CC BY
56
УДК 539.4, 539.216.1
Структурно-скейлинговые переходы в твердых телах с дефектами и некоторые симметрийные аспекты теории поля
О.Б. Наймарк
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
Механизмы релаксации и разрушения твердых тел с мезоскопическими дефектами рассмотрены в контексте установленного класса критических явлений — структурно-скейлинговых переходов. Обсуждается связь коллективных мод в ансамблях мезоде-фектов с калибровочной инвариантностью, введенной в теории струн, исследуются статистические и термодинамические свойства деформируемых тел, обусловленные динамикой коллективных мод дефектов.
Ключевые слова: структурно-скейлинговые переходы в ансамблях дефектов, калибровочные поля, теория струн
Structural-scale transitions in solids with defects and certain of symmetry aspects of field theory
O.B. Naimark
Institute of Continuum Mechanics UrB RAS, Perm, 614013, Russia
Relaxation and fracture mechanisms in solids with mesoscopic defects are considered in the context of a specific class of critical phenomena — structural-scaling transitions. The association of collective modes in mesodefect ensembles with gauge invariance in string theory. Statistical and thermodynamic properties of deformed solids are studied in relation to dynamics of collective modes of defects. Keywords: structural-scale transitions in defect ensembles, gauge fields, string theory
1. Введение
Фундаментальные проблемы пластичности и разрушения вызывают в последние десятилетия большой интерес в связи с мезоскопической природой данных явлений, что предполагает разработку статистико-термодинамических основ поведения существенно-неравновесных систем в условиях многомасштабных длиннокорреляционных взаимодействий ансамблей дефектов [1]. При этом полевые описания поведения деформируемых твердых тел должны быть согласованы с представлениями теории дефектов, физики пластичности и разрушения на основе введения континуальных переменных, характеризующих поведение ансамблей дефектов, построения лагранжиана среды с дефектами. Особенностью данных постановок, по сравнению с традиционными постановками механики сплошных сред, является отражение роли дефектов как топологических объектов, появление которых изменяет локальную симметрию системы (диффеоморфную природу полей смещений), а взаимодействие между дефектами и их ансамблями может иметь своим следствием изменение глобальной симметрии и свойств системы.
Развитые в работах [2-5] представления о связи коллективного поведения мезоскопических дефектов (дислокационных субструктур) с механизмами структурной релаксации, пластичности и разрушения анализируются в настоящей работе на основе представлений о структурно-скейлинговых переходах — новом классе критических явлений в конденсированных средах с дефектами. Особенностью этих переходов является существование дополнительного параметра порядка — параметра структурного скейлинга—и универсальных реакций конденсированных сред на изменение параметра структурного скейлинга, что проявляется в формировании характерных типов коллективных мод ансамблей дефектов, обнаруживающих различную пространственновременную динамику в соответствии с групповыми свойствами уравнений движения, полученных на основе развитого статистико-термодинамического описания.
Наличие мезо- и макроскопических параметров порядка, являющихся калибровочными аналогами частиц в теории поля [6], и пространственно-временных масштабов, характеризующих полевую динамику дефектов, явилось основанием в настоящей работе для опреде-
© Наймарк О.Б., 2010
ления симметрийной (калибровочной) природы дефектов и их коллективных мод как топологических объектов — «струн», введенных ранее в теории поля [7, 8].
Установленные в рамках теории структурно-скей-линговых переходов автомодельные закономерности формирования коллективных мод ансамблей дефектов (мод автосолитонного типа и диссипативных структур обострения) позволили связать механизмы структурной релаксации (пластичности) и разрушения с масштабноинвариантными сценариями пластического течения и разрушения, анализируя на основе данных оригинальных экспериментов статистику флуктуаций напряжений пластического течения в сплаве Al-Mg и статистику фрагментации образцов из кварцевого стекла при динамическом нагружении.
Статистико-термодинамические закономерности эволюции ансамблей дефектов, определение энтропии и условий термализации систем с дефектами обсуждаются в связи с использованием обобщения флуктуаци-онно-диссипативной теоремы для систем с «медленной динамикой». Показана возможность введения «эффективных» температур пластически деформируемого твердого тела на основе анализа статистики флуктуаций областей локализованного сдвига в деформируемом монокристалле алюминия.
Обсуждаются статистические особенности формирования очагов разрушения, рассматривая эволюцию последних как динамику диссипативных структур обострения различной сложности и развитие данных структур в условиях структурно-скейлинговых переходов. Проведен сравнительный анализ сценариев перехода очагов разрушения и развития сингулярностей в теории поля.
2. Некоторые результаты калибровочной теории. Теория струн
2.1. Глобальная и локальная симметрия. Калибровочная инвариантность
Математическое описание различных физических явлений основано на определении переменных (степеней свободы), в рамках которых подобные физические ситуации могут быть представлены эквивалентными математическими конфигурациями. Переходы между этими конфигурациями даются преобразованиями, относящимися к одной группе симметрий. Теория калибровочных полей является математической методологией, отражающей общие закономерности таких преобразований. Применение теории калибровочных полей как математического формализма оказалось эффективным при разработке единого подхода в теории поля применительно к слабым и сильным взаимодействиям.
Набор возможных преобразований с постоянными параметрами в каждой точке пространства-времени является аналогом «жестких» преобразований геометри-
ческих координат системы и отражает глобальную симметрию системы в терминах калибровочных полей.
Преобразования, для которых параметры не являются постоянными, характеризуют локальную симметрию и соответствуют ковариантной версии калибровочной теории, основанной на введении калибровочного поля. В этом случае описание скоростей изменения переменных поля формулируется в терминах ковариантных производных с учетом взаимодействия последних. Конфигурации, в которых калибровочные поля могут быть устранены в ходе преобразования, соответствуют состоянию систем, для которых напряженность поля или его кривизна математически равны нулю везде.
Подходы калибровочной теории широко используются в настоящее время для описания структуры и свойств конденсированных сред с локальными изменениями симметрии (дефектами), и связано это с тем, что зарождение и рост дефектов изменяют диффеоморфную структуру поля смещений (скоростей). Используя формализм теории калибровочных полей (подход Янга и Миллса), переменные, связанные с дефектами, могут быть введены как локализация соответствующей группы симметрии тензора дисторсии и рассматриваться как дополнительные кинематически допустимые для данной среды переменные. Структура так называемых калибровочных полей должна соответствовать определенным типам дефектов. Основой для применения калибровочной теории дефектов к рассматриваемым проблемам является установление внутренней группы симметрии для среды с дефектами. Большинство механических моделей деформируемых сред обладает свойством инвариантности по отношению однородной группы преобразований, связанных с трансляцией Т(3) и ротацией 50(3). Это означает, что лагранжиан системы инвариантен по отношению к преобразованиям:
х ^ X = g (£, t) + т(£, t), где х и £ — текущие и начальные координаты; g(£, ?) и т(£, () — операторы вращения и трансляции соответственно. Оператор дифференцирования должен быть также инвариантен по отношению к преобразованиям Т(3) и 50(3), что учитывается оператором ковариантной производной
^х =Эц х + Г х + Рц > где Гц и — дифференциальные операторы вращения и трансляции [2].
Для среды с дефектами однородность преобразований 50(3) и Т(3) нарушается, но в этом случае операторы Г и соответствуют локальным ротациям и тран-
сляциям, связанным с дефектами. Внутренняя группа симметрии такой среды соответствует так называемому полупрямому произведению SO(3) > Т(3). Элементы Г и этой группы, являющиеся в данном случае функциями координат и времени, называются калибровочными полями.
