CC BY
14
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 4.
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-5-47
Суммы Гаусса и приложение их к доказательству закона взаимности квадратичных вычетов
И. М. Виноградов
Виноградов Иван Матвеевич — доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии наук СССР.
Аннотация
Впервые публикуется текст дипломной работы И. М. Виноградова, выполненной им под руководством Я. В. Успенского на математическом отделении физико-математического факультета Петербургского университета в 1914 г.
Ключевые слова: суммы Гаусса, символ Лежандра, квадратичные вычеты и невычеты, закон взаимности
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
И. М. Виноградов. Суммы Гаусса и приложение их к доказательству закона взаимности квадратичных вычетов // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 5-47.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 4.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-4-5-47
Gaussian sums and their application to the proof of quadratic reciprocity law
I. M. Vinogradov
Vinogradov Ivan Matveevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the USSR Academy of Sciences.
Abstract
This is the first publication of I. M. Vinogravos's senior thesis written under the scientific guidance of Ya. V. Uspensky at the mathematical department of the Faculty of physics and mathematics of Petersbourg's University in 1914.
Keywords: Gaussian sums, Legendre symbol, quadratic residues and non-residues, quadratic reciprocity law
Bibliography: 18 titles. For citation:
I. M. Vinogradov, 2021, "Gaussian sums and their application to the proof of quadratic reciprocity law", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 5-47.
1. Введение
Настоящий том "Чебышевского сборника" посвящен 130-й годовщине со дня рождения академика И.М. Виноградова и открывается его студенческим сочинением "Суммы Гаусса и приложение их к доказательству закона взаимности квадратичных вычетов", написанным в 1914 г.
История появления этой работы в общих чертах известна. Вероятно, в конце 1912 или начале 1913 г. молодой приват-доцент Петербургского университета Яков Викторович Успенский1 (1883-1947), уже зарекомендовавший себя как выдающийся специалист по теории чисел, поставил перед студентом физико-математического факультета Иваном Виноградовым задачу "дать простое изложение одного из доказательств квадратичного закона взаимности Гаусса" (см. [3, с. 5], [4, с. 5]). Размышления над ней, глубокое изучение работ классиков привели Ивана Матвеевича к новой оригинальной задаче, связанной с оценками суммы символов Лежандра и распределением квадратичных вычетов по заданному модулю, которую он блестяще решил. Именно с упоминания о ней и принято начинать рассказ о научном творчестве И.М. Виноградова (см., например: [3, с. 5-7], [4, с. 4-6], [5, с. 321], [6, с. 7-8]). Работа же о суммах Гаусса остается в тени.
Отчасти это оправдано. Оценивая ее формально, можно сказать, что эта работа не представляет самостоятельной научной ценности, столь характерной для всех последующих математических публикаций И.М. Виноградова, так как является лишь изложением результатов других математиков (К.Ф. Гаусса, П.Г.Л. Дирихле и О. Коши), хотя и не лишенным самобытности. Возникает естественный вопрос: нуждается ли вообще в публикации эта "зеленая" студенческая работа, не предназначавшаяся, кстати, самим автором к печати?
После долгих размышлений и колебаний мы все же пришли к положительному ответу на этот вопрос. По нашему мнению, такая публикация представляет, прежде всего, значительный историко-математический интерес для исследователей научного творчества И.М. Виноградова и для будущих биографов ученого. Действительно, внимательное изучение рукописи этой работы наряду с ранними печатными публикациями позволяет хотя бы отчасти реконструировать круг чтения молодого Ивана Матвеевича, а также понять, труды каких ученых сформировали его математические "вкусы", заметнее всего повлияли на его математические интересы и в итоге привели к выбору теории чисел как будущей специальности.2
В этой студенческой работе мы уже можем разглядеть характерные черты научно-педагогического таланта И.М. Виноградова, хотя еще и не вполне устоявшиеся: ясность изложения, отбор и расположение излагаемого материала и даже умелый выбор обозначений. Удивительно, но некоторые обозначения, использованные в рукописи, "доживут" до последнего, девятого по счету, прижизненного издания его всемирно известного учебника "Основы теории чисел" (1981 г.).
Кроме того, публикация работы о суммах Гаусса устраняет и неопределенность, связанную с найденной И.М. Виноградовым и упоминавшейся выше оценкой суммы символов Лежандра
М+М ( п \
в = Б(р; М, N) = ^ ( — I, р — простое чиело.
га=М+1 ^ ^ '
1В сентябре 1912 г. Я.В. Успенский был приглашен читать лекции в Петербургском университете, где стал преподавать теорию чисел, исчисление конечных разностей и вести упражнения по приложениям интегрального исчисления к геометрии [1, с. 115]. С 1914 г. официально руководил студенческим кружком по математике, в котором принимали участие не только студенты, но и окончившие университет специалисты. Многие участники этого кружка впоследствии стали известными учеными: A.A. Фридман, Я.Д. Тамаркин, Н.С. Кошляков и др. [2]
11с лишним будет напомнить, что "при обучении в университете Иван Матвеевич с большим интересом занимался теорией вероятностей, которую им читал A.A. Марков" и "знал курс Маркова наизусть" (см. [4, с. 5]).
И.М. Виноградов. Фотомастерская М.С. Мельника (г. Великие Луки), 10 июня 1910 г. Пометы: «Иван Матвеевич Виноградов»; «Подпись сына Священника Ивана Виноградова (2 слова неразб.). Пристав (подпись)». Штамп: «2й УЧ[АСТОК] (неразб.) Т1АСТИ». Круглая печать (неразб.). Личное дело студента С.-Петербургского Императорского Университета ILM. Виноградова.
ЦГИА СПб, ф. 14. он. 3, д. 57325. л. 2.
После прочтения соответствующих абзацев из очерков A.A. Карацубы [4, с. 3-5], [6, с. 7-8], может сложиться впечатление, что именно оценка вида
найденная Иваном Матвеевичем и принесшая ему широкую известность, и составила предмет его диплома. Между тем, оценка (1) была доказана чуть позже написания статьи о суммах Гаусса, в том же 1914 или в начале 1915 г.*5
Наконец, такая публикация представляет интерес для исследователей педагогического таланта научного руководителя И.М. Виноградова Я.В. Успенского. Ведь именно он столь промыслительно указал начинающему математику тему для исследований. Именно из этой студенческой работы как из семечка выросло в конечном итоге могучее древо метода тригонометрических сумм, в корне изменивших) облик аналитической теории чисел.
Перейдем к содержательной части работы. Для этого напомним некоторые определения. Пусть р - нечетное простое число. Число п, не кратное р, называется квадратичным вычетом по модулю р, если оно сравнимо по модулю р с квадратом некоторого целого числа, и называется квадратичным невычетом в противном случае. Символ Лежандра определяется,
лВолее точная датировка едва ли возможна. В [5], [6] доказательство И.М. Виноградовым неравенства (1) датируется 1915 г., в [3] - 1914 г. В силу ряда обстоятельств оценка (1) была опубликована лишь в 1918 г. па французском языке в "Журнале физико-математического общества при Пермском университете" (см. [7]).
|S| < v^ lnр,
(1)
соответственно, соотношением
1, если п — квадратичный вычет по модулю р, — 1, если п — квадратичный невычет по модулю р, 0, если п кратно р.
Я. В. Успенский. Фотоснимок с официального сайта Российской Академии наук.
Квадратичный закон взаимности формулируется следующим образом: если р и q - различные нечетные простые числа, то
(?)(*) = (-1)•" <2>
Эта теорема была известна еще Л. Эйлеру и частично доказана A.M. Лежандром; полное доказательство (2) было найдено К.Ф. Гауссом в 1795 г. (см. [8, с.179, примечания к гл. V]). Позже Гаусс дал несколько различных доказательств закона взаимности. Одно из них, четвертое но счету, и стало объектом исследования И.М. Виноградова.
Это доказательство опирается на квадратичные суммы Гаусса, т.е. тригонометрические суммы вида
п—1 „ п—1
hs2
п ___
П П
s=0 s=0 v
п л sr^ leihst sr^ ( 2nhs2 . . 2whs2 <p(h, n) = > e n = > I cos- + г sin
(здесь к - целое число, взаимно простое с п). Несложно убедиться, что при нечетном простом п = р имеет место равенство
^,р)=(к (з)
Гауссом было найдено точное значение суммы ^>(1, п) для произвольного п:
1 + ?-га
Ф,п) = -+^~ (4)
1 — I
)
И.М. Виноградов - выпускник университета.
Фотомастерская М.Д. Стуколкина (Санкт-Петербург), 1914 г.
Фотоснимок из фондов Дома-музея И.М. Виноградова в г. Великие Луки4.
Равенства (3), (4) наряду с легко проверяемым соотношением
<ß(h,mn) = <ß(hm,n)<ß(hn,m), (т,п) = 1, (5)
позволяют вывести равенство (2). Таким образом, доказательство квадратичного закона сводится, по сути, к нахождению явной формулы для суммы ^>(1; п). Способ, указанный для этого самим К.Ф. Гауссом, был вполне элементарным и требовал одних лишь алгебраических преобразований. Впоследствии для вычисления ^>(1; п) были предложены иные средства: аппарат рядов Фурье (П.Г.Л. Дирихле, 1835; М. Шаар, 1848-1850; Л. Кронекер, 1856), формула Абеля-Плана (А. Геноччи, 1852), тета-ряды (О. Коши, 1840), контурное интегрирование (Л. Кронекер, 1880) и др.°
И.М. Виноградовым были основательно изучены три метода вычисления квадратичной суммы Гаусса, принадлежащие, соответственно, самому Гауссу, Дирихле и Коши. Их подробное изложение и составляет содержание работы. Первый способ нахождения ^>(1; п) был опубликован Гауссом в 1811 г. в статье [11] под названием "Суммирование некоторых рядов определенного вида"6. Метод Гаусса основан на изучении свойств функций
л (1 - х™)(1 - хт-1)... (1 - хт-^+1) (m,ß) = (1 - х)(1 - х2)... (1 - х") ,
которые именуются теперь много членами Гаусса, и, в частности, на вычислении их значений в точках х = е 2жЛ/п.
^Публикуется с любезного разрешения директора Дома-музея И.М. Виноградова в г. Великие Луки Т.Г. Воб-кипой.
"История исследований сумм Гаусса и их обобщений достаточно подробно изложена в статье [9], а также в примечаниях к первой главе книги [10].
''Интересно отметить, что перевод этой статьи па русский язык появился лишь в 1959 г. в составе "Трудов по теории чисел" К.Ф. Гаусса [12], изданных под общей редакцией академика И.М. Виноградова.
Второй метод был предложен в 1835 г. Дирихле в работе "Об одном новом приложении определенного интеграла к суммированию конечных и бесконечных рядов" [13]. Он основан на соотношении
М ' г2жМ
f (2жп) = ^ / f (х) С08 (пх)йх, (6)
п=0 п=-ж"' 0
называемом теперь формулой суммирования Пуассона (штрих означает, что слагаемые с п = 0 N входят в сумму с коэффициентом 0.5). Применение (6) к случаю N = 2т, ( х2 \
/(х) = со8 ( - + £ I (5 — произвольное вещественное число) приводит к явным формулам
\8кт )
для сумм
2^2 2^2
> С08 —-, у 81П —-,
' 4т 4т
,в=0 ,в=0
и, следовательно, для суммы <^>(1,п) в случае п = 4т = 0 (mod 4) Значения ф(1,п) для оставшихся п могут быть легко найдены из полученного результата и тождества (5).
Наконец, третий метод вычисления ^>(1,п), опубликованный О. Коши в статье "Новый простой метод вычисления знакопеременных сумм, образованных при помощи примитивных корней двучленных уравнений" [14], основан на тождестве
2 + е-"2 + е-4"2 + е-9"2 + = V&{ 2 + e-fc2 + e-4fc2 + e-9fc2 + (7)
которое справедливо для любых комплексных чисел а, Ь с положительными вещественными частями, связанных равенством аЬ = ■к. Искомый результат получается из (7), если положить а2 = -2жг/п + е, е > 0, и устремить затем е к нулю.
