that the experimental confirmation of validity of resulting narrowing («range» of Hashin-Shtrikman) hasn't been met so far. In this paper we propose a different approach to narrowing «range» of the elastic modules of the composite material without the use of variational principles. It is based on the calculation of effective flexibility and stiffness matrices defining the relations between averaged by mixture rule stress and averaged mixture rule deformations. It is calculated by Voigt and Reuss hypotheses in a volume element of the composite material. The last step is to calculate the expectation coefficients of obtained matrices which are determined restriction «range». In contrast to the well-established in the scientific literature opinion it is found that only the elastic modules which stand on the diagonal flexibility matrices obtained by Voigt and Reuss can be upper and lower limits of the real elastic moduli of composites. The remaining coefficients of the matrices may change places (in the sense of the upper and lower bound), that depends on the particular implementation of the elastic characteristics of component of the composite material.

Key words: composite isotropic material; Voigt hypothesis; Reuss hypothesis; narrowing «range» of the elastic moduli of the composite material.

Введение. В последние годы существенное развитие получили исследования физико-механических свойств материалов, температурных полей и напряженно-деформированного состояния в элементах конструкций с учетом их структуры. Результаты этих исследований находят практическое применение при расчете на прочность элементов конструкций из неоднородных материалов [1].

Одной из основных задач механики композитов является задача проектирования материалов с заранее заданными жесткостными и прочностными характеристиками. Если композиционный материал моделируется однородной изотропной линейно упругой средой, то задача проектирования материала с заранее заданными свойствами приводится к задаче теоретического определения модулей упругости композиционного материала (так называемых эффективных модулей) по известным модулям упругости компонентов [2].

Постановка задачи. Для решения задачи определения эффективных модулей рассматривается элемент композиционного материала, на границе которого задаются воздействия, имитирующие воздействия, возникающие в испытательных машинах при проведении серии опытов (чистое растяжение, кручение, всестороннее сжатие), для определения полного набора модулей однородного изотропного материала [2]. Макроточкой называется элементарный макрообъем, размеры которого значительно превосходят характерные размеры неоднородностей, однако существенно меньше размеров тела [2].

Таким образом, для решения задачи определения эффективных деформационных характеристик элемента композиционного материала в качестве макроточки примем прямоугольный параллелепипед объемом АахАухЛ^. Размеры параллелепипеда значительно превосходят

характерные размеры неоднородностей, но пренебрежимо малы в сравнении с характерными размерами твердого тела.

Будем считать, что параллелепипед состоит из п изотропных компонент, и предполагается, что значения концентраций ук компонент

композиционного материала известны для всего материала, и они же являются объемными долями компонент для любой макроточки твердого тела. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние отдельно взятого элементарного параллелепипеда с координатами ( а, у, г), имитирующего напряженно-деформированное состояние твердого тела из композиционного материала в данной точке.

Применение гипотезы Фойгта для изотропного в среднем композиционного материала [3]. Используем гипотезу Фойгта о том, что при простейшем нагружении в макроточке тела из композиционного материала имеет место однородная деформация, т.е. для любой компоненты параллелепипеда верны соотношения: ех4 = £х, еуЛ = еу, = £г,

£хУ,1 =£хУ, £угл =£Уг, £жл = £хх • Запишем закон Гука для 1 -ой компоненты элементарного параллелепипеда:

= г, . п Е п ) £х (1 -П) + П (£у +£г)} (1)

I £ у (1 -П) + П (£х + £г)), (2)

£ (1 -п) + п1 (£х + £у)), (3)

о,, =

(1+ П )(1 - Е )

(1 + п )(1-Е

^ (1 + п)(1 - У'

о ■ = £ о . = Е £ о . = £ (4)

хУ,г 1 + У У2,1 1 + У2' гх,г 1 + п. 2х"

Для нахождения эффективных характеристик по Фойгту определим

средние значения напряжений (°х)р, 0у)р , , (0ху)р , (0Уг)р , (°гх)р ,

действующих на все компоненты композиционного материала, с помощью статистического усреднения дискретных случайных величин ох1,

0 У,1 , 0 г,1, 0 ху,1 , 0 Уг ,1, 0 гх,1 (1)-(4):

1=1 л

=Ъ'-а»=(1+п р )(1 - р)

1=1 п

РЛ^ /Р!

