CC BY
18
05.20.01 УДК 62-231.1
DOI: 10.24411/2227-9407-2020-10103
Суперпозиция вращений в сельскохозяйственных механизмах
Игорь Павлович Попов
Курганская государственная сельскохозяйственная академия им. Т. С. Мальцева, Курган (Россия)
Аннотация
Введение: предпосылкой рассмотрения является принцип суммирования прямолинейных равномерных движений. Целью работы является установить, как в подобной ситуации обстоит дело при сложении вращательных синхронных или кратных движений. Задачи исследования состоят в аналитическом описании и построении годографов движений.
Материалы и методы: основными методами исследования в рамках настоящей работы являются методы математического моделирования и анализа. Использованные методы позволяют получить достоверное описание исследуемых объектов.
Результаты: установлено, что подобно тому, как результатом сложения двух равномерных прямолинейных движений является также равномерное прямолинейное движение, результатом сложения двух равномерных однонаправленных круговых движений является также равномерное круговое движение. Годографом при сложении двух равномерных противоположно направленных круговых движений является эллипс. В частном случае эллипс может вырождаться в отрезок прямой линии. Определены характеристики эллиптического годографа, в т. ч. большая и малая полуоси, корни характеристического уравнения, эксцентриситет, фокусы, угол наклона осей. Решена обратная задача - определение скоростей вращения по виду годографа. При сложении двух несинхронных (кратных) вращений возможны годографы в виде улитки, имеющей сходство с улиткой Паскаля.
Обсуждение: во многих механизмах, используемых в сельскохозяйственном производстве, таких как обгонные муфты в прицепных комбайнах, планетарные редукторы гусеничных тракторов, подшипники качения, мультиинертные осцилляторы и т. п., реализуется суммирование вращательных движений, и форма годографа является полезной информацией при проектировании подобных устройств.
Заключение: полученные результаты могут быть использованы при проектировании механизмов, реализующих сложные вращательные движения. Математические формулы годографов могут использоваться в качестве исходных данных для САПР при разработке сельскохозяйственной техники.
Ключевые слова: вектор, вращение, годограф, координаты, окружность, улитка, эллипс.
© Попов И. П., 2020
Для цитирования: Попов И. П. Суперпозиция вращений в сельскохозяйственных механизмах // Вестник НГИЭИ. 2020. № 11 (114). С. 27-35. DOI: 10.24411/2227-9407-2020-10103
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
Superposition of rotations in agricultural mechanisms
Igor Pavlovich Popov
Kurgan State Agricultural Academy T. S. Maltsev, Kurgan (Russia)
Abstract
Introduction: the prerequisite for consideration is the principle of summation of rectilinear uniform movements. The purpose of the work is to establish how things are in a similar situation when adding rotational synchronous or multiple movements. The objectives of the research are the analytical description and construction of travel time curves.
Materials and methods: the main research methods in this work are methods of mathematical modeling and analysis. The methods used make it possible to obtain a reliable description of the objects under study.
Results: it was found that just as the result of the addition of two uniform rectilinear movements is also a uniform rectilinear movement, the result of the addition of two uniform unidirectional circular movements is also a uniform circular movement. The hodograph when two uniform oppositely directed circular motions are added is an ellipse. In a particular case, the ellipse can degenerate into a straight line segment. The characteristics of the elliptical hodograph were determined, incl. major and minor semiaxes, roots of the characteristic equation, eccentricity, foci, angle of inclination of the axes. The inverse problem is solved - determination of the rotation speeds by the type of the hodograph. When two asynchronous (multiple) rotations are added, hodographs in the form of a cochlea, similar to Pascal's cochlea, are possible.
Discussion: in many mechanisms used in agricultural production, such as overrunning clutches in trailed combines, planetary gearboxes of tracked tractors, rolling bearings, multi-inert oscillators, etc. summation of rotational movements is realized, and the shape of the hodograph is useful information in the design of such devices. Conclusion: the results obtained can be used in the design of mechanisms that implement complex rotational movements.
Key words: coordinates, rotation, vector, hodograph, ellipse, circle, snail.