Другой важный результат применения теории калибровочных полей к средам с дефектами связан с возможностью конструирования энергии системы — лагранжиана. Используя минимальное расширение, можно записать лагранжиан с двумя дополнительными независимыми переменными Г и [2, 6]:
+ С2 gJ£) gV2xЧAx), (1)
где 0цу ~ дцГу — дуГц + ГцГу — ГуГц; — +
+ Г^ру - ГУР^ + 0^х — так называемые интенсивности калибровочного поля, относящиеся к локальным ротациям и трансляциям вследствие дефектов; gik — компоненты метрического тензора; феноменологические параметры С1 и С2 — константы дислокационного взаимодействия. При анализе динамического поведения переменные калибровочного поля должны рассматриваться как динамические переменные, подобно другим объектам при описании физических ситуаций. Особенностью систем, обладающих свойством локальной симметрии, является то, что в дополнение к слагаемым, характеризующим взаимодействие с другими переменными (через ковариантные производные), в энергию системы традиционно привносятся вклады, отражающие самодействие.
Изменение диффеоморфной структуры поля смещений при появлении дефектов имеет важные следствия с точки зрения изменения симметрии системы. Этот симметрийный аспект может быть использован для моделирования дефектов как в кристаллических, так и в аморфных материалах без предположения о дислокационной природе дефектов, что традиционно связывается со структурой кристаллических материалов. Аналогичное (1) выражение для лагранжиана будет использовано в дальнейшем при статистическом анализе свойств ансамбля дефектов.
2.2. Теория струн
В последние десятилетия получила развитие так называемая теория струн, в рамках которой унифицируются различные типы взаимодействий в теории поля (слабые и сильные) [8]. Теория струн, возникшая в конце 60-х годов прошлого столетия из попыток объяснения сильно взаимодействующих коротко живущих резонансов, стала рассматриваться как основной кандидат на роль единой теории всех взаимодействий.
Теория струн, являясь развитием теории калибровочных полей Янга-Миллса, предлагает объяснение природы калибровочной симметрии, при этом калибровочная инвариантность следует из «струнной симметрии». Суть основных предположений теории струн заключается в том, что «частицы» заменяются одномерными объектами — струнами — при сохранении основных физических законов. Теория струн (как и впервые
калибровочная теория) была предложена в теории элементарных частиц и ввела в рассмотрение минимальные масштабы, соответствующие движению частиц. Согласно теории струн, базовыми физическими объектами являются не точечные объекты (частицы), а протяженные одномерные струны. Теория струн видоизменяет подход к строению материи, заменяя частицы в роли первичных составляющих материи модами колебаний единственной протяженной струны. Во всем остальном теория струн не вносит радикальных изменений в физические начала.
Однако между частицами и струнами имеется большая разница в том, что касается их взаимодействия, которое носит топологический характер. Развитие теории струн позволило предложить обобщение известных физических законов для протяженных объектов. Однако следует отметить, что принципы построения лагранжианов для струн как новых физических объектов до настоящего времени не установлены.
К достижениям в рамках теории струн относят обнаружение класса решений уравнений движения, имеющих сингулярный образ в пространстве-времени (черные дыры в теории поля), а также разработка статистико-термодинамических основ поведения систем с такого типа сингулярностями, которые в дальнейшем будем называть для краткости ^^-сингулярности.
3. Эволюция и переходы в ансамблях дислокационных субструктур.
Параметры порядка
3.1. Особенности переходов в ансамблях дислокационных субструктур
Экспериментально установлено, что увеличение плотности дислокаций при деформации сопровождается формированием дислокационных субструктур, последовательность которых имеет достаточно регулярный характер. Подобный сценарий наблюдается при активной деформации, усталостном, динамическом и ударно-волновом нагружениях. Более того, как показано в [9], переходы в дислокационных структурах носят аналогичный характер для моно- и поликристаллов и определяются взаимодействиями между дислокациями и температурой. Иногда переходы между типами дислокационных субструктур сопровождаются резкими изменениями в механических свойствах металлов и сплавов. Так, основные механизмы дислокационного трения (эффекты вязкопластичности) и деформационного упрочнения могут быть связаны с переходами в дислокационных субструктурах. Характерно, что каждый тип дислокационных субструктур существует в определенном диапазоне дислокационной плотности, которые являются относительно стабильными для широкого класса материалов. Причина такой универсальности, по-видимому, имеет отношение к свойствам дислокационных ансамблей как неравновесной системы, которая обладает
автомодельными признаками поведения. Эта универсальность в поведении дислокационных систем проявляется в экспериментах в виде низкой чувствительности эволюции дислокационных структур к внешним напряжениям, но высокой чувствительности к структурным напряжениям, индуцированным взаимодействием дислокаций.
Увеличение дислокационной плотности сопровождается уменьшением расстояния между дислокациями и напряжений дислокационного взаимодействия при формировании соответствующих дислокационных субструктур. Коллективные свойства дислокационных ансамблей начинают играть лидирующую роль в дислокационных переходах и формировании дислокационных субструктур. Движущей силой таких переходов является тенденция достижения относительного минимума полной энергии при формировании дислокационных субструктур [10]. Энергия дислокационных субструктур состоит из двух частей: собственная энергия дислокаций и энергия взаимодействия последних. Переходы в дислокационных субструктурах сопровождаются изменениями обеих частей. Как следствие, энергия вновь образуемых дислокационных субструктур оказывается меньше энергии предшествующей субструктуры.
Как правило, переходам от одного типа дислокационных субструктур к другим предшествует появление флуктуаций дислокационной плотности. Рост этих флуктуаций приводит к изменению функции распределения плотности дислокаций. Эти закономерности в эволюции дефектных субструктур дают основание для рассмотрения последних как независимых подсистем, возникающих в материале в процессе деформации. В этом случае в число независимых переменных состояния должны войти параметры порядка, характеризующие дислокационные субструктуры.
3.2. Параметры порядка сред с дислокационными субструктурами
Структурные переменные, ассоциированные с дислокационными субструктурами (например дислокационными петлями различной мощности в зависимости от размеров площадки скачка смещений и величины вектора Бюргерса), могут быть введены по аналогии с тензорами дислокационной плотности и имеют вид:
■% = ™ i V к (2)
для случая «нормального» скачка поля смещений В = = Bv при переходе через площадку S 0 = SD V и
sik = -2s(v Jk + hv k)
(3)
для смещения сдвига В = В1. Здесь V — единичный вектор нормали к основанию SD; 1 — единичный вектор в направлении сдвига; 5 = SDB — интенсивность разрыва.
Усреднение микроскопического тензора sik дает макроскопический тензор плотности дефектов
Pik = n(sik X (4)
который совпадает по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами; n — концентрация дефектов.
