CC BY
9
-й контур
2-й контур
a)
a)
в)
в)
Рисунок 13
действию цифровой регулятор, структурная схема которого приведена на рис. 7. Цифровые регуляторы работают с шагом квантования Н = 0, 5с.
На рис. 13 представлены процессы в первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора) и во втором контуре (контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе) при подаче на вход каждого контура эквивалентного гармонического воздействия (17).
Максимальная текущая ошибка в контуре управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу
^КР ^ «в (за исключением начального выброса в первый период захвата входного воздействия) не превышает 1,1 % от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия. Максимальная текущая ошибка в контуре управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу От ^ Пв (за исключением начального выброса в первый период захвата входного воздействия) не превышает 0,65 % от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия.
ВЫВОДЫ
По результатам моделирования можно заключить, что перекрестные связи обеспечивают автономность каналов регулирования, а оптимальные по быстродействию цифровые регуляторы обеспечивают достаточно высокое качество автономных контуров управления, характеризуемое малыми максимальными значениями текущих ошибок рассогласования.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Гостев В. И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматического управления. - К.: Издательство «Радюа-матор», 2005. - 708 с.
2. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1970. - 576 с.
Надшшла 23.12.05
Викладеш результати дослгдження методом матема-тичного моделювання двомгрног системи автоматичного управлтня частотою обертання ротора вентилятора i ступенем тдвищення тиску у вентиляторi двороторного газотурбiнного двигуна з цифровими оптимальними за швидкодieю регуляторами при довiльниx вxiдниx дiянняx.
The outcomes of research by a method of mathematical simulation of the two-dimensional system of automatic control of a rotation al speed a ventilator and degree of rise of pressure in the ventilator of double-rotor gas-turbine engine with digital optimum on speed controllers are explained at arbitrary entry effects.
УДК 62-505
В. Ф. Кудин, А. В. Торопов
СУБОПТИМАЛЬНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОНТУРОМ СТАБИЛИЗАЦИИ УСИЛИЯ РЕЗАНИЯ В МЕТАЛЛООБРАБОТКЕ, ИНВАРИАНТНОЕ В ОТНОШЕНИИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Рассмотрена задача синтеза субоптимального регулятора контура стабилизации усилия резания металлорежущего станка. Спроектирован нелинейный субоптимальный регулятор на основе метода Беллмана-Ляпунова с использованием концепции метода «погружения», инвариантный в отношении внешних возмущений.
© Кудин В. Ф., Торопов А. В., 2006
ВВЕДЕНИЕ
Для повышения производительности технологических процессов металлообработки на токарных станках применяются системы стабилизации силовых парамет-
ров [1]. Одной из наиболее распространенных систем является система стабилизации усилия резания. Применение этих систем позволяет обеспечить заданную шероховатость поверхности, а также отсутствие при-жогов, и уменьшить машинное время по сравнению со временем точения на обычном станке.
Известно, что системы стабилизации усилия резания работают при наличии внешних и внутренних возмущений. В современной теории оптимального управления сложилось два основных подхода при решении задачи синтеза с учетом внешних возмущений. Первый из них связан с задачей стохастического оптимального управления и приводит в итоге к стохастическому уравнению Беллмана [2]. Если статические характеристики возмущающего воздействия отличны от «белого шума», то решается задача получения математической модели внешних возмущений в виде формирующего фильтра с последующим решением задачи наблюдения [3]. Второй подход к решению задачи построения инвариантных систем автоматического управления возникает в том случае, когда возмущающие воздействия являются детерминированными, регулярными. Как правило, природа возмущений, действующих на управляемый объект, неизвестна. Однако в некоторых случаях оказывается достаточным приближенное описание возмущающих воздействий. В системах стабилизации усилия резания большинство возмущений имеет волнообразный, то есть регулярный характер, вследствие вращательного движения обрабатываемой заготовки [4-6]. Поэтому, второй подход к решению задачи построения инвариантной системы является более предпочтительным.
На практике в системах стабилизации используются астатические регуляторы, обеспечивающие нулевую статическую ошибку по выходной координате [7, 8]. Однако применение таких регуляторов является целесообразным только при постоянном характере возмущающего воздействия. В случае периодических возмущений применение астатических регуляторов приводит к ухудшению характеристик системы и для уменьшения статической ошибки возникает необходимость использования управлений, поглощающих возмущения.