Все три упомянутые работы вошли в собрания трудов Гаусса [15], Дирихле [16] и Коши [17] и в таком виде могли быть доступны Ивану Матвеевичу. Работа с ними оказала решающее воздействие на научное творчество И.М. Виноградова и позволила ему со временем осознать и блестяще раскрыть потенциал нового инструмента в аналитической теории чисел - метода тригонометрических сумм.
Текст работы публикуется по ксерокопии с рукописи, хранящейся в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова (шифр К 26471). Местонахождение оригинала неизвестно. Рукопись содержит 38 непронумерованных листов, написанных чернилами. На титульном листе указаны фамилия автора и название работы7. В нижней части листа почерком, отличным от почерка автора (предположительно, шариковой ручкой), проставлена дата создания рукописи: "1914". В левом верхнем углу помещен библиотечный шифр, в центре - штамп Математического института. Как отмечено в [3, с. 9], в верхней части титульного листа оригинала рукописи присутствовала помета Я.В. Успенского: "Представленную работу считать весьма удовлетворительной". К сожалению, плохое качество ксерокопии и способ нанесения (простой карандаш) делает эту и иные многочисленные пометы Я.В. Успенского на листах рукописи практически нечитаемыми.
7Фотоснимок титульного листа приведен в [3, с. 9].
Фрагмент рукописи И.М. Виноградова
Текст рукописи разбит Я.В. Успенским на 17 частей: введение и 16 параграфов; им же даны названия некоторым из них (эти названия мы, однако, сочли возможным опустить в тексте публикации): "§1. Доказательство ... служащих для определения <ß(1,n)n, "§7. Некоторые ...", "§14. Доказательство Коши формул ...", "§16. Формулы ..." (многоточие обозначает либо слова, не поддающиеся прочтению, либо вовсе отсутствующие в рукописи). Знаки §§2, 4, 8, 12 и 15 в рукописи не читаются и проставлены публикатором.
Тест работы публикуется в современной орфографии и пунктуации; сокращенно написанные слова воспроизводятся полностью, восстановленные части слов заключаются в квадратные скобки. Описки в формулах (лишние символы, пропуски, замена одного символа другим и т.п.) в тексте устранены, но отмечены в подстрочных примечаниях. Математическая символика автора в целом сохранена. Так, вместо знака lim оставлены использованные И.М. Виноградовым обозначения пред., предел (скорректированные с учетом современной орфографии).
т=<х т=<х
В ряде случаев, во избежание путаницы, отсутствующие скобки добавлены, квадратные заменены круглыми. Эти исправления виду их незначительности никак не оговариваются.
Текст работы подготовлен к публикации М.А. Королевым.
2. Текст работы
Прежде чем приступить к настоящему исследованию, напомним некоторые предложения из теории двучленного уравнения хп = 1.
Пусть п - любое целое положительное число, и пусть = 1,к2,кз,... ,к^(п) - числа,
меньшие п и с ним взаимно простые. Обозначим ечрез д.
Тогда числа 1, д, д2,..., дп-1 представят все решения уравнения хп = 1, и числа д, д^2, 1р(п) _ все различные первообразные корни этого ур авнения. Пусть к — любое из чисел Н\, К2,..., и положим дн = г. Тогда все решения уравнения хп = 1 и все различные его
первообразные корни соответственно так представятся: 1, г, г2,..., гп-1 и: г, гН2, гНз,..., . Сумму
^(к,п) = 1 + г + г4 +-----+ г(п-1)2,
полное определение которой дал впервые Гаусс, назовем суммою Гаусса.
Исследования наши будут расположены в следующем порядке: сначала мы покажем, как определить величину ^(к, п) для случая к = 1; далее мы покажем, как определяется (р(к,п) при любом к = к\,к2,кз,... При этом, если вести исследование 2-мя путями, то для
суммы ^(к, п) можно получить 2 выражения, отличных формально одно от другого. Из сравнения этих выражений и получается закон взаимности квадратичных вычетов.
§1
Первым рассмотрим метод, которым пользовался Гаусс для определения суммы (р(к,п). Пусть т - целое число, удовлетворяющее условию т ^ 0. Положим тогда
(1 - хт)(1 - хт-1) ... (1 - хт .
^ = (г -т- ЛЛ -*■) (8)
причем случаев, когда х - корень какого-нибудь из уравнений: хк = 1, где к = 1, 2, 3,..., мы не рассматриваем, за исключением только одного случая, когда х - первообразный корень уравнения хт+1 = 1. Этот именно случай нам и понадобится впоследствии. При таких условиях функция (т, для у = 1, 2, 3,... ,т вполне определяется формулой (8). Для значений же ^превышающих т, функция (т, у) = 0, если не имеет места вышеупомянутый исключительный случай, и обращается в неопределенность вида Ц в этом случае. Однако для
сокращения дальнейших рассуждений будем полагать (т, = 0 при у > 0 и в случае когда х .......... первообразный корень уравнения хт+1 = 1. По тем же соображениям будем полагать всегда
(т, 0) = 1 и (т, ц.) = 0, если ц. < 0. Тогда для любого значения ц, = ■ ■ ■ , -2, -1, 0, +1, +2, ■ ■ ■ легко доказываются следующие 2 равенства:
(т,ц) = (т - 1,ц) + хт-^(т - 1- 1) (9)
и
(т,ц) = (т,т - ц). (10)
Рассмотрим ряд
/ (х,т) = £(-1Г(т,р), (11)
где суммирование распространяется па все целые значения у. Применяя сюда формулу (9), находим:
/(х,т) = ^(-1)^(т - 1,») + ^(-1)^хт-^(т - 1- 1).
Заметим, далее, что во всех суммах вида у), где суммирование распространяется
по у на все целые числа, очевидно, можно всегда вместо у подставить + к, где к - любое целое число, и считать, что суммирование опять распространено на все целые значения у.
На этом основании находим:
}(х,т) = - 1,^) + ^(-1)^+1хт—^—1(т - =
= ^(-1Г(1 - хт—»—1)(т - 1,»). Далее, легко видеть, что (1 - хт—^—1)(т - 1, ц.) = (1 - хт-1)(т - 2, ц.) и следовательно]: /(х, т) = ^(-1)м(1 - хт-1)(т - 2, ц.) = (1 - хт—1) ^(-1)^(ш - 2,
то есть:
/(х,т) = (1 - хт-1)!(х,т - 2). Положим теперь, что т - четное число. Находим последовательно:
f (х, 0) = (-1)0(0, 0) = 1
[и] далее
f (х, 2) = (1 - х)/(х, 0) /(х, 4) = (1 - х3)/(х, 2)
/(х,т) = (1 - хт—1)/(х,т - 2). Перемножая все эти равенства, находим:
/ (х, т) = ^(-1)^(ш, = (1 - ж)(1 - х3)(1 - х5)... (1 - хт—1). (12)
§3
Рассмотрим еще такой ряд:
Ем
х 2 (т,у), (13)
где суммирование опять распространяется на все целые значения у. Равенство это на основании формулы (10) так можно переписать:
Р(х,т) = ^ х 2 (т,т - ц) Заменив в этой сумме у на - у + т и переписав ее в обратном порядке, имеем
_ т—^
Р(х,т) = ^ х 2 (т,у),
или еще, заменяя у на у - 1:
_т±1_М
Р(х,т) = ^ х 2 2 (т,ц, - 1),
откуда
" Щ1 , , т+1—л , \
х 2 Р(х,т) = У х 2 (т,№ -1). (14)
Складывая равенства (13) и (14), найдем:
т+1
Р (х,т)(1 + ж 2 ж 2 [(т,»)+ хт+1—^(т,ц. - 1).
Откуда, принимая во внимание формулу (9), находим окончательно:
т+1 _ м
Р(х,т){1 + х 2 ) = ^х2 (т + 1,ц) = Р(х,т + 1).
Р(х, 0) = 1;
Но
далее,
1
Р(х, 1) = (1 + х2) ^(х, 0) ^(х, 2) = (1 + х)Р(х, 1)
Р(х,т) = (1 + х 2 )Р(х,т - 1). Перемножая эти равенства, найдем:
1 т
Р (х,т) = (1+ х 2) (1+ х)... (1+ х 2 ). (15)
Пусть теперь п - целое нечетное число. Заменим в формуле (12) т, па п - 1 ж х - первообразным корнем уравнения хп = 1. Найдем тогда:
^(-1У(п - 1,ц) = (1 - г)(1 - г3) ■■■ (1 - гп~2), причем знак Т достаточно распространить на значения ^ = 0,1, 2,... ,п - 1. Но
(1 - гп-1)(1 - гп-2) ... (1 - гп-^)
(-1)"(п - 1,») = (-1У
(1 - г)(1 - г2)... (1 - г») I- г-1)(1 - г-2) ...\
~(Г—rI)(Г—r2)777(l - г
= {-1Г (1 - г-1Ш - г-2) ... (1 - г-П = г-1-2-...-„ = г- ^
и следовательно] получаем:
п-1 ^+1)
^г 2 = (1 - г)(1 - г3) ■■■ (1 - гп-2). ^=0
г
нения хп = 1. Легко видеть, что г-2 будет также первообразным корнем уравнения хп = 1, т[ак] как -2 - число, взаимно простое с п. Заменив в последнем равенстве г на г-2, находим:
п-1
= (1 _ г-2)(1 _ г-6)(1 _ г-10)...(1 _ г-2(п-
^=0
= (1 - г-2)(1 - г-6)(1 - г-10) ■■■ (1 - г-2(п-2)). (16)
4(п-1)2 3 5 - 2
Умножив обе части этого равенства на г 4 = г ■ г3 ■ г5 ■ ■ ■ гп 2, найдем в левой части:
п— 1
Е г
^=0
га— 1
2^—л2 = £ ^—л2 + £ ^—2
^—0 ^—0 = га+1
М— о
га— 1 га— 1
+_га— 1 га+1 ^0
1— 2 1— 2
Равенство (16) теперь так переписывается:
<р(к, п) = (г - г—1)(г3 - г—3)(г5 - г-5) ■ ■ ■ (гга~2 - г—(га~2)). (17)
Имеем далее:
г - Г-1 = -(гга~1 - г—(га~1)) г3 - г—3 = -(гга~3 - г—(га~3))
гга-2 - г-(га-2) = -(г2 - г—2)
и следовательно]:
га— 1
^р(Н,п) = (—1) 2 (г2 - г—2) (г4 - г—4) ...(гга—1 - г—(га—1)). (18)
Перемножая (17) и (18), найдем:
га—1
У(к,п)]2 = (-1) 2 {г - г—1) (г2 - г—2) ...(гга—1 - г—(га—1))
или:
га—1
[<р(И,п)]2 = (-1) 2 г1+2+3+"+га—1 (1 - г—2) ••• (1 - г—2(га—1)) =
га1
= (-1) 2 (1 - г—2)(1 - г—4) ••• (1 - Г—2(га—1)).
Но г—2,г—4,..., г—2(га— очевидно, представляют все корни такого уравнения: хх ^ = 0, и следовательно]:
„га _ 1
Х = хга—1 + хга—2 + ■ ■ ■ + X + 1 = (х - г—2) ■ ■ ■ (х - Г—2(га—1))
х - 1
при х = 1 находим отсюда:
п = (1 - г—2)... (1 - г—2(га—1))
га— 1
и след[овательно], окончательно: \}р(к, п)]2 = (-1) 2 п. ТО] есть если п формы 4у + 1, то ф(Ь,, п) = ±л/п; если же п формы 4^ + 3, то: ^(Н, п) =
Знак, который нужно брать в 2-х последних формулах, мы определим следующим образом: пока лишь для случая, когда Н = 1, т0]есть для случая г = д. Имеем тогда
» 2 к Зл _2 . 2ж ■ 8
д3 - д 3 = е2 газг - е 2 газг = % ■ 2 вт-,
п
и формула (17) дает нам:
га-1 га-1 2к 2п 2п
<р(1,п) = 2 2 г 2 8т— ■ вт3— ■■■ 8ш (п - 2) —.
