Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.6+517.958

М. Ю. Медведик

СУБИЕРАРХИЧЕСКИИ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКИХ ЭКРАНАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Аннотация. Рассмотрено решение интегрального уравнения, полученного из краевой задачи Коши для уравнения Гельмгольца. Представлен численный метод Галеркина. Получены численные результаты решения задачи в двух случаях при k Ф 0 и к = 0 с использованием субиерархического алгоритма на плоских экранах произвольной формы.

Ключевые слова: субиерархический алгоритм, интегральное уравнение, численный метод, краевая задача.

Abstract. The initial value problem for Helmholtz equation is considered. The issue results in an integral equation. The integral equation is solved by Galerkin method. Numerical results of solving of are obtained by using subhierarchical algorithm by plane screen of arbitrary shape in two case: к Ф 0, к = 0.

Keywords: subhierarchical algorithm integral equations, numerical method, boundary value problem.

Ряд задач математической физики приводит к решению интегральных уравнений вида

К подобным задачам относятся, например, задача дифракции электромагнитной или задача дифракции акустической волны на экранах плоской формы волн. Исследованием подобных задач занимался ряд авторов (Л. А. Вайнштейн, Г.А. Гринберг, Д. И. Воскресенский, Е. В. Захаров, А. С. Ильинский, Ю. В. Пименов, А.Б. Самохин, А. Г. Свешников, Ю. Г. Смирнов, Е. Е. Тыртышников). Рассматриваемая задача является актуальной в связи с широким применением результатов решения задачи в проектировании антенных решеток, полосковых антенн и печатных проводников. Исследование в этой области привели к активному и успешному применению численных методов для решения аналогичных задач дифракции. Однако большинство авторов ограничивались решением задачи на экранах базовой формы, например, на квадрате, прямоугольнике, треугольнике или круге. Представленный в статье метод позволяет решать подобные задачи на экранах произвольной формы, опираясь на результаты, полученные при решении задачи на экране базовой формы [1-4].

Введение

(1)

Постановка задачи

Пусть Q - ограниченная плоская незамкнутая поверхность в Я с границей у (й = |х = ( X}, Х2,0) е Я3 |). Будем искать функцию и е н}ос {М$ ),

что означает ограниченность энергии в любом конечном объеме пространства, удовлетворяющу нения Гельмгольца:

3 —

ва, удовлетворяющую на Ы§ = Я \ О следующей краевой задаче для урав-

( + к2 )и = 0 и еМ$, 1т к >0, (2)

с краевыми условиями на функцию (задача Дирихле)

и = g и ей . (3)

Для обеспечения единственности решения задачи необходимо, чтобы функция и удовлетворяла условию на бесконечности (условию

Зоммерфельда):

— - гки = о [г-1 )к Ф 0; дг \ >

и = О [г-1 )к = 0 г = |Х (4)

Справедливы теоремы о единственности решения задачи Дирихле в предположении, что оно существует [5].

Представим рассматриваемое интегральное уравнение в операторном

виде:

Ьи = /, (5)

где Ь является интегральным оператором

еЩх-у\

Ьи = I -----г-и (. (6)

й 'Х У

Введем пространство распределений Соболева. Положим для любого

5 е Я:

Н [й)={и й: и е Н (Я2)

Н (о) = |и о: и є Н51Я2 ):8ирри со|.

Интегральный оператор Ь: Н 1/2 (о)^ Н1/2 (О) [5, 6]. Данный оператор является эллиптическим, и для него справедливы теоремы о сходимости проекционного метода.

Отдельный интерес представляет уравнение (1), когда к ^ 0, так называемый статический случай. В этом случае уравнение принимает вид

Г^т—1—и(у^у = f (х) . (7)

О Iх У

Для него также справедлива описанная выше теория.

и

Метод Галеркина

Рассмотрим «-мерное пространство Vn . Проведем аппроксимацию элементов ¥ элементами ¥n е Vn . Методом Галеркина находим ¥n из системы уравнений

(L-V n,v) = (f,v). (8)

Эти уравнения определяются конечномерным оператором Ln : Vn ^ Vn, где Vn есть антидуальное пространство к Vn .

В качестве базисных функций ¥(х) выберем функции

Г 1, if х еП; ,

(х) = \ (9)

[0, otherwise.

Данные функции удовлетворяют условию аппроксимации в H (q) .

Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла L; j = J G(x, y)y;- (x) • Vj (y)ds, имеющего слабую особенность Q

в области интегрирования. Процедура избавления от особенности представлена в [1]. Правая часть матричного уравнения задается формулой

e;k\x~y\

fj = I f ¥ jds . Здесь x = (xi, X2), y = (yi,У2), а G(x,y) = n-f - известная

' Q ' \x -y

функция, а для случая k ^ 0 G( x, y) =7—1—г. Решение СЛАУ осуществля-

lx - У\

лось методом сопряженных градиентов.

Субиерархический алгоритм

Численное решение поставленной задачи для экрана прямоугольной формы строится с помощью метода Галеркина. Рассмотрим алгоритм построения решения для задачи дифракции на экранах произвольной формы. Будем предполагать, что решение задачи для экрана прямоугольной формы получено, и в нашем распоряжении находится базовая матрица, составленная при решении одним из проекционных методов. Для решения задачи дифракции на экране сложной формы необходимо, чтобы данная поверхность целиком принадлежала экрану прямоугольной формы, для которого матрица уже насчитана. Субиерархический метод позволяет построить матрицу для фигуры сложной формы с использованием элементов посчитанной матрицы, составленной при решении задачи на экране прямоугольной формы. Следует заметить, что метод работает, и в случае использования в качестве базового экран не только прямоугольной формы. В этом случае на экран сложной конфигурации налагается то же условие, что и раньше, он должен целиком принадлежать базовому экрану. В построенной фигуре введем новую нумерацию вершин. Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от размера экрана и количества вершин в сетке.

Произведя полный перебор вершин, получаем новую сетку. Эту сетку будем использовать для расчета поля на отверстии сложной формы. Таким образом, один раз решив задачу на экране базовой формы, мы можем использовать полученные результаты для решения серии задач на экранах сложной геометрической формы.

Параллельный подход

Рассматриваемая задача требует составления матрицы как можно большего размера, что требует больших затрат времени. Для минимизирования временных затрат максимально упростим в решаемой задаче процессы, связанные с составлением матричного уравнения. Наиболее естественным подходом, упрощающим решение задач, является использование матричной симметрии. За счет этого время, потраченное на составление матрицы, можно сократить в два раза. Значительно сокращается время составления матрицы при использовании внутренней симметрии матричных элементов. Матрица, полученная по алгоритму метода Галеркина, является теплицевой. Субиерар-хический подход в подобных задачах позволяет избавиться от повторного счета матричных элементов и использовать элементы ранее рассчитанной матрицы. Еще один подход при минимизации временных затрат связан с использованием параллельных вычислений. В представленной задаче каждый элемент матрицы формируется независимо друг от друга, поэтому можно рассчитать элементы матрицы на нескольких процессорах или кластере.

Результаты счета

В работе представлены результаты счета модулей решений интегральных уравнений (1) и (7) на экранах базовой формы и экранах сложной конфигурации. На графиках (рис. 1-4) форма экрана расположена в левой части рисунка. Экран базовой формы является квадратом размером 16^16 носителей. Экран сложной формы отображен черным цветом. Правые части рисунков отображают модули решений интегрального уравнения (1) или (7).

Рис. 1 Модули решения интегрального уравнения (7), рассчитанные на квадратном носителе, размер сетки 16*16

Рис. 2 Модули решения интегрального уравнения (7), рассчитанные на квадратном носителе с дыркой в форме квадрата, размер сетки 16*16

Рис. 3 Модули решения интегрального уравнения (1), рассчитанные на квадратном носителе, размер сетки 16*16

Рис. 4 Модули решения интегрального уравнения (1), рассчитанные на квадратном носителе с крестовым разрезом в центре, размер сетки 16*16

Список литературы

1. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране I М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев II Вычислительные методы и программирование. - 2005. - Т. б. -С. 99-108.

2. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране I М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2004. - № 5. - С. 3-19. - (Естественные науки).

3. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный метод для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие I М. Ю. Медведик, И. А. Родионова II Надежность и качество : труды международного симпозиума. - Пенза, 200б. - Т. 1. - С. 272-274.

4. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах I М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов II Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. б. -№ 4. - С. 1-б.

5. Stephan, E. P. Boundary Integral Equation for Screen Problem in й I E. P. Stephan II Integral Equation and Operator Theory. - 1987. - V. 10. - P. 23б-257.

6. Paivarinta, L. Corner singularities of solution to in two Д±1/2и = f dimensions I L. Paivarinta, S. Rempel IIAsymptotic Analysis. - 1992. -V. 5. - Р. 429-4б0.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 517.6+517.958 Медведик, М. Ю.

Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 4 (12). - С. 48-53.