Перспективным направлением в настоящее время является разработка субоптимальных нелинейных законов управления, которые позволяют существенно уменьшить влияние возмущений, действующих в системе, а также учитывать наличие нелинейностей в контуре управления. В представленной статье решение задачи синтеза регулятора контура стабилизации усилия резания (КСУР) основано на методе Беллмана-Ляпу-нова с использованием концепции «метода погружения» [9-12].
Система стабилизации построена для тангенциальной составляющей усилия резания, являющейся наиболее существенной и составляющей около 70% от результирующего усилия.
1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КСУР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Функциональное уравнение, описывающее динамику процесса резания, имеет вид
Fz = у(ю, tp, V, Fz, Fz,..., Ff >),
(1)
где Fz - тангенциальная составляющая усилия резания, Н; Ьр - глубина резания (припуск), мм; <в -скорость вращения вала двигателя привода подачи, мм/об; V - скорость резания, м/мин, F(zl) - г-е производные от тангенциальной составляющей усилия резания. Уравнение установившегося состояния для процесса резания будет [1]
Fz0 = 9, 8Cf t
Vf,
Fz p0 0
(2)
где CF , xF , уF , n, kF - коэффициенты и показатели
Fz Fz Fz Fz
степени, зависящие от обрабатываемого материала, вида обработки, материала режущего инструмента, Fzo, tp0, <»o - тангенциальная составляющая усилия резания, припуск и скорость вращения вала двигателя привода подачи в установившемся режиме работы.
Осуществим линеаризацию нелинейного выражения (1) согласно методике, предложенной в [5, 13]. При этом полагаем, что скорость резания при обработке остается постоянной.
В основе линеаризации нелинейного уравнения лежит предположение о том, что в процессе резания переменные ю, tp, Fz, Fz, ..., FZ) изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми.
Разложим выражение (1) в ряд Тейлора по степени малых отклонений области установившегося режима
работы, рассматривая ю, tp, Fz, Fz, ..., F^ как независимые переменные. При этом представим усилие резания как сумму установившегося значения и его отклонения, а именно,
Fzo + AFz » Fzo + (dFz/дю)0 • Аю + (dFz/dtp)0 • Atp +
+ £ (dFz/dF(zl))0 • AF(zl) + i = 1
+ 0 (ю, tp, V, Fz, Fz,..., F(zn)),
(3)
x
F
F
z
где (dFz/дю)0, (dFz/dtp)0, £ (dFz/dF(;\ и
i = 1
0(ю, tp, V, Fz, Fz, .., Fzn)) - частные производные в установившемся режиме работы и производные высшего порядка малости от скорости вращения вала двигателя привода подачи, припуска, производных от тангенциальной составляющей усилия резания i-го порядка, со-
( i)
ответственно; AFz, Аю, Atp, AFz - отклонения тангенциальной составляющей усилия резания, скорости вращения вала двигателя привода подачи, припуска и производных от тангенциальной составляющей усилия резания i-го порядка.
При вычитании Fz0 из левой и правой частей уравнения (3), и, пренебрегая производными высшего порядка малости, получим линеаризованное дифференциальное уравнение процесса резания в отклонениях
AFz » (dFz/дю)0 • Aю + (dFz/dtp)0 • Atp +
+ £ (dFz/dF(zi])0 •AF(zi). i = 1
(4)
Приведем выражение (4) к более удобному для анализа виду
- £ (dFz/dF(zi])0 • AF(zl) + AFz « i = 1
* (dFz/дю)0 • Aю + (dFz/dtp)0 • Atp. (5)
Выражения для частных производных от усилия резания по скорости вращения вала двигателя привода подачи и припуска имеют вид [5]
ния по возмущению, Аш - возмущающее воздействие, Трез - постоянная времени процесса резания. Далее, переходя от приращений к абсолютным величинам, перепишем уравнение (5) в виде
T F + Ft
рез z z
Крез -ю + Квозм •Am.