п п п
Если притом п формы 4ц + 1, то числа
п + 1 2к (п + 1 л 2к . .2ж
2 п \ 2 ) п п
п— 1
будут больше ж, соответственно чему — синусов будут отрицательны. К роме того, %
п— 1 (-1) 4
п—1 п—1
(-1)4 ■ (-1)4 =1,
т[о] есть будет «+». Если же п формы 4ц + 3, то числа
+ л ■ —
^ ■ Г^+^ + О ■ -, ..., (п - 2) ■ ™
2 п ' 42 ) п' У ' п
будут больше ж, соответственно чему п -3 синусов будут отрицательны, и, кроме того,
п—1 п—3
г 2 = (-1) 4 %■ Следовательно], в этом случае все произведение равно положительному
п— 3 п— 3
числу, умноженному на г ■ (-1) 4 ■ (-1) 4 , т[о] есть на г. Итак, окончательно:
{(р(1,п) = + у/п, если п формы 4ц, + 1
(19)
и ^(1,п) = + гу/п, если п формы 4ц + 3.
Пусть п - четное чиело = 2^д 4). В таком случае сумму (р(к,п) так разложим:
п_ 1
2 п-1
<р(к,п) = ^ г+ ^ г2.
Во второй из полученных сумм переменную суммирования заменим по формуле £ = ^1> тогда она примет вид
2-1
Е^ +т 1+ г 4 .
1 =0
Но легко видеть, что ^—+ = т|(мод п), и, следовательно, окончательно вторая сумма принимает вид:
2 1 2 1
_^ П +£2 _^ 2
^ ^ г 2 1 ^ ^ г , ¿1=0 ¿1=0
п ,2
г2 = -1
р(к,п) = г*2 - г*2 = 0. (20)
п _1 ^_1
2 1 2 1
2
=0 =0
Рассмотрим, наконец, случай п = 0(мод 4). В формуле (15) пол ожим т = -1 и % 2 = - г
п
(нетрудно убедиться в том, что х = г—2 - первообразный корень уравнения х 2 =1). После такого преобразования формула (15) примет вид:
— га+1
^2(-1Уг—11(т,^) = (1 - г—1 )(1 + г—2)(1 - г—3) ■■■ (1 - г 2 ), (2.8')
причем знак ^ достаточно распространить па значения ^ = 0,1, 2,...,У^ - 1- будет
равно теперь такому выражению:
(1 - г—га+2)(1 - г—га+4) ■ ■ ■ (1 - г—га+2^)
(1 - Г—2)(1 - Г—4) ■■■ (1 - Г—2^) =
(1 - Г2 )(1 - Г4)(1 - Г6) ■■■ (1 - Г2^)
2
(1 - г—2)(1 - г—4)(1 - г—6) ■■■ (1 - г—2^)
= (- 1)^г2{11+2+3+-----Ы = (-1)Мгм(м+1).
следовательно], сумма, стоящая в левой части равенства (2.8'), преобразуется в:
п_ 1 п_ 1
2 1 2 1
^ (- 1)МГ—М ■ (- 1)^г^(Р+1) = ^ ^—0 0
С другой стороны, находим:
га—1
га 1 2 га 1
<р(н,п) = ^г* = Ег* + Ег*.
г—0 г—0 га
2
Вторую из полученных сумм подстановкой £ = +11 приведем к следующей:
1
п
2 2 г ^ 1+ ? .
Е
¿1—0
га
2 1 2
Замечая, что + = 0(мод п), найдем для второй суммы такое выражение: ^^ г, и
1—0
га -1
га-1 2 1
след[овательно]: ^(к,п) = 2 ^ г
—0
8'
— га+1л
<р(к,п) = 2(1 - г—1)(1 + г—2)(1 - г—3) ■■■ (1 - г 2 ); (2.8'')
далее находим:
га 2 га +2
1 + г—2 = - г 2 (1 - г 2 )
4 _ га +4
4 - - IV 2 ( 1 _ гр 2 ^
1 + г—4 = - г 2 (1 -
1+ г 2+2 = - г 2 (1 - г 2),
и следовательно]
<p(h,n) = 2(-1) п lr2(l+2+'"+( 4 0) (1 - „,- - ••• (1 - „ 2
- п+1
(1 - г -1)(1 - г-2) ••• (1 - г 2+ )
п_ 1 п п
= 2(-1)4 г16 4 (1 - г-1)(1 - г-2)
- - + 1 (1 - г 2+ ); (21)
далее находим:
1 - г 1 = - г 1 (1 - г 1 - г-2 = - г-2 (1 -
- п+1
- п+1 1 + г 2 +
- п+1
- ^ 1ч
— г
(1 - г 2 )
Принимая во внимание эти равенства, формулу (21) так перепишем:
3 п _ п_ 1 _ п_2
<p(h,n) = 2(-1)4 г 16 (1 - г 2 )(1 - г 2
)••• (1 - г-п+1)
(22)
Перемножая равенства (21), (22) и 2 = (1 - г 2), имеем:
п-1+3 п -
2 [<p(h,n)]2 = 4(-1)4 4 г 4 (1 - г-1)(1 - г-2) ••• (1 - г-п+1)
или:
Заметим, что:
[ф,п)]2 = 2г 4 (1 - г-1)(1 - г-2) ••• (1 - г-п+1).
г8 = cos
/2^h п \ /2^h п
-— + г sin -• —
V п 8 J V п 8
nh
nh 1 ± г
— = cos —-—+ г sin —— = ±
4
4
V2
причем в числителе берется знак «+» или «-» смотря по тому, будет ли к формы 4ц + 1, или формы 4ц + 3. Кроме того,
(1 - г-1)(1 - г-'2) ••• (1 - г-п+1) = п
поэтому окончательно находим
if(h,n) = ±(1 ± %)\/п.
(23)
Остается определить знак, стоящий пред выражением (1 ± г)л/п. Это мы сделаем пока лишь для случая h = 1. Полагая R = cos ^ + г sin ^ и замечая что Кп = -1, мы формулу (2.8") так преобразуем для случая h = 1:
ф, п) = 2(1 + Кп-2)(1 + R-4)(1 + Кп-6) ••• (1 + К-п+4)(1 + R2)
или
v(h, п) = 2(1 + R2)(1 + R-4)(1 + R6) ••• (1 + R-1l+4)(1 + R11-2)
далее находим:
ж
1 + R2 = R(R-1 + R1) = 2R cos-
n
2-w
1 + R-4 = 2 ÍT 2 cos — п
1 + R6 = 2R3 cos — п
1 + Rn~2 = 2R 2- 1 cosí - — l) -
V 2 / п
и следовательно]:
п п ^ 2к
<p(h,n) = 2 2 R 4 cos — ■ cos — п п
(п
■ cos--1 —.
V 2 )п
Все косинусы, входящие в это произведение, положительны, и кроме того: R4 = (1 + г) и след[овательпо] (р(1,п) = положительному числу, умноженному на (1 + г); тО] есть:
(24)
(25)
<р(1,п) = (1 + i)Vñ. Собирая формулы (19), (20), (24), имеем окончательно:
^>(1,п) = (1 + i)\/n, если п формы 4^; ^(1,п) = л/ñ, если п формы 4/л + 1; ip(h,n) = 0, если п формы 4/л + 2; ^>(1,n) = iy/ñ, если п формы 4/л + 3.
§7
Метод Гаусса, которым мы получили формулы (25), - метод алгебраический, так как выполняется чисто алгебраическими преобразованиями. Сейчас мы рассмотрим другие доказательства тех же формул, основанные на довольно высоких предложениях математического анализа. Одно из них дано Дирихле, другое Коши. При рассмотрении этих доказательств нам придется пользоваться некоторыми предложениями из теории рядов Фурье. Выводом этих предложений мы и займемся.
Пусть 7 - некоторое положительное число, и пусть функция F(в) - конечная, непрерывная, убывающая в промежутке (0, 7), удовлетворяющая условию: F(в) ^ 0. Положим
í1 sin рв
S = Jo
Подстановкою рв = х найдем:
F(в)(Ш и рассмотрим предел Sp
р=ж
Sp = ^ ^ F(^dx.
х
Пусть теперь Р7 = qn + р, где 0 ^ р < п. Тогда интеграл Sp можно разложить по следующей
схеме:
Sp —
(Г + Г + Г+- + Г + Г+1—f г х w
V Jo Jn J2ж J(д-1)ж Jqж ) х KVJ
n-ый интеграл этого ряда, тО] есть
sin х х -F — )ах,
1(п-1)ж х VV)
подстановкою х = (п — 1)^ + £ преобразуется к интегралу:
(-1)
п 1
sin
lo (п — 1)7Г +е
F
-(п — 1)тг+е
, р
ж
подынтегральная функция которого, очевидно, постоянно ^ 0, и следовательно] п-ый член нашего ряда можно представить в виде: (-1)п-1ип где ип > 0. Можно написать на этом основании:
Бр = и1 и,2 +и3 -и,4 +-----+ (-1)9-1щ + Кд (26)
где положено:
я, = Г+р*™. )dx.
q i \
■J q-ж x P'
(п + 1)-ый же член нашего ряда после преобразования имеет вид:
(-1)" Ги
у , 0 пж + £ V V /
Сравнивая это выражение с выражением для n-го члена и принимая во внимание, что F(в) фуНКцИЯ убывающая, легко найдем, что ип+1 < ип, т[о] есть члены знакопеременного ряда (26) убывают по мере удаления от начала ряда. На основании общей теории знакопеременных рядов можем написать поэтому:
Ul — U2 +U3 —U4 +----- U2k < Sp — Rq < Ui — U2 +-----+ U2k+1
и след[овательно]: Sp — Rq = u1 — u2 + ■ ■ ■ — U2k + £kU2k+b где 0 < £k < 18, то есть
[2кж sinx ^fx \ , r(2k+1)n sinx ^fx \ , rqK+p sinx ^fx \ ,
Sp = -F[ — )dx + ek ¡ -F[ — )dx + -F[-)dx.
Jo x \pj J2k-K x \pj Jqn x \pj
Применяя к последним двум интегралам теорему о среднем значении, преобразовав их предварительно подстановками x = 2кж + £ и x = qn + найдем:
Sp = Г ^)dx + * ^) + (—1)q ~ F(7 — ™)
где 0 < $ < 1 и 0 < < 19. Оставляя к постоянным, будем приближать р, а следовательно] и q к пределу те. Найдем:
т-^t \ f2kW Sinx , Sin $7 .
пред. Sp = F (0) -dx + пред. ek ■ —-- F (0),
р=ж Jo x р=ж 2к + $
причем будет, очевидно, 0 ^ пределу ^ 1 в силу условия: 0 < ek < 1.
p=<x
к
f^ sin x
предел Sp = F (0) -dx. (27)
р=ж Jo x
f^ sin x
Интеграл -dx представляет собою конечное определенное число. Действительно, раз-
o x
лагая этот интеграл по схеме:
Г™ sin x [ж Г2ж Г3ж
dx = + + +■■ ■ ,
0 x Jo Jk J 2ж
8Здесь к - произвольное целое число с условиями 1 ^ к < [q/2]. - Прим.
9Исиравлеио. В рукописи: 0 < $ < ^ и 0 <$i < -к. - Прим.
легко убеждаемся, что ряд, выражающий этот интеграл, знакопеременный; члены его убы-
Г™ X
вают беспредельно по мере удаления от начала ряда. Следовательно, интеграл -йх
]о х
г™ X
сходящийся, т[о] есть -йх = к - постоянному числу, и следовательно]:
.1о х
предел Бр = кР (0). (28)
р=<х
Не определяя пока постоянной к, обобщим формулу (28) на более общие случаи выбора Р(в).
Пусть Р(в) принимает в интервале (0,7) отрицательные значения. В силу конечности функции Р(в) можно найти такое число А, что А + Р(в) в промежутке (0, 7) будет принимать только положительные значения. Но тогда по формуле (28):
/* 7 ю0
предел [А + Р(в)] йв = к [Р(0) + А],
Р=гх Уо в
откуда
Г1
предел / Р(в)йв = кР(0), р=™ 7о
т[о] есть формула (28) справедлива и в этом случае.