Ер

(еу(1 Р]+П Р+ )]-

(1-П Р ]+п Р +еу)]-

-ху)Р = {С)р -£ху , ЮР = (Ор • > (ОР = (^р • .

(6)

(7)

(8)

где усредненные значения ЕР и МР в (5)-(8) определяются выраже-

ниями:

ЕР=

п п / п

ЕУГ Е \ Г- Е1 1 + п ^ 1 - 2п ^

v 1=1

1=1

v 1=1

Г - Е-

(1 + П)(1 - 2п)

мм р =

п

I

v 1=1

Г- Еп

(1 + п )(1 - 2п)

п

I

V 1=1

Г - Е-

(1 + М)(1 - 2п)

(9)

(10)

/Р 1+п

Р

(11)

Применение гипотезы Рейсса для изотропного в среднем композиционного материала [4]. Используем гипотезу Рейсса о том, что при простейшем нагружении в композите имеет место однородное напряженное состояние, т.е. для любой компоненты параллелепипеда верны соотношения: ах4 = ах, ау4 = ау, аг4 = -, аху4 = аХу, ауг4 = -у.,

= ахх. Запишем закон Гука для 1 -ой компоненты элементарного параллелепипеда:

£х4 _ Е {ех - V{еу + ))- (12)

еуЛ = -1 (еу - V {ех + е)), (13)

= Е {ег{ех + еу))- (14)

- 1+ _ 1 + _ 1 + (15)

Е ху; _ ^ еху' Е уг; _ ^ е уг' Е' гх; _ ^ е гх ■ ( 15)

Для нахождения эффективных характеристик по Рейссу определим

средние значения деформаций {£х)К ' (£у)к ' (Ег)К ' (£ху)к ' (£уг)к ' (Егх) К

по всем компонентам композиционного материала в элементарном параллелепипеде с помощью статистического усреднения дискретных случайных величин ех4, гу4, ег4, е^, е^, гш4 (12)-(15):

п

(е^я _ Х' ех; е-И я '{еу))' (16)

1_1

я

п

еу)я _ Х/" еу; _ ^ е - И я '1(е + ))' (17)

п

(ег)я _ Хй- _7ЕГ {е я • {ех+еу))' (18)

ы {Ея

Е„)„ ' к! ' (егх)„ _^' (19)

^ 'уг/я

где усредненные значения и Vя в (16)-(19) определяются выражениями:

г п л

Щи = 1

X

Г

v -1 Е ;

v 1=1

п

я

хп

v ■ 1 Е■ у

v 1=1 у

п

ВП/1

V ■ 1 Е У

V 1=1 У

=

я

1 + ы

(20)

(21)

(22)

я

Основное неравенство, связывающее усредненные модули упругости по Фойгту и по Рейссу. Покажем, что для эффективных модулей Юнга [Е/р и (Ея выполняется неравенство:

% > Ея'

(23)

Отметим, что выполняется следующее соотношение:

X х+п 1ЙТ ХхЕ X

п п

Е- 1 -г —

хЕ = -м

1=1_1=1

(1 + ( )(1 - 2()

=1

а

X

=1

хЕ

> 0. (24)

(1 + ( )(1 - 2()

Ввиду того, что знаменатель в выражении (24) строго положительный, достаточно показать, что числитель является неотрицательным. Выполним следующие преобразования:

п п п п

ХЙХЙ - XX ХЕ X

ХЕ

I-( 4/1 1^^(1+П)(1-()

1=1 1=1 1=1 1=1

пп

X X

1=1 7=1+1

ггЕЕ/

2-(+()-4( 2-(+()-( +() Л

(1+п)(1-2п)(1+п/)(1-2п;-) (1+()(1-2()(1+пу)(1-2п;-)

пп

=^Е^Е

7/ -г, С

1=1 7=1+1

(1+()(1-2( )(1+п, )(1-2п.-)

Из (25) следует, что (24) выполнено.

Докажем, что выполняется еще одно неравенство:

1=1

п п

7 -1 I

v 1=1 1=1

п

7

v -1 Е .

v 1=1

> 0

(26)

Ввиду того, что знаменатель в неравенстве (26) строго положительный, достаточно показать, что числитель является неотрицательным. Выполним следующие преобразования:

п п 7 п п Е

I 7 Е I1 = III 77Е -1 =

1=1

1=1 Е 1=1 j=l J Е ..

