CC BY
108
УДК 681.31-181.48
И. А. Прошин, Д. И. Прошин, Р. Д. Прошина
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Введение
Основа исследований, анализа, синтеза и проектирования систем любой природы, в том числе и объектов морской техники и технологий, - это моделирование, центральным звеном которого является построение математической модели (ММ) исследуемого объекта [1, 2]. Стремительное развитие средств вычислительной техники, программного обеспечения расширяет возможности применения ММ на всех этапах автоматизированного проектирования и управления, что, в свою очередь, предъявляет более жёсткие требования к используемым ММ и обусловливает актуальность разработки новых методов, алгоритмов и комплексов программ построения моделей.
Независимо от способа построения модели важным звеном её структурной и параметрической идентификации остаётся обработка экспериментально-статистической информации, получаемой либо в лабораторных условиях, либо при натурных испытаниях, либо с функционирующего объекта. Целью наших исследований и являлась разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза ММ, создание комплекса программ, обеспечивающего повышение эффективности обработки экспериментально-статистической информации.
Общий подход к построению ММ по экспериментальным данным
Предлагается общий подход к построению стохастических ММ, основу которого составляют три следующих принципа [1, 2].
1. Систематизация ММ (базисных функций) по видам преобразования координат.
2. Многоуровневый синтез и выбор пакетов функциональных зависимостей.
3. Получение состоятельных, несмещённых и эффективных оценок ММ в преобразованных координатах.
Построение ММ нелинейных моделей на основе экспериментально-статистической информации включает в себя этап выбора модели, т. е. определение её структуры. Нами была поставлена задача создать систему автоматизированного выбора структуры нелинейной модели, что определяет необходимость автоматического подбора нужной функциональной зависимости по совокупности экспериментальных данных.
Выбор моделей предлагается проводить на базе системы функций с заданным набором преобразования координат.
Определим основные требования к системе ММ на заданном наборе нелинейных преобразований координат.
Для обеспечения автоматического выбора структуры ММ совокупность моделей должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: содержать все возможные ММ с использованием заданных функциональных преобразований и не иметь моделей с одинаковыми типами функциональных преобразований.
Совокупность моделей на заданном наборе нелинейных преобразований координат, удовлетворяющих сформулированным требованиям, назовём функционально полным набором моделей.
Таким образом, под функционально полным набором ММ будем понимать совокупность моделей, объединяющих все возможные ММ, которые могут быть синтезированы на заданном наборе нелинейных преобразований координат и среди которых одновременно нет хотя бы одной пары функций, получаемой с использованием одних и тех же преобразований координат [2].
Предложенный метод структурно-параметрического синтеза моделей по видам преобразования координат состоит:
— в формировании функционально полных наборов пакетов ММ по заданным видам функциональных преобразований у(х) и ф(у) определённого х и результативного у признаков:
ф( У )| у(х ^
^ у = j 1(ao+a1y(x));
— в организации для каждого пакета множества линейно зависимых ММ
Ф—1 («0 + аМх)) = {/, (а0 + а1Х )},
наиболее полно отражающих физические закономерности исследуемого объекта.
Таким образом, предлагаемый метод синтеза ММ может быть представлен следующими преобразованиями:
( V
y(x / ^ У = Ф_1(°0+°1У(х)) = f (a0 +a1x)}. (1)
При автоматизированном синтезе функционально полных наборов линейно независимых ММ с использованием п видов преобразования координат возможно построение П однофакторных моделей.
С целью расширения набора функций и возможностей учёта различных нелинейностей в моделях предлагается проводить синтез моделей с многократным использованием одних и тех же видов преобразования координат:
Фп(Фп—1(...ф2ЫУ))) 1 —1( —1 ( —1( + _( ))))
( ( ( ( )))Г^ У = Фи (...Ф2 (Фі (°0 + °1_(х)))). (2)
_т (_т—1(.._2 (_1(х)))
Здесь п и т - количество уровней преобразований результативного и определённого признаков.
