CC BY
37Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 4 (Мобильные роботы). С. 733-769.
Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
Структурные свойства и классификация кинематических и динамических моделей колесных мобильных роботов
Г. Кампион, Ж. Бастен, Б. д’Андреа-Новель
Анализируется структура кинематических и динамических моделей колесных мобильных роботов. Показано, что для широкого класса возможных конфигураций эти модели могут быть разделены на пять типов, каждый из которых определяется характерной структурой уравнений модели. Для каждого типа моделей изучены следующие вопросы: возможность и невозможность понижения порядка; голономность и неголономность; подвижность и управляемость; конфигурация и механизация (оснащение двигателями), а также эквивалентность по обратной связи.
Ключевые слова: колесные мобильные роботы, кинематические и динамические модели, неголономность, управление
I. Введение
Колесные мобильные роботы (КМР) составляют класс механических систем, характеризуемых кинематическими связями, которые не являются интегрируемыми и, следовательно, не могут быть исключены из уравнений движения модели. В результате стандартные алгоритмы планирования и управления движением, развитые для роботов-манипуляторов без связей (т. е. с голономными связями, которые учитываются сразу при построении функции Лагранжа) не применимы к таким системам. Это обстоятельство было отмечено недавно в обширной литературе, посвященной построению планирования и управления движением КМР, в особенности специфических упрощенных кинематических моделей «робопоез-да» и «робокара» (см. например, [1-8]). Однако коммерческие КМР, имеющиеся в продаже,
Campion G., Bastin G., D’Andrea-Novel B. Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots // IEEE Transactions on robotics and automation, 1996, vol. 12, no. 1, pp. 47-62. (с) 1996 IEEE. Перевод с английского А. С. Кулешова.
Ги Кампион Жорж Бастен
Centre d’ingénierie des systèmes d’automatique et de mécanique appliquée (CESAME) Université catholique de Louvain B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium
Брижит д’Андреа-Новель
Centre automatique et systemes, Ecole des mines de Paris F-77300 Fontainebleau, France
____________НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА 2011. T. 7. №4. С. 733 769
обладают существенно более сложной конструкцией, чем простейшие модели, обычно рассматриваемые в научной литературе. Например, для трехколесных или четырехколесных коммерческих мобильных роботов, со всеми поворотными и приводными колесами, существенным является даже вопрос, предшествующий исследованиям по управляемости, — вопрос о построении математической модели такого робота.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы дать общее и единое представление обо всех математических моделях КМР. В литературе имеются примеры получения кинематических и/или динамических моделей КМР, в том числе моделей, описывающих реально существующие мобильные роботы (см. например, [1] и [9-11]). Также в литературе имеются модели роботов с различным типом колес. Систематическая процедура вывода уравнений движения модели КМР предложена в [12] и [13]. В нашей работе мы рассматриваем также обобщенный КМР, с произвольным числом колес различного типа и различной моторизации (т.е. как приводных, так и неприводных колес). Основная задача нашей работы заключается в том, чтобы отметить структурные свойства кинематических и динамических моделей, учитывая ограничение подвижности робота, вызванное наложенными на него связями. Используя введенную нами концепцию степени подвижности и степени по-воротности, несмотря на все обилие различных конструкций и конфигураций колес КМР, множество КМР можно разделить на 5 различных классов. Этот анализ проведен в части II и проиллюстрирован в части III примерами роботов, относящихся к каждому из классов.
Затем мы вводим 4 различных вида моделей, различающихся пространством состояний и представляющих интерес для понимания поведения КМР.
Позиционная кинематическая модель (часть IV). Наиболее простая модель, способная дать глобальное описание поведения КМР. Показано, что для кажждого из 5 классов данная модель имеет особенную универсальную структуру, позволяющую понять маневренные свойства робота. Проанализированы также вопросы понижения порядка уравнений, управляемости и стабилизируемости модели.
Конфигурационная кинематическая модель (часть V) позволяет проанализировать поведение КМР с использованием теории неголономных систем.
Конфигурационная динамическая модель (часть VI) — более общая модель по сравнению с кинематическими моделями. Она дает полное описание динамики системы с учетом обобщенных сил, обеспечиваемых силовыми приводами. В частности, такая модель ориентирована на исследование конфигурации и моторизации: предложен специальный критерий для оценки того, является ли набор приводов, установленных в системе, достаточным для полного использования кинематической подвижности робота.
Позиционная динамическая модель (часть VII) эквивалентна по обратной связи конфигурационной динамической модели и полезна при анализе понижения порядка уравнений, свойств управляемости и стабилизируемости системы.
II. Кинематика колесных мобильных роботов
А. Положение робота. Колесный мобильный робот — это средство передвижения, снабженное колесами и способное совершать автономное движение (без внешнего воздействия со стороны человека). Эта способность достигается тем, что на роботе установлено несколько двигателей, управляемых при помощи компьютера, также размещенного на корпусе робота. Мы будем предполагать, что мобильные роботы, рассматриваемые в данной работе, представляют собой твердую платформу (корпус), снабженную недеформируемы-
ми колесами. Движение роботов происходит по неподвижной горизонтальной плоскости. В этом случае положение робота на плоскости описывается следующим образом (см. рис. 1). Произвольная ортогональная неподвижная система координат {О,1\, /2} выбрана в плоскости движения. На корпусе робота выбрана произвольная точка Р, которая является началом подвижной системы координат {х/1, х/2}, жестко связанной с корпусом робота. Положение робота в этом случае полностью характеризуется тремя переменными х, у, 9, где
• х, у — координаты точки Р в неподвижной системе координат, т. е.
ОР = Х/1 + у12,
• 9 определяет ориентацию подвижного базиса {Х1,Х2} по отношению к неподвижному базису {11, /2}.
Рис. 1. Определение положения.
Определяем трехкомпонентный вектор £, описывающий положение робота:
{\
X
У
\в)
(1)
Определим также ортогональную матрицу поворота подвижной системы координат относительно неподвижной:
Е(в) =
( \
008 в 8ІП в 0 — 8ІП в 008 в 0 0 0 1
(2)
Vй и V
В. Описание колес. Мы будем предполагать, что в процессе движения плоскость каждого колеса остается вертикальной по отношению к плоскости движения, и вращение каждого колеса происходит вокруг соответствующей горизонтальной оси, проходящей через центр колеса. Однако ориентация этой оси относительно корпуса может быть как фиксированной, так и не фиксированной. Сразу же разделим всевозможные типы идеальных (т. е. недеформируемых) колес на два класса: традиционные колеса и омниколеса. В каждом случае будем предполагать, что контакт между колесом и плоскостью движения происходит в одной точке, т. е. будем в дальнейшем рассматривать только одноточечный контакт.
Для традиционного колеса контакт между колесом и плоскостью движения удовлетворяет условиям качения без проскальзывания. Это означает, что скорость точки колеса, находящейся в данный момент времени в соприкосновении с плоскостью движения, равна нулю. Отсюда следует, что компоненты скорости этой точки колеса равны нулю как в проекции на направление, лежащее в плоскости колеса, так и в проекции на направление, ортогональное плоскости колеса.
Для омниколеса только одна компонента скорости точки соприкосновения колеса с плоскостью движения равна нулю в процессе движения. Направление, в проекции на которое скорость точки контакта равна нулю, априори может быть произвольным, но оно фиксировано по отношению к ориентации колеса.
Теперь представим в явном виде выражения для связей, наложенных на традиционные колеса и омниколеса.
1) Традиционные колеса.
Фиксированные колеса. Центр колеса, обозначенный А, является неподвижным в системе координат {х\,х2} (рис. 2). Его положение относительно этой системы характеризуется с помощью полярных координат, а именно, длины радиус-вектора РА = I и угла а. Ориентация плоскости колеса относительно направления РА характеризуется постоянным углом в. Угол поворота колеса относительно его горизонтальной оси обозначим ф(Ь), а радиус колеса обозначим г.
Рис. 2. Традиционное фиксированное и традиционное центрально ориентируемое колеса
Таким образом, положение колеса в данном случае характеризуется четырьмя постоянными: а, в, l, r, а его движение описывается одной переменной p(t). При таком описании компоненты скорости точки контакта легко вычисляются, и мы записываем две связи: вдоль плоскости колеса
[— sin(a + в) cos(a + в) l cos в]#($)£ + r^¿ = 0, (3)
ортогонально плоскости колеса
[cos(a + в) sin(a + в) l sin в]#($)£ = 0. (4)
Центрально ориентируемые колеса. Центрально ориентируемое колесо — это такое колесо, что его плоскость при движении робота может поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр колеса (рис. 2). Описание такого колеса аналогично описанию фиксированного колеса, за исключением того обстоятельства, что теперь угол в не является
постоянным, а зависит от времени: в = в(t). Положение колеса теперь характеризуется
тремя постоянными величинами l, а, r, а его движение описывается двумя переменными углами в(t) и <^(t). Связи имеют ту же форму, что и (3), (4):
[— sin(a + в) cos(a + в) l cos в]Щ@)£ + гф = 0, (5)
[cos(a + в) sin(a + в) l sin в]#($)£ = 0. (6)
Нецентрально ориентируемые колеса (кастор колеса): Нецентрально ориентируемое колесо — это колесо, которое также может изменять свою ориентацию относительно корпуса робота, однако в этом случае поворот плоскости колеса происходит вокруг вертикальной оси, не проходящей через центр колеса (рис. 3). В этом случае для описания колеса требуется большее число параметров, чем в случаях, описанных выше. Обозначим центр колеса через B, и пусть этот центр связан с корпусом робота твердым стержнем AB постоянной длины d, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку A. Точка A сама по себе является неподвижной в системе координат {x\,x2] и, как и выше, характеризуется полярными координатами l и а. Плоскость колеса все время будет направлена вдоль AB. В этом случае положение колеса определяется четырьмя постоянными а,
l, r, d, а его движение описывается двумя углами в(t) и ф^). С учетом этих обозначений соответствующие связи имеют вид
[— sin(a + в) cos(a + в) l cos в]#($)£ + гф = 0, (7)
[cos(a + в) sin(a + в) d + l sin в]#($)£ + dв = 0. (8)
d
Рис. 3. Традиционные нецентрально ориентируемые колеса.