4. Термодинамика сред с дислокационными субструктурами. Структурно-скейлинговые переходы
4.1. Статистико-термодинамическая модель
Статистическая термодинамика сред с дислокационными субструктурами была развита в [2, 3] при описании микроскопической кинетики параметра порядка sik, определяемой уравнением Ланжевена
sik = Kik (Sim ) - Fik, (5)
где Kik = дЕ/ dsik, E — энергия дефекта; Fik — случайный вклад в силовое поле, действующее на выделенный дефект и удовлетворяющее условиям (Ftk (t)) = 0 и (Fik (t')Fik (t)) = QS(t -1'). Параметр Q характеризует среднее значение энергетического рельефа системы, определяемого текущим состоянием дефектной подсистемы. Данная постановка аналогична решению статистической задачи в терминах уравнения Фоккера-Планка
д д 1 д2
— W =------------KikW +—Q----------------
dt dSik 2 dSikdSik
W
для функции распределения Ж(5, V, 1) в фазовом пространстве состояний дефектной подсистемы (5, V, 1). С использованием метода эффективного поля решение уравнения Фоккера-Планка представимо в виде:
Ж = г-1ехр(- е/0, где Е — энергия системы в присутствии эффективного поля; 2 = | ехр(Е/0йу ё3 V ё31 — нормализующий множитель. В терминах микроскопических и макроскопических переменных, характеризующих дефекты как дислокационные субструктуры, энергия дефектов может быть записана в форме, являющейся частным видом лагранжиана (1):
Е = Е0 - Нгк51к + а% > (6)
где квадратичный член представляет собственную энергию дефекта и слагаемое Н1к51к описывает вклад в энергию, соответствующий взаимодействию дефекта с действующим на него эффективным полем Нк, пропорциональным внешнему полю напряжений <з1к и напряжению «среднего» поля:
Н1к = + хРй = sik X (7)
где а, X — параметры материала. Процедура усреднения приводит к уравнению самосогласования, определяющему зависимость макроскопического тензора плотности дефектов (имеющему смысл деформации, обусловленной дефектами) от величины внешних напряжений, исходной структуры и взаимодействия дефектов:
Р1к = и/ 5гкЖ(5, -V, 1)ё5к. (8)
Для безразмерных переменных р к = 1/ а/ Qрк,
= ТОб51к, ак = а*/л/б“ уравнение (8) принимает вид:
Р * = } ^ _1 ехР ^ (6 * +1Р * Чк ^ ^к , (9)
который включает единственный безразмерный материальный параметр 8 = а/(Ап). Размерностный анализ позволяет получить следующую оценку параметров материала, входящих в лагранжиан:
а -
■, X ~ G, п ~ Л-
Здесь С — сдвиговой модуль упругости; ¥0 ~ г0 — характерный объем зародышей дефектов; Л—расстояние между дефектами. В результате для 8 получается оценка: 8 ~(Я/г0)3, что находится в соответствии с гипотезой о статистической автомодельности распределения дефектов на различных структурных уровнях в процессе деформации [11].
Решение уравнения (9) получено для случая одноосного растяжения и чистого сдвига образца (рис. 1), и показано существование характерного нелинейного поведения ансамбля дефектов в определенных интервалах 8 (8 > 8» = 1.3,8С < 8 < 8», 8 < 8С = 1), где 8С и 8» — точки бифуркаций решений [2]. Было установлено, что указанные интервалы 8 соответствуют квазихрупкой (8 < 8С ~ 1), пластической (8С < 8 < 8») и нанокристал-лической (8 > 8» ~ 1.3) реакциям материалов. Переходы между состояниями сопровождаются появлением пространственно-выделенных структур, появление которых может рассматриваться как формирование новой дислокационной субструктуры, что должно, в свою очередь, приводить к изменению исходных структурных масштабов: г0 ^ Lп, Я ^ Lc, где Lп — масштаб областей локализованного сдвига; ЬС — расстояние между этими областями. Текущая восприимчивость материала к росту дефектов, определяемая величиной 8, должна в этом случае определяться текущими значениями структурных масштабов, т.е. 8 = (Lc/ Lп )3. Показано также, что указанные масштабы определяются нелинейной кинетикой тензора р1к, и таким образом распределение дефектов влияет на структурную восприимчивость к их
| 8С < 5 < б.
5 < ъ\ (
\ \
1 Чч 1 \ \ / 8 > 8.
1 \ » 1*1 / 4—*а / / і і / / і / / 1 У
дальнейшему росту. Так как формирование масштабов Ьп и ЬС означает «огрубление» исходной структуры, то общая тенденция сводится к уменьшению величины 8, что позволяет высказать предположение о механизме формирования дислокационных субструктур различных масштабных уровней как структурно-скейлинго-вых переходах. Характерным признаком таких переходов является выраженная пространственная локализация субструктур дефектов в объеме образца, сопровождающаяся, как это будет в дальнейшем показано, появлением новых пространственно-временных масштабов.
4.2. Структурно-скейлинговые переходы. Коллективные моды в ансамблях дефектов
Статистическое описание позволило предложить феноменологию твердого тела с дефектами, основанную на представлении свободной энергии Р по аналогии с известным представлением Гинзбурга-Ландау (для случая сдвигового деформирования р = руг, а = а, е =
= е ) [2]:
+ -С 6
1 -
8_
8»
1-
8с
р6 - Dap + Х(^ір)2.
(10)
Точки бифуркации 8», 8с играют роль, аналогичную характеристическим температурам в теории фазовых переходов Ландау; градиентный член в (10) описывает эффекты нелокальности в ансамбле дефектов; А, В, С, D и X — феноменологические параметры.
В [2-5] показано, что динамика ансамбля дефектов в различных областях параметра структурного скейлин-га характеризуется формированием качественно-различных типов коллективных мод—пространственно-временных структур. При 8с < 8 < 8» пространственновременные структуры имеют вид автосолитонной волны: р(0 = р( х - Vt). Амплитуда волны, ее ширина и скорость волнового фронта определяются параметрами структурно-скейлингового перехода в диапазоне значений 8„ < 8 < 8»:
Р = 1 Ра [1 - tg(C IЧ)], I =— I 2^ 2 Ра ; А
V = ХА(Ра - Рт )12^2
1/2
(11)
где ра - рт — скачок величины р в ходе структурно-скейлингового перехода. Переход через точку бифуркации 8С сопровождается появлением пространственно-временны х структур сингулярного типа (так называемые режимы с обострением [12, 13]), динамика которых описывается при t ^ I
решениями вида:
< , 9-
Р(X, 0 = Ф^)/(О, С = —, Ф(t) = фо Ъс
1-
, (12)
Рис. 1. Нелинейные реакции материалов на рост дефектов
где т > 0, Ф о > 0 — параметры, определяемые показателями нелинейности в (10); ЬС и tc — параметры скей-
р А/ 0 р ! \ * V / V б 1 у I ! N п , ал ^ ЛД 1ЛЛ/ АД
X
Рис. 2. Коллективные моды ансамблей дефектов
линга. Масштаб Lc, так называемая фундаментальная длина [12], имеет смысл пространственного периода решения (12). Автомодельное решение (12) описывает динамику коллективного поведения дислокационных субструктур при t ^ tc на спектре пространственных масштабов Ан = кАС, к = 1,2,..., К. Характерными признаками динамики дислокационных субструктур как пространственно-временных структур является существование пространственных и временных масштабов: для структур автосолитонного типа—I и ^ = 1/У соответственно, для диссипативных структур обострения — АС и tc. Отметим, что данные пространственно-временны е структуры являются топологически новыми объектами в среде с дефектами и, помимо абсолютного значения параметра порядка, характеризуются пространственными и временными масштабами, определяющими динамику структур в четырехмерном пространстве состояний. В соответствии с [7] данные топологические объекты могут быть определены как струны. Качественные переходы между этими топологическими объектами аналогичны сценариям, обсуждаемым в теории струн применительно к динамике формирования 5Д-сингулярных структур. Отметим, что решения (11), (12) были получены на основе анализа выражения (9), содержащего только один безразмерный параметр 8 (параметр структурного скейлинга) и, как следствие, могут быть использованы при анализе термодинамических свойств достаточно широкого класса систем, обнаруживающих структурно-скейлинговые переходы.