Как уже отмечалось, одной из основных проблем построения моделей с использованием известных методов определения параметров моделей в преобразованных координатах является неэффективность получаемых оценок ММ. Для обеспечения построения ММ в преобразованных координатах разработан метод реверсивного преобразования координат (РПК) [2], обеспечивающий эффективность, состоятельность и несмещённость оценок моделей в непреобразо-ванных координатах.
Анализ существующих наборов функциональных зависимостей
В [1, 2] приведен анализ существующих наборов функциональных зависимостей и программных средств: макрос - дополнение XLSTAT - Pro http://www.Xlstat. com/ для MS Excel, Statistical Package for Social Science, STATA, STATISTICA, JMR и др. Их рассмотрение с позиций предложенного подхода показывает: существующие в настоящее время методики и наборы функциональных зависимостей недостаточно эффективны, т. к. основываются на произвольном выборе таких зависимостей, что приводит к сравнению одинаковых моделей с различной формой записи. Кроме того, все приведённые наборы функций не удовлетворяют свойствам линейной независимости и функциональной полноты, а используемые методы расчёта оценок параметров ММ неэффективны.
Систематизация ММ по видам преобразования координат
Первый принцип предложенного подхода заключается в систематизации пакетов функций с использованием простейших видов преобразований координат результативного и определённого признака. Такой подход сводит процесс выбора к сравнению ограниченного и в то же время функционально полного набора функций, обеспечивает эффективность сравнительного анализа моделей.
Если в основу систематизации и приведения ММ к линейному виду в (1) и (2) положить прямо пропорциональное X = х , логарифмическое X = ln х и обратно пропорциональное X = 1/ х преобразования, то для двух переменных при их однократном преобразовании можно получить девять видов функций. При пяти преобразованиях, взятых в качестве основных, можно синтезировать набор из 25 линейно независимых функций (табл. 1).
Таблица 1
Базисные функции с однократным преобразованием координат, синтезированные на основе пяти простейших преобразований
№ п/п Вид ММ Исходное уравнение Преобразованные переменные
Г X
1 Линейная у = а0 + а1 • х у х
2 Линейно-гиперболическая у = а0 + а1/х у 1/ х
3 Линейно-логарифмическая у = а0 + а1 • 1п х у 1п х
4 Линейно-экспоненциальная у = а0 + а1 • ех у ех
5 Линейно-показательная у = а0 + а1 • хп у хп
6 Обратная линейная 1 у = а0 + а1 • х 1 у х
7 Обратная гиперболическая 1 у = / а0 + а1/х 1 у 1/ х
8 Обратная логарифмическая 1 у = , а0 + а1 • 1п х 1 у 1п х
9 Обратно-экспоненциальная 1 у = х а 0 + а1 • е 1 у ех
10 Обратно-степенная 1 у = п а0 + а1 • х 1 у хп
11 Показательно-линейная ал +а,-х у = е 0 1 1п у х
12 Показательно-гиперболическая а +а,/х у = е 0 1 1п у 1/ х
13 Показательно-логарифмическая ап +а1 •Іп (х) у = е 0 1п у 1п х
14 Бипоказательная а +а, -ех у = е 0 1 1п у ех
15 Показательно-степенная а +а, ^хп у = е 0 1 1п у хп
16 Логарифмическо-линейная у = 1п(а0 + а! • х) еу х
17 Логарифмическо-гиперболическая у = 1п(а0 + ах! х) еу 1/ х
18 Билогарифмическая у = 1п(а0 + а1 • 1п(х)) еу 1п х
19 Логарифмическо- экспоненциальная у = 1п(а0 + а1 • ех) еу ех
20 Логарифмическо-степенная у = 1п(а0 + а1 • хп) еу хп
21 Степенная линейная у = + а1 • х уп х
22 Степенная гиперболическая у = !^0 + а1/х уп 1/ х
23 Степенная логарифмическая у = ^0 + а1 • 1п(х) уп 1п х
24 Степенная экспоненциальная у = ^а0 + а1 • ех уп ех
25 Бистепенная у = ^ + а1 • хп уп хп
Схема построения стохастических ММ
Структурная схема построения ММ на базе предложенных принципов представлена на рис. 1 и включает в себя следующие процедуры:
1. Синтез функционально полных пакетов ММ. Наборы пакетов моделей задаются видом и уровнем преобразования координат.