For citation: Popov I. P. Superposition of rotations in agricultural mechanisms // Bulletin NGIEI. 2020. № 11 (114). P. 27-35. (In Russ.). DOI: 10.24411/2227-9407-2020-10103
Введение
Если система отсчета x'0'y' движется прямолинейно и равномерно со скоростью Vl в неподвижной системе отсчета x0y (рис. 1), и точка а движется прямолинейно и равномерно со скоростью V2 в системе отсчета x '0'у ', то в соответствии с принципом относительности Галилея точка а движется прямолинейно и равномерно со скоростью vз в системе отсчета x0y, а годографом вектора А, соединяющего точки 0 и а, является прямая линия [1; 2; 3; 4].
Целью работы является установить, как в подобной ситуации обстоит дело при сложении вращательных синхронных движений [5; 6; 7; 8].
Задачи исследования состоят в аналитическом описании и построении годографов движений [9; 10; 11; 12].
Актуальность исследования применительно к сельскохозяйственному производству видна на
примере мотовила жаток зерноуборочных комбайнов. Недостаток действия мотовила состоит в том, что оно сообщает стеблям толчок в тот момент, когда они срезаны ножом. Это частично приводит к выпадению зерна из колосьев и тем самым к потерям. Окружная скорость планок мотовила должна быть согласована с поступательной скоростью мотовила, иначе мотовило вместо удержания стеблей отталкивает их. Кроме того число планок мотовила, расположение их от оси вращения и постановка по отношению к высоте стеблей и их полеглости имеют огромное значение, и ошибки в конструкции и установке ведут к подгибу стеблей при отталкивании под платформу, а также при задерживании стеблей - к двойному срезу и падению срезанных стеблей на землю. Правильный расчет суперпозиции вращений лучей и планок мотовила на этапе проектирования позволит минимизировать указанные недостатки [13; 14; 15; 16].
Рис. 1. Сложение движений Fig. 1. Addition of movements
Материалы и методы
Основными методами исследования в рамках настоящей работы являются методы математического моделирования и анализа. Использованные методы позволяют получить достоверное описание исследуемых объектов.
Пусть точка 0' вращается вокруг точки 0 в системе отсчета x0y с постоянной угловой скоростью ю. Расстояние p между точками не меняется. Координатные оси обеих систем отсчета всегда попарно параллельны. Точка а вращается вокруг точки 0' в системе отсчета x'0'y' с постоянной угловой скоростью —ю или +ю. Расстояние p2 между точками не меняется.
Результаты Разнонаправленное вращение
Теорема 1. При разнонаправленном вращении точек а и 0' годографом вектора А является эллипс.
Доказательство.
Координаты точки 0' в системе x0y: X = p cos(rat + ф), y =pj sin(rat + ф). (1)
Координаты точки а в системе x'0'y':
X =P cos(—rat + ф2), y2 =p2 sin(—rat + ф2).
Здесь ф , ф - начальные углы.
Координаты вектора А в системе x0y: X = X + X = Pi cos(rat + ф) + p2 cos(—rat + ф2), У = У1 + У2 =pi sin(rat + Ф1) + p2 sin(—rat + ф2). x = cos rat (p cos ф + p2 cos ф) — —sin rat(p sin ф — p2 sin ф),
Отсюда следует
y = sin raí (p cos ф -p2 cos ф) +cos raí (p sin ф + p2 sin ф) .
+
sin raí =
y (p cos ф +p2cos ф2)
2 2 Pi -p2
x (pj sin ф1 +p2 sin ф2 )
2 2 ' pl — p2
X(p1 cos ф1 — p2 cos ф2 )
cos rot = —1------- +
pl — p2
y(pisin ф1 — p2sin ф2)
+ „2 „2 . p1 — p2
sin2 rat + cos2 rat = 1, y2 (p cos ф + p cos ф)2 + X2 (p sin ф + p sin ф)2 (p2 — p2 )2
2xy (p cos ф +p cos sin ф +p sin ф)
(p? —p2 )2 + x2 (p cos ф — p cos ф)2 + y 2(p sin ф — p sin ф )2
+ (pf —p2)2 +
2xy (p cos ф — p cos ф ) (p sin ф — p sin ф )
+ (p2 — p2 )2 = , x' [pf + p2 — 2P1P2 c0s(фl + ф2>]
(p2 — p2 )2 +
y2 [pi2 + p2 + 2p1p2 cos^1 + ф2)] _ + (p2 — p2 )2
4xyp1p2sin (ф1 +ф2 ) ^ (2)
" (p2—p2 )2 " . Это уравнение эллипса. Теорема доказана.
