CC BY
17ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия Б, 1996, том 38, № 7, с. 1239-1244
УДК 541.64:532.135
СТРУКТУРНО-ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИМЕРОВ
© 1996 г. В. А. Иванов, П. Д. Чудаков
Воронежская государственная технологическая академия 394017 Воронеж, пр. Революции, 19 Поступила в редакцию 20.06.95 г.
Предлагается структурная феноменологическая модель вязкопластического деформирования полимеров в рамках теории Новожилова и Кадашевича. Определяющие уравнение ползучести типа нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Гаммерштейна описывают ограниченную или неограниченную ползучесть. Приводятся соответствующие критерии. Модель правильно отражает ряд экспериментальных фактов, относящихся к прямой и обратной ползучести, релаксации, которые не описываются традиционными феноменологическими теориями. Распределения гипотетических микронапряжений представлены графиками, называемыми структурными диаграммами. Динамические свойства полимеров описываются путем рассмотрения деформации микрообъемов с "быстрым" спектром времен релаксации, который рассматривается отдельно от спектра времен релаксации, наблюдаемым при статических испытаниях.
Определяющие уравнения ограниченной и неограниченной ползучести, релаксации и динамического сопротивления полимеров устанавливаются на основе модели, учитывающей микронапряжения, составленной в рамках структурной феноменологической теории Кадашевича-Ново-жилова [1]. Такое моделирование является традиционным направлением в физике полимеров [2].
При учете микронапряжений можно уточнить, не меняя по существу, традиционные феноменологические теории [3-5], а также включить в теоретическое описание дополнительные экспериментальные факты.
ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
Полимерный образец представляется множеством микрообъемов, которые находятся или в упругих, или в вязкопластических деформированных состояниях в соответствии с уровнем приложенных микронапряжений. Определяющие уравнения на микроуровне, основанные на модели Бингама-Шведова, формулируются следующим образом:
если, о, < г,, то
о, = £,•;
если с, > rj, то <*/ - г, = сО/(ё( - сг,), с,(0) = <т,0, £,(0) = е/0, (1)
где а, = а]/г+ - приведенные напряжения, £, = = е] Е/г* - деформации, г, = г] /г* - пределы текучести микрообъемов, со, = <о- /оо+ - времена релаксации, / = ¡'/он* - время. Точкой обозначено диф-
ференцирование по времени, / - индекс микрообъема, Е - модель упругости, штрихами отмечены размерные значения величин, плюсом -верхние границы этих значений.
Рассматривается одномерное напряженное состояние. Времена релаксации и пределы текучести микрообъемов в уравнениях (1) заданы через плотности распределения вероятностей П(<а) и Я(г), определенные на отрезках т, г е [0, 1] при используемом масштабе приведенных величин.
Взаимодействие микрообъемов оценивается косвенным образом через соотношения корреляционного типа. Рассматривали [1] условия Фойх-та е, = (е,) = е, условия Рейсса о, = (о,) = о и условия Кренера £, - £ = Р(ст - <т,-). В анализируемой ниже модели приняты условия Фойхта, при которых микрообъемы трактуются как параллельно расположенные равнодеформированные волокна (рис. 1). В такой интерпретации модель называется также моделью Ишлинского [6].
По-видимому, для полимеров корректно утверждение, относящееся к металлам, что на достаточно малом уровне размеров (Ю-4-Ю-6 мм), называемом мезосгруктурой [7], атомно-молеку-лярные структуры вполне описываются в понятиях сплошной среды. Эту гипотетическую мезо-структуру следует считать физическим прообразом исследуемого множества микрообъемов.
Рассматриваемую модель следует отнести к классу структурно-феноменологических [1], поскольку не вполне изученные процессы в надмолекулярных структурах полимеров [2] представлены гипотезой типа Бингама-Шведова.