(6)
В различных публикациях [4-6] возмущения, действующие в КСУР, представлены суммой гармонических составляющих различной частоты. Наибольший вес имеет составляющая, обусловленная несовпадением оси симметрии заготовки с осью ее вращения, то есть эксцентричным расположением круглого профиля. Поскольку учет каждой из гармоник приводит к увеличению порядка системы, что, в свою очередь, существенно усложняет процедуру синтеза регулятора, ограничимся учетом только этой составляющей. Опираясь на физическую природу внешних возмущений, их математическое описание можно реализовать в виде решения системы дифференциальных уравнений. Тогда математическая модель возмущений может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка, предложенным в работе Джонсона [15],
Am + 2 ^1Am + ю-jAm = 8( t),
(7)
где <»1 - частота волнового возмущения. В нашем случае, < 1 - скорость вращения вала двигателя привода главного движения; 8(Ь) - последовательность полностью неизвестных импульсных функций случайной интенсивности.
Передаточная функция возмущающего воздействия запишется так:
XF Vf - 1 n (dFz/dю)0 = 9 8VF zCFztp0 ю0 z V0kFz,
XFz - 1 VFz n (dFz/dtp)0 = 9 8xFzCFztp0 ю0 V0kFz.
Значения частных производных от тангенциальной составляющей усилия резания в установившемся режиме работы первого и второго порядка были получены в [1, 14]. Производные высших порядков при подстановке численных значений имеют высший порядок малости и, поэтому, можно без существенных погрешностей ими пренебречь. С целью упрощения процедуры синтеза ограничимся только частной производной от тангенциальной составляющей усилия резания по ее первой производной, то есть (dFz/dFz)o.
Обозначим (dFz/dm)0 = /Ср^ (dFz/dtp) 0 = /С^
-(dFz/dFz)0 = Трез, Ьр = Аш, где /Крез - коэффициент усиления по подаче, / возм - коэффициент усиле-
w p) = ^mM = 8( p)
p + 2 ¡^ю^ + ю1
2'
(8)
Структурная схема КСУР с электроприводом постоянного тока при наличии возмущающих воздействий волнового характера изображена на рис. 1. Контур регулирования скорости электропривода представлен колебательным звеном. Ограничение на выходе регулятора усилия резания описывается нелинейным звеном типа «насыщение». На рис. 1 введены следующие обозначения: / с - коэффициент обратной связи по скорости; / рп - коэффициент регулятора положения; Т^ - постоянная времени преобразователя; KF - коэффициент усиления датчика обратной связи по усилию резания; Кф - коэффициент обратной связи по положению; Мрп - выходное напряжение регулятора положения; ф - угол поворота вала двигателя привода подачи; ст - выходное напряжение регулятора усилия резания без учетом ограничения; Мрур - выходное на-
Рисунок 1 — Структурная схема контура стабилизации усилия резания с учетом возмущения волнового характера
пряжение регулятора усилия резания с учетом ограничения; Мрур = /(ст) - нелинейность типа «насыщение» ; сто - напряжение перехода регулятора усилия резания в насыщение.Система дифференциальных уравнений, соответствующая структурной схеме на рис. 1, имеет вид
объекта, и минимизируемого функционала (10) требуется найти управление ст = у(..., Хб), при котором невозмущенное движение X = 0 асимптотически устойчиво и вдоль траектории системы (9) достигает минимума по ст функционал (10).
йГг
1 с . крез
■-г +--(
т г т
рез рез
К
1 • Аш,
рез
йф йю
йЬ = ю, йЛ.= в,
йв = Крп • К Ф
К
йЬ
й Аш й Ь
К
•ф — -Т ю - 2Г"8 + К1 (ст),
81 , ц с
= АШ, = - ®1 Аш - 2^ю1А?и + 8(Ь), (9)
где в - угловое ускорение вала двигателя привода подачи.
