Суммирование рядов теории возмущений для многозарядных ионов с помощью метода гипервириальных соотношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.192

Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2013. Вып. 1

А. М. Пучков

СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГИПЕРВИРИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ

Введение. Настоящая статья продолжает цикл публикаций [1, 2], посвящённых методу гипервириальных соотношений. Для удобства чтения кратко изложим основные результаты, приведённые в них. Вириальные или, как их ещё называют, гипервириаль-ные соотношения:

- EnK)Xo(s) = (к' - K)X1(s - 1) - sX2(s - 1), (En,K, - EnK)X2(s) = sXo(s - 1) + 2mXi(s) - (к' + к)Хз(* - 1), (Епк + Em)X3(s) = 2mXo(s) + sXi(s - 1) - (к' - k)X2(s - 1) - 2aZX3(s - 1), ( ) (EnK + EnK)Xi(s) = (к' + k)Xo(s - 1) - 2aZXi(s - 1) + 5X3(5 - 1),

связывающие между собой недиагональные матричные элементы

сю

Xo(s) = {п'к'\т°\ик) = j (Fn,k> Fnk + Gn, hJ Gnk) rs dr, (2)

0

сю

Xi(s) = {n'K'\axrs\nK) = j (Fn,k>Gnk + Gn,k, Fnk) rsdr, (3)

0

сю

X2(s) = {п'к'\юуrs\nK) = J' (Gn,k' Fnk - Fnk Gnk) rsdr, (4)

0

сю

X3(s) = {u'k'\ozrs\nK) =J' (Gn'k' Gnk - Fn'k' Fnk) rsdr (5)

0

в кулоновском поле V = -aZ/r впервые были представлены в статье [3]. Тогда же была высказана идея их использования для суммирования рядов, которые возникают, например, при вычислении различных поправок к сверхтонкой структуре или в теории ^-фактора. В работе [1] получено матричное представление для соотношений (1), причём были найдены в явном виде матрицы для прямой и обратной рекурсии. Такое представление позволило найти общее выражение для вероятностей запрещённых M 1-переходов, что очень важно для изучения эффектов несохранения чётности [4, 5]. В статье [2] впервые была высказана гипотеза о том, что в случае произвольного многоэлектронного атома существует аналог вириальных соотношений (1), связывающих недиагональные матричные элементы на одноэлектронных волновых функциях. Для атома с заполненными оболочками такие соотношения были выписаны в явном виде. Было отмечено, что первые два из обобщённых соотношений имеют точно такую

Андрей Михайлович Пучков — научный сотрудник, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected] © А. М. Пучков, 2013

же математическую структуру, как исходные (1), что позволяет использовать их для суммирования рядов теории возмущений. Вообще говоря, основное практическое применение вириальных соотношений (1) связано именно с суммированием рядов. В обзоре [6] было показано, что в некоторых важных частных случаях удается получить явные выражения для сумм, однако общий случай не был рассмотрен. В настоящей работе вопрос о суммировании рядов с помощью метода гипервириальных соотношений будет исследован систематически.

Общая идея суммирования рядов. Частный случай в = —1. Введём величины

(в) = (Епк - Еп,к,)Хо(в), У1(в) = (Епк - Еп>к>)Х1(8), У2(в) = (Епк - Еп,к)Х2(в), У3(в) = (Епк - Еп,к>)Хз(в). Тогда соотношения (1) с помощью (6) можно представить в матричном виде:

(6)

У(в) = А(в)Х(в - 1) + ВХ(в), где векторы У (в) и Х(в) определим так:

У(в

( Уо(в) \ У1(в) У2(в) V Уз(в) )

Х(в

( Хо(в) \ Х1(в) Х2(в) V Хз(в) )

(7)

(8)

Элементы матрицы А(в), соответственно, равны:

«11 = 0, «12 = к - к , «13 = в «14 = 0,

«21 = -(к + к'), «22 = 2aZ, «2з = 0, «24 = в

«31 = «з2 = 0, «33 = 0, «34 = к + к

«41 = 0, «42 = «4з = -(к - к'), «44 = 2aZ.