СТ+ = jrR(r)dr
-1/Ы
о,.(0 = e(t)-(o0i-e0)e -
г
-a'JS'-VíeW-rJdz
(4)
o(t) = e(f)-jY(î-T)cp[e(T)№
Ядро интефального уравнения представлено через спектр времен релаксации
T(t) = je~t/m(ù~'Q((0)d(0
Если 0 < е < 1, то
<р(е) = fjuatâdr
(6)
(7)
о о
Рис. 1. Механическая модель из упругих, вязко-пластичных и вязкоупругих элементов.
При неубывающей деформации из естественного состояния £(/) > 0 относительное содержание микрообъемов, находящихся в вязкопласти-ческих напряженно-деформированных состояниях, равно интегральной вероятности пределов текучести микрообъемов
е
Х(е) = |я(г)£/г, 0<е< 1, ЭД = 1 (2)
о
Очевидно, что предел длительной прочности (наибольшее статически воспринимаемое напряжение), равен математическому ожиданию всех пределов текучести
Если е > 1, то
<р(£) = е-о+ (8)
Правая часть в формуле (6) после подстановки х = ю-1 проводится к интегралу Лапласа. Используя асимптотическое свойство этого интеграла, доказывается предельное соотношение
limT*(t) = lim \T(x)dx = lim(l-éf') = 1
t—>00 Í —» ooj
(9)
(3)
Определяющие уравнения на микроуровне с учетом условий Фойхта и интегрирования уравнений (1) имеют следующий вид: если a¡ < г,, то
ст, = е;
если ст, > г„ то
Когда образец деформируется из естественного состояния (ст0, = Ед = 0), тогда после статистического осреднения микронапряжений и математических преобразований с использованием теоремы Фубини о замене порядка интегрирования, определяющее уравнение образца сводится к нелинейному интегральному уравнению Воль-терра-Гаммерштейна
(5)
Если к образцу последовательно прикладываются постоянные напряжения меньше предела длительной прочности, то после затухания деформаций ползучести на основании предельного соотношения (9) и в соответствии с предельной теоремой в теории наследственных сред имеет место формула для кривой длительного сопротивления ст = е - ср(е). Плотность распределения пределов текучести микрообъемов устанавливается двойным дифференцированием этой формулы /?(£) = -(Pafà/dE2.
В работах [8-10] диаграмму статического сопротивления аппроксимировали в виде tf = Её - Efi'2, что соответствует равномерному распределению вероятностей пределов текучести микрообъемов. С учетом нормировки (1) R(r) = 1. При этом аналитическая формула для зависимости диаграммы сопротивления в соответствии с уравнениями (5), (7), (9) имеет вид ст = £ - е2/2, или в размерных обозначениях ст' = Ее' - Е1г'2/2г*. Примечательно, что если за верхнюю границу пределов прочности микрообъемов принять значение предела прочности при статическом растяжении, то выражение ЕР-Цг+ совпадает с эмпирическим коэффициентом £, с точностью до всех значащих цифр. Под пределом прочности при растяжении авторы [8-10] принимают значения напряжения, при котором происходит развитие шейки образца сразу после приложения нагрузки. В случае сжатия при примерно таком же значении напряжения наблюдается деформация образцов.
Предел длительной прочности (3) при R(r) = 1 равен <J* = 1/2 или в размерных величинах ст12 = = 1*12. Такое "круглое" значение обусловило, по-видимому, осторожность авторов [8, 10], утверждающих, что предел длительной прочности равен
"примерно половине временного сопротивления".
Ядру интегрального уравнения (6) можно придать любую из предлагавшихся форм. Например, ядро типа Колтунова-Ржаницына T(t) = 1
имеет место, согласно формуле (6), при (3-распре-делении вероятностей времен релаксации ЗДш) = = В"'(у, Ô)cûï_ 'ш8 -1 при Ô = 1 - у, где Г(*) и В(х, у) -у- и р-функции. Значение постоянного коэффициента в формуле для ядра связано с условием нормировки плотности распределения вероятностей. При дискретном распределении имеет место ядро в виде суммы экспонент [3, 5].