2) Омниколеса. Положение омниколеса относительно корпуса робота описывается, как и в случае традиционного фиксированного колеса, тремя постоянными параметрами а, в, l-Требуется дополнительный параметр Y, чтобы охарактеризовать то направление, в проекции на которое скорость точки контакта равна нулю. Пусть Y — это угол между плоскостью колеса и соответствующим направлением (рис. 4). Тогда соответствующая связь имеет вид
[— sin(a + в + y ) cos(a + в + y) l cos(e + Y )]R($)£ + r cos YV = 0- (9)
C. Ограничения на подвижность робота. Рассмотрим теперь обобщенный мобильный робот с N колесами, причем N включает в себя колеса каждого из четырех перечисленных типов. Мы будем использовать соответствующие индексы для того, чтобы характеризовать колеса определенного класса: f — для традиционных фиксированных колес, с — для традиционных центрально ориентируемых колес, ос — для традиционных нецентрально ориентируемых колес и sw — для омниколес. Тогда число соответствующих
Г
Рис. 4. Омниколеса.
колес каждого типа будет обозначаться N$, Кс, Noc, , причем Nf + N + Кос + =
= N. Конфигурация робота на плоскости полностью описывается следующими векторами координат.
• Позиционные координаты
необходимые для описания положения корпуса робота в плоскости движения.
• Угловые координаты: (Зс(г) — углы ориентации центрально ориентируемых колес, вос(г) — углы ориентации нецентрально ориентируемых колес.
• Вращательные координаты
для описания вращения всех колес относительно соответствующих им горизонтальных осей вращения.
Полный набор позиционных, угловых и вращательных координат £, вс, вое и ф принято называть конфигурационными координатами КМР. Ясно, что общее число конфигурационных координат равно N^ + 2Нс + 2Noc + + 3.
С учетом этих обозначений, связи, наложенные на систему, могут быть записаны в матричной форме:
х(г)
£(г) - у (г)
у^(І) у
Рос (г)
у рвш (г) у
.іі(вс,вос)пт+= о,
а1(вс,вос)п(е)і + а2вос = 0.
(10)
(її)
где введены следующие обозначения:
/
Jl(Pc,Poc) =
Jif
Jlc(@c) J loc(Poc) J Isw
\
у J 1sw у
где Jif, Jic, Joc, Jsw — матрицы размером (Nf x 3), (Nc x 3), (Noc x 3) и (Nsw x 3) соответственно, явный вид которых без труда выводится из уравнений связей (3), (5), (7) и (9). Jif и Jsw — постоянные матрицы, тогда как коэффициенты матриц Jic и Jioc зависят от времени, поскольку содержат в явном виде углы f3c(t) и f3oc(t). Матрица J2 — постоянная (N x N)-матрица, у которой на диагонали стоят радиусы соответствующих колес, за исключением омниколес, радиусы которых умножаются на cos 7.
b)
/
cm,^) =
Cif CM)
Cloc (Poc)
\
C2 =
( \ 0 0
C2oc
где С\$, Сіс, Сіос — матрицы размером (Щ х 3), (Щс х 3), (Щос х 3), явный вид строк которых легко получается из рассмотрения связей (4), (6) и (8). Матрица Сі$ является постоянной, тогда как Сіс и Сіос зависят от времени. С2ос — диагональная матрица, на диагонали которой стоят длины с! всех Щос нецентрально ориентируемых колес.
Введем теперь следующее предположение, касающееся конфигурации омниколес.
Предположение 1. Для каждого омниколеса 7 ф т;- Значение 7 = ^ соответствует направлению, ортогональному плоскости колеса, поэтому обращение в нуль скорости в проекции на это направление приводит к тому, что омниколесо оказывается аналогичным традиционному колесу. Следовательно, теряются основные преимущества омниколеса перед традиционным.
Рассмотрим теперь (Щ + Щс) первых связей из (11) и запишем их в явном виде:
Cif R(d)i = 0,
сишт = 0,
(12)
(13)
Эти связи означают, что вектор Я(9)£ принадлежит нуль-пространству матрицы С (вс) следующего вида:
^ = (f R(9)i eN[Ct(0c)]
(14)
(15)
Очевидно, что ранг этой матрицы гапк[С(вс)] ^ 3. Если гапк[С^(вс)] = 3, то Я(0)£ = = 0, и никакое движение робота по плоскости невозможно! Вообще говоря, ограничения подвижности робота связаны с рангом матрицы [С]. Это соображение детально обсуждается ниже.
/ / / '
'"МЦС
Рис. 5. Мгновенный центр скоростей.
Но прежде чем обсудить это соображение, важно заметить, что условия (12) и (13) имеют интересную геометрическую интерпретацию. В каждый момент времени движение робота по плоскости может рассматриваться как мгновенное вращение вокруг мгновенного центра скоростей (МЦС), положение которого относительно корпуса робота может изменяться со временем. Следовательно, в каждый момент времени вектор скорости любой точки корпуса будет ортогонален прямой, соединяющей данную точку и МЦС. В частности, это утверждение будет справедливым для центров традиционных фиксированных колес и центров традиционных центрально ориентируемых колес. Это означает, что в каждый момент времени горизонтальные оси вращения всех традиционных фиксированных и центрально ориентируемых колес пересекаются в одной точке — МЦС. Этот факт проиллюстрирован на рис. 5 и соответствует условию rank[C^(ec)j ^ 2.
Очевидно, что ранг матрицы С Квс) зависит от конструкции мобильного робота. Определим степень мобильности 5т мобильного робота по формуле
5т = dim N[CKPc)] =3 - rank[Ci(ec)j-
Исследуем теперь случай rank [Сi f ] = 2, который соответствует ситуации, когда рассматриваемый робот имеет по меньшей мере 2 фиксированных колеса или, если их число превосходит 2, то их горизонтальные оси пересекаются в МЦС, а положение самого МЦС фиксировано относительно корпуса робота. Очевидно, что в этом случае единственным возможным движением робота является движение по окружности с центром в МЦС. Очевидно также, что робот с таким ограничением подвижности является практически непригодным для решения промышленных задач, и поэтому мы в дальнейшем будем предполагать, что rank [Сi f ] ^ 1. Более того, мы предположим, что робот является невырожденным в следующем смысле:
Предположение 2. Мобильный робот является невырожденным, если
1. rank [Сi f ] ^ 1,
2. rank [С\ (во)} = rank Сi f + rankCi c(@c) ^ 2.
Эти предположения эквивалентны следующим условиям.
1. Если мобильный робот имеет более одного традиционного фиксированного колеса
(т.е. Nf > 1), то все эти колеса расположены на одной общей оси.
2. Центры традиционных центрально ориентируемых колес не принадлежат оси, на которой расположены центры традиционных фиксированных колес.
3. Число rank [Cі с(вс)] ^ 2 равно числу традиционных центрально ориентируемых колес, которые могут поворачиваться одно независимо от другого для того, чтобы обеспечивать нужную ориентацию робота. Это число мы назовем степенью поворотности 5s:
5s = rank [C іе(ве)\-
Число и выбор таких 5s поворотных колес очевидно является привилегией разработчика того или иного робота. Если мобильный робот снабжен более чем 5s традиционными центрально ориентируемыми колесами (т. е. Nc > 5s), то движение этих дополнительных колес должно быть согласовано таким образом. чтобы в каждый момент времени обеспечить существование МЦС.
Отсюда следует, что практический интерес представляют лишь пять невырожденных структур. Все они перечислены ниже.
1. Степень мобильности 5т удовлетворяет неравенствам
1 < 5т < 3 (16)
(верхняя граница очевидна; нижняя граница означает, что мы рассматриваем только случай, когда движение возможно, т. е. 5т = 0).
2. Степень поворотности 5s удовлетворяет неравенствам
0 < 5s < 2 (17)
(верхняя граница достигается лишь в случае роботов, не имеющих фиксированных
колес (т. е. Nf = 0); нижняя граница соответствует случаю роботов, не имеющих цен-
трально ориентируемых колес (Nc = 0)).
3. Выполняется следующее неравенство:
2 < 5т + 5s < 3 (18)
(случай 5т + 5s = 1 не рассматривается, поскольку он соответствует ситуации, когда робот движется по окружности с центром в неподвижном МЦС, как было показано нами ранее; случаи (5т ^ 2, 5s = 2) исключены из рассмотрения, поскольку в соответствии с предположением 2 из условия 5s = 2 следует, что 5т = 1).