В матрице В отличными от нуля будут только четыре элемента:

Ь22 : = 2Епк, Ьз2 : = -2т, Ьц : = -2т, Ъ44 : = 2Епк.

Теперь рассмотрим дираковские кэт-векторы, которые выражаются через бесконечные суммы

\'1, в, к', ик) =

Ё — Е , ,

Епк Еп' к'

Е

Епк Еп' к'

(9)

где Щ = г2, Щ = ахт2, Щ = юуг2, Щ = агг2. Обратим внимание на то, что наши обозначения отличаются от обозначений, которые были использованы в [6], порядком нумерации.

Просуммировать ряд в (9) — это значит записать его в виде конечного числа слагаемых. Сформулируем общую идею суммирования таких рядов. Сначала надо выразить матричный элемент Х^(з) через конечную линейную комбинацию У], причём такое выражение может содержать элементы с индексом в и элементы со смещёнными индексами. Затем подставляем полученное выражение в (9). Множители, содержащие разность энергий в числителе и знаменателе, сокращаются. Остаётся только воспользоваться условием ортогональности, которое сохранит из бесконечной суммы конечное

число элементов. Таким образом, задача суммирования сводится к тому, чтобы используя (7), научиться выражать матричный элемент Х^(в) с произвольной степенью в через конечную линейную комбинацию У^. Самое простое решение эта задача имеет в частном случае, когда в = —1. Действительно, добавим ко второй строке в (7) первую, умноженную на —2Епк/(к — к'), со сдвинутым индексом в ^ в + 1. Тогда в преобразованной системе уравнений вторая строка матрицы В станет нулевой. Аналогично поступаем с третьей строкой. Добавим к ней первую, умноженную на 2т/(к — к'), со сдвинутым индексом в ^ в + 1. К четвёртой строке добавляем вторую, умноженную на —2т/(к + к'), третью, умноженную на —2Епк/(к + к'), и первую, умноженную на 4а^т/(к2 — к' ). Во всех добавляемых строках надо сдвинуть индекс в ^ в + 1. После всех преобразований матрица В станет нулевой. В итоге получается система уравнений

У( — 1) = А( —1)Х(—2),

(10)

где

У( — 1)

/

Ж — 1)

2т

У(-1) + 7-л^о(О)

(к — к')

(11)

Очевидно, что решение системы уравнений (10) имеет вид

Х(—2) = А-1 — 1)У( — 1).

(12)

Проделав все вычисления, получим явные выражения для компонент вектора Х(—2):

Хо(—2)

1

2aZ(к2 — к )Уо( —1) + (к + к')(1 — (к — к')2)У( — 1) +

Д(—1)

+ (1 — (к — к')2 + 4^)2)У>( — 1) — 2aZ(к + к')Уэ( —1) + 4aZ (тУ1(0) + ЕпкУ2(0)) 2

Д( —1)(к — к')

- [8^)2т + (1 — (к — к')2)(Е„к(к + к') — т)Уо(0)] , (13)

Х1(—2)

Д(—1)

[(к' — к)(1 — (к + к')2)Уо( —1) + 2aZYl( —1) + 2aZ (к + к')У>( — 1) +

+ (1 — (к + к')2)Уз( — 1)] —

4aZ (Е„к(к + к') — т(2(к + к')2 — 1))

Уо(0) —

Д( —1)(к2 — к'2) 2(1 - (к+ к/)2)(тУ1(0) + ЕпкУ2(0)) Д( —1)(к + к')

Х2(—2)

Д(—1)

[—(1 — (к + к')2 + 4^ )2)Уо( —1) + 2aZ (к — к')У( —1) +

1

1

+ 2aZ(к2 - к'2)У2( 1) + (к - к')(1 - (к + к')2)У3(-1)] -4aZ(Епк(к + к') - т(2(к + к')2 - 1))

Д(-1)(к + к')

2(к - к')(1 - (к + к')2)(тУ1 (0) + ЕпкУ2(0))

Уо (0) -

+ Е .. У (0))

(15)

Д(-1)(к + к')

Хз{~2) = ДРТ) [2а^(к' " - (! - (к - к')2№(-1) + (к+кта-1)) +

2((к + к')(1 - (к -к/)2)(Кк~т(к + к')) + 4(аг)2т) Д(-1)(к2 - к'2)

4aZ (тУ1(0) + ЕпкУ2(0))

2<х^У3(-1)] + ^^ " ~ ^ ~ ^ ~ "X ^ '"> У0(0) -

(16)

Д(-1)(к + к') где

Д(-1) = det А(-1) = (1 - (к - к')2)(1 - (к + к')2) + 4^)2.