= Ё72 +11777

1=1 1=1 7=1+1

Е Е.

v Е. Е.

V . 1 у

(27)

-1 г 172 + II277. -1 = [17] -1 = 0.

1=1 1=1 .=1+1

-1=1

Из (27) следует, что (26) также выполнено. Используя (24) и (26), можно составить следующую цепь неравенств:

п

% гI?,Е аЕ

Я'

(28)

1=1

Очевидно, что (28) доказывает неравенство (23). Аналогично можно показать, что (ф не превосходит . Покажем, что для эффективных

коэффициентов Пуассона )у)р и ))Я нет связывающего их неравенства.

Для этого приведем примеры, демонстрирующие, что )у)р может быть и

больше, и меньше )) Я. Рассмотрим разность:

у *-)У я '

(29)

2

Не нарушая общности, будем считать, что п1 >п2 > ... >пп. Тогда для того, чтобы выражение (29) было положительным, достаточно при

1 = 1, п -1 выполнения условия:

Е > 1 \

(1 + п )(1 - 2у,) Е (1+ мм )(1 - 2км) ^

и, наоборот, для того, чтобы выражение (29) было неположительным,

достаточно при 1 = 1, п -1 выполнения условия:

Е £

Л

(1 + п )(1 - 2П1)

(1 + п+1 )(1 - 2п+1)

Е1+1 ■

.,. мр .. мя

Можно показать, что для отношений , ,р и -¡—т^ также нет связы-

(Ер

вающего их неравенства.

Таким образом, установлено, что только модули упругости (9), (20) и (11), (22), стоящие на диагоналях матриц податливости, полученных по Фойгту и Рейссу, могут являться верхней и нижней границей реальных модулей упругости композитов. Остальные коэффициенты матриц могут (в смысле верхней и нижней оценки) меняться местами, что зависит от конкретной реализации упругих характеристик компонент композиционного материала.

Вычисление «вилки» эффективных характеристик. Перейдем к определению «вилки» эффективных характеристик. Для этого запишем элементы матрицы жесткости ]{а), используя усреднение с неопределенным коэффициентом а, где 0 <а< 1:

£х) а = а{£х)р +(1 -а)( £х)Е =

а ( "V

х V /Р\"У 2>

х \ /Я\ у 2

я

(Е(а))

а 0х

(а)) 0У + 02

£у) а=а£У)г + (1 -а)( =

(1 -а)( ер + а Е

Ля с

я

(ЕАЕя

°У -

(1 -аХ ЕР уу яЕя(

1

Еа))с

(1 -а)( щРЕ

'я

= (31)

0у-(п(а))°(°х + 0

0\ У

(£г) а = а{£г)р + (1-а)( £*)я =

(1-а)( Е р + а Ея | (1-а)( Ер( у я + а Е я (у 1

(ЕАЕя

00--' ' (0 + 0

V

(1-а)( Ер+а Е

'х ~ У

'я

(Щ

1 { / 0

£_) = а(£„17)_ + (1 -а)^ £

ХУ

а

хУ/ Р

0

хУ! я

(Е(а))

0 °ХУ

£Уг)„, =а{£у2)г. + (1 -аХ £

У2!а \У2/Р 4 Л У2/я /ы _л\0 У2'

0

■0,

(е а

а = а£х) Р + (1 - аХ£*х) я = ,

\Е (а))

= (32)

(33)

(34)

(35)

где усредненные значения (Е(а))0 и (у(а))0 в (30)-(35) определяются выражениями:

(Е(а))°

\Е}р\Е/я

(1 -а)( Е р + а( Е)я

(36)

0

(1 -а)( Ер У) я + а Щя {у! р

(1 -а)( Е

р+а{ Ея

(37)

Следует отметить, что для композиционного материала, изотропного в среднем, с эффективными характеристиками (36) и (37) выполняется соотношение, связывающее модуль сдвига с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона:

(С(а)У= . (38)

\у(а)

Запишем элементы матрицы податливости Е(а), используя усреднение с неопределенным коэффициентом а, где 0 < а < 1:

ю а = Й^Р+=

аЕР (Л /л ), /-.к и .Л, . (1-а) Ея

х(ех (1-(Пя)+(Пя(е7+е ))=

(39)

м-штае+е

е 1^1 ле\\ х\ у^ц I • у^п гу-г.