Конечно-амплитудное возмущение автосолитонного типа (аналогом которого является, например, область локализации пластической деформации в твердом теле) содержит две волновых «гармоники» (рис. 2), амплитуда и групповая скорость которых растут при изменении (уменьшении) параметра структурного скейлинга 8 ^ ^ 8С. При этом в диапазоне 8С < 8 < 8» сохраняется топологическая (пространственно-временная) структура автоволнового решения. Обращая внимание на тот факт, что статистическая постановка была реализована
в «одночастичном» приближении и описывает изменение параметра «порядка» как статистически среднего размера дефекта, взаимодействие (притяжение) двух ав-товолновых структур завершается в точке 8С и соответствует переходу от механизма переноса импульса (пластическое течение) движущимися дефектами (дислокационными субструктурами) к формированию сингулярной пространственно-временной структуры, которая может ассоциироваться с формированием микротрещины. Учитывая качественные особенности данного перехода, с точки зрения кинетики уменьшения свободной энергии твердого тела с дефектами данный переход должен сопровождаться интенсивной акустической эмиссией в точке 8С. Описанный сценарий перехода между пространственно-временными структурами, по-видимому, аналогичен сценарию формирования светового конуса в теории ^^-сингулярностей и для рассматриваемой физической ситуации может быть определен как формирование акустического конуса.
5. Полевые закономерности структурно-скейлинговых переходов
Представление для неравновесного термодинамического потенциала — свободной энергии — дает возможность для написания полевых уравнений, описывающих взаимосвязанную кинетику введенных параметров порядка:
= -гр(А(8, 8»)Р - ВР3 + с(8, 8с )Р5 --Dа-д/дxl (%др/Зх,)), ё8 <1 дА
"57 =
2 1 дС 6
------р ------------р
2 д8 6 д8
(13)
(14)
Данные соотношения следуют из условия знакоопределенности эволюционного неравенства
дЕ дЕ & дЕ .
— = —8 +—р < 0, дt д8 др
где Г и Г — кинетические коэффициенты.
Кинетические уравнения для тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлинга замыкают систему уравнений законов сохранения и позволяют исследовать динамику поведения систем в условиях струк-турно-скейлинговых переходов в полевом приближении. Картина полевых закономерностей, определяемых динамикой пространственно-временных структур, представлена на рис. 3 и качественно эквивалентна сценариям формирования ВН-сингулярностей.
Пространственно-распределенные «акустические конусы» отражают динамику единичных структурно-скейлинговых переходов невзаимодействующих пространственно-временны х структур. На расстояниях А,^, близких к фундаментальным масштабам диссипативных структур обострения АС, динамика системы будет определяться взаимодействием простых структур обострения и формированием «сложных структур обострения», локализованных на масштабах Ьн = кЬС, к = 1, 2,..., К, при этом «влияние» сложных структур на простые будет определяться масштабами Ьн. Совокупность структур обострения, начиная с простых, определяет «размерность сложной структуры». С учетом тензорной природы параметра порядка р1к «ориентационные» степени свободы доминируют при формировании сингулярной динамики (ориентационный переход), что имеет своим следствием резкое увеличение «напряженности» окружающего пространства (его кривизны) за пределами поверхности, отделяющей область формирования «сложной структуры» от остального пространства. Динамика формирования «сложной структуры» в ограниченной некоторой поверхностью (по-видимому, аналогичной поверхности горизонта событий в теории ВН-сингуляр-ностей) пространственно-временной области имеет в своей основе переходы по масштабам (скейлинговые переходы) в условиях «самоорганизованной критичности» по отношению к текущему значению параметра структурного скейлинга. «Фрагментация» пространства
Пространство
Рис. 3. Качественный сценарий развития ВН-сингулярностей: 1 — ВН-область взаимодействующих сингулярных структур обострения, 2 — поверхность «горизонта событий», 3 — акустический конус, 4 — траектория формирования центральных «полевых» ВН-сингу-лярностей
в области формирования «сложной структуры» завершается при «возбуждении» обостряющихся структур всех размерностей. Термодинамическое поведение системы в области «сложной структуры», в частности, определение энтропии может быть связано со статистическим поведением системы в пространстве состояний, определяемом размерностью «сложной структуры». Последующее развитие «сложной структуры» связано с ее взаимодействием с простыми структурами при формировании последними «сложных структур» меньшей размерности и их поглощением первой «сложной структурой».
6. Механизмы переноса импульса и диссипации энергии в условиях структурно-скейлинговых переходов
Механизм переноса импульса, обусловленный динамикой конечно-амплитудных многомасштабных возмущений, имеет качественное отличие от механизмов, определяемых в конденсированных средах как диффузия импульса. Это связано с поведением тензорного параметра порядка (тензора интенсивности сдвига), обнаруживающего автосолитонную динамику (групповые скорости фронта) на спектре пространственных масштабов. Многомасштабная пространственная динамика таких объектов в условиях действия внешнего поля напряжений и при взаимодействии автосолитонных волн обеспечивает механизм структурной релаксации, проявлением которого является локализация пластического течения. Взаимодействие автосолитонного фронта с фо-нонной подсистемой кристаллической решетки (решеточное трение при движении дислокаций) имеет качественные признаки вязкой диссипации и привносит соответствующий вклад в величину напряжений, необходимую для реализации пластического течения в представительном объеме материала. Система уравнений, определяющая связь полевой кинетики дефектов и механизмов переноса импульса, получена в [2, 3] и имеет вид:
х* =Г1<4 -Г2рхг , (16)
АЕ
--— = Г2 4 + ГзРх2, (17)
АРх*
дЕ
8 = -Г8—, (18)
8 д8
где — «вязкая» скорость деформации; А(-)/Арх* — символ вариационной производной; Г1, Г2, Г3 и Г8 — кинетические коэффициенты, в общем случае зависящие от рх2 (инвариантов р1к). Диссипативная функция системы определяется соотношением
АЕ дЕ •
D = ЪхАг -—Р.*-^8>0, (19)
АРхг д8
при этом относительный вклад слагаемых определяется кинетикой соответствующих переменных в зависимости от диапазона текущих значений параметра струк-
турного скейлинга (8 > 8» = 1.3,8С < 8 < 8», 8 < 8С = 1). Полевое описание релаксационных процессов и диссипации на основе уравнений (16)- (19) справедливо в некоторой малой окрестности значений 8 < < 8С = 1 и, соответственно, времен, предшествующих развитой стадии режима с обострением и формирования очага разрушения.
Формирование пространственно-локализованных автоволновых структур и инициируемых ими процессов релаксации приводит к формированию областей локализации пластической деформации (течения) [2, 3, 14, 15]. Инициирование и движение автоволновых фронтов в условиях их пространственного взаимодействия может приводить к глобальной связности механизмов релаксации на всем спектре масштабов (вплоть до макроскопических размеров образца). Установление такой глобальной связности интерпретируется в макроскопических моделях пластичности как достижение напряжения пластического течения. При уменьшении пространственного масштаба (например, в случае масштаба ударно-волнового фронта) автоволновая природа механизмов структурной релаксации проявляется в степенной универсальности пластического волнового фронта [16, 17].