Теперь применим правило суммирования к уравнению (14). В итоге получится известное по многим работам (см. например [6, 7]) выражение для суммы:

(Еп'к' = Епк) ! , /I / 2| 7 \ I / /\

|1, —2, к', пк) = £ (п'*\охУ\пк)\п'*)

Епк Еп

[(1 - (к - к')2)(1 - (к + к')2) + 4(aZ)2] 1 х

г- , I 4aZm

, / ^ , о* 2 Л 4а^[(к+к>)т-ЕпК] (к " к)- + — " к^к' °х + ЕпкЮу)) +-¡Г^-+

+ 2aZ (ОхТ-1 + (к + к')гОу г-1)

\ик). (17)

Правила суммирования рядов, содержащих матричные элементы с в <

< —1. Предположим, что при некотором в < -1 выполнено условие существования матричных элементов (2)—(5) и, кроме того, det А(в) = 0. Тогда исходную систему (7) можно разрешить относительно вектора Х(в - 1):

Х(в - 1) = А-1(в)У(в) - А-1 (в)ВХ(в). (18)

Очевидно, что формула (18) при отрицательных степенях имеет рекуррентный характер, поэтому в сочетании с формулой (10) она даёт правила суммирования рядов, содержащих матричные элементы с целыми отрицательными степенями в < -1. Так, при в = -2 имеем

Х(-3) = А-1 (-2)У(-2) - А-1(-2)ВХ(-2) =

1 \ - (19)

= А-1 (-2)У(-2) - А-1(-2)ВА-1(-1)У(-1).

Компонента Хо(-3), записанная с помощью (19), приводит к известному по работе [7] выражению для суммы

(Еп'к' =Епк) I / /¡1 / 3| 1\| / /\ (Еп'к' =Епк) -V- / „1 /

(и'к'\1/т3\ик)\и'к') Х0(-3)\и'к')

К — К / / ~~ К — К / / '

Епк Еп' к' , Епк Еп' к'

п'

\0, -3, к',ик)=

которое из-за его громоздкости не будем здесь приводить. С помощью (18) и (19) можно получить формулу, которая описывает решение нашей задачи при целых отрицательных степенях в < -1 в явном виде:

1-2

'

Х(в) = Л-1(в + 1)У(в + 1) + ^ (-1)' П л-1(в + к)в л-1(в + 1)у(в +1) +

1=1

+ (-1)

я|-2

_1)к| + 1 I ТТ ГА-1

к=1

1

(20)

П {А-1(в + к) в А-1(-1)У(-1).

к=1

Доказательство формулы (20) производится по индукции.

Правила суммирования рядов, содержащих матричные элементы с в ^ 0.

Если мы перейдём к неотрицательным степеням, то потребуется разрешить систему уравнений (7) относительно вектора, содержащего матричные элементы со старшими степенями, т. е., относительно Х(в). Однако это невозможно, поскольку det В = 0. Следовательно, чтобы получить формулы суммирования при в ^ 0, необходимо исходную систему (7) преобразовать в эквивалентную так, чтобы в новой системе det В = 0. Для этого воспользуемся первой строкой в (7):

Уо(в) = (к - к')Х1(в - 1) + 5X2(5 - 1),

(21)

и уравнением, которое получается, если сложить вторую строку (7) с третьей, умноженной на Епк/т:

У1(в)

-У2 в = -

т

+

! | /\ | ЕПК

(к + к') -|--в

т

I Епк /

вН--(к + к')

т

Х0(в - 1) + 2а^Х1(в - 1)+ Хз(в - 1).

