Субоптимальное ”в среднем” управление гашением колебаний спутника с гравитационной штангой в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 536.21; 27.35; 25

СУБОПТИМАЛЬНОЕ "В СРЕДНЕМ" УПРАВЛЕНИЕ ГАШЕНИЕМ КОЛЕБАНИЙ СПУТНИКА С ГРАВИТАЦИОННОЙ ШТАНГОЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Е.А. Пегачкова, Е.Л. Кузнецова, А. С. Зинченко

Рассматривается задача стабилизации спутника с гравитационной штангой с помощью реактивных двигателей расположенных на ней. Учитывается неэффективный расход топлива при включении и выключении двигателя. Решение поставленной задачи сравнивается с решением задачи в классической постановке и с решением в классе логико-динамических систем. В задаче предполагается, что известно целое множество возможных начальных состояний, то есть, речь идет об управлении пучком траекторий. Синтезируются субоптимальное в среднем управление пучком траекторий.

Ключевые слова: оптимальное в среднем управление, спутник с гравитационной штангой, логико-динамические системы, условия параметрической неопределенности.

Введение. Для получения оптимального по точности ориентации и устойчивого положения спутника на круговой орбите его конструкцию часто дополняют гравитационной штангой, вертикальная ориентация которой соответствует положению равновесия спутника [1]. При отклонении от вертикали возникают колебания относительно положения равновесия, которые можно погасить, используя реактивные двигатели. Для увеличения момента, создаваемого двигателями, их сопла располагают на гравитационной штанге, максимально удаляя от центра масс. Задача стабилизации спутника рассматривается в условиях параметрической неопределенности [2], а также с учетом неэффективных затрат топлива. Предполагается, что начальное состояние заранее неизвестно, а заданно только множество возможных начальных состояний, также учитывается, что каждое включение реактивного двигателя от его запуска до достижения максимальной тяги сопровождается расходом топлива и представляет собой немгновенный переходный процесс. Добавляя в критерий качества соответствующие штрафные слагаемые за включение (и выключение) двигателя, получаем задачу, в которой определяется оптимальное (конечное) количество запусков двигателя, что особенно актуально при создании перспективных образцов авиационной и ракетно-космической техники. В отличие от классической постановки задачи стабилизации в классе непрерывных систем [3,4], в которой оптимальное управление при стабилизации спутника с минимальным расходом топлива представляет собой последовательность импульсных режимов торможения в окрестности положения равновесия, где угловая скорость максимальная. Торможение производится с малыми про-

межутками работы двигателя, но при этом с максимальной тягой двигателя, в итоге общее время стабилизации неограниченно возрастает и такой режим является не реализуемым на практике. При рассмотрении задачи в условиях параметрической неопределенности предполагается, что состояние спутника в начальный момент времени точно неизвестно, а известно целое множество возможных состояний, то есть, речь идет об управлении пучком траекторий. Синтезируются оптимальное в среднем управление пучком траекторий [2,5]. Для управления пучком траекторий применяется оптимальное управление для одной, специальным образом выбранной, траектории системы. Разумеется, что получаемое таким способом управление пучком является субоптимальным. Однако оно может оказаться удовлетворительным для практики, если разброс начальных условий невелик.

Постановка задачи.

Движение спутника вокруг Земли происходит по круговой орбите. В плоскости орбиты он совершает колебания вокруг центра масс. Для гашения этих колебаний используются реактивные двигатели, расположенные на гравитационной штанге. Требуется погасить колебания спутника с минимальным расходом топлива.

Задача активной стабилизации спутника рассматривается в условиях параметрической неопределенности с учетом неэффективных затрат топлива. Математическая модель колебаний спутника в плоскости круговой орбиты для логико-динамической системы в условиях неопределенности описывается уравнениями

0 (X) = <7);

<X) = — к • в1п2е(Х) + 1итах у(Х);

и(Х) = итах У(Х); (1)

у(Х)Е У (у (X — 0)), у(Х0) = 0, Х0 £ X £ 20 = (еад, <(Х0)) Е 2 = 0ХО ,

где 0 - угол отклонения штанги от местной вертикали; < - угловая ско-

3(}х — }7) 2

рость спутника; к =-х-— О , О - угловая скорость движения спут-

2 }у

ника по круговой орбите; } ,} у,} - моменты инерции спутника; I

у }

X

Ь - длина штанги; Х0 = 0, Х1 - моменты начала и окончания процесса

управления. Тяга двигателя и направлена перпендикулярно штанге в плоскости орбиты (в одном из двух противоположных направлений: в од-