Если Р(в) - возрастающая функция в интервале (0,7), то — Р(в) - убывающая функция в том же интервале, и к последней функции можно, следовательно], применить формулу (28). Найдем:
С 7 рв
предел —-—[— Р(в)]йв = к [— Р(0)],
р=™ в
откуда опять получается формула (28). Найдем теперь
Г3 ъшрв пред. —-— Р (0)й0, р=<х У« в
полагая, что Р(в) монотонна в интервале (а, Р). Пусть для определенности Р > а > 010. Всегда можно выбрать в интервале (0,Р) такую монотонную функцию Р\(в), которая бы для значений в в интервале (а, Р) совпадала с функцией Р(в) (на черт[еже] I кривая МИ изображает функцию Р (в) ж С В - графическое изображение функции Р\(в)). Найдем тогда:
Г3 ът рв пред. —-—Р\(в)йв =
р=<Х у« в
= пред. Г ^П^-Р1(6)йв — пред. Г ^^ Р\(&)й0 = кР(0) — кР(0) = 0,
р=<х .'о " р=™ .'о "
пред. / ^^Т" Р(в)й° = 0. (29)
р=<х У« в
Р( ) (0, 7)
р р0
и минимумы ее соответствуют значениям в = Ц\, Цз,..., Цк- Интеграл —у—Р(в) йв
о
р №1 рк р
/ = + + .. + + . •>о о •> Рк-1 •> Рк
"Исправлено. В рукописи: ¡3 > а. - Прим.
Так как в каждом из интервалов (0, Ц\), (jxi, Ц2),... (ц-k, 7) функция F(в) монотонна, то можно применить к первому из этих интегралов формулу (28), а к каждому из остальных формулу (29), после чего придем снова к формуле (28).
F( )
часть F(в) от мнимой, найдем: F(в) = <р(&) + гф(9). Полученные функции <(в) и ф(9) также конечны и непрерывны и к ним, следовательно], можно применить формулу (28). Найдем:
[Р sin рв ,nsin , s sin рв , , ,
пред. —-—<(6)d6 = к<(0) и пред. —-—ф(6)d6 = кф(0).
p=<x Ja " p=<x Ja "
Принимая во внимание эти равенства, найдем:
пред. Г ^F(ff)dO =
р=ж Jo У
г~у sin *pQ f^ sin рв
= пред. —-—<(d)dd + ¿■пред. —-—ф(d)dd = к<(0) + i ■ кф(0) = kF (0). p=<x Jo " p=tx Jo "
Итак, формула (28) справедлива и в этом случае.
r^ sin x
Для определения постоянной к воспользуемся формулою (28). Т[ак] как к = -dx
o x
не зависит ни от вида функции F(в), ни от 7 и р, то для определения его в формуле (28)
7
можно положить F(в) =--, 7 = — и р = 2n + 1. Найдем тогда:
sin ¿f 2
Гi sin(2n + 1)0
пред. ---du = к, ибо F (0) = 1.
п=<х Jo sin в
Применяя сюда известную формулу
cos 26 + cos 4 в + ... + cos2nd = sin(2n +})в — 1, (30)
2 sin в 2' v ;
найдем:
Г% sin(2n + 1)6 lo sin в
d =
1 + 2cos20+ 2 cos40+ 2 cos6 0 + ... + 2 cos 2n в
7
dd = 77 (31)
2
o
ж ж
и следовательно] к = пред. — = —. Формула (28) теперь примет следующий вид:
п=<х 2 2
пред. Г'^П^р(в)(1в = -F(0) (32)
p=rx JQ у 2
Обратимся теперь к разысканию такого предела:
m=rx Jo siU в
причем положим, что m - целое нечетное число. Положим F(в) = ——-f (в), где /(в) - конечная непрерывная функция. F(в) будет также конечной непрерывной функцией для всякого в, лежащего в интервале (0, го), за исключением в = ж, 2ж, 3ж,..., для которых F(в) = го. Если 7 < ж,11 то непосредственно, следовательно], можем применить к F(в) формулу (32). Найдем
пред. Г ^^mf /(в)^в = ж /(0). (33)
Jo sin в 2
f ^ sin
Если 7 = ж, то —:—— /(в)^в представляем в виде суммы интегралов:
Jo sin в
ñ sinm f тв и Г SE^ Кв)М,
J0 sin в J w Jk sin в J v 7
Второй из этих интегралов подстановкою в = ж — в\ преобразуется к следующему:
Í2 sin mв i
, . fí f(— - 0i)dei,
¡O sm&i
и следовательно]
ж
Г^ = Г ^ f - ^
Функция, стоящая в скобках вида [ ], - конечная непрерывная функция в промежутке ^0, — ^ .
ж4
Поэтому можно применить к ней формулу (32). Найдем тогда:
пред, i 2 ^^ [/ (в) + /(ж - в)]дВ = 2 [/(0) + /(ж)],
m=rx Jo sin в 2
пред. Г /тв = 2 [/(0) + /(тг)]. (34)
m=rx Jo Ы11 в 2
т
7 = Ъж. Интеграл
Г ^№<ю
Jo sin в м ;
1Исправлено. В рукописи: 7 < 0. - Прим.
разложим по схеме:
■ Нж
ГНж _ ( Г Г2ж Г3ж + ГНж \ 81птв
■к \.к Л Лж ](И-1)ж ) 81п61
¡(в)йв.
Подставляя в каждом й-ом интеграле этого ряда: (к - 1)ж + О1 вместо в, получим, следовательно], равенство:
ГНж в'ттв /0 81п в
ГНж в'ттв
/0 8Ш в
= I '^гБг [№ + К* + °) + ... + f((к- 1)ъ + в)]м.
Т[ак] как функция, стоящая в скобках вида [ ], конечна и непрерывна, то к последнему интегралу мы можем применить формулу (34). Найдем тогда:
"Нж а'ттв пред- I ——ггА ")(" = ж
2 /(0) + /М + /(2ТТ) + ... + /■((к - 1)тг) + 2 /(ктг)
(35)
т=<х J0 в
Положим наконец 7 = ктг + р, где 0 < р <ж. Имеем:
г >-+> ^ = гнж ^ г Нж+' ^/тм =
Л В1пв ^ ' Апв'^' ]Нж втв " '
= / " Щ-!«0« + Г ^/(кг + в)Ш.
Л 8 Ш О У0 8 1П в
Применив к первому из полученных интегралов формулу (35), и ко второму - формулу (33) найдем:
11(0) + /(*) + /(2ж) + ... + /(кж)
[Нж+Р *1птвиа^а пред. —;—(0)а0 = ж
т=гх ^0
1п
2
(36)
Для нашей цели важно еще рассмотреть тот случай, когда 7 стремится к пределу те. Пусть притом /(0) таков а, ч то | ¡(0)1 представляет монотонную убывающую функцию12, такую что ряд
IК 0)1 + I + 0)1 + I ¡(2ТТ + в)1 + ... (37)
8 1птв
- сходящийся. Как легко видеть в этом случае, интеграл сходящийся. Действительно, рассмотрим13
*к1' 2+г 81птв
1п
-$(&)($ есть интеграл
<Ь =
■к
'к-1-.
п К0)(№, где 0 ^ г < —. 1п 2
Интеграл этот можно разложить по следующей схеме: ¿к =
и:
(к+1)-2 с (к+2)■ 2
к-ж к 2
+ / 2 + - + Г2+) ^ тм,
Ак+1).ж Лг2 / 81пв
или, после очевидных преобразований, можно положить равным
12Из общего контекста рассуждений следует, что И.М. Виноградов рассматривал лишь непрерывные функции /(в). Это и предполагается в дальнейшем; см. раздел 3 "Дополнение". — Прим. публ.
13Следующий фрагмент рукописи до слов "на основании сходимости ряда (37)" содержит ошибочные рассуждения, которые, впрочем, не влияют на правильность основного результата. По этому поводу см. раздел 3 "Дополнение". - Прим. публ.
Í 2 sin тв 10 sin0
+f ^ (<*+1)—+
+
0 sin
ti sSm fí(k + 2) — + Д» + ... + Ui — + Д»
0 sin 2 0 sin 2
2
Замечая же, что т постоянно ^ 0 и что |/(0)| - убывающая монотонная функция, находим
без труда:
IJ I <
sin [ж sinmO
Ю
sin
dd +
ж
,-Л, -.ч í2 sinmO 1П
f[(k + 1) —) i ютг'1" + • +
i» — )1Г
sin тв sin
dd•
Заменяя теперь интеграл [ ~—■7udв его значением из формулы (31), именно чрез —. и
Jo sin в 2
замечая что
f ^ de< г ^ de,
0 sin 0 sin
WI<2( \f("—) | + |/(№ + 1) 2)
+.. .+ - i"1 —)
— 2
на основании сходимости ряда (37) заключаем, что £k, а вместе с тем и при достаточно большом к и при всяком ki > I будет сколь угодно мал о, и, следовательно], s . m j(Q) dв
Jo sin в
- интеграл сходящийся. На этом основании заключаем, что формула (35) или (36) остается справедливой и в предельном случае - при h = го, если толь ко /(в) удовлетворяет указанным выше условиям. Можем написать поэтому:
пред. / sinm f(d)dd = -т=ж Jo sin и
1/ (в) + /(-) + /(2-) + f (3-) +
14
(38)
2 Г2Нж
Положим теперь Ап = — f(t) cos nt dt и рассмотрим ряд
- Jo
^Ао + А1 cos ж + А2 cos2x + А3 cos3x + ••• =
1
-
г2Нж
( )
1 + 2 cos ж cos t + 2 cos 2х cos 2t + •..
dt =
<-2Кж
-0
( )
- + cos (х - t) + 2 cos 2(ж - t) + • •• +
+ - + cos (t + ж) + cos 2(i + ж) + • • •
dt
Принимая во внимание формулу (30), найдем отсюда:
-Ао + А\ cos ж + А2 cos2;c + ... =
14Исправлено. В рукописи пропущен множитель ж в правой части. - Прим. 15Из дальнейших рассуждений оказывается, что этот ряд рассматривается для значений 0 ^ х < ж. Прим.
О
1
= предел / Sm}n +12)t f(t)dt + предел / Sm}n +1+ Х f(t)dt\ (39) п=ж Jo 2 sin 1 (t - х) п=ж Jo 2 sin 1 (t + x) )
Интеграл
г2Иж
sin (п + 1 )(t - x)
Uu =i 1 ¡mi
Jo 2 sin 1 (t - x)
преобразуем подстановкою: ^(t - x) = ш, т[о] есть t = x + 2ш\ получим тогда:
rr íНж-f sin(2n + 1)ш „. ,, ип = -—-— f(x + 2u)du =
f sin ш
2
'2 sin (2п + 1)ш . , ü 2 sin (2n + 1)ш „. . ,
v ' f(x - 2u)du + -i-—f(x + 2u)du.
Jo sinu
Jo smw Jo smw
Отсюда для случая x = 0 находим по формулам (33) и (36) предел первого интеграла при n = те равным — f(x), а второго
^\f (x) + f(27 + x) + f(4n + x) + ... + f (2(h — 1)7 + x)|
и следовательно]:
пред. Un = 7r{f (x) + f(2n + x) + f(4n + x) + ... + f(2(h — 1)7 + x)}.
П=<Х
x = 0 0
^\f(0) + í(27) + ... + 2f(2h7)}
и следовательно]:
пред. Un = Л У(0) + f(2n) + ... + \f(2h7)\.
n=<Xl 2 2 )
Аналогично находим, обозначая
í2hn sin (n + 1 )(t + x) Jo 2 sin 2 (t + x)
для x = 0:
f(t) dt чрез Vn,,
пред. Vn = f(2ir -x) + f(4i - x) + ... + f(2hir - x)},
n=<x
и если x = 0, то
\f(0) + f(2i) + ... + f(2(h - 1)i) + \f(2hi)^.
Формула (39) обращается теперь в следующую:
1а0 + Ai cos x + А2 cos2x + ... = f(x) + f(2ir - x) + f(2ir + x) +
+ f(4ir -x) + f(4ir + x) + ... + f(2(h - 1)i + x) + f(2hn - x)
если х = 0 и лежит в интервале (0,ж), и
1
^Ао + А1 + ••• = 2
2 /(0) + /(2-) + ... + f(2(h - 1)- + ж) + 2 Д2М
если х = 0. Замечая, что cos nt = cos (-n)t, последнюю формулу приведем к виду: o
1
г- 2Нж ( 1
V f (ж) cos nхdх = 2- -/(0) + f (2-) + /(4-) +
Jo I 2
+ ••• + f(2(h - 1)-) + 2/(2h-U• (40)
Пусть, наконец,
510
2 Г+™
Ап = — / f (t) cos nt dt,
-
o
( )
(38). Рассмотрим ряд
1
-А0 + А\ cos х + А2 cos 2х + ... .