Минимизируемый квадратичный функционал выбираем, исходя из требования минимизации динамической ошибки и минимума энергетических затрат на управление:
,7
1Ш / = [ ст *
0
Л
2,2 X ЧгХг + гст V г = 1
йЬ,
(10)
2 СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНОГО
РЕГУЛЯТОРА КСУР
Система дифференциальных уравнений (10) является нелинейной, так как содержит нелинейное звено, описываемое уравнением Мрур = /(ст) . Вычислительная сложность методов аналитического конструирования (АК) для нелинейных систем резко возрастает при увеличении порядка объекта управления. Поэтому, возникает необходимость использования метода Бел-лмана-Ляпунова с использованием концепции «метода погружения», что позволяет в значительной степени снять проблему «проклятия размерности». При этом сложная нелинейная задача синтеза разлагается на ряд более простых линейных задач оптимального управления.
Осуществим линеаризацию вышеуказанной нелинейности методом секущих [16]. Тогда нелинейность мрур = /(ст) аппроксимируется прямой вида Мрур = = Кнас(ст) • ст, где Кнас(ст) - коэффициент мгновенной линеаризации. Тогда система дифференциальных уравнений (10) примет вид:
где дг, г - весовые константы, определяющие ограничения на фазовые координаты и управляющие воздействия, соответственно.
Таким образом, ставится следующая задача. Для заданной системы дифференциальных уравнений (9), описывающих возмущенные движения управляемого
-а1х1 + а2Хз + азХ5, Х2 Хз, хз = х4,
Х 4 — я4Х2 — ^5 Х3 — а 6 Х 4 + Ь1 ст, Х 5 = Х6,
Х 6 = — а7Х5 — а8 Х6 + 8( Ь), (11)
где Х1 = %2 = Ф, Х3 = ю, х^ = е, х5 = А т,
-1 -1 х6 = Ат; а1 = Грез; «2 = Крез • Грез; «3 = Квозм х
X Т
,-1
-1 2 -1 «4 = Крп • Кф • Кс ; «5 = (8Та) ; «6 =
-1 2
=(2V ; «7 = ю1; «8 =2ь1 = Кнас(з)х X Крп • КЛ
В матричном виде система (11) запишется так:
X = АХ + ВЦ,
(12)
где
А=
-«1 0 «2 0 «3 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 - «4 -«5 - «6 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 —«7 —«8
- Т
100 Т; Х = Х2 Х3 Х
и = и
При этом коэффициент Ь1 матрицы В является функцией параметра линеаризации, то есть будет изменяться для различных областей фазового пространства.
Выбор весовых констант функционала (10) осуществим согласно методике, изложенной в [17]. Величины весовых констант, определяющих ограничения на фазовые координаты и управляющие воздействия, оп-
-2 -2 ределяются, соответственно, ^ = х^ах; г = <тах.
В соответствии с методикой, изложенной в [9-12], процедуру синтеза с использованием метода «погружения» можно представить в виде следующей последовательности этапов.
1. Осуществление решения задачи аналитического конструирования «в малом» для модели (12) и функционала (10). При этом решается уравнение Риккати
Т -1 Т
вида А Б + Б А - БВЯ В Б + С = 0 и находится мат-
-1 Т
рица коэффициентов обратных связей К = Я В Б для случая К (<) = К 1. Уравнение оптимального регулятора и компенсации возмущения будут иметь 6
вид <1 = - X кгХг. г = 1
2. Осуществление решения задачи АК «в большом». Аналогично решается уравнение Риккати и находится
-1 Т
матрица обратных связей К2 = Я В Б для случая Кннас(ст) = Кннас2. Уравнение оптимального регулято-
ра и компенсации возмущения будут иметь вид <2 = 6
= - X кгХг .
г=1
3. Сшивание мгновенных значений и получение нелинейного закона управления. Определяются новые допустимые управления и осуществляется сшивание «мгновенных значений» управляющих воздействий < и <32, справедливых для различных областей фазового пространства. Представим уравнение регулятора «в большом» в виде 32 = <1 + А<, где А<< =
66 = - Х(к' - к^Х1 = - £ Акх1. Поскольку коэффици-
г = 1 г = 1
енты регулятора к}, ..., к6 являются функциями переменных состояния, то управляющими воздействиями полагаем вариации параметров Ак 1, ..., Ак6 [9-12]. Тогда управление «в большом» принимает вид
( \
6 6 X кгХг + X
г = 1 г = 1
Ака,
(13)
Минимизируемый неклассический функционал выбираем, исходя из требования динамической точности и минимизации затрат на управления. Этим требованиям отвечает следующий обобщенный критерий работы А. А. Красовского [18], последнее слагаемого которого выражает собой «энергию» (обобщенную работу) оптимального управления:
тт Ак1, ..., Ак6
= 1
6 2,6 Л ,2 , Л Х1 С дУ 2
X^гХг + XСгАкг + X 47?!дХ
г = 1 г = 1
г=1
Л, (14)
где Сг^ = Ак-тах - весовые коэффициенты.