Теорема 2. Большая и малая полуоси эллипса (2) соответственно равны ^ +р2) и р -р2|. Доказательство.
Обратным отсчетом времени можно добиться, чтобы =ф2 , а поворотом координатных осей -чтобы ф = ф2 = 0 . Тогда (2) примет вид
Х (р? + Р? - 2Р1Р2 ) У2 (р? + Р? + 2Р1Р2) _
(р? -Р? )? + (Р? -Р? )? = ,
2 2
х y
■ + -
= 1
(3)
(Р1 +Р?) (Р1 Рг) (канонический вид).
Теорема доказана.
Следствие 1. При р=р=р эллипс (2) вырождается в отрезок прямой линии длиной 4р.
Следствие 2. Корни характеристического уравнения эллипса равны
=(Р1 + Р? )? , =(Р1 - Р? )? .
Следствие 3. Эксцентриситет эллипса равен отношению среднегеометрического значения величин р1 и р2 к их среднеарифметическому значению
s = ■
(Р1 +Р?)/2
Следствие 4. Фокусы эллипса (для канонической формулы (3)) равны
ла =(±2^,0).
Теорема 3. Оси эллиптического годографа повернуты на угол (ф +ф )/2 в системе отсчета x0y. Доказательство.
При повороте координатных осей на угол (ф +ф2)/2 выражение (3) принимает вид:
Ф1 + ф2 . ф1 + ф2
х cos——— + y sin ——— 2 2
' ■ +
(Р1 +Р?)
. ф1 + ф2 ф1 + ф2
- X 81П —-— + У 008 —-—
2 2 , ,
+"-2-~ =,
(Р1 -Р?)
х' [Р? + Р? - ?Р1Рг 008(Ф1 + Фг)]
(р? -р? )2 +
у2 [р? + р2 + ?Р1Р? 008(Ф1 + Ф?)]
+ (р? -р? )?
4ХУР1Р2 81п (ф! +ф2)
" (р? -р? )2 " ,
что совпадает с (2).
Теорема доказана.
На рис. 2 ф = 120°, ф2 =-30° , следовательно, оси эллипса повернуты на 45° .
Рис. 2. Эллиптический годограф Fig. 2. Elliptical hodograph
Обратным ходом рассуждений доказывается Теорема 4. Если годографом вектора А является эллипс с полуосями ^ + р2) и р - р21, то точка
а вращается вокруг точки 0' с постоянной угловой скоростью -ю в системе отсчета х'0'у'.
Однонаправленное вращение Теорема 5. При однонаправленном вращении точек а и 0' годографом вектора А является окружность с центром в точке 0.
Доказательство.
Координаты точки 0' в системе x0y определяются выражением (1).
Координаты точки а в системе х'0'у': Х2 =р2 008(ю^ + ф2) , у2 =р 81п(ю^ + ф) . Координаты вектора А в системе x0y: ХА = X + X =Р 008^ + ф) + р2 008^ + ф), Уа = У1 + Уг =Р1 + ф1) + р281п(ю/1 + ф2).
Квадрат вектора А равен A2 = xA + yA =p2cos(fflt + ф1) + p2cos(rat + ф2) + +2pp cos(ra t + ф) cos(ra t + ф) +
+pf sin2(rat + ф) + p2 sin(rat + ф) + +2pp sin(rat + ф )sin(rat + ф) =
= p2
2pjp2 cos(фl -ф2).