2. Предварительная обработка экспериментально-статистической информации, включающая в себя нормировку, сглаживание и преобразование исходных данных в соответствии с выбранными видами и уровнем координатных преобразований.
3. Структурная и параметрическая идентификация ММ.
4. Ранжирование пакетов ММ по заданному критерию (минимум среднеквадратичного отклонения или относительной ошибки).
5. Накопление пакетов полученных ММ и исходных данных.
6. Получение однофакторных и многофакторных моделей удобной формы записи, описывающих общие закономерности рассматриваемых явлений.
М С1 ) = {М (2)}
Выбор уровня преобразований
М (1 )={М_(2)}
Выбор пакета М (2 )
X
Искомая ММ
М (2 ) = {М2з_)}
Расчёт оценок М(3)
Первичная обработка экспериментально-статистической информации Исходные данные
Перерасчёт оценок параметров ММ
Выбор общих закономерностей
7Г
Выбор из ранжированных пакетов моделей удобной формы записи
Ранжирование пакетов по заданному критерию
2
X
3
я
55 §
м
о £ с ^ и X о 3
я
Е5 * ч
С
О
«
оЗ
X
Синтез многофакторной модели
1 Выбор единой системы и—
J координат У \— 6 5
Рис. 1. Схема построения стохастических ММ
< Є
к Є N — 1 < Є N
4
3
1
2
Предложенные принципы систематизации и многоуровневого преобразования координат -основа синтеза функционально полных линейно независимых наборов пакетов ММ в блоке 1.
В блоке 2 производится преобразование экспериментальных данных в соответствии с заданными видами и уровнем преобразования координат. Использование в блоке 3 метода РПК обеспечивает получение состоятельных, несмещенных и эффективных оценок при структурной и параметрической идентификации ММ.
Накопленная в блоке 5 экспериментально-статистическая информация и ранжированные в блоке 4 пакеты моделей используются на заключительном этапе построения ММ в блоке 6.
В блоке 6 решаются четыре основные задачи:
— получение однофакторной ММ удобной формы записи (выбор из пакета линейно зависимых моделей модели удобной формы записи);
— выбор единой системы координат для результативного признака и синтез многофакторных моделей по совокупности однофакторных экспериментов;
— выбор общих оценок параметров моделей по совокупности разнородных экспериментов с однотипными переменными;
— пересчет оценок параметров ММ для выбранной структуры и формы.
На основе представленной структурной схемы разработан программный комплекс структурно-параметрического синтеза ММ. Результаты исследования, полученные методами РПК, последовательного спуска с полиномиальной аппроксимацией (ПСПА) и методом наименьших квадратов (МНК) ММ вида, на основе экспериментальных данных, приведены на рис. 2 и в табл. 2.
Рис. 2. Графики модели у = 1/(Ьп(Ьп(А0 + А1* *Ехр(1/(Ехр(х)))))) с параметрами А1, А0, рассчитанными методами МНК, РПК, ПСПА
Таблица 2
Параметры рассчитанных ММ 1
Метод Модель Остаточная дисперсия Среднее значение относительной ошибки на интервале
МНК у = 1/(Ьп(Ьп( - 20,146+26,024 • Ехр(1/(Ехр(х)))))) 0,421 0,58094
РПК у = 1/(Ьп(Ьп( - 67,972+72,280 • Ехр(1/(Ехр(х)))))) 0,017 0,11694
ПСПА у = 1/(Ьп(Ьп( - 68,244+72,559 • Ехр(1/(Ехр(х)))))) 0,016 0,11655
В разработанной на базе предложенных принципов программе введена возможность выбора видов преобразования координат, а сам набор функций, по сравнению с приведенным в табл. 1, значительно расширен.