Следовательно, существует только пять типов КМР, соответствующих различным парам значений 5т и 5s, удовлетворяющим неравенствам (16), (17) и (18). Все они перечислены в таблице:
5т 3 2 2 1 1 5s 0 0 112
В дальнейшем мы будем различать роботы по конструкции, говоря «мобильный робот типа (Sm, Ss)». Ниже кратко представлены основные особенности конструкции мобильных роботов, относящихся к каждому из перечисленных типов
• Тип (3, 0). 5т = dim N (C l(fic)) =3, 5s = 0. Роботы этого типа не имеют традиционных фиксированных колес (Nf = 0). Они не имеют также и центрально ориентируемых колес (Nc = 0). Такие роботы носят название омнимобильные 'роботы, поскольку на плоскости они обладают полной подвижностью. Другими словами, в каждый
момент времени они могут двигаться по плоскости в любом направлении без дополнительной переориентации. В противоположность этому типу роботов, оставшиеся 4 типа имеют ограниченную подвижность. Примерами омнимобильных роботов являются URANUS, описанный в [9], и UCL, описанный в [1].
• Тип (2, 0). öm = dim N (C(ßc)) = dim N (C i f ) = 2, ös = 0. Роботы этого типа не имеют традиционных центрально ориентируемых колес (Nc = 0). Они могут иметь либо одно традиционное фиксированное колесо, либо несколько традиционных фиксированных колес, расположенных на одной оси (иначе rank[Ci f ] был бы больше 1). Подвижность робота данного типа ограничена в том смысле, что для любой допустимой траектории £(t) скорость £(t) должна принадлежать двумерному распределению, порожденному векторными полями RT(в) si и RT(6)в2, где si и S2 — два постоянных вектора (т. е. Si и S2 имеют постоянные компоненты), порождающих N(Ci f ). К этому классу относится хорошо известный робот HILARE, описанный в [4].
• Тип (2,1). öm = dim N (C(ßc)) = dim N (C ic(ßc)) =2, ös = 1. Роботы этого типа не имеют традиционных фиксированных колес (Nf = 0), но имеют по меньшей мере одно традиционное центрально ориентируемое колесо (Nc ^ 1). Если имеется более одного центрально ориентируемого колеса, то ориентация колес должна быть согласована в том смысле, что должно выполняться условие rank [Ci c(ßc)] = Ss = 1. Скорость £(t) должна принадлежать двумерному распределению, порожденному векторными полями RT (в) s i (ßc) и RT (в) s 2 (ßc), где s i (ßc) и S2(ßc) — два вектора, порождающие N (C i c(ßc)), компоненты которых зависят от угла (ßc) одного (произвольно выбранного) из традиционных центрально ориентируемых колес.
• Тип (1,1). öm = dim N (C{(ßc)) = 1, ös = 1. Роботы этого типа имеют одно или несколько традиционных фиксированных колес, расположенных на одной оси. Они имеют также одно или несколько традиционных центрально ориентируемых колес, однако ни у одного из этих колес центр не должен лежать на оси, проходящей через центры традиционных фиксированных колес (в противном случае движение такого робота невозможно). Ориентация традиционных центрально ориентируемых колес согласована таким образом, чтобы выполнялось условие rank [Cic(ßc)] = ös = 1. Скорость £ (t) должна принадлежать одномерному распределению, параметризованному углом, определяющим ориентацию одного (произвольно выбранного) из традиционных центрально ориентируемых колес. Мобильные роботы, построенные на модели традиционного автомобиля (называемые, как правило, робокарами), принадлежат к этому классу. Примерами роботов, относящихся к этому классу, могут служить также роботы HERO 1 и AVATAR, описанные в [14, 15].
• Тип (1, 2). öm = dim N (C\(ßc)) = dim N (C ic(ßc)) = 1, ös = 2. Роботы этого типа не имеют традиционных фиксированных колес (Nf = 0). Они имеют по меньшей мере два традиционных центрально ориентируемых колеса (Nc ^ 2). Если имеется больше двух центрально ориентируемых колес, то их ориентация должна быть согласована таким образом, чтобы выполнялось условие rank [Ci c(ßc)] = Ss = 2. Скорость £(t) должна принадлежать одномерному распределению, параметризованному углами ориентации двух (выбранных произвольно) традиционных центрально ориентируемых колес робота. Типичный пример робота этого класса — робот KLUDGE [16].
III. Примеры
В этой части мы представим шесть конкретных примеров мобильных роботов, наиболее точно соответствующих каждому из пяти невырожденных типов, описанных выше. При этом мы ограничимся рассмотрением лишь трехколесных мобильных роботов.
Рис. 6. Омнимобильный робот — тип (3,0). Три омниколеса.
Как было показано в части 11-В, колеса мобильного робота описываются (самое большее) шестью постоянными параметрами:
1. тремя углами а, в, 7 и
2. длинами трех отрезков I, г, й.
Для каждого из примеров мы представим таблицу, содержащую значения этих параметров, соответствующие данному типу робота, а также представим различные матрицы J и С, входящие в уравнения связей (10)—(11).
Однако мы будем предполагать, что радиусы г и расстояния й одинаковы для всех колес во всех примерах, т. е. для каждого из примеров мы будем уточнять только значения
а, в, 7, I.
Пример 1: тип (3,0). Омнимобильный робот с шведскими колесами. Рассматриваемый робот (см. рис. 6) имеет три омниколеса, расположенных в вершинах корпуса, имеющего форму равностороннего треугольника (см., например, [1]):
Колеса а в 7 1
1в'Ю п/3 0 0 L
2в,ю п 0 0 L
Зв'ю 5п/3 0 0 L
Связи имеют вид (10), где
{ 1 Л
2 2
■]\ ----- 1 в'Ш ]
0 -1 Ь
\/3 1 Т
\ Т 2 ь
, 32 — diag(r).
Пример 2: тип (3,0). Омнимобильный робот с нецентрально ориентируемыми колесами. Этот робот имеет три традиционных нецентрально ориентируемых колеса, как показано на рисунке 7.
Рис. 7. Омнимобильный робот — тип (3, 0). Три нецентрально ориентируемых колеса. Связи имеют вид (10) и (11), где
31 [31 ос(Дэс)] —
^ - 8ІП вое 1 008 вое 1 Ь 008 вое 1 ^
ЯШ вое2 - 008 вое2 Ь 008 вое2
\ 008 вое3 8ІП вое3 Ь 008 вое3 )
3 — diag(r),
С1 — [С ое(вое)] —
/ 008 вое 8ІП вое 1 й + Ь 8ІП вое 1 ^
)] — 008 вое2 - 8ІП вое2 й + Ь 8ІП вое2
\ со е вое .£ 8І СО е вое 8 0 0 - й + Ь 8ІП вое3 /
С2 - = [С2ое] — diag(d).
Колеса а в 1
1ос 0 - L
2ос П - L
3ос 3п/2 - L
Пример 3: тип (2,0). Робот с двумя традиционными фиксированными колесами, расположенными на одной оси, и одним традиционным нецентрально ориентируемым колесом (см. рис. 8).
Фиксированные
колеса
Рис. 8. Робот типа (2, 0).
Колеса а в 1
1/ 0 0 L
2/ П 0 L
3ос 3п/2 - L
Связи имеют вид (10) и (11), где
31 —
С1 —
31ое
0
0
1
-1
Ь
Ь
\ 008 вое3 8ІП вое3 Ь 008 вое3 /
32 — diag(r),
(
СИ
С1 ое
1
0
0
\
-10 0
\ 8ІП в осі - 008 вое3 й + Ь 8ІП вое3 /
С2 —
/ \ 0 0 й
(1)
(2)
Заметим, что связи, выражающие отсутствие проскальзывания для каждого из фиксированных колес, эквивалентны между собой (см. первые две строки матрицы С\). Следовательно, матрица С£ имеет ранг, равный 1, что и требовалось.
Пример 4: тип (2,1). Робот с одним традиционным центрально ориентируемым колесом и двумя традиционными нецентрально ориентируемыми колесами (рис. 9).
Ролики
Рис. 9. Робот типа (2,1).
Колеса
1с
2ос
3ос
Связи имеют вид (10) и (11), где
I
31е(ве1)
а
0
57Г
4
7тг
4
в
1
0
лДЬ у/2Ь
(31oе(вoе2, вое3)
- 8ІП ве1
008 ве1
І 008 ве1
ЯІП ^Дэс2 + |) - СОЭ (Д>с2 + I ('08 [3ос2 ^ - ЭШ (д>с3 - ЭШ (д>с3 - I €08 (30сі )
С1 —
( С1е(вс1)
\C1oе(вoе2, воеі)
32 — diag(r),
008 ве1
8ІП ве1
І 8ІП в,
е1
— СОЭ (^[3ос2 + ^ — ЭШ (^[3ос2 + ^ <1 + І вІП рос2 ^ €08 (/3ос3 - ЭШ (/3ос3 - Й + І вІП /ЗосЗ у
С2 —
diag й
Пример 5: тип (1,1). Робот с двумя традиционными фиксированными колесами на одной оси и одним традиционным центрально ориентируемым колесом (модель типа трехколесного детского велосипеда, см. рис. 10).
0
Колеса а в 1
1/ 0 0 L
2/ П 0 L
3с 3П/2 - L
Фиксированные
колеса
ч
Ролики
Хі
Рис. 10. Робот типа (1,1).
Связи имеют вид (10) и (11), где
31 —
3Ц
31 е
01
Ь
Ь
С1 —
С1Ї
С1е
у 008 всі 8ІП всі Ь 008 всі / 32 — diag(r),
^ 1 0 0 ^ -10 0
У 8ІП веі - 008 веі Ь 8ІП веі
С2 — 0.
Пример 6: тип (1,2). Робот с двумя традиционными центрально ориентируемыми колесами и одним традиционным нецентрально ориентируемым колесом (рис. 11).
Управляющие
колеса
Ролик
Рис. 11. Робот типа (1, 2).