Переход в развитую стадию процесса локализованного роста ансамблей дефектов в режиме с обострением связан с качественным изменением поведения полевой системы (формирование очагов разрушения), что имеет своим следствием качественное изменение статистических и термодинамических свойств системы.
7. Термодинамические особенности поведения систем в условиях структурно-скейлинговых переходов
7.1. Энтропия
Особенностью поведения систем в условиях струк-турно-скейлинговых переходов является наличие динамической неустойчивости движения — экспоненциальной расходимости близких в начальный момент траекторий. Мерой экспоненциальной расходимости служит энтропия Колмогорова-Синая, так называемая ^-энтропия. К-энтропия связана со средней скоростью разбе-гания близких в начальный момент траекторий и, следовательно, с показателями Ляпунова. Она выражается через положительные показатели по формуле [18]
К = £Х,, X, > 0. (20)
При отсутствии положительных показателей X, величина К = 0. Показатели Ляпунова для нелинейных диссипативных открытых систем определяются путем численного эксперимента.
Следствием экспоненциальной расходимости близких в начальный момент траекторий — динамической неустойчивости движения—является свойство переме-
шивания в фазовом пространстве. Существуют и другие характеристики динамического хаоса (непрерывность спектра, конечность времени корреляции). Они, однако, являются следствием динамической неустойчивости. Критерием последней и служит положительность ^-энт-ропии.
Наряду с (20) можно использовать нелинейные характеристики динамической расходимости движения D:
Вк , В(к) = [*(*) -х2(к)]. (21)
К = Ііт— V 1п
«ы В(0)
Это выражение представляет среднее по времени от логарифма отношение расстояния между траекториями в текущий момент времени k к начальному расстоянию. В отличие от (20), в (21) сохраняется зависимость от начального расстояния. При численном эксперименте величину D(0) можно зафиксировать. При этом Втп (0) > > 0, что отвечает невозможности точного повторения начальных условий в реальном эксперименте.
Вводя соответствующее распределение расстояния между траекториями в момент времени V.
/(В, і), } /(В, і)ёВ = 1, можно определить энтропию системы как
5(і) = } 1п /(В, і)/(В, і)ёВ. (22)
С помощью распределения /(В, і) могут быть введены две характеристики поведения системы: среднее расстояние в момент t и эффективный «объем» — эффективное расстояние
В (і) = /В/(В, і)йВ, АВ(і) = /щ. (23)
При малых отклонениях В - В от среднего значение энтропии (22) определяется аналогом формулы Больцмана
5 (і) = 1п АВ(і). (24)
С помощью (23) и (24) могут быть найдены два эквивалентных равенства АВ(і)
5 (і) - 5 (іо) = 1п
АВ(іо)
(25)
АВ ^) = АВ(^)ехр( 5 (t) - 5 ^ 0)).
Из последнего соотношения следует, что с ростом энтропии, характеризующей неопределенность задания расстояний между траекториями, увеличивается и эффективное расстояние. С помощью (25) определим среднюю скорость изменения энтропии за интервал ? -10 — статистический аналог К-энтропии
Kstat
5 (і) - 5 (іо)
_^1п_ АВ(і )
АВ (іо)
(26)
Отсюда следует, что К8Ш определяет усредненное за конечный промежуток производство энтропии. Локальные изменения определяются соответствующим уравнением баланса энтропии, которое следует из (26) и имеет вид:
55 = -^п АВ(г) = ст(г). (27)
аг аг
Мы видим, что производство энтропии не является знакоопределенным: оно возрастает, если возрастает со временем среднее эффективное расстояние между траекториями, и уменьшается в противоположном случае.
Эволюция траекторий в фазовом пространстве состояний системы в условиях структурно-скейлингового перехода соответствует росту энтропии при формировании невзаимодействующих «акустических конусов». В случае взаимодействия последних и при формировании «сложных диссипативных структур обострения» расстояние между траекториями должно уменьшаться и приводить к резкому уменьшению производства энтропии, что будет соответствовать достижению системой в рассматриваемой области формирования «сложной структуры» простейшего «структурного» состояния — предельной фрагментации фазового объема за счет взаимодействия «обостряющихся» структур в ограниченном объеме.
7.2. Статистическая автомодельность поведения флуктуаций при структурно-скейлинговых переходах
Особенностью поведения систем в условиях струк-турно-скейлинговых переходов является подчинение динамики систем спектру коллективных мод, являющихся степенями свободы неравновесной системы и определяющих ее симметрию. В случае существования пространственно-временных корреляций между данными степенями свободы, охватывающими весь фазовый объем, и, учитывая вид статистического распределения, аналогичного распределению Больцмана-Гиббса, могут быть введены «эффективные» температуры на основе статистического анализа поведения флуктуаций наблюдаемых величин, напрямую или косвенно связанных с коллективными степенями свободы системы в условиях структурно-скейлинговых переходов.
Учитывая природу данных коллективных мод — степеней свободы (моды автосолитонного типа и диссипативные структуры обострения) — в зависимости от значений параметра структурного скейлинга, возможность определения условий термализации системы предполагает существование масштабной инвариантности в поведении системы при подчинении ее динамике данных мод. Отражением масштабной инвариантности является, например, автомодельность статистических распределений на масштабе всей системы.
Статистическая автомодельность этого типа впервые была установлена в [19] при анализе функции распределения флуктуаций в инерционном интервале турбулентности. Статистическая автомодельность проявляется в универсальности функции распределения флуктуаций мощности (измеряемой на вращающихся дисках) в условиях, соответствующих развитой турбулентности
О ■ ' 1 • 1 1 1 1 1 1 ' '
О 4 8 12 16 20
Деформация, %
Рис. 4. Диаграммы деформирования сплава Al-Mg для скоростей деформирования е = 0.01 (1) и 0.02 С 1 (2)
(инерционный интервал с наклоном - 5/3). Универсальность функции распределения флуктуаций в пределах четырех порядков соответствует режиму резкого падения мощности, инжектируемой в поток, и связывается с генерацией когерентных структур на масштабах, близких к интегральному масштабу системы.
Аналогичный результат был получен в [5] при анализе деформирования сплава Al-Mg, обнаруживающего выраженную неустойчивость пластического течения (известную как эффект Портевена-ЛеШателье) на деформационной диаграмме (рис. 4).
Различные пространственно-временные сценарии в развитии областей локализованного сдвига наблюдаются в условиях выраженных пространственных корреляций в зависимости от скорости деформации и величины деформации.
Мезоскопически различные системы обнаруживают аналогичную статистику флуктуаций, которая характеризует их принадлежность к некоторому «классу универсальности». При этом широкий класс критических явлений может быть описан в широком диапазоне масштабов флуктуирующих переменных с использованием плотности функции распределения флуктуаций, которая имеет вид:
П( у) = К (ех( уУехМ)а, (28)
где х = Ь(у - s), 5 = 0.745, Ь = 1.105; у = (т-(т))/стт , (т) — среднее значение; стт — среднеквадратичное отклонение; а = п/2. Пластические неустойчивости, обусловленные длиннокорреляционными взаимодействиями, связаны с коллективными модами ансамблей дефектов и могут быть исследованы при анализе временных последовательностей флуктуаций напряжений течения или пространственного распределения флуктуаций поверхностного рельефа, индуцированного локализованными неустойчивостями. Соответствующий рельеф
наблюдается для подавляющего большинства пластически деформируемых кристаллических материалов, в том числе в ситуациях, когда деформационная кривая не обнаруживает флуктуаций напряжений течения.