Поскольку процедура выбора вида ММ предполагает сравнение между собой большого числа линейно независимых функций, а следовательно, и вычисление параметров для каждой ММ в процессе структурной идентификации, использование методов многомерной оптимизации для определения оценок параметров оказывается дорогостоящим с точки зрения вычислительных затрат. Кроме того, при некоторых комбинациях результативного и определённого признаков такие методы требуют установки дополнительных условий, что затрудняет их программирование.
Предлагаемый способ расчёта оценок параметров ММ свободен от вышеперечисленных недостатков. Так, например, трёхуровневый выбор ММ с использованием метода расчёта оценок ПСПА для двадцати экспериментальных точек при применении ЭВМ класса Р5/16 занимает 1 час 40 мин, в то время как расчёт с применением предложенного метода - 20 с, что сравнимо со временем, затраченным на поиск при использовании метода наименьших квадратов в преобразованных координатах - 18 с. Вместе с тем, как показывают расчёты, во всех случаях оценки, полученные с использованием предлагаемых методов, близки к точным и значительно превосходят по точности оценки, получаемые методом наименьших квадратов в преобразованных координатах, что свидетельствует об их высокой эффективности.
Заключение
Предложен общий подход к построению нелинейных ММ, основанный на расчёте оценок моделей в преобразованных координатах по критерию минимума средних квадратов отклонений в непреобразованных координатах. Проведена систематизация ММ на основе нелинейных преобразований координат. На базе предложенного принципа систематизации проведен анализ существующих наборов функций, используемых при построении моделей, который показал, что все существующие наборы функций не удовлетворяют требованиям функциональной полноты и линейной независимости. Разработан метод автоматического синтеза системы линейно независимых и функционально полных наборов ММ на основе задания системы преобразования координат, что позволило упорядочить и упростить процедуру поиска вида моделей за счёт организации целенаправленного поиска по видам преобразования координат и исключения процедур сравнения однотипных моделей с различной формой записи. Разработаны системы линейно независимых и функционально полных наборов ММ. Предложен принцип многоуровневого преобразования координат, состоящий в многократном преобразовании координат определенного и результативного признаков на базе заданного набора функций, и метод, отличительная особенность которого состоит в том, что на первом уровне синтезируют ММ по заданному набору координатных преобразований, а на последующих уровнях задают вид функций дополнительного преобразования координат результативного и определённого признаков с выбором из пакета ММ с однотипными видами преобразований функций, наиболее полно отражающих физическую сущность процесса. Это позволило формализовать процедуру выбора моделей при расширении набора анализируемых функций. Исследования предложенных подходов и принципов, разработанных методов показали их высокую эффективность и преимущества перед существующими методами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Математическое моделирование и обработка информации в исследованиях на ЭВМ / И. А. Прошин, Д. И. Прошин, Н. Н. Мишина, А. И. Прошин, В. В. Усманов; под ред. И. А. Прошина. - Пенза: ПТИ, 2000. - 422 с.
2. Прошин И. А., Прошин Д. И., Прошина Н. Н. Структурно-параметрический синтез математических моделей в задачах обработки экспериментально-статистической информации. - Пенза: ПГТА, 2007. - 178 с.
Статья поступила в редакцию 30.01.2009
STRUCTURAL AND PARAMETRIC SYNTHESIS FOR MATHEMATICAL MODELS OF TEST SUBJECTS BASED ON OBSERVATION DATA
I. A. Proshin, D. I. Proshin, R. D. Proshina
The system of structural and parametric synthesis of mathematical models is considered which is based on model classification according to coordinate transformation, mixed-level synthesis, functional relationship (functionality) selection, as well as to the principles of finding consistent, unbiased and efficient estimators in the coordinates transformed.
Key words: mathematical model, coordinate transformation, observation
data.