Можно все интегралы, представляющие члены этого ряда, объединить под одним знаком. Найдем тогда:
1
1
-А0 + А1 cos ж + А2 cos2ж + ... = — f(t)
-
1
- + 2 cos ж cost + 2cos2ж cos2í +
dt =
- 0
f (t)
1 + cos (t - ж) + cos 2(t - ж) + ... + ^ + cos (t + ж) + cos 2(í + ж) + ...
Принимая во внимание формулу (30), найдем отсюда:
dt.
16
1
-А0 + А1 cos ж + А2 cos2ж + ... =
1/ р sin (n + 1 )(¿ -ж)^^ | p sin (n + i)(* + ж) Д
-<¡ предел -if--—j(t) dt + пред. -i2--— j(t)dt>
' "" п=<х J0 2 sin 2(í + ж) )
- [ п=<х J0 2 sin 2 (t -ж)
Интеграл
Un = 1 Г siD (n + 2 W -ж) f{t)dt - J0 2 sin i (t - ж)
преобразуем подстановкой: i(t - ж) = ш, откуда t = ж + 2ш. Получим тогда: ° sin (2n + 1)ш
Un =
ж 2sinu 2
-f (ж + 2u)du =
"2 sin(2n + 1)w„ , , rx sin(2n + 1)ш , . ,
v -¡(ж - 2ш) du + --—¡(ж + 2u)du.
I0 2sinu
l0 2sinu
16Исправлено. В рукописи под последним интегралом вместо х используется переменная и. Тоже относится к приводимым ниже формулам для ип и ш. — Прим.
оо
0
зо
1
Если ж лежит в промежутке (0, ж) и не равно 0, то к первому из полученных интегралов можно применить формулу (33), а ко второму - формулу (38). Предел первого интеграла при п = те
будет -п/(х), а второго -
^ 2/(х) + /(2тг + х) +
и, следовательно],
иж = пред. ип = ¡(х) + /(2тг + х) + ...}.
п=ж
х = 0 = 0
1
иж = ^ 2/(0) + ¡(2тг) + ¡(4тг) + ...}.
Аналогично найдем:
, 81п(п + 1 )и + х) ^ , , „ , „ ,
Уж = пред. / —(^ М = ж{/(2ж -х) + /(4ж - х) + ...},
г=ж Л) 2 81п 1 (1 + х)
если х = 0, и
Уж = ^ 21(0) + /(2ж) + /(4ж) +
х = 0
1А0 + А1 соах + А2 соа2х + ... 1
= ¡(х) + ¡(2тт -х) + ¡(2тт + х) +
и ^А0 + А1 + А2 + .
=2
2/(0) + /(2*) + /(4тт) +
. х = 0
х = 0.
§11
Имея в виду доказательство Дирихле, рассмотрим 2 следующие интеграла:
Г+ж г+ж
/+ж г+ж
С08(х2) (х и У = 81п(х2)(х.
-оо ■) — оо
Прежде всего убедимся, что они имеют конечные определенные значения. Преобразовав ин-
2
теграл р подстановкой х2 = у, найдем:
« / ж , * ~ ж С08У 1 р = 2 С08(х2)(1х = 2 --йу.
Л Л л/У
Разложив полученный интеграл по схеме
р = 2
0
ж 3ж 5ж
2 + I 2 + / + +
ж 3 ж
22
рассмотрим 2 соседние интеграла этой схемы:
ж+
ж+ ж
3ж
т = Г+3 С08уа„ м т = Г+5 С08уа„
тг = I ——ауш тг+1 = I о _ ——гйу.
1гж+ж у/У
1гж+3ж л/У
2
|Л| < /
Подстановкою у = ж + £ второй из них преобразуется в следующий:
ггж+зг cos у
- dy,
Jrf+f А + У
откуда ясно, что | Jr| > | Jr+i|,17 и, кроме того, что Jr и Jr+i разных знаков. С другой стороны, находим:
rf+^2 dy < ж rf+f л/У ^r + 2 '
откуда следует, что пред. Jr = 0.
r=^o
Итак, полученное разложение для р представляет собою убывающий знакопеременный ряд, члены которого беспредельно убывают по мере удаления от начала ряда и, следовательно], р имеет конечное определенное значение. Подобным же образом докажем сходимость интеграла q.
Обозначив чрез 5 величину некоторого угла, положим А = р cos 5 — q sin ó, т[о] есть
{cos 5 cos х2 — sin 5 sin x2}dx = cos (5 + x2)dx.
-те J—те
Пусть теперь а - некоторая положительная постоянная величина. Заменив в последнем интеграле х на ах, найдем
А г+™
/+те
cos (S + а2х2) dx. (42)
-те
Обозначив чрез @ другую положительную постоянную величину, полученный интеграл разложим следующим образом:
/+те Т , r(S+1)P
cos (5 + a2x2)dx = ^ / cos(á + a2x2)dx.
-ОО „_ _ J S0
г-+те sr (s+1)0
Isfi
Каждый отдельный интеграл
r(s+1)l3
r(s+1)p
Js = / cos (5 + (^x2)dx
l
преобразуем подстановкой x = sfí + получим:
l
Г
Js = / cos (á + a2s2fi2 + 2a2sfix + a2x2)dx. J 0
Постоянные а и ft, которые до сих пор были совершенно произвольны, подчиним следующим 2-м условиям. Пусть т - некоторое целое положительное число; положим тогда a2ft2 = 2тп,
2а2р = 1, откуда находим а = — и ft = Интеграл Js преобразуется теперь в
следующий:
rfi rfi / х2 \
Js = cos (5 + sx + а2х2)dx = cos ( 5 + sx +--I dx =
J о Jo \ 8mnJ
fp L x2 \ л f - L x2 \ •
= cos д +--cos sxdx — sin о +--sin sxdx.
Jo v 8mnJ Jo v 8mnJ
7Исправлено. В рукописи пропущены знаки абсолютной величины. - Прим. публ.
Формула(42) принимает теперь такой вид:
__г 4т-к / x2 \ г 4т-к / x2 \
Ал/8ттг = > cos I ó +--) cos sx dx - > sin ( 5 +--) sin sx dx.
-¿Jo V 8 W Jo V 8W
Но так как sin (0 • x) = 0 и sin (sx) = - sin(-sx), то вторая из полученных сумм, очевидно, 0
__г4тж / x2 \
Ал/8ттг = > cos I ó +--) cos sx dx.
Jo V 8 ттг J
Отсюда на основании формулы (40) находим:
AV8m = 2тт| 2 f(0) + f(2n) + ... + f(2(2m - 1)тг) + 1 f(4mir)}, (43)
( X2 \
если обозначим cos 5 +--чрез f(x).
\ 8ттг J
Легко видеть, что f(4ттг + 2stt) = f (2stt) и, следовательно, f(2sir) можно рассматривать как сумму
1f(2s тт) + 1 f(4 ттг + 2 s тт).
Применяя это равенство к членам f(2ir), f(4ir),..., /(2(т-1)тт), вместо формулы (43) получим следующую:
4т-1 4т-1 / ч
Ал/8ттг = ж £ f(2sтт) = ж £ cos(ó + s2). (36')
s=o s=o ^ 2т '
Положим теперь 4т = п, и пусть у/п - арифметическое значение у/п. Тогда найдем:
= /I • £ cos(* + s2 • f),
где А = pcos 5 - q siná. Легко определить отсюда р и q. Полагая п = 4, находим: 2(р cos § - qs'inó) = cos § + cos + ^ + cos + + cos + ^
= 2^1^ cos 5 + cos + ^ = 2^1^[cosá - sin á]
или
(р -\^)С086 = {д-\^)81п 6,
рк ,
откуда в силу произвольности угла 5 находим: р = ^ = у —. Формулу (36 ) можно на этом основании так переписать:
п— 1
^vf (cosó - sin^ = V2 • Еcos + s2• iF):
V V s=o
или еще:
cosá - siná = £ ícosácos^S2 — j - sin ¿ sin ^S2 j:
s=o ^ П П '
откуда, ввиду произвольности угла 5, находим:
п—1 2-к п—1 2-к
л/п = ^ cos ^s2 — j И л/п = ^ sin ^s2 8=0 8=0
Умножив второе равенство почленно на г и сложив с первым, находим:
п— 1 2 '
• = (1 + i)\/ñ, т[о] есть <^(1,п) = (1 + г)у/п. (44)
=0
§12
Чтобы распространить эту формулу па другие значения п, докажем следующие свойства функции (p(h,n):
1) Если h = Л/(мод р), то
п \ п/ \ s22hm s2. 2h'm
<p(h,n) = <p(h ,п), так как е п = е п ; (45)
2) Если а - число, взаимно простое с п, то
<f(ha2,n)= <p(h,n). (46)
Действительно,
п— 1
V(ha2,n) = Y,е^^. =0
Но когда s пробегает полную систему вычетов по модулю п, as также пробегает полную систему вычетов по модулю п.
3) Если тип взаимно простые числа, то
(p(hm,n)(p(hn,m) = <p(h,mn). (47)
Действительно, перемножив почленно равенства
п—1 т—1
j-2 2 hn-K
^>(Нт,п) = ^ ег " и <р(Нп,т) = ^ е*
г=о г=о
найдем:
у(Нт,п)у(Ы,т) = е(г п т^ = е тга =
Е(гт)2 + 2гтЬп + (п)2 . + *п)2
е тп = \ е тп .
Здесь соответственно значениям: г = 0,1, 2,... ,п — 1 и £ = 0,1, 2,... ,т — 1 число гт + £ принимает тп значений, несравнимых между собою по модулю тп. В самом деле, допустив
г1т + ^п = г2т + 12п (мод тп) или (г1 — г2)т + (¿1 — ¿2)п = 0 (мод тп), мы имели бы следующие сравнения:
(г1 — г2)т = 0 ^д п) и (¿1 — ¿2)п = 0 (мод т),
откуда следует, что:
П = г2 (мод n) и t\ = t2 Цдт). На основании этих соображений находим окончательно:
тп-1
p(hm,n)p(hn,m) = £ es ™-п = p(h,nm).
s=0
§13
Пусть n - нечетное число. Согласно (47) находим: p(A,n)p(n, 4) = p(1, An). Но p(A,n) = p(1,n) согласно (46);
3
, ч ^—^ »2 2пжг . пт, , ч
p(A,n) = 22eS = 2(1 ± е = 2(1 ± {),
s=0
где берется знак «^^и «—» смотря по тому, будет ли n = 1 ми = Э(модА); наконец p(1, An) = 2(1 + i)y/n согласно формуле (44). Имеем, следовательно:
(1 + i )у/П
p(1,n) = —— = y/n ми гу/n (48)
смотря по тому, будет ли n = 1 ми = Э(модА). Для случая же n = 2(модА) можно повторить доказательство, приведенное при рассмотрении метода Гаусса. Итак, мы снова пришли к формулам ...18
§14
Обращаясь к рассмотрению доказательства Коши, рассмотрим такой определенный инте-
гж
U = / е-а х cos bxdx, Jo
где а2 - некоторое комплексное число. Полагая его равным а + ßi, находим:
гж гж
U = e-(a+ßt № cos bxdx = е-аХ (cosßx2 + isvaßx2) cos bxdx. oo
Но так как |e-aX (cosßx2 + is\nßx2) cos6x| ^ e-aX, то, следовательно:
[ж 2 \U| < е-ах dx. o
1 рк
Последний же интеграл, как известно, при а > 0 равен Итак,
2 а
IUI < 1 ^
U а2 0
8Конец фразы в копии рукописи утрачен. - Прим.
Для определения значения этого интеграла воспользуемся методом дифференциальных уравнений. Заметим, что интеграл
V = —xe а2хХ sin bxdx,
U
Действительно,19
x
- а x sin x d x
<
x
dx = - -Дт
2а2
1
2а2
и, следовательно, при и = те стремится к пределу 0 независимо от того, какое значение имеет параметр Ь. Это же показывает, что V есть интеграл равномерно сходящийся.