Длина вектора А неизменна, следовательно, его годографом является окружность.
Теорема доказана.
Следствие. Вектор А вращается с угловой скоростью ю в системе отсчета x0y.
Это вытекает из того, что форма треугольника 0 0' а неизменна, а его сторона 0 0' вращается с угловой скоростью ю.
Обратным ходом рассуждений доказывается
Теорема 6. Если годографом вектора А является окружность, то точка а вращается вокруг точки 0' с постоянной угловой скоростью +ю в системе отсчета x'0'y'.
Теорема 7. Если точка а неподвижна в системе отсчета x'0'y', то годографом вектора А является окружность радиуса p , координаты центра которой в системе отсчета x0y равны xpl = p2 cos ф ,
yp1 =p2sin ф2 .
Доказательство.
Координаты точки 0' в системе x0y определяются выражением (1).
Координаты точки а в системе x'0'y': x = p2 cos ф , y2 = p2 sin ф .
Координаты вектора А в системе x0y: xA = x + x2 = p cos(rat + ф) + p2 cos ф,
Ja = Ji + У2 =Pi sin(<nt + ф) + p2sinф2, Xx - P cos ф = p cos(< t + ф), y A - P2 sin Ф2 = Pi sin(<Dt + Ф1), (Xa - P2 cos Ф2)2 + ( Ja - P2 sin Ф2)2 = p2 . Теорема доказана.
Пример сложения кратных вращений
Пусть точка а вращается вокруг точки 0' в системе отсчета x'0' y' с постоянной угловой скоростью +2ю и ф = ф = 0 .
Координаты точки 0' в системе x0y:
X =P cos<t, y =p sin<t. Координаты точки а в системе x'0'y':
X = p cos2<t, y2 =p sin2<t. Координаты вектора А в системе x0y: xa = p cos <t + p cos 2< t, yA =p sin<t + p sin2<t. Годограф вектора А (улитка) при p = p изображен на рис. 3.
Уравнение этой улитки в полярных координатах имеет вид:
' 2~
P = PiA/2 + 2cos^Ф .
Для сравнения формула улитки Паскаля, имеющей заметное внешнее сходство, -p = b + a cos ф. Условием возникновения петли улиточного годографа является неравенство
P sin <t < p sin 2< t, p sin<t < p2sin<tcos<t, P < 2p cos <t. При p > 2p петля не возникает (рис. 4).
Рис. 3. Улиточный годограф Fig. 3. Snail hodograph
Рис. 4. Улиточный годограф без петли Fig. 4. Snail hodograph without a loop
2
Обсуждение
Во многих механизмах, используемых в сельскохозяйственном производстве, таких как обгонные муфты в прицепных комбайнах, планетарные редукторы гусеничных тракторов [17; 18; 19; 20], подшипники качения, мультиинертные осцилляторы и т. п., реализуется суммирование вращательных движений, и форма годографа является полезной информацией при проектировании подобных устройств.
На рис. 5 представлен годограф кромок планок мотовила. В соответствии с теоремой 7 центр окружности 1, описываемой кромками планок, смещен относительно центра окружности 2, описываемой лучами мотовила.
Заключение
Подобно тому, как результатом сложения двух равномерных прямолинейных движений является также равномерное прямолинейное движение,
результатом сложения двух равномерных однонаправленных круговых движений является также равномерное круговое движение.
Годографом при сложении двух равномерных противоположно направленных круговых движений является эллипс.
При сложении двух несинхронных вращений возможны годографы в виде улитки.
Полученные результаты могут быть использованы при проектировании механизмов, реализующих сложные вращательные движения. При разработке сельскохозяйственной техники все в большей степени используются САПР и цифровые технологии. В этих условиях исходные данные для проектирования необходимо задавать в виде математических формул. Полученные соотношения такую возможность предоставляют. В частности, годограф кромок планок мотовила может корректироваться для минимизации недостатков его действия.