Осуществляем замыкание исходной системы, то есть, подставляем выражение для <2 в систему (11)
Х1 — «1Х1 + «2 Х3 + «з Х5, Х2 = Х3,
Х3 = Х4,
(
«4Х2 «5Х3 «6Х4 Ь1
X кХг + X АкХг
V г = 1 г = 1
Х5 = Х6,
Х6 - «7Х5 - «8х6.
(15)
Для системы уравнений (15) и минимизируемого функционала (14) уравнение Беллмана имеет вид
СТо = -
2
Т
6
4
6 2 6 Е + Е'
г = 1 г = 1
д V дх.
д V
дх.
' а4Х2 — Х3 — &бХ4 —
5 +Е г=1 2 Х г 4 Сг '(Ь1 Й
Хз + дV + д Хз Х4
+ дХ2
6 Е кг г=1 Хг + Е ДкгХ г=1
, дV , дV , ч „ /.,,4
+ дхъХб + дХ'(— а1Хъ — в8Хб} = 0 (16)
Реализуя процедуру минимизации, получим
Ь1 дV -
Акг = Т1 'дт-'Х^ г = 1, 5.
г 2Сг дХ4 '
(17)
Модифицированное уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана примет вид
2 , д V
г = 1
1
ЗУ_
дХ
д V + дХ2 з д V
дХз
7 6
' Х2 — а5Хз — абХ4 — Ь1
Е кгХг
Vг = 1 у
, дV , дV , ч „ /,„ч
+ д^'Х6 + дХ- '(— а7Х5 — а8Хб) = (18)
Решение этого уравнения будем искать в виде квадратичной формы
V(Х 1>---> Х6) = Е kгiХгХj.
г} = 1
(19)
Реализуя дальнейшую процедуру АК регулятора, определяем коэффициенты квадратичной формы из системы линейных алгебраических уравнений.
Закон субоптимального управления в общем виде определяется следующим соотношением:
6 Ь
Е кгХг + Е
г = 1 г = Г
(
6Ь
1 V 2
2 сг дх4 1 7
Е кгХг + Е С1х2'
г = 1 г = 1 1
\\
Е к/4х-
V/ = 1
(20)
В результате синтеза был получен нелинейный закон управления, содержащий фазовые координаты Х1, ..., Х6. Однако, непосредственное измерение координат Х5 и Х6 является невозможным. Таким образом, возни-
кает необходимость использования наблюдателя для координат состояния, определяющих возмущения.
3 ПОСТРОЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ НЕИЗМЕРЯЕМЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ
Исследуемая система является нелинейной, так как содержит нелинейное звено типа «насыщение». Методы оценки неизмеряемых координат достаточно хорошо разработаны для линейных объектов; для нелинейных же динамических объектов имеется только ряд частных решений. Следовательно, целесообразно применять редуцированный наблюдатель для линейной части системы, содержащей неизмеряемые переменные состояния, определяемые воздействием возмущения. Процедура построения наблюдателя для измерения возмущений, имеющих волновую структуру, изложена С. Джонсоном в [15].
Осуществим построение наблюдателя для линейной части, описываемой системой уравнений
Х1 — а1Х1 + а 2 х з + аз Х5, Х 5 = х6,
хс 6 = — а7Х5 — а8Х6 + 8( (21)
В этой системе уравнений переменная состояния Хз является входным воздействием для системы.
Матрицы динамики линейной части, управления и измерения имеют вид
АР =
—а1 аз 0 а2
0 0 1 ; вр = 0
—а7 —а8 0 _0_
; ср = [10°.