Итак, интеграл и - сходящийся при всяком Ь, а интеграл V - равномерно сходящийся при
dU т, [ -а2х2 ■ i , —— = V = I —xe sin bxdx = d
o
-Д sin bxde 2а2
x а x —- sinbxe а х
2 а2
ж
. cosbxdx.
o o 2 а2
Но
и, следовательно,
x а x —- sin bxe а х
2 а2
dU
Отсюда, разделяя переменные, находим
d 2 а2
U.
dU ~Ü
bdb 202 ,
откуда
Igt/ = — ¿ + >gc
или:
U = Се 4а2.
(49)
С = 0
найдем:
С =
d x.
Рассмотрим теперь интеграл f e~z2 dz, взятый по контуру ОММ\, состоящему из 2-х прямых ОМ и ОМ\, угол между которыми обозначим чрез < и дуги окружности М\М радиуса R.
Функция e~z , которую можно представить в виде e~s (cos 2м+г sin 2м); если толожить z = g(cosu + г sin и), очевидно, не имеет полюсов на части плоскости, п ростирающейся в те выделяемой прямыми ОР и ОР\ (включая и точки, лежащие на этих прямых), если только cos2u > 0. Чтобы это было постоянно, нужно, чтобы угол < был острый, и, следовательно],
чтобы было: < < —.
4
o
зо
оо
а x
—а2и2
и
оо
o
оо
0
o
оо
o
19В правой части следующего неравенства опущены знаки абсолютных величин, присутствующие в рукописи. - Прим. публ.
Чертеэю II.
к _ 2
Итак, при условии р < — внутри контура OMMi и на обводе его функция е * остается
целой и следовательно]:
е 2:2 dz = е z2 dz + е 2:2 dz.
Iom
'ОМ1
im1m
Первый интеграл второй части этого равенства, очевидно, равен
rR
6 ;
предельное значение его при R = го есть [интеграл]
■20
2 1
е~х dx, равный - л/ж, 0-
второй же можно преобразовать подстановкой z = fí(cos и + г sin и) к следующему интегралу:
pip
Т = e~R cos2u(-R sin и + iR cos u)du.
По формуле Дарбу,
|Т| < eTR cos2p • R • р
ж 2
и так как р < —, то: cos-^> > 0 и след[овательно] предел Т = 0. Итак, предел /м м e~Z
4
R=
если точка М по направлению ОМ удаляется в го, получается равным Подстановкою
/■R
22
z = ра, где а = cos р + i sin интеград этот преобразуем в следующий: / е~а р • a dp а,
0
следовательно,
предела í е а р dp = -^^ им: а ( е а р dp = R=^ Jo - Jo -
и окончательно:
—а2р2 ri,n =
ж
dp = - если а = cos р + i sin р и р < —,
-а 4
'В рукописи отсутствует, добавлено по смыслу. Прим.
0
0
ос
е
0
а это и есть нужный нам интеграл С. Формула (49) примет теперь следующий вид:
1 _ _
cos bxdx = —— ■е 4а2 . (50)
J0 2а
§15
Применим теперь формулу (41) к функции е~а1х2, где а\ - некоторое комплексное число с положительною вещественной частью. Получим:
1 + е-а* М2 + е-а2(4ж)2 + е"'^)2 + ...} =
1 f^ 2 2 f^ 2 2 f^ 2 2 = o e~a2x2dx + е~а\хХ cosxdx + е~а2х2 cos2xdx + ... 2 Jo Jo Jo
Принимая во внимание формулу (50), перепишем последнее равенство в таком виде:
1 + е~(2па1)2 + е-4(2па1)2 + е~9(2жа1)2 +
-}
= 1 + е"(2i)2 + + + 2 2а1 2а1 2а1 2а1
Положим 2иа1 = а и -= Ь: тогда будет:
2а1
»{1 + е-а2 + е~4"' + е+ .А = 21 {2 + е"" + + е.- +
■■■} = £{ 2 + ^+ ^-1'2 + ^2 + 4
Но так как 2а^[ж = \[2а\/2атт = ■ ■ ■ ,21 то формула эта окончательно принимает такой вид:
а 2{ 1 + е~'2 + е~4'2 + е~9а2 + ...} = Ъ2^ 1 + e~b2 + e~4b2 + e~9b2 + ...} (51)
где Ь связано с а таким равенством: аЬ =-1 = ж. Формула (51) справедлива в том случае,
2 а1
а2
2
Ш(Х 2 а 2
а = — и а2 = —-, откуда ясно, что а2 имеет тот же аргумент 2ж 4ж2
а2
2 ( 2
Положим в формуле (51) а2 = а2--, причем аа2 означает положительное число, весьма
п
Ж2 ПЖ%
малое. Из условия а2Ь2 = ж2 следует, что Ь2 должно отличаться от -—, т[о1 есть от -на
2жг/п 2
весьма малую величину. Положим Ь2 = Р2 +——г. Тогда условие а2Ь2 = ж2 даст нам:
а2132 - р2 ■ М. + а2 ■ ^ + = а2Ь2 п 2
или:
2 п2 п2 2ж% 2 пжг
а2р2 - Р2---+ а2--=0,
п 2
21Конец формулы вписан карандашом рукою Я.В. Успенского и потому плохо читается. Вероятно, это
а1/2
—— 2-п. - Прим. о1/2
откуда после простых преобразований находим
^ Л + П 2 А-1
п2а2
4Р2 2т/п22 г 1 2Р 23
откуда следует, что —-—- =---—, след овательно , и — ° стремится к пределу 1, когда
п2а2 а2 па
а стремится к пределу 0. Можем написать потому:
2@
— = 1+ е, ми 2^ = па(1 + е), где пред. е = 0. па а=0
Обозначим — чрез ш: тогда формулу (51) можно так переписать: п " "
а 1 + е-а2+шг + е-4а2+4шг + е-(п-1)2а2+(п-1)2шг +
+ е-п2а2 + е-(п+1)2а2+ш1 + е-(п+2)2а2+4ш1 + + е~(2п-1)2 о?+(п-1)2ш% + | =
= ъ 111+ + е-«2 + + ...}
или
2 |1 + е-п2о2 + е-4п2о2 + е-9п2о2 + ...
+ ршг ^р-о2 + е-(п+1)2о2 + р-(2п+1)2о2 + е-(3п+1)2о2 + ... ^ + + е4шг (р-4о2 + е-(п+2)2о2 + е-(2п+2)2о2 + р-(3п+2)2о2 + ... ^ + + е9шг ^е-9о2 + е-(п+3)2о2 + е-(2п+3)2а2 + е-(3п+3)2о2 + ... ^ +
+ е(п-1)2шг |е-(п-1)2о2 + е-(2п-1)2о2 + е-(3п-1)2о2 + е-(4п-1)2о2 + ... ||
1
= 1 + е-4^2 + е-16?2 + е-^2 + ... + (е-И2 + + е-25^2 + ...) |.
Умножим первую часть последнего равенства на па, а вторую - на равную ей величину 2,0/(1 + е);24 и заменяя — на 1 — -, находим:
а ™ + па(е-п2(о2 + е-4п2°2 + е-9п2(о2 + ...
2
о 2
+ ешгпа (е-02 + е-(п+1)2°2 + е-(2п+1)202 + е-(3п+1)2°2 + ...) + + е4шгпа(е-4°2 + е-(п+2)2° + е-(2п+2)2°2 + е-(3п+2)2°2 + ...) +
22Исправлено. В рукописи в правой части равенства фигурирует число а. - Прим.
23Исправлено. В рукописи пропущено п в знаменателе. - Прим. публ.
24Исправлено. В рукописи: 2/3(1 + е). Соответствующая поправка внесена в (52) и ряд последующих формул. Прим. публ.
а
+ е{П-1)2Ш1па^е-{П-1)2^ + е-(2п-1)2«2 + е-(3п-1)2«2 + е-(4п-1)2^ + ... ^ 1
= ^{- 24 + 2Ц{1 +е-4/?2 +е-16^2 +е-36^2 + ■■■) +
1 + е [ 2 4 у
пт „
+ е- 2 (е-3 + е-9^2 + е-25^2 + ...И. (52)
Суммы, стоящие в скобках вида (52), заменим на основании следующих соображений. Рассмотрим сумму
Дж(е-(тАж)2 + е-(Ах+тАх)2 + е-(2Ах+тАж)2 + ...) = Б,
где 0 ^ т < 1. Возьмем прямоугольную систему координат (черт. 3) и построим кривую,
22 выражаемую уравнением у = е-х . Так как у = -2хе-х отрицательна для всех значений
Y
Чертеэю III.
ж внутри промеж утка (0, го), то у - функция, убывающая в этом промежутке. Кроме того, легко убедиться: у имеет максимум при ж = 0.
Проведем теперь ординаты, соответствующие абсциссам: ОАо = Дж + тДж, ОА\ = тДж, ОА2 = Дж + т Дж,..., которые пересекут кривую в точках Во, В\, В2,.... Построим прямоугольники на АоА\, А\А2, A2Ag,... с высотами соответственно: ОМ = 1, A\B\, А2В2, А3В3,.. .. Сумма площадей этих прямоугольников, очевидно, равна S + Дж. Легко видеть, что она больше площади фигуры, ограниченной кривою линией М В1В2В3В4 ..., ординатою ОМ ж
„2 , 1
г+те
е-х* йж = ^ л/к. о 2
Итак, 5 + Дж > 1 /к. Строя же прямоугольники на А1А2, А2А3, А3А4,... с высотами соответственно: А2В2, А3В3, А4В4,..., легко убеждаемся, что 5 — Дж < ^/к и, следовательно,
имеем неравенства
откуда тотчас находим:
2 /ж - Ах < Б < 1 у/ж + Ах,
в = 1 /ж + \Ах,
где Л - положительная или отрицательная правильная дробь. Применяя это равенство к формуле (52), находим:
а2{ -™ + 2+ Л^па + ешг 1 + ешгЛ2^па + е4шг 2+ е4шгЛ3^па +
н
+ ■ ■ ■ + е(п~1)2^ ■ 1 /Е + е(п~ 1)2^Лп ■ па| 1
пжг
Ъ2 ( 2 3 1 _пт 1 _
1+71 2+2^ + + е 2 + е 2 ^2 ■ 2Р
где Л1, Л2,..., Лп, ^1,^2 """"" положительные или отрицательные правильные дроби. Напишем полученные равенства в следующем виде:
2 1 2
а2 ■ 1 1 + е^ + е4^ + е9^ + ... + е(п~1)2^} +
+ а2 ■па^- 1 + Л1 + Л2ешг + Лзе4шг + ... + Лпе/п~1)2шг^ =
1
Г 1 пжг / 1 пжг \ ^
+ е~ 2 ) +2(3^- 1+щ + - 2 м) }.
1 + 2 2
а 0
а = 0 а = 0
- 1 + Л1 + Л2 ешг + ... + Лпе (п~1)2шг
< 1 + |Л11 + Л1 + ... + 1ЛпI < п + 1;
далее
' ' ' 1
1 _ пжг
- 2 + ^1 + е 2 ^2
< 2 + №11 + 1^1 < 3.
Наконец, а обращается в пределе в а1 = ^--—, Ь обращается в ^ —- = Ь1 и, следовательно],
формула наша принимает такой вид:
1 2 1 __
= Ь1 ^уЯ 1 + е 2 ),
или
1
2
(Ьт \ 2 _пжг
Ю ^ +е 2 >;
но а1Ь1 = ж, откуда — = Д- и, следовательно], а1 а21
1
^ 2 пжг
<р(1,п) = — (1 + е 2 ). а1
а
1
Но
п V п
откуда
2 2жг I 2т ¡2п ^ 1 -г [ж . .
а1 =и: а1 = у-V Ч^ ЧVV п(1 -г),
у/ж у/ж у/п(1 + г)
а1 Г (л л 2
\1п (1 - г)
и, следовательно, окончательно:
1
„ 2 _ пжг
<р(1,п) = —(1 + ^{1 + е~ 2 ). Полагая в этой формуле п = 0,1, 2, 3 (мод 4), снова придем к формулам (25).