Колеса а в 1
1с 0 - L
2с П - L
3ос 3п/2 - L
Связи имеют вид (10) и (11), где
31 =
С =
Лс(вс1, вс2) 31с(восз)
С1с(всЪ вс2) Сюс (восз)
^ — 8Ш вс1 008 вс1 Ь 008 вс1 ^
8Ш вс2 — 008 вс2 Ь 008 вс2
\ 008 восЗ 81п восЗ Ь 008 восЗ /
32 = diag(r),
(
008 вс1 8Ш вс1
Ь 8Іn вс1
— 008 вс2 — 8Іn вс2 Ь 8Іn вс2
\ 8Ш восЗ — 008 восЗ d + Ь 8Іn восЗ )
С2 =
С2ос
( \ 0 0
(3)
(4)
IV. Позиционная кинематическая модель
В этой части анализ подвижности робота, обсуждавшийся в части 11-С, переформулирован в терминах пространства состояний. Такой подход является более удобным для дальнейшего развития.
Нами было показано (см. (15)), что независимо от типа мобильного робота, скорость £(Ь) должна принадлежать распределению Дс, определяемому как
£(Ь) е Дс = span{col Ег(в)£(вс)} УЬ,
где столбцы матрицы £(вс) образуют базис в пространстве N3[С\(вс)]:
N 3 [С{ (вс)] = 8ра^001 £(вс)}-
Это утверждение является тривиальной аналогией следующего утверждения: для всех Ь существует зависящий от времени вектор п(Ь), такой, что
£ = кт т(вс)п-
(23)
Размерность распределения Дс и, следовательно, вектора п(Ь), равна степени подвижности 5т робота. Очевидно, что в случае когда робот не имеет традиционных центрально ориентируемых колес (53 = 0), матрица £ является постоянной и выражение (23) сводится к:
£ = Ет (в)£П. (24)
В противоположном случае (53 ^ 1) матрица £ явным образом зависит от угловых
координат вс и соотношения (23) можно дополнить следующим образом:
£ = Кт (в)£(вс)п, (25)
вс = С- (26)
0
Представление (24) или (25)—(26) может рассматриваться как представление системы в пространстве состояний. Такое представление называется позиционной кинематической моделью. Здесь роль обобщенных координат играют позиционные координаты £ и (возможно) угловые координаты вс, тогда как п и С (выражения, однородные по скоростям) могут рассматриваться как управляющие воздействия, линейно входящие в модель. Однако такая интерпретация должна рассматриваться с большой осторожностью, поскольку истинные управляющие воздействия мобильного робота представляют собой моменты, создаваемые электродвигателями, установленными на роботе. Таким образом, кинематическая модель в пространстве состояний является подсистемой общей динамической модели, которая будет представлена в части VI.
В следующих параграфах мы представляем позиционные кинематические модели, соответствующие примерам из части III, и показываем, что эти модели являются универсальными и для них невозможно понижение порядка. Эти соображения позволят нам провести исследование управляемости и стабилизируемости позиционных кинематических моделей
Л. Пять универсальных моделей КМР. Перепишем уравнения позиционной кинематической модели следующим образом:
если N ^ 0.
В таблице 1 представлен частный вид позиционных координат г, матрицы £(вс) или £ и уравнений позиционной кинематической модели для для каждого из примеров, представленных в части III.
Возникает естественный вопрос: является ли построенная для каждого класса КМР позиционная кинематическая модель универсальной, т. е. пригодной для всех роботов, относящихся к этому классу? На этот вопрос можно дать утвердительный ответ: для каждого невырожденного робота всегда возможно выбрать начало подвижной (жестко связанной с корпусом робота) системы координат — точку Р и подвижные оси х1,х2, проходящие через эту точку так, чтобы позиционная кинематическая модель данного робота имела вид, в точности соответствующий виду, представленному в таблице 1. А именно:
• для робота типа (3, 0) начало Р подвижной системы координат и ее оси х1,х2 могут быть выбраны произвольно,
• для робота типа (2, 0) за начало координат Р выбирается одна из точек на оси фиксированных колес, а ось Х1 направлена вдоль этой оси (см., например, рис. 8),
• для робота типа (2, 1) выберем одно из центрально ориентируемых колес и начало Р подвижной системы координат поместим в его центре, а оси ж1, направим произвольно (см., например, рис. 9),
всех КМР.
г = В(г)и,
(27)
где обозначено
г 4 £, В(г) 4 Ет(в)£, и 4 п,
если N = 0, или
Таблица 1. Пять универсальных позиционных кинематических моделей КМР
Тип
(3, 0)
Пример
1 и 2
Е(вс) или Е
единичная матрица
Уравнения позиционной кинематической модели к = Б(к)и
/Л ( а • а п\ / \
XI (€08 в — 8ІП в 0
8ІП в €08 в 0
П2
V 0 0 У \пз)
(2, 0)
X [о 0^
У 1 0
в \° 1
/Л
X
У
\в/
— 8ІП в 0 €08 в 0 V 0 V
( \
Пі
\т/
(2,1)
У
в
всі
/ • д п\
— 8ІП всі 0
€08 вс1 0 V 0 V
X
У
в
\Рс1/
^ — 8Іп(в + всі) 0 0^
€08(в + вс1) 0 0
0 10
0 0 іу
( \
П1
П2
(і, і)
X
У
в
вс3
0
Ь 8ІП вс3
\ €08 вс3 )
( . \
X
У
в
\рсз)
^ — Ь 8ІП в 8ІП вс3 0^
Ь €08 в 8ІП с3 0
€08 с3 0
0 1
( \
П1
(1, 2)
У
в
с1 вс 2
^ — 2Ь 8ІП вс1 8ІП вс2 ^ Ь 8Іп(вс1 + вс2)
\ 8Іп( вс 2 — вс1) )
( \
X
У
в
вс1
\Рс2
/ \ — Ь(8ІП вс1 8ІП(в + вс2)+8ІП вс2 8ІП(в + вс1)) 0 0 Ь(8ІП вс1 €08(в + вс2 ) + 8ІП вс2 €08(в + вс1)) 0 0
8Іп( вс 2 — вс1) 0 0
0 0 1 0 0 1
/ \
т
С1
\Сз/
к
X
3
X
4
5
X
6
• для робота типа (1,1) выберем одно из центрально ориентируемых колес, из центра выбранного колеса опустим перпендикуляр на ось фиксированных колес, точка пересечения этого перпендикуляра с осью фиксированных колес и будет точкой Р; ось Х будет направлена по прямой, соединяющей центры фиксированных колес, а ось Х2 — по направлению перпендикуляра; здесь Ь — расстояние, равное длине данного перпендикуляра (см., например, рис. 10),
• для робота типа (1, 2) выберем два центрально ориентируемых колеса; начало координат Р выбирается как точка, находящаяся на половине длины отрезка, соединяющего центры выбранных колес, ось х\ направлена вдоль этого отрезка; обозначим через Ь половину длины отрезка (см, например, рис. 11).
В. Подвижность, поворотность и маневренность. Позиционная кинематическая модель КМР, представленная выше, позволяет обсудить в дальнейшем вопросы маневренности мобильного робота. Степень подвижности 5т мобильного робота является первым критерием маневренности: она равна числу степеней свободы, которые могут быть
непосредственно управляемы при помощи воздействий п, без переориентации центрально ориентируемых колес. Интуитивно ясно, что это число равно числу «степеней свободы» мобильного робота, которые он может иметь, если ни одно из его колес не поворачивается. Это число 5т не равно общему числу «степеней свободы» робота, которыми можно управлять посредством воздействий п и С. Фактически же общее число управляемых степеней свободы равно сумме 5м = 5т + 53, и именно это число мы будем называть степенью маневренности. Оно включает в себя дополнительно 53 степеней свободы, управляемых посредством воздействий С. Однако действие С на позиционные координаты £ не является прямым, так как оно происходит только через угловые координаты (Зс, связаные с С интегральными соотношениями. Это обстоятельство отражает тот факт, что изменение ориентации центрально ориентируемых колес не может быть достигнуто мгновенно.
Маневренность КМР зависит от 5м, но также она зависит от того, как именно входят 5т и 5.3 в 5м. Поэтому для того, чтобы охарактеризовать маневренность, нам понадобятся два показателя: 5м и 5т, или 5т и 53, как раньше, при описании пяти различных классов мобильных роботов в таблице 1.
Два мобильных робота с одинаковым значением 5м, но разными значениями 5т, не являются эквивалентными. Для роботов с 5м = 3 можно свободно установить положение МЦС или непосредственно с помощью управляющих воздействий п для роботов типа (3, 0), или за счет ориентации одного или двух центрально ориентируемых колес для роботов типов (2,1) и (1, 2). Для роботов с 5м = 2 МЦС должен лежать на прямой (являющейся осью фиксированных колес). Его положение на прямой устанавливается либо непосредственно, как в случае роботов типа (2, 0), либо за счет переориентации центрально ориентируемого колеса, как в случае роботов типа (1,1).
Аналогично, два КМР с одним и тем же значением 5т, но разными 5м не являются эквивалентными: робот, у которого 5м больше, является более маневренным. Сравним, например, роботы типов (1,1) и (1, 2), у которых 5т = 1, но 5м = 2 для первого робота и 5м = = 3 для второго робота. Положение МЦС для робота типа (1, 2) может быть установлено произвольно в плоскости путем соответствующей ориентации двух центрально ориентируемых колес, тогда как для робота типа (1, 1) МЦС должен находится на прямой, проходящей через центры фиксированных колес, а его положение на этой оси определяется поворотом центрально ориентируемого колеса. Так как переориентация поворотных колес обычно происходит очень быстро, особенно для небольших роботов, предназначенных для движения внутри зданий, с практической точки зрения следует, что робот типа (1, 2) является более маневренным, чем робот типа (1,1).