Наблюдатель описывается матричным уравнением вида
Х= (А — КС)Х + ви + КУ (22)
или в операторной форме
[ р1 — (А — КС)] X = Ви + КУ,
где I - единичная матрица. Выбор элементов матрицы К означает определение вида характеристического уравнения наблюдателя Н (р) = 0, то есть
[р1 — (А — КС)] = 0.
(23)
Д^,..., Дк6
Сто = —
2
Для выбора распределения корней характеристического уравнения используем форму Баттерворта третьего порядка
3 2 2 3
Н(р) = р + 2, 0ю0р + 2, 0ю0р + ю0. (24)
Записав выражение ёе![р1 - (А - КС)] = Н(р) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, можно определить коэффициенты связей наблюдателя, являющихся элементами матрицы К. Значение частоты Ю0 выбирается таким образом, чтобы быстродействие наблюдателя было выше быстродействия системы.
Ошибки оценивания е^т и определяются системой дифференциальных уравнений
de
Am
dt
Am>
de
Am
dt
= - a7eAm - 4eAm + 5(t)
(25)
4 МОДЕЛИРОВАНИЕ КСУР ПРИ НАЛИЧИИ
ВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Исследование динамики было проведено методом цифрового моделирования. При этом проводилось сравнение КСУР, содержащего ПИ-регулятор усилия резания, и КСУР с синтезированным нелинейным регулятором. Синтез регулятора и моделирование системы осуществлялось при следующих параметрах КСУР: Тц = 0, 01 c; = 104 рад/с; % = 0,1; Kф = 1 В/рад; Kc = 0, 1 Вс, о = 1 В, Крп = 1, 25, Cp = 31,721; xp = 0, 9; yp = 0, 75; n = -0, 15; tp = 1 мм; kF = 1;
P J P P Fz
а = 10 рад/с; V = 100 м/мин, К = 1314, 2 Н/мм; Квозб = 788, 53 Н/мм; Трез = 0, 087 с. При моделировании на вход системы подавался линейно нарастающий сигнал задания F(t). На вход системы в качестве возмущающего воздействия подавались функции Дирака с частотой 10 имп/с.
Переходной процесс в системе по выходной координате при использовании ПИ-регулятора представлен на рис. 2. Время переходного процесса составляет 0,4 с, присутствуют колебания, максимальная амплитуда которых составляет 10 % от номинальной величины усилия резания, что является недопустимым для КСУР. Переходной процесс при использовании нелинейного субоптимального регулятора представлен на рис. 3. Время переходного процесса составляет 0,45 с, но существенно уменьшается максимальная амплитуда колебаний до 1 %.
Рисунок 2 - Переходные процессы в системе с ПИ-регулятором
Fz,H
900
700
200
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.S 0.6 0.7 0.8
Рисунок 3 - Переходные процессы в системе при использовании синтезированного нелинейного субоптимального регулятора
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Использование нелинейного субоптимального регулятора позволяет улучшить динамические характеристики КСУР, по сравнению с ПИ-регулятором и линейно-квадратичным регулятором. Дальнейшее улучшения качества системы возможно при использовании более точной аппроксимации оптимального управления, которую возможно получить при использовании классического функционала. Однако, это приведет к усложнению закона управления и увеличит вычислительную сложность процедуры АК.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1.
Шапарев Н. К. Расчет автоматизированных систем управления металлообработкой. - К.: Лыбидь, 1992. - 272 с.
2. Батков А. М., Александров В. М. и др. Методы оптимизации в статистических задачах управления. - М.: Машиностроение, 1974. - 240 с.
3. Сейдж А. М., Уайт III, Ч. С. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и Связь, 1982. - 392 с.
4. Гнатейко Н. В., Румбешта В. О. Методика керування обробно!' мехашчно'Т системи // Науков1 вют НТУУ «КШ». - 2002. - № 6. - С. 55-58.
5. Петраков Ю. В. Теор1я автоматичного управлшня в ме-талообробцк - К.: ¡ЗМН, 1999. - 212 с.
6. Васильев В. С., Васильев С. В. Резание металлов -псевдогармонический случайный процесс // СТИН. -2003. - № 7. - С. 17-20.
7. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С. Системы управления морскими подвижными объектами. - Л.: Судостроение, 1988. - 272 с.
8. Летов А. М. Динамика полета и управление. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1969. - 360 с.