' к X ■ 2 \ \ \ \ \ •
1/ / ^Vw
' ' ^^^
* / L 0 1 X Л
\ / ' ' 1 / • X ..' 1 / i ' / 1
Рис. 5. Годограф кромок планок мотовила Fig. 5. Hodograph of the edges of the reel strips
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дубровин А. С., Хабибулина С. Ю. Принцип иерархичности в информатике и принципы физической относительности Галилея, Пуанкаре, Логунова // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 5-2. С. 137-139.
2. Остапенко В. В. Законы сохранения теории мелкой воды и принцип относительности Галилея // Сибирский журнал индустриальной математики. 2014. Т. 17. № 1 (57). С. 99-113.
3. Ефимов Д. Б., Костяков И. В., Куратов В. В. О точных представлениях группы движений галилеевой плоскости // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. № 10. С. 43-56.
4. Чилин В. И., Муминов К. К. Классификация путей в геометрии Галилея // Таврический вестник информатики и математики. 2017. № 1 (34). С. 95-111.
5. Яшкин С. Н. К вопросу классификации вращений и связи мгновенных поворотов и непрерывных вращений // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. 2003. № 4. С. 3-15.
6. Васильев С. И., Сыркин В. А. Обоснование частоты вращения ротора радиальной электрифицированной медогонки с горизонтальной осью вращения // Известия Самарской государственной сельскохозяйственной академии. 2016. № 4. С. 51-54.
7. Сеницкий Ю. Э., Сеницкий А. Ю. К проблеме разложения по собственным вектор-функциям в нестационарных начально-краевых задачах динамики оболочек вращения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2004. № 30. С. 83-91.
8. Привалов В. А., Привалова О. Г. Устойчивость вращения вертушки в потоке среды // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 7. С. 73-95.
9. Соловьев С. А., Константинов М. М., Комарова Н. К., Дроздов С. Н., Трофимов И. В., Егоров О. Н. Теоретическое обоснование движения центра масс почвообрабатывающего орудия с вибровозбудителем // Достижения науки и техники АПК. 2018. Т. 32. № 7. С. 70-75.
10. Капустин В. П., Кунаков С. А. Выбор параметров мотовила жатки // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2006. Т. 12. № 1. С. 162-169.
11. Мякин В. Н. Анализ работы мотовила и режущего аппарата жатки // Известия Оренбургского государственного аграрного университета. 2010. № 1 (25). С. 69-71.
12. Торопов О. Ю. Повышение эффективности мотовила жатки комбайна при уборке зерновых // Научно-образовательный потенциал молодежи в решении актуальных проблем XXI века. 2017. № 9. С. 211-212.
13. Павлов Ю. Н., Недашковский В. М., Тихомирова Е. А. Идентификация нелинейных динамических систем с заданными типами нелинейности по годографам // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2014. № 10. С. 308-327.
14. Нещадим М. В. Дифференциальные соотношения в обратной задаче определения метрики по годографу // Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 3. С. 318-320.
15. Гурман В. И., Сачков Ю. Л. Представление и реализация обобщенных решений управляемых систем с неограниченным годографом // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 72-80.
16. Шарманов Б. Ф. Годограф планет Солнечной системы // Отечественная геология. 2003. № 1. С. 77-80.
17. Яковлев Н. С., Иванов Н. М., Назаров Н. Н., Маркин В. В. Рабочие органы посевных машин для возделывания зерновых культур // Достижения науки и техники АПК. 2019. Т. 33. № 10. С. 76-80.
18. Плеханов Ф. И., Молчанов С. М. Вопросы проектирования высоконагруженной планетарной передачи с роликовым механизмом снятия движения // Интеллектуальные системы в производстве. 2012. № 2 (20). С. 45-47.
19. Блинов Д. С., Морозов М. И. Перспективные конструкции планетарных роликовинтовых механизмов // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2013. № 3. С. 62-72.
20. Андреева Я. А., Жуков И. А. Компьютерная модель самоустанавливающегося планетарного механизма // Успехи современного естествознания. 2012. № 6. С. 145-146.
Дата поступления статьи в редакцию 21.08.2020, принята к публикации 28.09.2020.