Плотность функции распределения флуктуаций напряжений пластического течения в зависимости от безразмерной величины флуктуаций (о-(а))/о0 (о0 = = ((о2) - (о)2)12) представлена на рис. 5. Аппроксимирующая сплошная кривая, вычисленная по формуле (28), отражает соответствие сценарию самоорганизо-ванной критичности и подтверждает принадлежность флуктуаций к универсальному классу, когда флуктуации разных амплитуд инициированы одним механизмом. Данный механизм может быть ассоциирован с автомодельным сценарием формирования солитонных мод, формируемых в условиях структурно-скейлинговых переходов.
7.3. Эффективные температуры
Интенсивно изучаемой проблемой является вопрос
о том, как может быть определена температура в рассматриваемых неравновесных системах с медленной динамикой. Возможный вариант ответа на этот вопрос связан с обобщением флуктуационно-диссипативной теоремы для систем, далеких от равновесия. Важным следствием определения неравновесной свободной энергии, предложенным М.А. Леонтовичем [20], является обобщение результатов флуктуационно-диссипатив-ной теоремы для неравновесных состояний. Как известно, следствием флуктуационно-диссипативной теоремы является связь квадрата флуктуаций любого внутреннего параметра системы в окрестности равновесия с температурой Т и «восприимчивостью» системы. Определение неравновесной свободной энергии в приближении «эффективного поля» позволяет применить «принцип Больцмана», связывающий для «изотермической системы» свободную энергию состояния и его вероятность, и определить связь усредненных квадратичных флуктуаций параметров неравновесной системы 5 с восприимчивостью и «температурой неравновесного состояния»:
(S - s) =-
(29)
д2 ^ д s 2’ где Р — свободная энергия.
На основании обобщенной флуктуационно-диссипа-тивной теоремы в работе предложен метод вычисления эффективной температуры как термодинамической характеристики текущего состояния пластически деформированного металла [21].
Флуктуации пластической деформации оценивались по величине рельефа свободной поверхности деформированного образца, инициированной локализованными пластическими сдвигами. Флуктуации пластических деформаций вычислялись по данным NewView-профило-
Рис. 5. Функция распределения для флуктуаций напряжений пластического течения сплава Al-Mg (□ —£ = 0.01с 1 о — £ = 0.02с ^; сплошная кривая — П(у)-аппроксимация типично наблюдаемых функций распределения флуктуаций для систем в условиях самоорга-низованной критичности
метрии свободной поверхности деформируемого образца по формуле Ah(l)
Ae = -
l
(30)
где l — выбранный масштаб структурного разрешения интерферометра-профилометра New View; h — амплитуда шероховатости (рис. 6).
В качестве усредненных квадратичных флуктуаций параметров неравновесной системы была выбрана следующая величина:
2 2 2 (31)
(S - s) =((Ae(l))2 -(Ae2(l))х )г,
где I' — количество «одномерных срезов», взятых в исследуемой области поверхности образца.
Применительно к данной физической ситуации использовалось следующее представление структурной восприимчивости:
х =
<д 2 F 9-1
= 1 *Aer a3 At ’
(32)
где т = ттах — максимальное касательное напряжение; а — масштаб, близкий к параметру решетки.
Рис. б. Характерный одномерный профиль поверхности
На начальном этапе деформирования наблюдается сильная зависимость «эффективной температуры» (рис. 7) от масштаба дислокационных субструктур I, что объясняется небольшой величиной структурных напряжений ое1Г (т.е. нет крупных дислокационных субструктур), индуцированных дефектами. Малая величина структурных напряжений ое1Г предполагает сильную зависимость от обычной температуры Т, так как элементарный акт пластической деформации реализуется, когда энергия активации дислокации иа = и0 - уоей- имеет порядок Т.
С увеличением деформации и при огрублении дислокационных субструктур, которые ассоциируются с коллективными модами автосолитонного типа, роль тепловых флуктуаций уменьшается и компенсируется ростом структурных напряжений. Подтверждением этой тенденции являются выполаживание зависимости «эффективной температуры» и независимость от масштаба дислокационных субструктур I, что отражает переход к силовым механизмам пластического течения на стадии упрочнения материала. Последний механизм (определяющий роль структурных напряжений) становится доминирующим с ростом деформации.
Однако вопрос об определении «эффективной температуры» систем, поведение которых подчиняется «коллективным модам» сингулярных структур (диссипативных структур обострения), представляет самостоятельный интерес.
8. Статистические аспекты квазихрупкого разрушение и фрагментации. Волны разрушения
По своей фундаментальной значимости проблема квазихрупкого разрушения и фрагментации стоит в одном ряду с такими ключевыми проблемами, как турбулентность, физика критических явлений в неравновесных системах с сильным взаимодействием. Это отмечалось, в частности, в работах Мотта [22], в которых было обращено внимание на связь фундаментальных
теЯ, к
600
0 58 116 I, 10"6М
Рис. 7. Зависимость эффективной температуры Гей- от структурного масштаба I при относительной деформации є = 4.0 (1), 4.4 (2), 5.1 (3), 5.8 (4), 6.3 % (5)
закономерностей фрагментации с распределением масс во Вселенной после большого взрыва. Экспериментальные исследования реакций квазихрупких материалов на нагружение в широком интервале интенсивностей и скоростей деформации обнаруживают ряд автомодельных закономерностей разрушения и показывают связь с коллективными свойствами мезоскопических дефектов (микросдвигов, микротрещин). Яркие черты данных закономерностей проявляются при динамическом и ударно-волновом нагружениях, когда времена эволюции структуры приближаются к характерным временам нагружения. Как следствие, широко используемое предположение в механике разрушения о подчиненной роли структурных переменных кинетике деформации (или напряжений) не может быть в общем случае применимо. В этих ситуациях возникает фундаментальная проблема описания поведения ансамбля дефектов с учетом многополевой (многомасштабной) природы взаимодействия последних, стадийности разрушения, переходов от дисперсного к макроскопическому разрушению, статистики фрагментации, экспериментальной верификации данных закономерностей.
Исследование фрагментации цилиндрических образцов из кварцевого стекла при динамическом нагружении (рис. 8) проводилось с использованием газовой пушки калибра 19.3 мм. Ударно-волновое нагружение образца, закрепленного на жесткой преграде, осуществлялось с помощью металлического ударника со скоростью 6-20 м/с. Эластичная оболочка обеспечивала нагружение в условиях «сохранения». Интегральная функция распределения фрагментов по размерам (количество фрагментов Ы, масса которых превышает т) определялась взвешиванием фрагментов на электронных весах с точностью 0.1 мг.
Результаты экспериментов показали, что, как и для ранее исследованных пластин в условиях квазистати-ческого нагружения [23], зависимость количества фрагментов N от линейного размера фрагмента г описывается скейлинговым соотношением N(> г) = Сг Фрак-
тальная размерность D для пластин лежит в диапазоне от 1.6-2.0, для цилиндрических образцов — 1.1-1.7. Результаты обработки экспериментальных данных по фрагментации стержней приведены на рис. 8, б. Как и в случае плоских образцов, все точки хорошо ложатся на прямые, угловой коэффициент которых (экспонента) изменяется в диапазоне 1.38 < в < 1.55.