ау) а=а°у)р+М =

аЕР ,

аЕ

(1Щ1%)+Ш¥-

\\-1 У1Р

(1-й) Е

) Ея

гаг+

(1-а) Е

V

I \ л / \ Л

ех-еу+*У х

г )>

я

,,,, щ Л1-ДщЛ (1+(п) Л1-2п)

V \ /рЛ \ /Р/ \ \ /ял \ /Яу

ЙЕЩ + (1-а) ЕЩ

, (1+щ)1-2Пр)>ЩМЩ).

) = (40)

ял" лчя/у

«4

1-2

И а=а°^Р+(1-й)Ия =

аЕР

ЙЕР , (1-а) Е

(1-а) Ея

x

+

'Р/ У ' Г/я V1/

,,,, щ Л1-2Пи) (1+ МпД-дм п,

V \ I Рл \ /р/ \ \ /ЯЛ \ /Яу

ЙЕЩ + а-а) ЕяМя

отот (1+(Мя11-дМя).

) = (41)

№

е) а^^Р+(1-0) а*у)н(1+ИЯ)+(1-0) Ея))Х

ИрМУяКе-аХЕяМУр)) е те е <42) (1+)){1+(ИяЫЕР{1-2)я)+(1-«ХЕЛ-V))*_ 1+М4е

е) а=аау)Р+(1-а)( е*)я _{аЕР {1+)) я)+(1-аХ Ея (1+(У р ))х

Х {аЕр{1-2(Ия)+(1-аХЕя{1-2(Ия)) е Ш <43) {1+ИР){1+(Ия)(аЕр{1-2)я)+(!-аХЕя{1-2)Р))уг 1+{Иа))е "

(е) а_аеХР+(1-а) еХя _{аЕРИУя)+(1-а) Ея{и))7 ))х

Х (аЕрМИяка-аХЕяМпУ е (Ще е (44) И)яИЩР2)я)+(!-аХЕн 1-2)р)) " 1+Ма))е "

где усредненные значения (Е(а))е и ){а)Е в (39)-(44) определяются выражениями:

те_

_{аЕр{1-2))я)+(1-а)( Ея{1-2)) р)){аЕр{1+И) я)+(!-а)( Ея{1+)) р)) (45)

)(а))Е _

а V) Р (1 + )) я )(1 - 2)) я)+(1 -а)< Щ)) „ (1 + )) Р ){1 - 2)) Р) (46)

Следует отметить' что для композиционного материала' изотропного в среднем' с эффективными коэффициентами (45) и (46) также выполняется соотношение' связывающее модуль сдвига с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона:

£("Г= ■ (47)

1 + {уЩ

Можно показать, что {Е(а))е > {Е(а)У, (С(а))е > (С(а)У, а также что

/ г \\° / г \\* \у(а¥ У(а¥

для (у(а)) , \у\а)) и --—, --— нет связывающих их неравенств

'Е(а))е {Е(а)У

для любого коэффициента а, где 0<а< 1, используя рассуждения, описанные в предыдущем пункте.

Определим уменьшенные (по сравнению с «вилкой» Фойгта-Рейсса) «вилки» модулей упругости (Е)а;(Е)е , коэффициентов Пуассона

[(у)ст;(у)е] и модулей сдвига _(С)а;{С)£

в среднем изотропного компози-

ционного материала как среднее значение соответствующих выражений (36)-(38) и (45)-(47):

Еа = Е(а))а ёа, {Ё) е= Е(а))£ ёа, (48)

1

уГ= |(у (а))а ёа, {у)£ = |(у (а))£ ёа, (49)

11 Са = С (а))а ёа, Се = С(а))£ёа. (50)

о о

После преобразования выражений (48)-(50), представим эффективные характеристики в виде:

1

1

о

о

о

о

Е) Е 1п (Е (Е) ) ЕУ = " /А/* " \рП , (51)

' Е - Е

р \ / д

_ Е (И -(Е> (И (Е> (Е) ((И -(И )1п(Е) (Е) )

.д^ _ \ / р\ / д \ /р\ / д\\ / р \ /д/ У\ /р/\ /д/ /^О1*

И = Е,-Е, + (Ер - Е, )2 ■ (52)