ном и > 0, в другом и < 0) и ограничена максимальным значением итах : | и | £ итах, у - состояние автоматной (логической) части системы, У = [—1;1] - множество возможных состояний автоматной части, множество

' [—1,0], у < 0,

у(у) = | [—1,1],у = 0, (2)

[0,1],у > 0

возможных переключений автоматной части из состояния у . Кусочно-постоянная непрерывная справа функция у (•): ® У задает траекторию автоматной части логико-динамической системы. Она связана с тягой и(-) двигателя равенством и^) = итах у^), 10 £ t £ т.е. значение у(г)

определяет рабочее состояние двигателя: у = 0 - двигатель выключен; у > 0 или у < 0 - двигатель включен; а также направление тяги. Множество У (у) определяет допустимые переключения автоматной части, запрещая мгновенное изменение направления тяги двигателя.

Предполагая, что секундный расход топлива пропорционален тяге двигателя, а также учитывая перерасход топлива при включении и выключении двигателя и тот факт, что при запуске реактивного двигателя максимальная тяга достигается не сразу и часть топлива тратится на переходный процесс, в функционал добавляем штрафные слагаемые. Время ^ окончания процесса управления фиксировано. Сначала для каждого начального состояния требуется найти допустимый процесс, минимизирующий функционал:

4 = I т^тах!у^)1 ^ + 11 , (3)

^ теТ (у (•))

где т - коэффициент, определяющий секундный расход топлива, 1 > 0 -величина "штрафа" за включение двигателя. Суммирование в (3) происходит по всем точкам т разрыва функции у(•).

Учитываем, что начальное состояние заранее неизвестно, а задано только множество возможных начальных состояний, где 0, О - множества допустимых значений угла отклонения штанги от местной вертикали и угловой скорости спутника соответственно; о0 с 2 - множество возможных начальных состояний; 20 = (00, е ^ - произвольно выбранное начальное состояние.

Требуется найти оптимальное в среднем управление

/= jl(d(zQ,u))dzQ, (4)

s0

где d (Zo, u) = (0(), w(-), u(-)) - допустимый процесс.

Оптимальное в среднем управление пучком траекторий

В условиях параметрической неопределенности начальное состояние (0o, Wo) точно не известно, а известно множество возможных начальных состояний Oo, то есть речь идет об управлении пучком траекторий в

классе логико-динамических систем. При управлении пучком траекторий ко всем начальным условиям применяется оптимальное управление для одной, специальным образом выбранной траектории системы. Множество о o будем считать компактным, предполагая, что начальные условия имеют нормальное распределение, тогда можно считать, что область возможных начальных условий содержит m х p точек, т.е.

0min = qoi £ qo2 £ ... £ qom = 0max, Wmin = Woi £ Wo2 £ ... £ Wop = Wmax .

Качество управления пучком траекторий, исходящих из заданного множества начальных состояний, оценивается средним значением функционала (4)

N{ (0o;wo) (0o;wo) (0o;wo)

в котором

ti

I(0 W V = J ^max Iy(t)ldt + 1i02(ti) + I2«2(^ + Zl , (6)

(0o;Wo) to teT O(O)

где i = i,2,...,N; N = m • p - количество точек разбиения заданной области начальных состояний.

Результаты приближенного решения задачи Приближенное решение задачи активной стабилизации спутника осуществлялось с помощью программного комплекса, позволяющего находить оптимальное количество запусков двигателя и их продолжительность. Расчеты проводились при следующих значениях параметров:

Jx = Jy = i,2• io6 кг• м2, Jz = io4 кг• м2, L = io м, W = i,o98• io-3 рад/с,

Umax = ii Н, 0o = o,i рад; o^ =-o,ooi рад/с, ti = 2 • io4 с. Нулевые терминальные условия учитывались добавлением в критерий качества (3) штрафных слагаемых, т.е. минимизировался функционал

ti

I = Jm u(t)|dt + 1i02(ti) + 12W2(ti) + Zl , to teT (y())