Информация об авторе: ПОПОВ ИГОРЬ ПАВЛОВИЧ,
кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Технические системы в агробизнесе»
Адрес: ГБОУ ВО «Курганская государственная сельскохозяйственная академия им. Т. С. Мальцева», 641300,
Россия, Курганская обл., Кетовский р-н, с. Лесниково
E-mail: ip.popow@yandex.ru
Spin-код: 8354-0648
Автор прочитал и одобрили окончательный вариант рукописи.
REFERENCES
1. Dubrovin A. S., Khabibulina S. Yu. Printsip iyerarkhichnosti v informatike i printsipy fizicheskoy otnosi-tel'nosti Galileya, Puankare, Logunova [The principle of hierarchy in computer science and the principles of physical relativity Galileo, Poincare, Logunova], Mezhdunarodnyy zhurnal eksperimental'nogo obrazovaniya [International Journal of Experimental Education], 2014, No. 5-2, pp. 137-139.
2. Ostapenko V. V. Zakony sokhraneniya teorii melkoy vody i printsip otnositel'nosti Galileya [Conservation laws of the theory of shallow water and Galileo's principle of relativity], Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki [Siberian Journal of Industrial Mathematics], 2014, Vol. 17, No. 1 (57), pp. 99-113.
3. Yefimov D. B., Kostyakov I. V., Kuratov V. V. O tochnykh predstavleniyakh gruppy dvizheniy galileyevoy ploskosti [On exact representations of the group of motions of the Galilean plane], Vestnik Syktyvkarskogo universi-teta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika. Informatika [Bulletin of the Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics], 2009, No. 10, pp. 43-56.
4. Chilin V. I., Muminov K. K. Klassifikatsiya putey v geometrii Galileya [Classification of paths in the geometry of Galileo], Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki [Tavrichesky Bulletin of Informatics and Mathematics], 2017, No. 1 (34), pp. 95-111.
5. Yashkin S. N. K voprosu klassifikatsii vrashcheniy i svyazi mgnovennykh povorotov i nepreryvnykh vrash-cheniy [On the issue of the classification of rotations and the connection of instantaneous rotations and continuous rotations], Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Geodeziya i aerofotos"yemka [Izvestia of higher educational institutions. Geodesy and aerial photography], 2003, No. 4, pp. 3-15.
6. Vasil'yev S. I., Syrkin V. A. Obosnovaniye chastoty vrashcheniya rotora radial'noy elektrifitsirovannoy me-dogonki s gorizontal'noy os'yu vrashcheniya [Justification of the rotor speed of a radial electrified honey extractor with a horizontal axis of rotation], Izvestiya Samarskoy gosudarstvennoy sel'skokhozyaystvennoy akademii [Bulletin of the Samara State Agricultural Academy], 2016, No. 4, pp. 51-54.
7. Senitskiy Yu. E., Senitskiy A. Yu. K probleme razlozheniya po sobstvennym vektor-funktsiyam v nes-tatsionarnykh nachal'no-krayevykh zadachakh dinamiki obolochek vrashcheniya [On the problem of expansion in terms of eigenvector functions in nonstationary initial-boundary value problems of the dynamics of shells of revolution], Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of the Samara State Technical University. Series: Physics and Mathematics], 2004, No. 30, pp. 83-91.
8. Privalov V. A., Privalova O. G. Ustoychivost' vrashcheniya vertushki v potoke sredy [Stability of rotation of a turntable in a medium flow], Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and applied mathematics], 2005, Vol. 11, No. 7, pp. 73-95.
9. Solov'ev S. A., Konstantinov M. M., Komarova N. K., Drozdov S. N., Trofimov I. V., Egorov O. N. Teoret-icheskoe obosnovanie dvizheniya centra mass pochvoobrabatyvayushchego orudiya s vibrovozbuditelem [Theoretical justification of the movement of the center of mass of a tillage tool with a vibration exciter], Dostizheniya nauki i tekhniki APK [Achievements of science and technology in agriculture], 2018, Vol. 32, No. 7, pp. 70-75.