Очевидно, что идеальной ситуацией представляется случай омнимобильного робота, когда 5т = 5м = 3.
С. Невозможность понижения порядка для позиционной кинематической модели. В данном параграфе мы задаемся вопросом о возможности понижения порядка для позиционной кинематической модели (27). Пространство состояний модели допускает понижение порядка, если существует такая замена координат, что некоторые из новых координат тождественно равны нулю на всех движениях системы. Для нелинейной динамической системы без сноса, каковой является система (27), возможность понижения порядка связана с ннволютнвным замыканием А распределения А, выраженного в локальных координатах следующим образом:
Д(г) 4 8рап{со1 В (г)}.
Хорошо известно следствие из теоремы Фробениуса, утверждающее, что порядок системы может быть понижен, только если dim А < dim г.
В этом параграфе мы докажем, что для позиционной кинематической модели невырожденного робота (см. предположение 2) понижение порядка невозможно ни в каких случаях. Чтобы установить этот результат, мы рассмотрим сначала частный случай робота типа (1,1), позиционная кинематическая модель которого имеет вид (см.табл. 1)
( . \
x
У в
\/Зсз)
^ —L sin в sin вс3 0 ^ L cos в sin /Зс3 0 cos вс3 0
0 1
(28)
B(z)
В этом случае базис распределения Д(-г) выглядит следующим образом:
Д(г) = span{&l(z),&2(z),Ьз(z), Ъ^г)},
где Ъ1(г), Ъ2(г) — столбцы матрицы В (г):
bi(z) =
( \
—L sin в sin /Зс3 L cos в sin вс3 cos вс3 0
b2(z) =
/ \ 0 0 0 1
b3(z) = [bi(z),b2(z)] =
( \
L sin в cos вс3 —L cos в cos вс3 sin вс3 0
b4(z) = [bi(z),b3(z)] =
( \
L cos в L sin в 0 0
а
Мы можем убедиться, что rank .В (г) = 5т + Ss = 2 и dimA(z) = dim г = 4 всюду в пространстве состояний. Отсюда следует, что кинематическая модель (28) робота типа (1, 1) не допускает понижения порядка.
Более того, рассуждая аналогично, можно доказать невозможность понижения порядка позиционной кинематической модели любого из типов роботов, перечисленных выше. Это означает, что все кинематические модели, перечисленные в таблице 1, не допускают понижения порядка. Проведенный анализ сформулируем в виде свойства.
Свойство 1.
1) Для позиционной кинематической модели
z = B (z )u
колесного мобильного робота
a) матрица B(z) имеет полный ранг для всех z:
rank B (z) = 5m + 5s,
b) ииволютивиое распределение A(z) = inv span {col B(z)} имеет постоянную максимальную размерность
dim A(z) = 3 + 5S
для всех z.
2) Следовательно, позиционная кинематическая модель КМР не допускает понижения
порядка ни для одного из типов мобильных роботов. И это свойство не зависит от выбора обобщенных координат для описания модели.
D. Управляемость, возможность линеаризации и стабилизации по методу обратной связи. В этом параграфе мы резюмируем основные свойства, касающиеся управляемости и стабилизируемости по методу обратной связи позиционных кинематических моделей КМР. Прежде всего, исследуем линейное приближение в окрестности произвольного положения равновесия z = (£,Д~).
Здесь под равновесием понимается такое состояние робота, когда он находится в покое с заданными позиционными координатами £ и заданной ориентацией ¡Зс центрально ориентируемых колес. Очевидно, что скорости изменения всех переменных равны нулю: V, = 0.
Свойство 2. Ранг матрицы управляемости для линейного приближения позиционной кинематической модели z = B(z)u в окрестности состояния равновесия равен 5m + 5s.
Действительно, линейное приближение в окрестности равновесия (z, й = 0) имеет вид
= B(z)u.
Отсюда следует, что ранг матрицы управляемости в этом случае равен рангу матрицы B(z), которая, согласно свойству 1, имеет ранг 5m + 5s для любого положения равновесия z.
Таким образом, линейное приближение позиционной кинематической модели для омнимобильных роботов типа (3, 0) является полностью управляемым, поскольку число 5т в точности равно размерности пространства состояний. Однако линейное приближение позиционных кинематических моделей роботов с ограниченной подвижностью (роботов типов (2, 0), (2,1), (1,1) и (1, 2), 5т ^ 2) не является управляемым, поскольку 5m + 5s < 3 + 5s = = dim z.
Это свойство, однако, не мешает роботам с ограниченной подвижностью быть управляемыми в соответствии с нашей физической интуицией.
Свойство 3. Позиционная кинематическая модель КМР z = B(z)u управляема.
Доказательство следует из того факта, что ииволютивиое распределение Д(-г) имеет постоянный максимальный ранг, что влечет за собой управляемость для систем без сноса (см. [17, глава 3]).
На практике это свойство означает, что мобильный робот всегда может быть переведен за конечное время из любого начального положения £о в любое конечное положение £f за счет управления скоростью при помощи управляющих воздействий и = (п, С)Т.
Рассмотрим теперь вопрос существования управления обратной связью и(г), способного линеаризовать в конкретном положении г * позиционную кинематическую модель (27). Для омнимобильных роботов ответ на этот вопрос очевиден. Например:
и(г) = В(г)-1А(г — г *),
где А — произвольная гурвицева (т. е. удовлетворяющая критерию Гурвица) матрица. Очевидно, что выбранный закон управления является гладким линеаризующим законом управления по методу обратной связи, переводящим мобильный робот в состояние г . При этом разница между текущим состоянием робота г и конечным состоянием г является экспоненциально убывающей. Действительно, при подстановке выбранного закона управления в систему (27) последняя приобретает вид
с гурвицевой матрицей А. Следовательно, в случае омнимобильного робота система уравнений (27) полностью линеаризуема по методу обратной связи и кинематика таких роботов несколько похожа на кинематику полностью управляемых роботизированных манипуляторов.
Для роботов с ограниченной подвижностью ситуация представляется менее благоприятной, поскольку, как следует из свойства 2, их позиционные кинематические модели не являются линеаризуемыми по всем переменным состояния (для полной линеаризуемости необходима управляемость линейного приближения, детали см. [18, глава 4]). Но зададимся вопросом о том, какова размерность максимальной подсистемы, которая может быть линеаризуема статической обратной связью. Или выясним, может ли позиционная кинематическая модель быть полностью линеаризуемой при помощи динамической обратной связи. Используем для этого следующие свойства.
Свойство 4-
1) Размерность наибольшей линеаризуемой статической обратной связью подсистемы позиционной кинематической модели г = В (г) и равна 5т + 53. Этот результат является прямым следствием применения к данной системе алгоритма Марино [19].
2) Позиционная кинематическая модель г = В (г)и роботов с ограниченной подвижностью является «дифференциально плоской системой» в смысле определения [7] и [20]. Отсюда следует, что данная система полностью линеаризуема посредством динамической обратной связи, обеспечиваемой ненулевой частью п вектора управляющих воздействий и. Обсуждение этого свойства, включающее в себя представление в явном виде соответствующих линеаризующих замен для каждого типа робота, может быть найдено в [21].
Другой интересной задачей является задача построения управления, действующего по методу обратной связи и переводящего робот из любого начального положения го =
= (£о,/Зсо)Т в заданное состояние равновесия г = (£,/3)т, причем это состояние равновесия
должно быть сделано устойчивым и притягивающим. Здесь снова задача является тривиальной для омнимобильных роботов, тогда как для роботов с ограниченной подвижностью мы имеем следующее свойство.
Свойство 5.
1) Для роботов с ограниченной подвижностью позиционная кинематическая модель і = = В (і)и не является стабилизируемой посредством непрерывного статического явно не зависящего от времени управления и(і).
Действительно, в этом случае не выполняются необходимые условия теоремы Брокет-та [22]: отображение (і, и) ^ В (і) и не является отображением в окрестность равновесия г = (£, /3С)Т, й = 0.
2) Позиционная кинематическая модель является стабилизируемой при помощи непрерывного статического управления и(і,і), явно зависящего от времени.
Этот результат является частным случаем результата о стабилизируемости для систем без сноса, который был получен в работе Корона [23]. Систематическая процедура получения такого стабилизирующего зависящего от времени управления была предложена Пометом [24]. Она применима для всех позиционных кинематических моделей КМР, потому что в каждом случае (см. табл. 1) один из столбцов матрицы В(і) имеет вид (0,..., 0,1)Т.
V. Конфигурационная кинематическая модель
До сих пор мы использовали только подмножество связей (10) и (11), а именно, ту их часть, которая отвечает за фиксированные и центрально ориентируемые колеса и выражается соотношениями (12) и (13). Теперь воспользуемся оставшимися связями для того, чтобы получить уравнения, описывающие эволюцию скоростей вое и ф угловых и вращательных координат, которая не была учтена в позиционной кинематической модели (25)
Комбинируя эти уравнения с уравнениями позиционной кинематической модели (25),
и (26).
(29)
(30)
уравнения состояния для вое и ф можно записать в виде
вое = Б(вое)£(ве)П, ф = Е(ве,вое )£(ве)п,
(31)
(32)
где В(вое) и Е(ве,вое) определяются следующим образом:
П(вое) = -СъС Сюс(вос),
Е(ве,вое) = -']- 1 ’7і(ве,вое).
(33)
(34)
Определяя ц как вектор конфигурационных координат, т. е.