§16
Обратимся ко второй части нашего исследования, т[о] есть на основании свойств суммы ^(1,п), доказанных нами, выведем закон взаимности квадратичных вычетов. Положим п = простому нечетному числу р. Имеем:
р- 1
р-1 2
жк р) = Е еНз2 = 1 + 2 Е^2, (53)
8=0 8 =1
в чем легко убедиться, принимая во внимание, что: в2 = (р - в)2 (мод р).
а Р
невычет его, взятые среди чисел 1, 2,... ,р - 1. Формула (53) принимает тогда следующий вид
р) = 1 + 2 Е ваН (53').
Но
Е (^h)a + (^h)/3 + 1
как сумма всех корней уравнения хп = 1 равна 0 и следовательно
ЕЛ = -1 - Е .
Принимая во внимание это равенство, формулу (46') так перепишем:
р) = Е^ - Е^,
или, употребляя обозначение
р-1
й р>Л
Но
— = _ _ и следовательно - = — — , и формула наша принимает такой вид:
^ = (р )§( ^ У-
Замечая, что —8 пробегает полную систему вычетов по модулю р, если 8 пробегает ее, имеем, полагая —в = Р.
= (— )£ ($ у,
т[о] есть
р(—,п) = (}к )р(1,п). (54)
Формулу эту, выведенную нами в предположении, что п = р - простому числу, можно распространить на случай какого угодно нечетного п. Положим сначала, что п - некоторая степень
2к -л тт
простого числа р: п = р2кд, где ц = р или 1. Имеем:
р2к-1
p(h,P) = Е ^h
сн°2 8=0
Выделим отсюда члены, индексы в которых делятся на рк. Найдем тогда:26
р(—, р) — (1 + вНр2к + + е4Нр2к + ... ++ в(рк <1-1)2,гр2к) = ^ дкз2,
где индекс «1 принимает все значения, не делящиеся па рк. Эти значения для «1 можно соединить в группы, смотря по тому, какой остаток дает в 1 при делении на ркд. Группа, соответствующая остатку Л (Л < ркд), будет:
Л + ркд, Л + 2ркд, ..., Л + (рк — 1)ркд. Соответственно этому будет (7 под знаком ^^ - член дь,р2к^ ):27
Рк1-1 Рк-1 рк-1 . 2}г\п
*(—,р) — Е 7 = ЕЕ¿*Л+аркя)2 = Е^Л2 Е^Лзркд = Е^М^к = 0. 8=0 8=0 8=0 1 &
Итак,28
рк q—1
£ „р2к •"2
=0
p(h,n) = Y Qhv • .
Если q = 1, то
у/п-1
„hn s2
p(h, n) = Y ^hns
8=0
В этом случае п, как легко видеть, будет формы 4т + 1 и следовательно, согласно формулам (25): р(1,п) = /п] кроме того, употребляя символ Якоби, имеем: ^ = 1, и, следовательно,
можем написать: р(—,п) = (^—^р(1,п), т[о] есть формула (54) распространяется и па этот случай.
Исправлено. В рукописи: п = р + д. - Прим. публ.
26В показателях степеней в левой части формулы добавлен множитель Н, пропущенный в рукописи. - Прим.
27В двух последних суммах добавлен множитель ghx , пропущенный в рукописи. Суммирование во внешних суммах проводится по числам 0 < Л < pkqy А ^ 0 (mod pk). - Прим. публ.
ОО h2k 2
Исправлено. В рукописи слагаемое содержит лишний множитель в показателе: ghp qs . - Прим. публ.
Положим q = р, тогда:
pk+i-i ф,п) = Е в?hS2
Числа s разбиваем на следующие рк групп:
0,1, 2, 3,...,р - 1; р,р + 1,р + 2,..., 2р - 1; ..., pk+l - p,pk+l - р + 1, ..., pk+l - 1; соответственно этому будет:
pk—1s=p—1 рк — 1р—1 s=p — 1
Ф,П) = ЕЕ в*MXpk+s)2 = ЕЕ в"h2 = pk Е в *h2.
А=0 s=0 Л=0 í¡=0 s=0
* 2тт 2тт
Но вр = R — первообразный корень уравнения хр = 1, и имени о: R = cos--М sin —. Формула
р р
наша принимает вид:
s=p—1 -
ф,п) = Pk Е RhS2 = Pkv(h,Р) = (-)Vñ, =0
или, употребляя символ Якоби и принимая во внимание, что
(- ) = (р2к+1
) = е
находим: t(—, п) = j /п. Итак, формула (54) справедлива, если п - простое нечетное число
или любая степень такого числа.
Пусть, наконец, п = 0,10,2 ...Ok = произведению нечетных взаимно простых множителей; положим
b1 = 0203 . ..Ok, b2 = O3O4 . ..Ok,
bk—1 = Ok,
так что п = OЛ, Ъ1 = O2b2, ..., bk—1 = Ok- На основании формулы (47) имеем: 1(-,п) = ^{—п, ,O1j
^,&1) = ■ |= ^,b)^,O2) Á-v2,h2) = , ^M^ ,O3
tnl h- h¡. o 1 = tnl h- h¡.
— = 1
р(1,п) = р(—,а1)р(—,а2) ...р(—,ак). (56)
\а1 ) \а2 ) \ак )
В равенстве (55) каждый множитель правой части можно так преобразовать:
р(——,а<^ = (——^(1,а.,), V а3 ) \ а3 )
если только каждое а3 представляет простое число или степень его, или иначе:
р(——,а3) = (—) ( — )<£>(1,а.,) = (—)р(—,а3) V а3 / \а3/ \а3) \а3/ \а3 /
и следовательно:
р(—,п) = (—)(—) ...(—)(р(—,а1) ...<р(—,ак), а1 а2 ак а1 ак
т[о] есть
<р(—,п) = {~)(£(1,п),
если пользоваться символом Якоби. Следовательно, формула (54) справедлива для всякого целого нечетного числа п. В соединении с формулами (25) эта формула дает средство найти р(—, п) для всякого цел ого нечетного п.
Положим теперь, что п = Р1Р2Р3 .. .Р1 Ч1Ч2Ч3 ... Ят = произведению взаимно простых чисел, и числа р суть формы 4р + 1, а числа ц суть формы 4р + 3. Имеем по формуле (56):
^ = {^)Р(1,Р1)(^)Р(1,Р2) ... (^Уш • (^У1^ ...^)р(1, ,т) =
= (у.У
\Р1/ \Р2) \Р1)\ (¡1/ \Ят/
С другой стороны, р(1,п) = гт л/п, т[ак] как п будет фор мы 4р + 1 или 4р + 3 смотря по т
(к) (к)...(^ = {т2-т_ (57) \Р1/ \Р2) \Чт)
Но гт(т 1) = если т = 0 ми = 1 (мод 4), и = — 1, если т = 2 или = 3 ^д 4) и,
2- Г ^ 1 т2 - т = ( — 1) 2 т 4
(I )■■■( 1т)1)[ 21 ^
Из этой теоремы как частный случай следует закон взаимности квадратичных вычетов. Именно, пусть п = 0,10,2 = произведению нечетных взаимно простых чисел. Тогда формула (50') дает:
- П ч , п_ ч Гт"1
а1 1 а2 1 _ (а2 \ (а1 > _ / 121
(И)( Ю = (01)(01) = (—!)'
—1 т = 2 а1 а2
формы 4р + 3. Следовательно, можем написать:
( 02 )(I) = <->
ах-1 42-1 2 • 2
а это равенство при а\ и а2 простых и выражает закон взаимности квадратичных вычетов.
(-Л (2\ тт
С помощью того же метода легко определить значения символов — и — . Имеем:
Р / \Р/
<(-1, р) = (V) /р.
(тУ *
Но из формулы
s 2 2i(-i) <(-1, р) = Е е* p
следует, что <(-1, р) найдем из выражения <(1, р), если заменим в нем г чрез (-г), т[о] есть:
<(-1,р) = (-i){ 2 ; Vp
и следовательно]
-1 U^)2 л^У
(—у1 2 } Vp = (-) 2 } VP,
откуда
/ 1 \ ( pzl)2
(т) = 2 ' =м> 2.
Положим теперь в формуле (47) h = 1, m, = 8, п = р\ найдем:
<(8,р)ф, 8) = <(1, 8р).
Но <(1, 8р) = (1 + г)/Щ),
ф, 8) = £ es2Р f = £ е-^ = 8=0 8=0
= 1 + е4 ^^ + е^ + е24Pm + e4pwi + е^P™ + е^ + е pm = 4е 4 ^.
Наконец,
и следовательно]
откуда
Î2\ Г^М2
<(р, 8) = <(2, р) = l-jiУ 21 ^р
G^ /^4е4Pm = (1 + i)^v,
2\ (1 + i )^2у/2 1 + г
(!)
Р' Л^т) Лр 4 pwi ¿(V) 4 pwi
e4m 1 ,
i^l) 2 1 Ржг fP^ 2 P i[ 2 ) /2е4pm Д 2 ;
3. Заключение
Ошибка является исключительно редким фактом в трудах И.М. Виноградова; тем не менее, данный фрагмент рукописи содержит ошибочную формулу для интеграла Jk и неверное утверждение о том, что функция sin (mв)/sin0 неотрицательна на промежутке (0,к/2). Соответственно, основанное на них доказательство формулы для случая j = го становится некорректным. Последний недостаток может быть устранен, например, с помощью следующего рассуждения.
Рассмотрим интеграл
л = Г+¡w».
'■к
sin
где 0 ^г <ж,&к,1 > к произвольное целое число. После очевидных преобразований получим:
Jk =
к(к+1) рк(к+2) ркк^ +r \ sin m0
к
■ sin т ■ sin т
■ к
+ + ... +
■Jn(k+i) Jnk i
,кк1 +г ч sin
■ к si
. f(irk + в)сШ + . . ¡0 sin 0 J0 sin 0
sin
f(TT( k + 1) +
f (0)d0 =
sin т
+ ... + —7tÍ(k ki +6)d0. 0 sin
Ввиду того, что /(в) непрерывна, из условия монотонности |/(0)| следует и монотонность ( )
к ^ и ^ к1 и а = г, а = п находим:
С ^^ + 0)0 = М 0 ^ + + ')
sin
где 0 ^ £ ^ а. Интегралы по отрезкам [0, £] и [£,а] ограничены абсолютной постоянной. Действительно, пусть сперва а = ж. Тогда в случае 0 ^ £ ^ ж/2 имеем
sin тв fm sin ж .
-— du= ---:—- dx =
0 sin в J0 m sin (x/m) J0
m sinx fmZ
-dx + p(x)sinxdx,
x 0
p(x) =
m sin(x/m) x'
Далее,
v(x) = ( — — sin — ) т т
¡■x/m
^ i , . . — , . . (1 — cosu)du =
m mjx svn(x/m) x sin (x/m) J0
(u)
2 [x/m . 2u , 2
/m¡u\2
2 u
. . . . sin — du < - ./Ni i xsin (x/m) J0 2 x sin (x/m) J0 \2
- . , x/m x kx
- du = -'— —- <
sin (x/m) 6 m2 12m2'
откуда
Пользуясь тем, что
заключаем:
m
p(x) sinxdx
fm kx , KÍ2 k3
< _dx = < _
< J0 12m2 =24 < 96.
m
0 <
sin x sin x -dx < -dx,
sin m 0 sin0
d
0 x
3
K3 ■ sinx
< +
96 0 x
0 x
dx = С = 2.17492... .
1
1
0
Если n/2 К £ то 0 ^ n — £ ^ n/2, так что в силу доказанного имеем
sin m 0 sinö
^ sin md 0 sinö
< C.
Наконец, при О К а = г К n полученные оценки дают:
a sin m
sin
(Г - sin m6
dO
^ 2C.
Таким образом, для любых рассматриваемых v и а имеем:
ía sin тв
sin
■m de
<
2C (I f(nu )| + I f(nu + a)Q.
Следовательно,
ki
Jk К AC Y, I f(nv )I + 2CI f(nki +r)I К £k,
=k
где £k ^ 0 ^^и неограниченном возрастании k.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Успенский Я.В., Соображения о возможно целесообразном преподавании математики в проектируемом институте инженеров земельных улучшений. Предисловие, публикация и комментарии A.A. Сергеева // Историко-математические исследования. 1999. № 4(39). С. 114-123.