(22)

Поскольку правые части (21) и (22) содержат только матричные элементы со степенями в - 1, можно сдвинуть индекс в ^ в + 1 и создавать такие линейные комбинации преобразованных уравнений (21) и (22) со строками (7), которые диагонализуют матрицу В. В результате преобразований появятся также новая матрица Л (б) и вектор У. Все вычисления элементарны, но довольно громоздки, поэтому приведём только конечный результат. Элементы матрицы Л (б) соответственно равны:

2aZEnкв

ап :=

г(в + 1) + Е„к(к + к')'

Я12 := к - к - в,

а13 := в - к + к ,

а14 :=

2аZm(в + 1)

а21 а2з аз1 азз

а41 :=

= -(к + к'),

= 0,

-в, 0,

а>22

Й24 Й32 Й34

т(в + 1) + Е„к(к + к'): = 2aZ,

= в, = 0,

= к + к',

2aZmв

т(к + к') + Е„к(в + 1)'

а42 := -в,

, м - 2aZEnK(s + 1)

a43 := —(к — к J, (244

т(к + к')+Епк(в + 1)' В матрице B(s) остаются только диагональные элементы

611 rri(s + 1) + Епк(к + к') ' 2Епк,

Ъ

2m(s +1) - 2(ЕПк - m2)(s + 1)

13 ' к-к' ' 14 ' ш(к + к') + EnK(s + 1) '

Преобразованный вектор Y (s) имеет следующие компоненты:

viuvn 2aZEnK 2EnK(mY1(s + l) + EnKY2(s + l)) Y0(s) = Y0(s) + Yi(s) - т{8 + 1) + Епк{к+к,)У^)--to(s + 1)+£„k(k + k')-'

Y-i(s) = Yi(s),

~ 2m

(к - к )

f(s)=Y (s)__2aZm _ 2m(mY1(s + 1) + EnKY2(s + 1))

3lSj 3lSj m (к + к') + EnK(s + 1) 2[S) m (к + к') + EnK(s + 1)

В результате получилась система уравнений

Y(s) = A(s)X(s - 1) + B(s)X(s). (23)

Заметим, что при s = —1 новая матрица B (s) будет невырожденной, поэтому (23) можно разрешить относительно X(s) :

X(s) = B-1(s)Y (s) + B-1(s)A (s)X(s — 1). (24)

Отсюда при s = 0 имеем

X(0) = B -1(0)Y (0) + B -1(0)A (0)X( —1). (25)

С помощью (24) и (25) выводится общая формула, описывающая правило суммирования рядов, содержащих матричные элементы с произвольными целыми степенями:

X(s) = B -1(s)Y (s) + ( —1)' Щ B-1(s — k) A (s — k) J B-1(s — l)Y (s — l) +

l = 1 \k=0 ) foa\ ( s \ (26)

+ — 1)S+1 П {B-1(s — k) A (s — k)} X( —1).

(s

vfc=0

Доказательство формулы (26) производится по индукции. Конечно, явный вид решения из этой формулы можно получить, если известно решение при в = 0, т. е. выражение для всех компонент вектора Х(-1) через конечную линейную комбинацию У]. Для компоненты Х1 (-1) из (21) имеем

к - к'

Правая часть этого выражения при к = к' содержит неопределённость типа 0/0, которая раскрывается по правилу Лопиталя. Одну из двух компонент Хо( —1) или Хз( — 1) с помощью (22) можно выразить через другую. Таким образом, в векторе Х( —1) остаются неопределёнными две компоненты. Найти все компоненты Х( —1) чисто алгебраическим путём можно только в двух случаях: 1) симметричном к = к' и 2) антисимметричном к' = —к. Решение задачи удобнее начинать с определения компонент вектора Х(0). Покажем, как оно выглядит для симметричного случая:

Хо(0) = Ьии',

ХМ = -Ш + к(т + 2к^к)уз(о) _

2т 2алш2 т2

КЕ [тУ(1) + ЕпкУ2(1)} - (27)

aZm2 aZm2

Х2(0) = Уо(1),

Хз(0) = У(1) + ^У2(1) + — У2(0) - -У3(0) + -^-Ъпп>, т т т т

Выражение для верхней компоненты — это просто условие ортогональности. Затем из (23) находим