I \
%
вс вас
\ V )
(35)
можно представить уравнения, описывающие эволюцию этих координат, в форме одного векторного уравнения, которое следует из (25), (26), (31) и (32) и называется конфигурационной кинематической моделью
ц = 5 (ц)и, (36)
где
/
К1 (д)Ъ(вс) 0
0 I
В(вас)Чвс) 0
^(вс,вас)£(вс) 0
А I П
и и =
(37)
Уравнение (36) имеет стандартный вид кинематической модели системы, подчиненной линейным по скоростям дифференциальным связям. Теперь мы свяжем эту постановку со стандартной теорией неголономных механических систем (см., например, [25-27]).
Возможность понижения порядка в системе (36) напрямую связана с размерностью инволютивного замыкания Д1 распределения Д1, порожденного в локальных координатах ц столбцами матрицы 5(ц), т.е.
Д:(ц) = 8рап{со1(5 (ц))}.
(38)
Отсюда немедленно следует, что
5т + N = ё1ш(Д^ ^ ёт(шу(Д1)) ^ ё1ш(ц) =
= 3 + N + Nаc + N.
Определим степень неголономности М мобильного робота по формуле
М = ёт(ту(Д1)) - (5т + ^).
Данное число М представляет число дифференциальных связей, которые не являются интегрируемыми и, следовательно, не могут быть исключены из уравнений движения, независимо от обобщенных координат, выбранных для описания системы. Следует отметить, что это число определяется особенностями конструкции робота, и потому является одним и тем же для всех роботов одинакового типа (относящихся к одному и тому же классу).
С другой стороны, для каждого конкретного выбора обобщенных координат, число координат, которые могут быть исключены из уравнений движения посредством интегрирования связей, равно разности между ё1ш(ц) и ^ш(ту Д1).
Свойство 6.
1) Конфигурационная кинематическая модель КМР ц = Б (в) и является неголономной, т. е. М > 0 для всех типов мобильных роботов.
2) Конфигурационная кинематическая модель КМР ц = Б(ц)и допускает понижение порядка, т. е. ё1ш(ц) > Шш(ту Д1) для всех типов мобильных роботов.
Данное утверждение не противоречит утверждению о невозможности понижения порядка в позиционной кинематической модели (25)-(26), которая рассматривалась в части IV-А. Понижение порядка в системе (36) означает, что найдется хотя бы одна гладкая функция переменных (£, вс,вас,р), явно зависящая по крайней мере от одной из переменных (вое, V) и являющаяся постоянной вдоль всех траекторий системы, согласующихся со связями (10) и (11).
Проиллюстрируем это обсуждение двумя примерами.
Пример 1: тип (3,0). Омнимобильный робот с тремя шведскими колесами (рис. 6). Для данного робота 5т = 3 и конфигурационными координатами являются
ц = (х,у,в,вае3,^1,р2,рз)Т.
Конфигурационная модель характеризуется матрицей Б(ц), где
сов(в) 8ш(в) 0
- 8ш(в) сов(в) 0
0 0 1
1 Ь
2 г 2 г г
1 Ь
0
г г
^3 1 Ь
2 г 2 г г
\
Легко проверить, что
ё1ш(Д1) = 3 и ё1ш(1пуД1) = 5.
Следовательно, степень неголономности равна 5 — 3 = 2, тогда как число координат, которые можно исключить из уравнений посредством интегрирования связей, равно 6 -
— 5 = 1. Действительно, анализируя структуру конфигурационной кинематической модели, нетрудно убедиться в том, что
3 т ■
Ф\ + ф‘2 + Фз + —9.
3 т
Это означает, что выражение <р\ +у?2 +<^з + — 9 постоянно вдоль любой траектории, согласованной со связями. Это обстоятельство дает возможность исключить одну из четырех координат <^1, ^2, ^3, в, выразив ее через три другие.
Пример 2: тип (2,0). Робот с двумя фиксированными колесами и одним нецентрально ориентируемым колесом (рис. 8).
Для этого робота 5т = 2 и конфигурационными координатами являются
д = (х,у,в,всс3,р1,^2,рз)Т.
Матрица 5(д) имеет вид
S(q) =
— sin(e) 0
cos(e) 0
0 1
- COS вое d --Jd + L sin вое d
1 L
r r
1 L
r r
1 L
Sin вое COS вое
r r
= 2 и dim(invA1) =
Легко убедиться, что
Отсюда следует, что степень неголономности данного робота равна 6 — 2 = 4, а число координат, которые могут быть исключены из уравнений путем интегрирования связей, равно 7 — 6 = 1. Из рассмотрения конфигурации робота следует, что
фі + ф2 =
- 2L
в,
Следовательно, выражение ((р\ + <р2 + является постоянным вдоль всех траекто-
рий, согласованных со связями.
VI. Конфигурационная динамическая модель
Целью этой части статьи является вывод общей динамической модели КМР в пространстве состояний. Эта модель описывает динамические соотношения между конфигурационными координатами £, вое, Ф, вс и моментами, создаваемыми двигателями, которые установлены на корпусе робота.
Эта общая модель в пространстве состояний будет называться конфигурационной динамической моделью. Она состоит из шести видов уравнений состояния: по одному виду на каждую из координат £, вое, Ф, ве и по одному для каждой из внутренних координат п и Z, введенных в части IV. Уравнения состояния для £, вое, ве и ф были выведены в части V при формировании уравнений конфигурационной кинематической модели. Уравнения состояния для п и Z будут получены в части VI-A с использованием лагранжева формализма. Конфигурация и механизация (оснащение двигателями) мобильного робота будут обсуждаться в части VI-B.
r
А. Вывод конфигурационной динамической модели. Предположим, что робот оснащен двигателями, которые могут воздействовать как на ориентацию ориентируемых колес (угловые координаты (Зс и вое), так и на вращение колес (вращательные координаты ^>). Моменты, создаваемые двигателями, обозначим следующим образом:
• — моменты, управляющие вращением колес,
• тос — моменты, управляющие ориентацией нецентрально ориентируемых колес, и
• тс — моменты, управляющие ориентацией центрально ориентируемых колес.
Используя уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, можно записать динамические уравнения движения (всего 3 + Мос + N + Нс уравнений) мобильного робота следующим образом:
где через Т обозначена кинетическая энергия, а Л и ц — неопределенные множители Лагранжа, связанные с уравнениями связей (10) и (11) соответственно.
Для того чтобы исключить из системы все лагранжевы множители, мы поступим следующим образом. Умножим первые три группы (39)—(41) уравнений Лагранжа на соответ-
полученные соотношения. В итоге мы получим две группы уравнений, которые не содержат неопределенных множителей Л и ц в силу (33) и (34):
при подходящем определении матриц М(вос), V(вос), ^, 1ос, 1^, 1с, коэффициенты которых зависят от распределения масс и моментов инерции различных твердых тел (корпуса
М{%] ~Щ = лТ(^1Т(&ъ&с)А + Ет(в)СТ(ве1,вое)^,
(39)
(40)
(41)
_ дТ =
(и дрс др с
(42)
ствующие матрицы ХТ(вс)Я(в), ХТ(вс)^(вос) и ХТ(вс)Е(вс1,вос), а затем просуммируем
ХТ (вс)Я(в)[Т]с + В(вос)[Т\вос + Е(вс,вос)[Т ]„ = = ХТ(вс){ВТ(вос)тос + ЕТ(вс, вос)т^}, [Т]вс = тс.
(43)
(44)
Здесь для сокращения выкладок мы ввели следующее обозначение:
Кинетическая энергия КМР может быть записана следующим образом:
Т = £Т ЕТ (д)[М (вос)ят + 2и (вос)вос + 2^вс] + +вос !освос + ф1(рф + Ыс
и колес), составляющих мобильный робот. Уравнения состояния для п и ( могут быть теперь получены (после довольно громоздких вычислений) подстановкой выражения для Т
Общая конфигурационная динамическая модель КМР в пространстве состояний примет следующий вид:
В. Конфигурация и механизация (оснащение двигателями). В общей конфигурационной динамической модели (45)—(50), векторы т^, тос и тс представляют собой все моменты двигателей, которые потенциально могут быть приложены к системе для обеспечения вращения и ориентации колес мобильного робота. Однако на практике обычно используется сравнительно небольшое число двигателей. Это говорит о том, что большинство из компонент т<^, тос и тс тождественно равны нулю.
В этой части внимание будет уделено тому, чтобы в явном виде указать такую конфигурацию оснащения робота двигателями, которая обеспечивала бы полную маневренность робота при наименьшем возможном числе двигателей.
Прежде всего, ясно, что все центрально ориентируемые колеса должны быть снабжены двигателями, обеспечивающими их ориентацию (иначе эти колеса будут играть роль фиксированных колес).
Более того, для обеспечения полной маневренности мобильного робота к его конструкции следует добавить Nm дополнительных двигателей (где Nm ^ 5т), чтобы, с одной стороны, обеспечить вращение части колес, а с другой стороны — обеспечить ориентацию некоторых нецентрально ориентируемых колес. Вектор моментов, создаваемых этими двигателями, обозначим тт и запишем следующее равенство:
где Р — это (N1^ + N) х Nm-матрица, осуществляющая выборку компонент вектора (тос, т^) для их эффективного использования в качестве управляющих воздействий.
Используя (51), мы видим, что уравнения (48) общей динамической модели могут быть переписаны следующим образом:
в уравнения (43)—(44) и последующим исключением скоростей £, вос, Ф, вс и ускорений £, вос, Ф, (Зс при помощи кинематических уравнений (25), (26), (31), (32) и их производных.