2. Ермолаева Н., Успенский, Яков Викторович. В сб.: Русское зарубежье: Золотая книга эмиграции. Первая треть XX века. Энциклопедический биографический словарь. \!.. РОС-СПЭН, 1997.
3. Карацуба A.A., U.M. Виноградов и его метод тригонометрических сумм // Теория чисел и анализ, Сборник статей. Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика U.M. Виноградова. Тр. МИЛИ. Т. 207, М., Наука, 1994. С. 3-20.
4. Карацуба A.A., Иван Матвеевич Виноградов (к девяностолетию со дня рождения) // УМН. 1981. Т. 36. № 6(222). С. 3-16.
5. Делоне Б.И., Петербургская школа теории чисел. M.-JI., Изд-во АН СССР, 1947.
6. Карацуба A.A., Краткий очерк научной, научно-организационной и педагогической деятельности. В кн.: Иван Матвеевич Виноградов. Материалы к библиографии ученых СССР. Серия математики, вып. 14. М., Наука, 1978. С. 7-16.
7. Виноградов U.M.. Sur 1а distribution des résidus et des non-residus des puissances // Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те. 1918. Т. 1. С. 94-98.
8. Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел. М., Мир, 1974.
9. Berndt B.C., Evans, R.J., The determination of Gauss sums // Bull. Amer. Math. Soc. 1981. Vol. 5. № 2. P. 107-129.
0
10. Berndt B.C., Evans, R.J., Williams K.S., Gauss and Jacobi Sums. John Wiley к Sons, Inc., 1998.
11. Gauss K.F., Summatio quarumdam serierum singularium // Commentât. Soc. Regiae Sei. Gott. Recent. 1811. Vol. 1.
12. Гаусс К.Ф., Труды по теории чисел. \!.. Изд-во АН СССР, 1959.
13. Dirichlet L., Ueber eine neue Anwendung bestimmter Integrate auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen // Abh. K. Preuss. Akad. WTiss. 1835. S. 391-407.
14. Cauchv A., Méthode simple et nouvelle pour la détermination complète des sommes alternées, formées avec les racines primitives des équations binômes // C. R. Acad. Sei. Paris. 1840. Vol. 10. P. 560-572.
15. Gauss К.F., Werke. Bd. 2. Göttingen, 1863. S. 11-45.
16. Dirichlet G.L., Werke. Bd. 1. Berlin, 1889. S. 239-256.
17. Cauchv A., Œuvres complètes d'Augustin Cauchv. Ire Série. T. V. Paris, 1885. P. 152-166.
18. Финтенгольц Г.M.. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. II. 6-е изд. М., Наука, 1966.
REFERENCES
1. Uspenskv J.V., 1999, The ideas concerning the possibly expedient teaching mathematics at the future Institute of Land Improvement Engineers. The publication of A.A. Sergeev (with preface and comments), Historical and m,at,hem,atical researches, no. № 4(39), pp. 114-123 (in Russian).
2. Ermolaeva N., 1997, "Uspenskv, Yakov Victorovich", in: Russian abroad: Golden book of emigration. The first third of the XX century. Encyclopedic Biographical Dictionary. Moscow, ROSSPEN (in Russian).
3. Karatsuba A.A., 1995, "I.M. Vinogradov and his method of trigonometric sums", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 1-33.
4. Karatsuba A.A., 1981, "Ivan Matveevich Vinogradov (on his ninetieth birthday)", Russian Math. Surveys, vol. 36, no. 6, pp. 1-17.
5. Delone B.N., 1947, "Peterboug's school of number theory", Moscow-Leningrad, Publ. Akad. Nauk SSSR (in Russian).
6. Karatsuba A.A., 1978, "A brief sketch of scientific, organizing and pedagogical activity", in: Ivan Matveevich Vinogradov. Materials for the bibliography of scientists of the USSR. Ser. Math., no. 14. N., Nauka, pp. 7-16 (in Russian).
7. Vinogradov I.M., 1918, "Sur la distribution des résidus et des non-residus des puissances", J. Phys.-Math. Soc. Perm. Univ., vol. 1, pp. 94-98.
8. Chandrasekharan K., 1968, "Introduction to Analytic Number Theory", Springer-Verlag, BerlinHeidelb erg-New York.
9. Berndt B.C., Evans, R.J., 1981, "The determination of Gauss sums", Bull. Am,er. Math. Soc., vol. 5, no. 2, pp. 107-129.
10. Berndt B.C., Evans, R.J., Williams К.S., 1998, "Gauss and Jacobi Sums", John Wiley к Sons, Inc.
11. Gauss K.F., 1811, "Summatio quarumdam serierum singularium", Commentât. Soc. Regiae Sei. Gott. Recent., vol. 1.
12. Gauss K.F., 1959, "Works in Number Theory", Moscow, Publ. Akad. Nauk SSSR (in Russian).
13. Dirichlet L., 1835, "Ueber eine neue Anwendung bestimmter Integrate auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen", Abh. K. Preuss. Akad. Wiss., s. 391-407.
14. Cauchv A., 1840, "Méthode simple et nouvelle pour la détermination complète des sommes alternées, formées avec les racines primitives des équations binômes", C. R. Acad. Sei. Paris, vol. 10, pp. 560-572.
15. Gauss К.F., 1863, Werke. Bd. 2. Göttingen, s. 11-45.
16. Dirichlet G.L., 1889, Werke. Bd. 1. Berlin, s. 239-256.
17. Cauchv A., 1885, Œuvres complètes d'Augustin Cauchv. Ire Série. T. V. Paris, p. 152-166.
18. Fikhtengoltz G.M., 1966, Differential and integral calculus course, vol. II. 6th ed., Moscow, Nauka.
Получено 19.09.2021 г.
Принято в печать 6.12.2021 г.
¡J(fm/ — ¿L fftb, m-Af //, Зси^и
СУ /í^^tet' H^c — л* í Г.- ¿«* -rl^^^i^t^TX-*.-^-
-'-Г /п, /^fi e^jz, ñаим^/^ф
¡i (cXf m, JL y ^ еъък^оц:
: je f/U, M-!¡ ■ ■ ' УУ1
.......... '
L teJio-J Qjíа. (б/и./ /tflwf^-
¡ил. mlÍHJC*^!^^ «U*
ЧУ h^ Кл-f û ~t?ü
^OUMjUS i ¿kL-'/ /-UX^CJMJ Силл ¿ 0~)CfrH_ { CL ^-
l/-> ~ y-^^stL./ • / х-,/-- /
A (J(t rrt;j i тгЛ ^ Z Jt - / № / / - A <*? ,
. 0 'üOC^Xc /д • ...../ f- •
hi <X. i / - ¡y-r-jc t; A'J r y / л í-tJ- ' ¿ м
_ mV -fl+X^jfr уХ /ft-//'- -
/Р/JT, F / ■ • - ' '
Г / я -V ^/-/>-,'t^if- - - /•/- "¿ 1
' г -' t - í/ ' -
Z-.Í- //
i-f:?/ríe?,.
pPt^yc с t- i
t- ¿í_
р^Ы? /I- И^ытНл? /ъ^э-4-ff
илс^Яйгг^с^^с осоелл^ф / * С/У-^/г^
^ и,лГ^Г./ ГЬ елЗ-Я^чг-
У/ К /г/ — се^и.- /£ ■
у-/ /г ¿7 а" У^у-гЛ,
* ' ^ ' си-- ^ - - - -- <- - -2- » \ —
" ' ' . «г'' л - с йГ^ г С^
сир ,
/-t^L. _ / О uSÉe ¿г/су Öcxylccu- fi^/Sj
t*. / óh -
J^fo^) COWJUJL4, НЛ-UJ ^ H
¿uf te/
-FM
/О^Р/oJ/
(Z//.
...... liteéi - —'
/
& Ж
v^i.,-^' i /.7 /О
t „ г—
^ _ /r - i - - •— x
в ' i Л tS' <■ * tCj-s^ с f ^ y
l-vî U UfutttA* ^ U t/ы - ¿/«^^
ftPovCtf&b't't ^ t4 ' -------
/rutilo " n4ue¿ /"^H^/yá PfeUÂfi -
... b^ac " С "/
^^ft^^u^L еп^ъ f ч р-
Илил> ¿J-feUAÏZb / rz- Ж
Р Г 2*ъН *
cJ(/p>cJ^-J (s^frb £C- ^ê&W^t« q&bf&M^ay
.,.. -f c^f-j --f",T. (2âJ
XL ■ /« I é) '
НлхЛ^еМ // ь -
zj^ji-r Z&rt U ¿холя-ев + , ■ - /- g&rt
et dwö ; (с- ■
^/jp oo _¿ '
cJLSOL ,
. ' J'ffaô • '
& Jc^-t^a-'U^J â-tA/^Uf cfeyrw&fut-
' СРО/
0 f c^o " / ж ^ ^ - - '
Лпл-В
/^Ои^^ З^ги? ^-/М-^А •
Зи^Гс)*^ -
Т-ИжгХзс
^ С с Ч.'б*-* " € «й-с ь Г
(%/Ю ~ А7/ Г/ / г/- >' * V ' • ' -/
«Г
ьГ'г в
,»
Ап г
7t {iffy • • •
U, eufl' fipM^ ж^^ч-^ш^^/гф^^к^
JfQL. ¿¿-О, ЛMiJsíix^/77-eipctué joajè^HA, Of hsù o^^^A^uf^J
CXAWUMъылл-^ ûllafbbovrcuj
J-UH. ir ii--rJ(J J f
WlmJL jlïto 5 "
hfbà-, Lt r rc£-<f(zn:~üj+¿(m-v)+' -4-<f(Ux~x)j «c<
Чтс- xJftfYTr^ • -f-f(zpb'>)tc+x)-ffíU-K~*)
±J9. гЛ ... ^ijiflojtff^ < .
Пуыуо ecwf-nJt svo e^¿ó à
с^^ил^л^ /tptcßeJe^b ßo%
e
£ CLfbf<^ú, fpiríPÉ
xXM
Га с?
' Li Н^н. -с /г и
•Л - jb&ej J-— fJi^. n/í&bfCe ^^oà-ÔÛ-^t&^a^. /р cl у о^Яа^^с^
4? /> fM^J9/^ ¡f^f&vA
Силлс ( Р - ff- l/lp/Jte'^ ^Wcy)^
Kl&û'Ù^JcJU-ACù&^uU^' Cf-сЛх^ (У Ои^ъ^ ...
к _ ¿ ■ £ (ßü/^uo cPfG^co
{fTbLjOçf'^ ¿C^ <&ip<CL Sy ¿ypûbvtjfô cU-1-ъо QjVbw С^гс^АХ. (I o'âcu^.^
vi ~ u:\fK zfjiZsï-lrz., '
V t- v / лл* x^-T^UJ Cffrû^t /"T ^ w 7 ^ C4 í /¿. -i С .....
/ ^ - 4 1 -О y / л., * /С y/ Á >bj
y--/ /4 M:
ÀV .
/р^Аллгью ^au^^j^s^^(Мл^л^^о JhàJb&M/è—
z^oo CS^Up ^ e ¿¿X j- í/тг"
U iiZoiAC^К:ос4аь rrvo- C^Zy^O и ;
kfz&H^-^ Х^г о, ^ХА^яжуъ np^àTua /б
Ai'---"—* - 4 ^ ¿^.у *
" i^C * iictrhv 2а С
е+л-И^ гГаллл&л*,/** / ирё^ть^л : CL j^ с - "у^-г^-К
c-w-xc ^ cl/о с "¿ a/z
<r -r e&x^c ¿X - V * ^^
£/:<? ¿я Э^ъио e&mte ^^
L' < П f < С * S^* —/ У
, H^^CÍ^ú ¿U^ éitxjr'c
- e ■ ^ Me
? a
-> ^ I t ^ A ' ir- >•/
^ / ^ — Q&JS ^ f00 OL be
— ~ ' с ^ > ; f
-i- f
i / z¿
-......Уб^/Чк
ФСь ^
. ' •'■}=
■ «
(Зсллгг^] ¿с^гЛ^'
Кс/, > * 6 '
г /
с.
ГС
'С^г^с
МЛ-асС
' и ' - Л ,