10. Kapustin V. P., Kunakov S. A. Vybor parametrov motovila zhatki [Choice of parameters of the reel of the header], Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of the Tambov State Technical University], 2006, No. 1, pp. 162-169.
11. Myakin V. N. Analiz raboty motovila i rezhushchego apparata zhatki [Analysis of the work of the reel and the cutter bar of the header], Izvestiya Orenburgskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta [Izvestia of the Orenburg State Agrarian University], 2010, No. 1 (25), pp. 69-71.
12. Toropov O. Yu. Povysheniye effektivnosti motovila zhatki kombayna pri uborke zernovykh [Improving the efficiency of the reel of the harvester header when harvesting grain], Nauchno-obrazovatel'nyy potentsial molodezhi v reshenii aktual'nykh problem XXI veka [Scientific and educational potential of youth in solving urgent problems of the XXIcentury], 2017, No. 9, pp. 211-212.
13. Pavlov Yu. N., Nedashkovskiy V. M., Tikhomirova Ye. A. Identifikatsiya nelineynykh dinamicheskikh sis-tem s zadannymi tipami nelineynosti po godografam [Identification of nonlinear dynamical systems with given types of nonlinearity by hodographs], Nauka i obrazovaniye: nauchnoye izdaniye MGTU im. N. E. Baumana [Science and Education: scientific publication MSTU im. N. E. Bauman], 2014, No. 10, pp. 308-327.
14. Neshchadim M. V. Differentsial'nyye sootnosheniya v obratnoy zadache opredeleniya metriki po godografu [Differential relations in the inverse problem of determining the metric by the hodograph], Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences], 2009, No. 3, pp. 318-320.
15. Gurman V. I., Sachkov Yu. L. Predstavleniye i realizatsiya obobshchennykh resheniy upravlyayemykh sistem s neogranichennym godografom [Representation and implementation of generalized solutions of controlled systems with unlimited travel time], Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 2008, No. 4, pp. 72-80.
16. Sharmanov B. F. Godograf planet Solnechnoy sistemy [Hodograph of the planets of the solar system], Otechestvennaya geologiya [Russian Geology], 2003, No. 1, pp. 77-80.
17. Yakovlev N. S., Ivanov N. M., Nazarov N. N., Markin V. V. Rabochie organy posevnyh mashin dlya vozdelyvaniya zernovyh kul'tur [Working bodies of sowing machines for cultivation of grain crops], Dostizheniya nauki i tekhniki APK [Achievements of science and technology in agriculture], 2019, Vol. 33, No. 10, pp. 76-80.
18. Plekhanov F. I., Molchanov S. M. Voprosy proyektirovaniya vysokonagruzhennoy planetarnoy peredachi s rolikovym mekhanizmom snyatiya dvizheniya [Design issues of a highly loaded planetary gear with a roller mechanism for removing the movement], Intellektual'nyye sistemy v proizvodstve [Intelligent systems in production], 2012, No. 2 (20), pp. 045-047.
19. Blinov D. S., Morozov M. I. Perspektivnyye konstruktsii planetarnykh rolikovintovykh mekhanizmov [Prospective designs of planetary roller screw mechanisms], Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroy-eniye [News of higher educational institutions. Mechanical engineering], 2013, No. 3, pp. 62-72.
20. Andreyeva Ya. A., Zhukov I. A. Komp'yuternaya model' samoustanavlivayushchegosya planetarnogo mekhanizma [A computer model of a self-aligning planetary mechanism], Uspekhi sovremennogo yestestvoznaniya [Advances in modern natural science], 2012, No. 6, pp. 145-146.
The article was submitted 21.08.2020, accept for publication 28.09.2020.
Information about the author: POPOV IGOR PAVLOVICH,
Ph. D. (Engineering), Senior Lecturer of the Department «Technical Systems in Agribusiness»
Address: Kurgan State Agricultural Academy named after T. S. Maltseva, 641300, Russia, Kurgan region.,
Ketovsky district, s. Lesnikovo
E-mail: ip.popow@yandex.ru
Spin-code: 8354-0648
Аuthor have read and approved the final manuscript.