9. Беллман Р. Методы вычислений: Избранные главы // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 8. - С. 3-39. -№ 9. - С. 3-51. - № 10. - С. 3-43.
10. Kudin V., Kolacny J. Synthesis of suboptimal nonlinear regulator by immersion method. // J. Electrical engineering. - Bratislava, Slovakia. - 1998. - Vol. 49, 1\1о. 1-2. - Pp. 11-15.
11. Кудин В. Ф., Кудин А. В. Аналитическое конструирование нелинейных регуляторов с помощью метода гармонической линеаризации // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 1989. - № 9. -С. 60-67.
12. Кудин В. Ф. К вопросу построения нелинейного регулятора методом динамического программирования // Автоматика (АН УССР - Киев). - 1968. - №1. - С. 32-38.
13. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972. - 768 с.
14. Абакумов А. М., Видманов Ю. И., Михелькевич В. Н. Алгоритмизация процесса продольного точения // Станки и инструмент. - 1972. - № 9. - С. 29-31.
15. Ажонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям // Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Год редакцией К. Т. Леондеса - М.: Мир, 1980. - С. 253-320.
16. Гельднер К., Кубик С. Нелинейные системы управления / Геревод с нем. С. Г. Забродина, А. А. Голозова; Год ред. Б. А. Рябова. - М.: Мир, 1987. - 367с.
17. Мерриэм Ч. В. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. - М.: Мир, 1967. - 549 с.
18. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные систе-мы: Учеб. пособие для вузов по спец. «Автоматика и управление в техн. системах». - М.: Высш. шк., 1989. - 263 с.
Надшшла 19.01.06 Шсля доробки 28.02.06
Розглянуто задачу синтезу субоптимального регулятора контуру стабглгзацп зусилля ргзання металоргзаль-ного верстату. Спроектовано нелгтйний субоптималь-ний регулятор на основ{ методу Белмана-Ляпунова з ви-користанням концепцп методу «занурення», гнварган-тний у вгдношеннг до зовтштх збурень.
Synthesis problem of machine tool cutting force stabilization loop nonlinear suboptimal regulator is considered. Nonlinear suboptimal regulator, invariant with respect to external disturbances, based on Bellman-Lyapunov method, using immersion method conception, is designed.
УАК 621.313
И. А. Орловский
МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ПОСТОЯННОГО ТОКА НА РЕКУРРЕНТНЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЯХ
Получены уравнения для вычисления весовых коэффициентов рекуррентных нейронных сетей (РНС), представляющих модель линейного динамического объекта. Реализованы модели электропривода постоянного тока на РНС. Результаты моделирования показали высокую точность рассчитанных моделей на РНС.
В последние десятилетия в мире получили широкое развитие интеллектуальные системы управления объектами, в том числе и электроприводами. Разделами интеллектуальных систем среди многих являются искусственные нейронные сети (НС) и генетические алгоритмы (ГА). Способности НС обучаться и нахождение оптимальных настроек регуляторов ГА позволяет обеспечивать заданное качество управления объектом при изменении его параметров. Поиск параметров регуляторов ГА и НС требует выполнения множества эпох (сотни и тысячи), т.е. повторных запусков объекта с новыми параметрами регуляторов. Для реальных объектов это, как правило, невозможно. Обучение ин-
© Орловский И. А., 2006
теллектуальных систем, следовательно, необходимо выполнять на модели объекта, поэтому одной из важных задач является получение достаточно точной модели динамического объекта, в процессе его работы.
Модель объекта можно выполнить на НС. В [1] получены модели двигателей постоянного и переменного тока на НС прямого распространения. Такая сеть эмулировала работу двигателя только для небольшого набора обучающих данных. Для входных данных не входящих в обучающий набор сеть имела очень большую ошибку. Похожие результаты получены в [2]. Из-за отсутствия обратных связей сети прямого распространения не обладают обобщающим свойством для динамических объектов и, следовательно, не способны качественно эмулировать такие объекты. В работе [3] делается вывод о перспективности использования РНС для получения модели привода. Теоретические основы реализации динамических объектов на РНС рассмотрены в [4, 5]. Согласно [4], модель динамического