При релаксации £ = £0 = const. Если £<, > 1, то в соответствии с формулами (5), (8), (9) асимптотическое значение напряжений не зависит от величины деформации и равно постоянной величине <3+ - пределу длительной прочности. Если £о < 1, то в соответствии с формулами (5), (7), (9) предельная величина о„ = £« - ф(£о). Эта особенность релаксации полимеров (без количественных оценок) описана в работе [11]. Что же касается пре-
дельной оценки при R(r) = 1, то ст„, = £q - £0 /2, и эта формула согласуется с экспериментами [8-10].
При постоянных напряжениях, меньших предела длительной прочности, имеет место ограниченная ползучесть. Максимальное значение деформации определяется из выражения ст0 = £„,, -
- ср(£ J. При R(r) = 1 £„ = 1 - Jl - 2ст0, что согласуется с опытами [8-10]. Если ст0 > <Т\ то в момент времени t*, соответствующий деформации, равной единице, £(?*) = 1 (этот момент времени равен нулю, если ст0 > 1), определяющее уравнение (5) вырождается в соответствии с формулой (8) в линейное интегральное уравнение. Решение этого уравнения будет в соответствии с теорией интегральных уравнений неограниченным и описывается формулой
t
£*(0 = 0(0 + J K(t - т)[ст(т) - a+]dx, (10)
t*
где K{t) - резольвента по отношению к ядру (6).
На основании предельного условия для резольвенты устанавливается асимптотическая формула для деформаций при постоянных напряжениях ст0 > ст*
E(i*) = Сто + (Сто - 0*)t, t — со (11)
Уравнение (11) описывает стадию установившейся ползучести, предшествующую [8, 10] разрушению полимеров. Следует отметить, что все рассмотренные особенности ползучести и релаксации не имеют описания в рамках традиционных теорий.
Чаще всего при механических испытаниях полимеров проводятся испытания на ползучесть вне связи с испытаниями на релаксацию. Используя изложенные оценки, для описания деформаций ползучести гр = £ - о, подобной некоторой функции от напряжений £р = /,(ст0Ж*(0, где К* (t) -функция времени (интегральный оператор), предлагается формула
t
e(t) = CT(0 + jK(r-t)/.[o(T)]di (12) о
Здесь/i(<j) = 1 -ст(0- л/1-2о(0 приR(r) = 1.
Ядро интегрального уравнения Вольтерра-Гаммерштейна выражается через спектр времен ретардации Я(Т|) и имеет предельную оценку, аналогичную (9).
Ползучесть в условиях отсутствия подобия чаще всего описывается в рамках "главной кубической теории" £(0 = ст(0 + Kf (t)<y(t) + (t)cs\t), где К* и К* - интегральные операторы, определяемые из опытов [4, 5]. Следует отметить, что определяющее уравнение (6) не противоречит кубической теории, но сводится к ней, если для решения нелинейного интегрального уравнения использовать метод Ньютона-Канторовича, заменить в соответствии с теорией Ильюшина-По-бедри многократные интегралы простыми, а также отбросить квадратичный и все члены, в которых показатель степени при а выше третьей. Однако в данном случае кубическая теория не может устраивать, поскольку не используется определенная теоретическая и подтвержденная экспериментально предельная оценка. Поэтому при отсутствии подобия может быть предложена следующая формула (при R(r) = 1):
£(/) = ст(0 + К?а(1) + К?[ 1 - 2ст(0 - л/1 - 2ст(*)],
где К* и К* - ретардационные операторы, удовлетворяющие условию (9).
В работе (4) результаты опытов обрабатывали в соответствии с моделью кубической ползучести. Однако поскольку результаты обработки показали, что ядра Кх и К2 подобны, т.е. Кх{0 = = аК2(/), поведение исследуемого полимера вполне описывается в рамках уравнения (12). Ядро ретардации представлено дробно-показательной функцией Д*" (а = 0.87). Можно предположить, что эта зависимость соответствует относительно малым временам ползучести, а при распространении результатов на всю ось времени следует обобщить ядро в соответствии с формулой Колтунова-Ржаницына.