Установленный диапазон значений показателя степени 1.38 < в < 1.55 в соотношении для количества фрагментов п(а) = а-вп(т) отражает свойство масштабной инвариантности (скейлинг), наблюдаемый для неравновесных систем в условиях «самоорганизованной критичности» [5]. В соответствии с основными идеями концепции самоорганизованной критичности проявления скейлинга этого типа (со значениями показателя, близ-
Образец, передающий нагрузку
-4 -2 0 2 4 6
1п (линейный размер)
Рис. 8. Картины фрагментации образцов из кварцевого стекла (а) и график зависимости количества фрагментов Ы, размер которых превышает г (двойные логарифмические координаты) (б)
кого к 1) характерны для неравновесных систем в условиях длиннокорреляционных взаимодействий, обеспечивающих переход в самоподдерживающееся критическое состояние. Важным признаком динамики таких систем является формирование в системе конечно-амплитудных возмущений, переводящих систему в ее очередное метастабильное состояние. Данный сценарий развития разрушения квазихрупких материалов был установлен в рамках теории структурно-скейлинговых переходов в твердых телах с мезоскопическими дефектами. Необходимо отметить, что критичность рассматриваемых явлений имеет существенное отличие от критичности, развивающейся в окрестности критических точек в теории фазовых переходов. Критические точки для динамических систем в условиях структурно-скей-линговых переходов представляют собой свойство аттрактора, существующего далеко от равновесия. При этом скейлинговые свойства нечувствительны к параметрам модели, что проявляется в отсутствии выделенных пространственных и временны х масштабов, характерных для режимов самоорганизованной критичности.
С резонансным возбуждением диссипативных структур обострения связывается в [24] возбуждение «волн разрушения» при ударно-волновом нагружении стекол. Экспериментальное подтверждение связи феномена «волн разрушения» с формированием коллективных мод «обострения» получено в [25] при реализации ударно-волнового нагружения по схеме Тейлора для цилиндрического образца из плавленного кварца. Обработка данных высокоскоростной съемки с использова-
нием камеры REMIX при скорости образца 534 м/с, представленная на рис. 9, позволила установить три затемненные зоны, соответствующие образу поверхности соударения (1), волне разрушения (2) и волновому фронту (3).
Начальный наклон зависимости скорости фронта волны разрушения равен Vm ~ 1.57 км/с и близок к традиционно измеряемой в экспериментах по плоскому соударению пластин. Однако проведенный анализ обнаружил увеличение скорости фронта волны разрушения до значений Vfm ~ 4 км/с, которые сохраняются постоянными при последующем распространении волны. Этот эксперимент подтверждает теоретический результат о природе волны разрушения как диссипативной структуре обострения.
Представляет интерес экспериментальный факт, что обнаружение волны разрушения в [26] было связано не с появлением особенности на диаграмме массовой скорости, которая могла бы быть инициирована формированием сильного акустического возмущения при формировании области разгрузки (вследствие интенсивной фрагментации материала за фронтом волны разрушения и уменьшением свободной энергии материала), а при отражении волны разгрузки от фронта волны разрушения, разделяющей материал и предельно фрагментированную область (область с низким акустическим импедансом). Это отражает особенность формирования волны разрушения как диссипативной структуры обострения, возникающей при взаимодействии структур обострения различной размерности в области, свободной от действия нагрузки. При этом, по-видимому, энергия акустических возмущений, формирующихся при инициировании структур обострения меньшей размерности, затрачивается на формирование структур обострения большей размерности в пределах некоторой области, ограниченной фронтом волны разрушения.
а
V
\ Волна разрушения
Расстояние, мм
Рис. 9. Скоростная запись теста Тейлора для образца плавленного кварца: 1 — скорость фронта волны напряжений, 2 — скорость фронта волны разрушения, 3 — скорость поверхности соударения
9. Обсуждение результатов
Содержательным следствием статистической модели, термодинамики и полевых представлений теории структурно-скейлинговых переходов является установление универсальных нелинейных реакций сред с дефектами в терминах коллективных мод, отражающих качественно-различную пространственно-временную динамику сред в зависимости от величины параметра структурного скейлинга 8. Автомодельная природа коллективных мод определяется групповыми свойствами уравнений движения для «параметров порядка», характеризующих дефекты, что позволяет ввести по аналогии с теорией поля представления о топологических дефектах — струнах, поведение которых наряду с амплитудными значениями «параметров порядка» определяется пространственно-временными масштабами. В области критических значений параметра структурного скейлинга имеют место качественные переходы между «струнными» объектами, что связано с резким изменением динамических свойств и коллективного поведения ансамблей дефектов (переходы от конечно-амплитудных мод бризерного типа при 8 ^ 8» к автосолитонным модам, существующим в диапазоне 8с < 8 < 8», и диссипативным структурам обострения при 8 ^ 8c).
Представляет интерес анализ перехода от автосоли-тонной к сингулярной динамике режимов с обострением, сопровождающихся формированием «простых» (для «одночастичного» случая) и «сложных» сингулярных структур обострения в полевом представлении. По аналогии с качественными «полевыми сценариями» в координатах «пространство - время» эти переходы изображены на рис. 3. Распределенные в пространстве «двойные конусы» соответствуют «одночастичным» структурно-скейлинговым переходам и отражают трансформации пластического сдвига при движении дислокационных субструктур (как автосолитонных волновых структур с увеличивающейся амплитудой и скоростью волнового фронта при уменьшении ширины последнего) в сингулярные «простые» структуры обострения (в вершине конуса). Формирование автосолитонных мод и их эволюция в ходе структурно-скейлингового перехода аналогичны динамике «string solitons», называемых также «D-branes» [27]. Под D-branes понимается некоторая поверхность в пространстве-времени, на которой заканчиваются «string solitons».
Форма, аналогичная «световым конусам», может отражать классическую картину зарождения микротрещин при пересечении траекторий скольжения дислокационных субструктур. При этом трансформация авто-волновых дислокационных структур в сингулярную структуру обострения в вершине «акустического конуса» должна сопровождаться интенсивным «акустическим» излучением, что экспериментально наблюдается при зарождении микротрещин.
Взаимодействие простых структур обострения, реализуемое в области значений параметра структурного скейлинга 8 < 8С (но определяемых отношением масштабов простых структур обострения и масштабами их взаимодействия), обеспечивает дальнейшие скейлинго-вые переходы с образованием «сложных» сингулярных структур обострения.
Совокупность всех сингулярных структур (от простых до сложных) соответствующей размерности определяет фазовое пространство состояний и симметрию ограниченного пространства, охваченного многомасштабным взаимодействием диссипативных структур обострения. Динамика взаимодействия этих структур влечет за собой предельную «фрагментацию» среды в соответствии с типом взаимодействия, определяемого в данном случае энергией упругих взаимодействий, от которых зависят «полевые коэффициенты» в выражении для 8 = а/Хи ~ О/г03)/(GR_3), где О = рСТ — модуль сдвига, От — скорость сдвиговых волн. Статистическое рассмотрение динамики сингулярных структур обострения в ограниченной области обнаруживает аналогию с динамикой ВН-сингулярностей. При этом, в соответствии с определением энтропии (раздел 7.1), ВН-объекты могут рассматриваться как предельно упорядоченные в фазовом пространстве состояний диссипативных структур обострения различной размерности, что соответствует тенденции к уменьшению энтропии и предельной «фрагментации» среды.