Х( —1) = А_1(0)У(0) — А ^1(0)!?(0)Х(0). (28)

Подставляем в это выражение (27) и раскрываем неопределённости. В итоге получится решение нашей задачи в симметричном случае. В антисимметричном случае поступаем аналогично. Сначала из системы (7) определим

хт = ~Щ, Х2(0) = У0(1) + -У2(0). 2т т

Затем, полагая Хо(0) произвольным и используя (22), выражаем Хз(0) через Хо(0). Собираем все выражения для компонент в вектор Х(0) и подставляем его в (28). В итоге получится решение нашей задачи в антисимметричном случае. Все неопределённости типа 0/0 раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Нахождение всех компонент Х( —1) или Х(0) для произвольных к и к' требует привлечения дополнительных соображений, выходящих за рамки метода гипервириальных соотношений. Имеется, по крайней мере, два пути, по которым можно искать решение. Прежде всего это — численные математические эксперименты. Другими словами, можно методом проб и ошибок попытаться подобрать недостающие соотношения. Второй способ основан на следующей идее. В работах [8, 9] было установлено: диагональные матричные элементы (1) выражаются через обобщённые гипергеометрические функции 3^2(1). В качестве рабочей гипотезы можно предположить, что и недиагональные матричные элементы выражаются через обобщённые гипергеометрические функции, но их зависимость от аргументов будет более сложной. Тогда гипервириальные соотншения будут представлять собой не что иное, как соотношения смежности между соседними обобщёнными гипергеометрическими функциями. Гипервириальных соотношений всего четыре, а соотношений смежности значительно больше. Возможно, некоторые из них и дадут нам решение задачи.

В качестве приложения развиваемого в данной работе метода можно упомянуть задачу об уровнях энергии антипротонного атома, в которой сильное взаимодействие

играет роль малого возмущения по отношению к кулоновскому. Известно, что взаимодействие двух нуклонов зависит не только от расстояния между ними, но и от ориентации их спинов, поэтому поправки к уровням энергии антипротона будут выражаться через суммы, подобные рассмотренным выше. Другое приложение может быть связано с проблемой расчёта поправок высокого порядка к ^-фактору электрона в многозарядных водородоподобных ионах.

Автор выражает благодарность B. M. Шабаеву, Д. А. Глазову и С. Н. Набоко за полезные обсуждения и интерес к работе.

Литература

1. Пучков А. М. Метод вычисления матричных элементов для уравнения Дирака в куло-новском поле // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 1. C. 24-33.

2. Пучков А. М. Обобщённые вириальные соотношения для многоэлектронного атома // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 2. C. 48-53.

3. Shabaev V. M. Generalizations of the virial relations for the Dirac equation in a central field and their applications to the Coulomb field // J. Phys. (B). 1991. Vol. 24. P. 4479-4488.

4. Пучков А. М., ЛабзовскийЛ. Н. Вероятности магнитодипольных запрещённых переходов в атоме водорода и лёгких водородоподобных ионах // Опт. и спектр. 2009. T. 106. C. 181-185.

5. Пучков А. М., Лабзовский Л. Н. Исследование эффекта несохранения чётности в атоме водорода и лёгких водородоподобных ионах с помощью запрещённых магнитодипольных переходов // Опт. и спектр. 2010. T. 108. C. 713-718.

6. Shabaev V. M. Virial relations for the Dirac equation and their applications to calculations of hydrogen-like atoms // Precision Physics of Simple Atomic Systems. Berlin: Springer, 2003. P. 97-112. (Lecture Notes in Physics. Vol. 627.)

7. Korzinin E. Y., Oreshkina N. S., Shabaev V. M. Hyperfine splitting of low-lying levels in heavy Li-like ions // Physica Scripta. 2005. Vol. 71. P. 464-470.

8. Suslov S. K. Expectation values in relativistic Coulomb problems // J. Phys. (B). 2009. Vol. 42. 185003.

9. Suslov S. K. Relativistic Kramers—Pasternac recurrence relations // J. Phys. (B). 2010. Vol. 43. 074006.

Статья поступила в редакцию 28 сентября 2012 г.