где = 9• 104, 12 = 5• 1010. Выбор таких значений 12 обеспечивает приближенное равенство нулю угла отклонения и угловой скорости в конечный момент времени ^. Также принималось во внимание, что на практике невозможно включить двигатель менее, чем на 1 секунду, а при более долгой работе временной интервал отклика управляющего устройства составляет 0,2 секунды (т.е. двигатель может включаться на 1,0; 1,2 с и т.д.). Штраф за включение и выключение двигателя 1 = 1. Тем самым предполагалось, что примерно 5 % топлива при каждом включении расходуется неэффективно. Рассматривались режимы с одинаковой продолжительностью работы двигателя.

Программный комплекс допускает произвольное разбиение области возможных начальных состояний о 0, для наглядной иллюстрации в работе

приведено разбиение на 25 начальных условий, т.е. т = р = 5. Рассмотрим множество возможных начальных состояний

о0 = {(00,ю0): 0,075 <00 < 0,125; -0,00099 < ю0 £-0,00101}.

Для выбора управления производились расчеты, при которых для всех траекторий (0(), ю()) по очереди синтезировалось оптимальное управление для каждого отдельно взятого начального условия. Оптимальные режимы для условий (00, о^) приведены в табл. 1, где указаны минимальное значение функционала I, оптимальное количество включений двигателя к и продолжительность запуска двигателя Дt.

Таблица 1

Угловое отклонение

Угловая скорость 00 = 0,075 00 = 0,0875 00 = 0,1 00 = 0,1125 00 = 0,125

Ю0 = -0,00099 I = 126,56 к = 2 Дt = 5,4 I = 126,00 к = 1 Дt = 11 I = 125,12 к = 1 Дt = 11 I = 126,01 к = 1 Дt = 11 I = 128,946 к = 2 Дt = 5,6

Ю0 = -0,000995 I = 125,63 к = 1 Дt = 11 I = 124,97 к = 1 Дt = 11 I = 126,07 к = 1 Дt = 11 I = 129,25 к = 2 Дt = 5,6 I = 126,03 к = 2 Дt = 5,6

ю0 = -0,001 I = 125,14 к = 1 Дt = 11 I = 126,41 к = 1 Дt = 11 I = 129,08 к = 2 Дt = 5,6 I = 126,15 к = 2 Дt = 5,6 I = 125,52 к = 2 Дt = 5,6

Окончание табл. 1

Угловая скорость 00 = 0,075 00 = 0,0875 00 = 0,1 00 = 0,1125 00 = 0,125

Ю0 = -0,001005 I = 127,13 к = 1 АЛ = 11 I = 128,44 к = 2 АЛ = 5,6 I = 126,08 к = 2 АЛ = 5,6 I = 125,47 к = 2 АЛ = 5,6 I = 127,37 к = 2 АЛ = 5,6

Ю0 = -0,00101 I = 127,48 к = 2 А? = 5,6 I = 125,80 к = 2 Ал = 5,6 I = 125,50 к = 2 АЛ = 5,6 I = 127,20 к = 2 АЛ = 5,6 I = 130,88 к = 3 АЛ = 3,8

Далее все полученные в табл. 1 управления поочередно применялись для множества начальных условий о 0, после чего из них выбиралось

управление, реализующее минимальное среднее значение функционала.

В итоге оптимальное в среднем управление совпало с управлением, полученным ранее [4] для задачи в классе логико-динамических систем с заданными начальными условиями. Значения функционалов (6) для каждого начального условия (0о, о^) после применения управления с двумя

включениями двигателя (к = 2) и продолжительностью каждого включения АЛ = 5,6 с приведены в табл. 2.

Таблица 2

Угловое отклонение

Угловая скорость 00 = 0,07 5 00 = 0,0875 00 = 0,1 00 = 0,1125 00 = 0,125

ю0 = -0,00099 160,18 151,118 142,414 134,78 128,946

ю0 = -0,000995 148,27 141,093 134,535 129,249 126,026

ю0 = -0,001 138,866 133,532 129,075 126,149 125,517

ю0 = -0,001005 131,919 128,435 126,082 125,468 127,366

ю0 = -0,00101 127,482 125,804 125,504 127,203 131,64

Графики 0(Л), ю(Л ) приведены на рис. 1, на них показаны траектории для различных начальных условий. Для наглядности отдельно показаны начальный (рис. 2) и конечный (рис. 3) моменты времени соответственно.