По-видимому, возбуждение волн разрушения, наблюдаемое при некоторой пороговой плотности упругой энергии в некотором характерном объеме (при прохождении ударной волны), связано с существованием минимального объема области формирования волны разрушения, в которой возможна динамика сингулярных структур обострения по ВН-сценарию. По аналогии с теорией поля минимальный размер области ВН-струк-туры — зоны, охваченной первоначально волной разрушения, — может быть ассоциирован с радиусом Шварц-шильда, а фронт волны разрушения — с «горизонтом событий» [25].
Взаимодействие области ВН-структуры с пространственно-распределенными простыми структурами обострения (акустическими конусами) включает (в силу тензорной природы структур обострения) их пространственное упорядочение в пределах некоторой области (рис. 3) и формирование нового сингулярного дефекта «струнной топологии», инициирующего распространение существующей ВН-сингулярности.
Развитый статистический подход аналогичен предложенному в работах А.Д. Сахарова [28] подходу по определению энтропии в теории индуцированной гравитации. В соответствии с данной теорией поведение гравитационных систем связывается с коллективными возбуждениями массового поля. В качестве перемен-
ных, характеризующих «пространство - время» в соответствии с теорией гравитации Эйнштейна, вводятся величины действия и кривизны пространства, связь между которыми определяет изменение «метрической упругости» пространства
Следует отметить, что значение статистического интеграла имеет инвариантный вид по отношению к параметру структурного скейлинга, что является следствием вида лагранжиана, содержащего слагаемые, отражающие взаимодействие и «самодействие». Таким образом, рассмотренные сценарии «фрагментации среды», по-видимому, могут быть распространены на случай произвольных плотностей энергии, не обязательно ограниченных рассмотренными «акустическими пределами», характерными для деформируемого твердого тела.
Исследования выполнены в рамках проектов РФФИ (№№ 08-01-006999_а, 09-01092005-ННС_а, 09-01-92441-КЭ_а) и программ РАН (№№ 09-П-1-1011, 09-Т-1-1006).
Литература
1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 9-36.
2. Naimark O.B. Defect Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity
and Failure in Multifield Continua // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructure / Ed. by G. Capriz, P. Mariano. - Boston: Birkhauser, 2004. - P. 75-114.
3. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и неко-
торые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 45-72.
4. Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы и автомодельные закономерности развития землетрясений // Физ. мезомех. -
2008. - Т. 11. - № 2. - С. 89-106.
5. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., ЛеонтьевВ.А., ПантелеевИ.А., Пле-хов О.А. Структурно-скейлинговые переходы и некоторые термодинамические и кинетические эффекты в материалах в объемном субмикро- (нано-)кристаллическом состоянии // Физ. мезомех. -
2009. - Т. 12. - № 4. - С. 47-59.
6. Kadic A., Edelen G.B. A gage theory of dislocation and disclination: Lecture Notes in Physics. - Berlin: Springer, 1983. - No. 174. - 168 p.
7. Gross D.J. Gauge theory — past, present, and future? // Chinese J. Phys. - 1992. - V. 30. - No. 7. - P. 955-972.
8. Zwiebach B. A first course in string theory. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004. - 558 p.
9. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пласти-
ческой деформации // Структурные уровни пластической деформации и разрушения / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1990. - C. 123-172.
10. Hansen N., Kuhlmann-Wilsdorf D. Low energy dislocation structures due to unidirectional deformation at low temperatures // Mater. Sci. Eng. - 1986. - V. 81. - P. 141-161.
11. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление дефектов // Изв. АН СССР. МТТ. -1983.- № 4. - С. 161-165.
12. Kurdjumov S.P. Evolution and self-organization laws of complex systems // Int. J. Modern Physics. - 1988. - V. 1. - No. 4. - P. 299-327.
13. Беляев В.В., Наймарк О.Б. Кинетика многоочагового разрушения при ударно-волновом разрушении // Докл. АН СССР. - 1990. -Т. 312. - № 2. - С. 289-293.
14. Zuev L.B., Danilov VI., Barannikova S.A., Zykov I.Yu. Plastic flow localization as a new kind of wave processes in solids // Mat. Sci. Eng. A. - 2001. - V. 319-321. - P. 160-163.
15. Marchand A., Duffy J. An experimental study of the formation process of adiabatic shear bands in a structural steel // J. Mech. Phys. Solids. - 1988. - V. 36. - No. 3. - P. 251-283.
16. Swegle J.W., Grady D.E. Shock viscosity and the prediction of shock wave rise times // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 2. - P. 692701.
17. Naimark O.B. Structural-scaling transition in mesodefect ensembles as mechanism of relaxation and failure in shocked and dynamically loaded materials (experimental and theoretical study) // J. Phys. IV France. - 2006. - V. 134. - P. 3-9.
18. Климонтович Ю.Л. Проблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной упорядоченности состояний в процессах самоорганизации // УФН. - 1989. - Т. 158. - № 1. -С. 60-91.
19. Bramwell S.T., Christensen K., Fortin J.-Y., Holdsworth P.C. W, Jensen H.J., Lise S., Lopes J.M., Nicodemi M., Pinton J.-F., Sellitto M. Universal fluctuations in correlated systems // Phys. Rev. Lett. - 2000. -V. 84. - No. 17. - P. 3744-3747.
20. Леонтович М.А. О свободной энергии неравновесного состояния // ЖЭТФ. - 1938. - Т. 8. - № 7. - С. 844-854.
21. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков С.Л. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 5. - С. 23-29.
22. Mott N.F. Fracture of metals: Some theoretical considerations // Engineering. - 1948. - V. 165. - P. 16-18.
23. Давыдова М.М. Экспериментальное исследование статистических закономерностей фрагментации стекла // Физ. мезомех. -2008. - Т. 11. - № 5. - С. 77-82.
24. Plekhov O.A., Eremeev D.N., Naimark O.B. Failure wave as resonance excitation of collective burst modes of defects in shocked brittle materials // J. Phys. IV Colloq. C. - 2000. - V. 10. - P. 811-816.
25. Naimark O., Uvarov S., Radford D.D., Proud W.G., Field J.E., Church PD., CullisI., Andrews T.D. The Failure Front in Silica Glasses // Behavior of Dense Media under High Dynamic Pressures / Ed. by A. Delpuech. - France: CEA, 2003. - V. 2. - P. 65-74.
26. Rasorenov S.V, Kanel G.I., Fortov V.E., Abasenov M.M. The fracture of glass under high-pressure impulsive loading // High Pressure Res. - 1991. - V. 6. - No. 4. - P. 225-232.
27. Green M.B., Schwarz J.H., Witten E. Superstring Theory. Vol. 1: Introduction. Vol. 2: Loop Amplitudes, Anomalies and Phenomenology. -Cambridge: Cambridge University Press, 1987. - 1066 p.
28. Сахаров АД. Вакуумные квантовые флуктуации в искривленном пространстве и теория гравитации // Докл. АН СССР. - 1967. -Т. 177. - № 1. - С. 70-71.
Поступила в редакцию 03.07.2010 г.
Сведения об авторе
Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., профессор, зав. лаб. ИМСС УрО РАН, naimark@icmm.ru