<*» п
Хро
Рис. 2. Распределение микронапряжений на различных этапах прямой и обратной ползучести.
О МОДЕЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОБРАТНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Гипотетическое распределение микронапряжений называется структурной диаграммой [6]. Структурную диаграмму удобно совместить с графиком интегральной вероятности, построенной таким образом, что по оси абсцисс отложена интегральная .вероятность, а по оси ординат -пределы текучести микрообъемов. Для равномерного распределения при X = г график представляется условно изображенной на рис. 2 кривой ОЬ. Аналогично строится график ОЬ', соответствующий сжатию. Структурные диаграммы в начале (/ = 0) и в конце (г —- ползучести представлены соответственно прямой АВ и ломаной ОСй. После снятия внешнего напряжения структурная диаграмма изображается ломаной 0\00'. При этом некоторые микрообъемы оказываются в сжатом состоянии таким образом, что величина микронапряжений превосходит предел текучести при сжатии (участок ОМ* на линии ОЬ'). Релаксации этих микронапряжений обусловливают процесс обратной ползучести.
Предельная уравновешенная система микронапряжений представлена структурной диаграммой ОЫС'О". Максимальная деформация обратной ползучести из геометрических расчетов (равенство заштрихованных площадей на рис. 2)
равна ^ = <т0 - 2 -<т0, и это значение соответствует экспериментальным данным [8, 9].
Уравнение, описывающее обратную ползучесть, достаточно сложное в сравнении с уравнением прямой ползучести (5), поскольку в этом случае имеет место статистическое осреднение различных групп микронапряжений с ненулевыми начальными условиями в формуле (4)
(^Г-т)^0 = е(0и(°-
- |Г(, - Х)[е(т)в(т) - А + 5= - ^Ц2 _
о
- [е. - О.5(о0 + + (<*о- £)( 1 - е»),
где Ь - функция релаксации, т.е. <1Ь/ск = -Т(й, и(е) = 0.5(а0 + Ео - £(/)), £(0 = £о - £(/). Вместе с тек^ приведенное уравнение соответствует установи ленному факту [5], что кривые прямой и обратной ползучести не подобны.
О БЫСТРОРЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛИМЕРОВ
Вычисление модуля упругости по скорости распространения переднего фронта волны в стержнях из ПВХ, подвергнутых удару по свободному концу, привели к значению, которое оказалось выше величины, определенной методом навешивания грузов, на ~50% [12]. При этом характерен хрупкий вид разрушения. Остаточные деформации не были обнаружены даже под микроскопом, несмотря на то, что величина максимальных деформаций перед разрушением превосходит максимальную величину деформации ограниченной ползучести в 2.5 раза. Результаты этих опытов ставили под сомнение использование для описания динамических нагрузок уравнений, найденных при статических исследованиях, несмотря на то, что распространение волн деформаций и изменения фронтов волн со всей очевидностью свидетельствовало о вязком сопротивлении.
При испытаниях полимеров на усталость [13, 14] было установлено, что образец разогревается, пока не переходит в вязкотекучее состояние. Поскольку до этого перехода остаточные деформации не наблюдались, возникло понятие о "саморазогреве" [13].
При изучении распространения ультразвука и крутильных колебаний образцов была установлена зависимость модуля упругости от частоты колебаний. При этом колебания вполне описывались в рамках линейной теории вязкоупругости [15].
В настоящее время некоторые авторы разделяют концепцию, что определяющее уравнение, учитывающее сопротивление деформированию в полном диапазоне скоростей деформации, должно учитывать как вязкопластическую, так и быс-трорелаксирующую вязкоупругую составляющие сопротивления деформации. Наиболее последовательно эта концепция представлена в работе [5].