оЛО* 1пасло«) (53)

О* - '

е ■= 1 « $р+Ед)+

нРнд(Мр -ИИд)2(нр -Нд -2НРНд 1п(Нр /Нд))

(Нр -Ид)3

(54)

= Н Р ИИ Р - Н д ИИ, - Н РНд (ИИ Р -И) д )1п(Н г/Н д) (55)

Нр-Нд (Нр-Нд)2 '

О '= 2«+), (56)

где Н р = (1+ИИ р » - 2 ИИ р)и н д = (1+ИИ д » - 2 ИИ д) ■

На рисунках 1-4 представлены графики «вилки» Фойгта-Рейсса для модулей Юнга (ЩР, (Щк (9), (20) (Рис- 1), коэффициентов Пуассона

ИР, Ид (10), (21) (Рис- 2) и модулей сдвига , (11), (22) (Рис- 3,

4), а также сужений этой «вилки», полученных по предлагаемой методике

усреднением эффективных модулей Юнга (Е)(Е)е (51), (54) (Рис- 1),

коэффициентов Пуассона (у)а, (у)£ (52), (55) (Рис- 2), и модулей сдвига

ООУ (53), (56) (Рис- 3, 4)-

1£Ц ГПа 200

180

160

140

120

100

60

100 120 140 160 180 200

Би ГПа

Рис. 1. Зависимость усредненных модулей Юнга от состава смеси

(я = 0.4, у2 = 0.6, е2 = 210 гпа, ) = 0.27, )2 = 0.3):

непрерывная линия - (Ер, штрихпунктирная линия - , пунктирная линия - (Е)точечная линия - (Е)а

ш

0.30

0.28

0.26

0.24

0.22

0.20

0.18

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Рис. 2. Зависимость усредненных коэффициентов Пуассона от состава смеси (я = 0.4, у2 = 0.6, е = 190 гпа, е2 = 210 гпа, п2 = 0.3): непрерывная линия - ))р, штрихпунктирная линия - ) ,

пунктирная линия - )) , точечная линия - )

а

С У ГПа

100

120

140

160

180

200

Е1, ГПа

Рис. 3. Зависимость усредненных модулей сдвига от модулей Юнга состава смеси (у = 0.4, = 0.6, е2 = 210 ГПа, п1 = 0.27, п2 = 0.3): непрерывная линия - (0)р, штрихпунктирная линия - ,

пунктирная линия - (С)точечная линия - (С)а

С у ГПа

170

165

160

0.30 ^

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Рис. 4. Зависимость усредненных модулей сдвига от коэффициентов Пуассона состава смеси (у = 0.4, = 0.6,

Е = 190 ГПа, е2 = 210 ГПа, п2 = 0.3): непрерывная линия - (р)Р,

штрихпунктирная линия - (в)к, пунктирная линия - (С)е,

точечная линия - Са

Произведем оценку взаимообратности матриц жесткости 1 1 У = |У(а)ёа и податливости Е = ^(а)ёа, т.е. оценим близость к нулю

о о

выражения:

||У • Е - Ц, (57)

6

где I - единичная матрица, ||А|| = тах^- норма матрицы А.

и=1

Отметим, получить аналитическую оценку близости к нулю (57) невозможно, однако при подстановке конкретных значений модулей упругости и коэффициентов Пуассона компонент композиционного материала погрешность взаимообратности матриц жесткости У и податливости Е составляет не более 10%.

Выводы. Предложен метод сужения «вилки» Фойгта-Рейсса, определяющей разброс модуля упругости, коэффициента Пуассона и модуля сдвига композиционного материала без использования вариационных принципов.

Установлено, что только модули упругости (9), (20) и (11), (22), стоящие на диагоналях матриц податливости, полученных по Фойгту и Рейссу, могут являться верхней и нижней границей реальных модулей упругости композитов. Остальные коэффициенты матриц могут (в смысле верхней и нижней оценки) меняться местами, что зависит от конкретной реализации упругих характеристик компонент композиционного материала.

Список использованных источников

1. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

2. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных композиционных материалов. Экспериментальные и численные методы. М.: Наука, 1985. 304 с.

3. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin: Teubner. 1928. 962 s.

4. Reuss A. Berechung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung // Z. Angew. Math. Und Mech. 1929. V 9. № 1. S. 49-58.