ё = яТ (ещвс)п,
(45)
(46)
(47)
вос = С, вос = В(вос)Чвс)П,
Нг(вс, вос)П + ХТ (вс)У (вос )С + Л (вс, вос, П, 0 = ХТ(вс)[^Т(вос)тос + ЕТ(вс, вос)т?], УТ(вс)4вс)п + 1сХ + /2(вс, вос, п, 0 = тс,
(48)
(49)
(50)
Ф = Е(вос,всШвс)П,
где
Н1 (вс, вос) = £Т(вс)[М(вос) + ПТ(вос)УТ(вос) + + У (вос + 0Т (вос)1ос^(вос) +
+ ЕТ(вс, вос)^Е(вс, восШвс).
(51)
Нг(вс, вос)п + ^Т (вс) У (вос) С + /\(вс,вос,п,0
= В(вс,вос)Ртт,
где В(вс, вос) = ХТ (вс)[ПТ (вое) ЕТ (вс, вое)].
Введем теперь следующее предположение.
Предположение 3. Конфигурация оснащения мобильного робота двигателями должна быть такой, чтобы матрица
В(вс,вос)Р
имела полный ранг для всех (вс,вос) £ М^с+Мос.
Укажем теперь минимально допустимое оснащение двигателями мобильного робота для каждого из типов роботов, указанных в части III.
• Тип (3, 0). пример 1 (рис. 6). Омнимобильный робот с тремя шведскими колесами. В этом случае матрица В является постоянной и приводится к виду
2 2
В = £ТЕТ = -З3-131 = —
V
0 -1 ь
Уз 1
XV 1 2 2/
Очевидно, что эта матрица является невырожденной. Поэтому можно сделать вывод, что минимально допустимое оснащение двигателями для такого мобильного робота состоит в том, чтобы обеспечить двигателем каждое из колес.
Тип (3, 0), пример 2 (рис. 7). Омнимобильный робот с тремя нецентрально ориентируемыми колесами. В данном случае матрица В(вос) записывается следующим образом:
В (вос) = ХТ [ПТ (вос) Е1 (вс, вос)],
Т
где
£ТВтЦ3ос) =
008 вос1 ЯШ вос1
- 008 вос2
- 8Ш вос2
ЯШ вос3 - 008 вос3
+ Ь 81п вос1 d + Ь 81п вос2 d + Ь 81п вос3 /
Ет (¡3ос) = -ф
^ - 8Ш вос1 81п вос2 008 вос3 ^
008 вос1 008 вос2 81п вос3
\ Ь 008 вос1 Ь 008 вос2 Ь 008 вос3 )
Можно убедиться, рассматривая матрицу В(вос), что эта матрица не содержит 3 столбцов, которые являются независимыми при всех (вос1,вос2,восз). Поэтому необходимо использовать (как минимум) Nm = 4 двигателя. Допустимая конфигурация оснащения робота двигателями может быть, например, такой: по 2 двигателя (один для ориентации и один для вращения) на два из трех колес (при этом третье колесо не снабжено никакими двигателями и самоориентируется в процессе движения).
и
Например, если колеса 1 и 2 оснащены двигателями именно по этому принципу, то матрица Р, осуществляющая выбор управляющих моментов, имеет вид
^ 1 0 0 0^
0 10 0 0 0 0 0 0 0 10
0 0 0 1 у 0 0 0 0 у
р
и матрица В(вос)Р имеет полный ранг (= 3) для любой конфигурации мобильного робота.
Тип (2, 0), пример 3 (рис. 8). Робот с двумя фиксированными колесами (колеса 1 и 2) и одним нецентрально ориентируемым колесом (колесо 3).
Матрица В(@ос) записывается следующим образом:
/
В(восз) =
008 восЗ
V + Ьё[Пвосз)
_1 1 _1
г г г
Ь _Ь
г г г
РосЗ 'ФосЗ )
В данном случае допустимыми являются несколько конфигураций мобильного робота с двумя двигателями:
a) два двигателя для вращения фиксированных колес 1 и 2 (одно колесо вращается независимо от другого),
b) один двигатель для обеспечения ориентации колеса 3 и второй — для вращения
колеса 2 (или колеса 3) при условии, что Л, >
c) два двигателя, один из которых обеспечивает ориентацию, а другой — вращение колеса 3 при условии, что ! < Ь.
Соответствующие матрицы Р для каждого из случаев имеют следующий вид:
а) Р =
1 0 0 1
\° °/
Ь) Р =
0 1 0 0
\0 0/
с)Р =
0 0 0 0
\0 ч
Тип (2,1), пример 4 (рис. 9). Робот с одним центрально ориентируемым колесом (колесо 3) и двумя нецентрально ориентируемыми колесами (колеса 1 и 2).
В этом случае мы прежде всего нуждаемся в двигателе, обеспечивающем ориентацию центрально ориентируемого колеса. Матрица В(@с,@ос) записывается в виде
В(ве, вое) = ХТ (ве)\ВТ (вое) E1 \ве, вое)],
•Т/
где
ХТ (ве) =
L 0 -1
(
DT (вое) =
cos вое1 - cos вое2
\
ЕТ(вс, вое) — —ф
sin вое1 sin вое2
\d + L sin воеі d + L sin вое2 )
cos ве3 - sin вое1 L sin вое2
1
sin всЗ cos восі - cos вос2 L cos ве3 L cos вое1 L cos вое2
Столбцы 1 и 3 матрицы В (вс, вое) являются независимыми при сі, > Ьу/2. То же самое можно сказать о столбцах 2 и 3. Следовательно, две допустимые конфигурации могут быть получены, если использовать второй двигатель для вращения центрально ориентируемого колеса (колесо 3), а третий двигатель — для обеспечения ориентации либо колеса 1, либо колеса 2.
Две соответствующих матрицы P имеют вид:
( \ 1 0
1) P =
0 0 0 1 0 0
V00/
2) P =
/ \ 0 0 1 0 0 1 0 0
V00/
Тип (1,1), пример 5 (рис. 10). Робот с двумя фиксированными колесами и одним центрально ориентируемым колесом.
Первый двигатель нужен для обеспечения ориентации центрально ориентируемого колеса. Матрица В(ве) приводится к вектору:
В = [sin ве3 + cos ве3 - sin ве3 + cos ве3 1] •
Так как 5т = 1, то предположение 3 будет выполняться при условии, что второй двигатель отвечает за вращение центрально ориентируемого колеса. Матрица Р имеет
вид
/ \
0
Р
0
• Тип (1, 2), пример 6 (рис. 11).
Робот с двумя центрально ориентируемыми колесами и одним нецентрально ориентируемым колесом.
Для обеспечения ориентации двух центрально ориентируемых колес требуется два двигателя. Матрица В(вс,вос) записывается следующим образом:
Поскольку 5т = 1, то достаточно найти один столбец матрицы В(вс,вос), который был бы ненулевым на всех движениях системы. Однако найти такой столбец невозможно. Поэтому необходимо использовать два дополнительных двигателя, например, для вращения колес 1 и 2 с матрицей
В(вс, вос) = ХТ (вс)[ПТ (вос) ЕТ (вс, вос)],
где
Ш)
—2Ь вс1 ЙШ вс2
Ь Йш(вс1 + вс2)
\ 2Ь йт вс2 СОЙ вс1 - б1п(вс1 + вс2) /
^ -й 1 йт вос3 ^
0Т (вос)= й-1 СОЙ вос3
\ Ь СОЙ вс1 Ь СОЙ вс2 Ь СОЙ вос3
1 0
Р
0 1
Окончательно все полученные результаты сведем в одну таблицу:
Тип Количество двигателей
(т Nт + N в
Тип (3, 0) 3 или 4
Тип (2, 0) 2
Тип (2, 1) 3
Тип (1, 1) 2
Тип (1, 2) 4
Конфигурационная динамическая модель КМР может быть переписана в следующей компактной форме:
4 = 5 (д)п,
Н(в)П + / (в, п) = Е(в)то,
где введены обозначения
в
Л I П
п-
Н(в) -
С
1 Н1(вс,вос) £Т (вс)У (вос)^
\ УТ(восЩвс)
1с
Н(вс,вос ,п,0
\ ¡2(вс,вос,п,0 )
1 В(вс,вос)Р 0^
0 I
/
тт
то -
\Тз
(52)
(53)
Из предположения 3 следует, что матрица Е(в) имеет полный ранг при всех в. Это свойство важно для анализа поведения КМР и для построения управляющих устройств (контроллеров) обратной связи. Оно используется, прежде всего, для приведения общей
модели в пространстве состояний к более простой и удобной форме при помощи гладкой статической обратной связи.
Свойство 7. Конфигурационная динамическая модель КМР (52) и (53) эквивалентна относительно преобразования обратной связи (причем обратная связь является гладкой, статической и не зависящей явно от времени) следующей системе:
4 = 5 (4)п, (54)
П = V, (55)
где V представляют множество 5т дополнительных управляющих воздействий.
Действительно, из свойства 1 легко следует, что всюду в пространстве состояний хорошо определена следующая гладкая, статическая, не содержащая явным образом время обратная связь:
То = Е](в)[Н(в)п - /(в,п)], (56)
где Е^ обозначает произвольную левую обратную матрицу для матрицы Е(в,п).
Подчеркнем здесь, что с эксплуатационной точки зрения вызывает интерес дальнейшее упрощение системы (54)-(55). В контексте задач планирования движения или построения
управления с обратной связью очевидно, что пользователь заинтересован в первую очередь
в том, чтобы управлять положением робота (а именно, координатами £(£)) при помощи
управляющих воздействий V. Заметим, что в силу этого, мы можем намеренно проигнори-
ровать координаты вос и ф и ограничить свое внимание рассмотрением следующей позиционной динамической модели.