В модели, учитывающей микронапряжения, следует положить, что наряду с вязкопластичес-кими компонентами образец включает вязко-упругие волокна (отмеченные на рис. 1 штриховыми линиями). Пусть относительное содержание вязкоупругих волокон в сравнении с вязкопластическими оценивается коэффициентом V. Тогда определяющее уравнение принимает вид
t
O(î) = (1 +v)e(0-vjY,(r-i)e(T)</T-
-|г(*-т)ф[е(т)]А,
о
где
во
т, = ]У'/ве-10(е)^0, (14)
о
причем ядра интегральных операторов удовлетворяют предельному условию (9).
Предполагается, что область определения вяз-коупругого спектра относится к малым временам, так что верхняя граница значения 60 соответствует миллисекундам.
При динамическом деформировании полимеров вторым интегральным оператором можно
пренебречь, и тогда материал можно рассматривать как обычное вязкоупругое тело с динамическим модулем упругости £0 = (1 + v)E. Согласно приведенным выше данным о волновых испытаниях, относительное содержание вязкоупругих компонентов велико, составляя примерно половину от вязкопластических v = 0.5. При статических испытаниях полимеров в течение 1-2 с, после которых регистрируются первые наблюдения, усилия в быстрорелаксирующих волокнах вследствие быстрой релаксации равны нулю, и следует использовать определяющее уравнение (6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1976. № 5. С. 153.
2. Слонимский ГЛ. И Высокомолек. соед. А. 1971. Т. 13. № 2. С. 450.
3. Крегерс А.Ф., Вилке У.К.,Лейтане М.Я. // Механика полимеров. 1973. № 5. С. 786.
4. Жуков A.M. Ползучесть смолы ЭХД в условиях растяжения. Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1985. Вып. 25. С. 152.
5. ПавловH.A.,КрутскихH.A.//Механикакомпозиционных материалов. 1980. № 5. С. 974.
6. Иванов В.А., Лопарев В.И. Коррозионно стойкие строительные конструкции из полимербетонов. Воронеж: Изд-во Воронежск. политехи, ин-та, 1984. С. 36.
7. Владимиров В.И., Иванов В.И. Физика прочности и пластичности. Л.: Наука, 1986. С. 69.
8. Смотрин Н.Т. //Хим. пром-сть. 1953. № 10. С. 15.
9. Смотрин Н.Т. // Хим. пром-сть. 1954. № 6. С. 33.
10. Васьков B.C. // Пласт, массы. 1961. № 5. С. 30.
11. Воронков Е.Б., Разумовская И.В., Мусаэлян И.Н., Слонимский ГЛ. II Механика полимеров. 1977. №4. С. 579.
12. Иванов В.А. // Механика полимеров. 1967. № 2. С. 370.
13. Ратнер С.Б., Коробов В.И. И Докл. АН СССР. 1965. Т. 1961. №4. С. 824.
14. Олдырев П.П. // Механика полимеров. 1967. № 1. С. 111.
15. Перепечко И.И. Введение в физику полимеров. М.: Химия, 1973.
Phenomenological Structural Model of Viscoplastic Deformation of Polymers
V. A. Ivanov and P. D. Chudakov
State Technological Academy ul. Revolyutsii 19, Voronezh, 394017 Russia
Abstract—A phenomenological structural model describing viscoplastic deformation of polymers was developed within the framework of the Novozhilov-Kadashevich theory. The principal creep equations (nonlinear integral equations of the Volterra-Hammerstein type), describing either limited or unlimited creep, are derived and the corresponding criteria are formulated. The model accounts for a number of experimental facts concerning forward and reverse creep and relaxation, which are not described by conventional phenomenological theories. Plots (structural diagrams), showing distributions of hypothetical microstresses in a material, are presented. The dynamic properties of polymers are described by considering deformation of microvolumes with a "fast" spectrum of relaxation times, which is treated separately from the spectrum of relaxation times observed in the static tests.