Рис. 1. Траектории движения при различных начальных условиях

Рис. 2. Траектории движения в начальный момент времени

Рис. 3. Траектории движения в конечный момент времени

109

Заключение.

Решена задача активной стабилизации колебаний спутника с учетом дополнительных затрат топлива при включении и выключении реактивного двигателя в условиях неопределенности. Найдено оптимальное в среднем управление, которое совпадает с полученным в [4] для задачи в классе логико-динамических систем с заданными начальными условиями. Следовательно, субоптимальное управление пучком траекторий оказалось удовлетворительным для практического применения.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации МК-1404.2014.8, МД-4560.2015.8, НШ-1387.2014.8 и РФФИ 15-08-01902-а.

Список литературы

1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1975. 416 с.

2. Бортаковский А.С. Субоптимальное управление логико-динамическими системами в условиях параметрической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 2007. №11. С.105-121.

3. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977. 304 с.

4. Бортаковский А.С., Пегачкова Е.А. Синтез управления активной стабилизацией спутника на основе необходимых условий оптимальности логико-динамических систем // Вестник Московского авиационного института. 2008. Т. 15, №2. С.28-36.

5. Пегачкова Е.А. Стабилизация спутника в условиях параметрической неопределенности с учетом неэффективных затрат топлива // 13-я Междунар. конф. "Авиация и космонавтика-2014": тез. докл. СПб.: Мастерская печати, 2014. С. 661 - 662. Москва, 17-21 ноября 2014.

6. Пегачкова Е.А., Кузнецова Е.Л., Зинченко А.С. Метод оптимальной оценки массы тепловой защиты элементов конструкций гиперзуковых летательных аппаратов // Механика композиционных материалов и конст-рукций.Т20. №4. 2014.

Пегачкова Елена Александровна, канд. физ.-мат. наук, доц., pegachko-va@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, проф., lareyna@mail.т, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Зинченко Александр Сергеевич, канд. экон. наук, доц., zinchen-ko1980@yandex.т, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

SUBOPTIMAL AVERAGE MANAGEMENT VIBRATION DAMPING SATELLITE BARBELL

WITH GRAVITY UNDER UNCERTAINTY

E.A. Pegachkova, E.L. Kuznetsova, A.S. Zinchenko

The problem of stabilization of the satellite gravity rod using jet engines located on it. Taken into account inefficient domestic finan- fuel consumption when starting and stopping the engine. The decision put-value problem is compared with the solution of the problem in the classical formulation and solution in the class of logic-dynamic systems. In the problem it is assumed that we know a whole lot of possible initial states, that is, it comes to managing the beam-com trajectories. Synthesized suboptimal an average beam control trajectories.

Key words: optimal control, on average, the satellite gravity bar, logic-dynamic systems with unknown parameters.

Pegachkova Elena Alexandrovna, candidate of technical sciences, docent, pegachko-va@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Kuznetsova Ekaterina Lvovna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, the leading researcher, lareyna@mail.ru Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National research university),

Zinchenko Alexander Sergeevich, candidate of economical science, docent, zinchenko1980@yandex.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)

УДК 621.983; 539.374

ВЫТЯЖКА КОРОБЧАТЫХ ДЕТАЛЕЙ С НЕБОЛЬШИМИ УГЛОВЫМИ РАДИУСАМИ

А.Н. Малышев, С.С. Яковлев, Ю.В. Бессмертная

Приведена математическая модель операции вытяжки коробчатых деталей с небольшими угловыми радиусами из анизотропных листовых материалов. Изложены результаты теоретических исследований операции вытяжки низких коробчатых деталей с относительно небольшими угловыми радиусами.

Ключевые слова: коробчатая деталь, математическая модель, напряжение, деформация, пластичность, сила, мощность, анизотропия, матрица, пуансон, вытяжка.

Коробки с небольшим относительным угловым радиусом 0,17 £ Ту^ /(2 а - И) £ 0,4 вытягивают из заготовок прямоугольной формы с

угловыми радиальными закруглениями, где а и И - ширина и высота детали. Расчетная схема вытяжки показана на рис. 1.

111