Позиционная динамическая модель:
г = В(г)п, (57)
п = V, (58)
где, напоминаем, г — (£, вс)Т и п — (п, ()Т.
Данная позиционная динамическая модель полностью описывает динамику системы между управляющими воздействиями V и положением £. Координаты вос и ф явно не входят в уравнения (57)—(58), однако важно отметить, что они фактически скрыты в обратной связи (56).
Разница между позиционной динамической моделью и позиционной кинематической моделью заключается в том, что теперь переменные п представляют собой только часть переменных вектора состояния. Это обусловливает существование сноса в системе и тот факт, что управляющие векторные поля являются постоянными.
Позиционная динамическая модель наследует все структурные свойства позиционной кинематической модели, обсуждавшиеся в части 1У-С.
Свойство 8.
a) Позиционная динамическая модель является универсальной и не допускает понижения порядка.
b) Позиционная динамическая модель является локально управляемой на малых временах.
c) Для роботов с ограниченной подвижностью позиционная динамическая модель не стабилизируется при помощи непрерывной статической обратной связи, не зависящей от времени, но она может быть стабилизируема зависящей от времени обратной связью.
d) Размерность наибольшей линеаризуемой обратной связью подсистемы позиционной динамической модели равна 2(öm + ös), поэтому омнимобильные роботы являются системами, линеаризуемыми обратной связью.
e) Позиционная динамическая модель является дифференциально плоской системой.
VII. Выводы
Доказано, что в соответствии с ограничениями подвижности КМР, вызванными наличием кинематических связей, все КМР могут быть разделены на 5 классов со специфической структурой кинематических и динамических моделей для каждого класса.
Было представлено четыре модели.
- Позиционная кинематическая модель (часть IV), которая является достаточной для того, чтобы описать движение робота в целом. Данная модель является универсальной в том смысле, что все роботы, относящиеся к одному и тому же классу, описываются одной позиционной кинематической моделью.
- Конфигурационная кинематическая модель (часть V), описывающая эволюцию всех конфигурационных переменных.
- Конфигурационная динамическая модель (часть VI), которая учитывает динамику робота, включая управляющие моменты, создаваемые двигателями.
- Позиционная динамическая модель (часть VII), эквивалентная относительно преобразования обратной связи конфигурационной динамической модели. Уравнения данной модели можно получить из позиционной кинематической модели, просто добавив уравнения на управляющие воздействия и.
Управляющие воздействия в кинематических моделях являются однородными по скоростям, тогда как управляющие воздействия в динамических моделях являются либо моментами, либо ускорениями. Позиционные модели являются универсальными, не допускающими понижения порядка и управляемыми. Для управления положением робота достаточно использовать только эти модели. Конфигурационные модели не являются универсальными, они допускают понижение порядка и не являются управляемыми. Они зависят от конкретного устройства робота и позволяют описать эволюцию всех конфигурационных переменных.
Список литературы
[1] Bastin G., Campion G. On adaptive linearizing control of omnidirectional mobile robots // MTNS-89: Proc. Internat. Symp. on the Mathematical Theory of Networks and Systems (Amsterdam, Netherlands, 1989): Vol. 2 / M. A. Kaashoek, J. H. van Schuppen, A. C.M.Ran (Eds.). (Progress in Systems and Control Theory, vol. 4.) Boston: Birkhauser, 1990. P. 531-538.
[2] Samson C., Ait-Abderahim K. Feedback control of a nonholonomic wheeled cart in Cartesian space // Proc. IEEE Internat. Conf. Robotics and Automation (Sacramento, CA, 1991): Vol. 2, pp. 1136-1141.
[3] Canudas de Wit C., S0rdalen O.J. Exponential stabilization of mobile robots with nonholonomic constraints // IEEE Conf. Decision and Control (Brighton, England, 1991), pp. 692-697 (см. также IEEE Transactions on Automatic Control, 1992, vol. 37, no. 11, pp. 1791-1797).
[4] Laumond J. P. Controllability of a multibody mobile robot // ICAR (Pisa, Italy, 1991), pp. 10331038 (см. также IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1993, vol. 9, no. 6, pp. 755-763).
[5] Badreddin E., Mansour M. Fuzzy-tuned state-feedback control of a nonholonomic mobile robot // Proc. of the 12th World Congr. of the IFAC (Sidney, Australia, 1993), vol. 2, pp. 212-215.
[6] Murray R. M., Sastry S. S. Nonholonomic motion planning: Steering using sinusoids // IEEE Trans. Automat. Contr., 1993, vol. 38, pp. 700-716.
[7] Rouchon P., Fliess M., Ldvine J., Martin P. Flatness and motion planning: The car with n trailers // Proc. of the 2nd European Control Conf. (Groningen, The Netherlands, 1993), pp. 1518-1522.
[8] Pomet J.B., Thuillot B., Bastin G., Campion G. A hybrid strategy for the feedback stabilization of nonholonomic mobile robots // IEEE Internat. Conf. Robotics and Automation (Nice, France, 1992), pp. 129-135.
[9] Muir P. F., Neuman C.P. Kinematic modeling for feedback control of an omnidirectional wheeled mobile robot // Proc. IEEE Conf. Robotics and Automation (Raleigh, NC, 1987), pp. 1772-1778.
[10] Killough S. M., Pin F.G. Design of an omnidirectional and holonomic wheeled platform design // Proc. IEEE Conf. Robotics and Automation (Nice, France, 1992), pp. 84-90.
[11] d’Andrea-Novel B., Bastin G., Campion G. Modeling and control of nonholonomic wheeled mobile robots // Proc. IEEE Conf. Robotics and Automation (Sacramento, CA, 1991), pp. 1130-1135.
[12] Muir P.F., Neuman C.P. Kinematic modeling of wheeled mobile robots // J. Robotic Syst., 1987, vol. 4, no. 2, pp. 281-329.
[13] Alexander J. C., Maddocks J. H. On the kinematics of wheeled mobile robots // Internat. J. Robotics Res., 1989, vol. 8, no. 5, pp. 15-27.
[14] Helmers C. Ein Heldenleben (or A hero’s life) // Robotics Age, 1983, vol. 5, no. 2, pp. 7-16, 44-45.
[15] Balmer C. Avatar: A home built robot // Robotics Age, 1988, vol. 4, no. 1, pp. 20-25.
[16] Holland J. M. Rethinking robot mobility // Robotics Age, 1988, vol. 7, no. 1, pp. 26-30.
[17] Nijmeijer H., van der Schaft A. J. Nonlinear dynamical control systems. New York: Springer, 1990. 492 pp.
[18] Isidori A. Nonlinear control systems. 2nd ed. Berlin: Springer, 1989. 479 pp.
[19] Marino R. On the largest feedback linearizable subsystem // Syst. Contr. Lett., 1986, vol. 6, pp. 345351.
[20] Martin P. Contribution a l’etude des systemes differentiellement plats: Ph.D. thesis, Ecole nationale superieure des mines de Paris, 1992.
[21] d’Andrea-Novel B., Campion G., Bastin G. Control of nonholonomic wheeled mobile robots by state feedback linearization // Int. J. Robotics Res., 1995, vol. 14, no. 6, pp. 543-559.
[22] Brockett R. W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential geometric control theory / R. W. Brockett, R. S. Millmann, H. J.Sussmann (Eds.). Boston: Birkhauser, 1983. P. 181191.
[23] Coron J.-M. Global asymptotic stabilization for controllable systems without drift // Math. Control Signals Systems, 1992, vol. 5, no. 3, pp. 295-312.
[24] Pomet J. B. Explicit design of time-varying stabilizing control laws for a class of time varying controllable systems whithout drift // Syst. Contr. Lett., 1992, vol. 18, pp. 147-158.
[25] Campion G., d’Andrea-Novel B., Bastin G. Controllability and state feedback stabilization of nonholonomic mechanical systems // Advanced Robot Control: Proc. of the Internat. Workshop on Nonlinear and Adaptive Control: Issues in Robotics (France, Grenoble, 1990) / C. Canudas de Wit (Ed.). (Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 162.) Berlin: Springer, 1990. P. 106124.
[26] Bloch A. M., McClamroch N. H., Reyhanoglu M. Control and stabilization of nonholonomic dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Contr., 1992, vol. 37, pp. 1746-1757.
[27] Campion G., d’Andrea-Novel B., Bastin G. Modeling and state feedback control of nonholonomic mechanical systems // IEEE Conf. Decision and Control (Brighton, England, 1991), pp. 1184-1189.
Structural properties and classification on kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots
Guy Campion1, Georges Bastin2, Brigitte D’Andrea-Novel3
1,2Centre for Systems Engineering and Applied Mechanics (CESAME)
Universite Catholique de Louvain B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium
3Centre Automatique et Systemes—Ecole des Mines de Paris F-77300 Fontainebleau, France
The structure of the kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots is analyzed. It is shown that, for a large class of possible configurations, they can be classified into five types, characterized by generic structures of the model equations. For each type of model the following questions are addressed: (ir)reducibility and (non)holonomity, mobility and controllability, configuration of the motorization, and feedback equivalence.
Keywords: wheeled mobile robots, kinematic and dynamic models, nonholonomity, control Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, vol. 7, no. 4 (Mobile Robots), pp. 733-769 (Russian)
Originally published in: IEEE Transactions on robotics and automation, 1996, vol. 12, no. 1, pp. 47-62. © IEEE.
