CC BY-NC
30
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-37-51 УДК 539.422.5
H.H. Федонюк , П.А. Додонов
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ ТИПА СФЕРОПЛАСТИКА ПРИ ДЕЙСТВИИ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
Объект и цель научной работы. Объектом исследования является полимерный композиционный материал типа сферопластика, представляющий собой гетерогенную среду, состоящую из полимерной матрицы, наполненной сферическими включениями - микросферами. Основная цель работы заключается в разработке структурной модели деформирования и разрушения материалов такого типа при гидростатическом сжатии и программно-математического аппарата для ее реализации.
Материалы и методы. Исходными данными для исследований являлись состав и структура сферопластика и характеристики его компонентов: полимерной матрицы и стеклянных микросфер. Построение структурной модели выполнялось на базе решений задач линейной теории упругости с использованием алгоритма Любачевского - Стилин-джера для формирования структуры, методов гомонизации и т.д. На основе созданного математического аппарата разработан вычислительный алгоритм, который реализован в программном коде на языке С++. Верификация результатов расчетов проводилась путем сравнения с результатами испытаний при кратковременном нагружении гидростатическим давлением до разрушения образцов одной из марок сферопластика.
Основные результаты. Разработана структурная модель деформирования и разрушения материалов типа сферопластика при действии гидростатического давления. Создан вычислительный алгоритм, который реализован в программном коде на языке С++, обладающий сравнительно большой эффективностью при расчете реальных структур с большим количеством микросфер порядка 105. Сопоставление с результатами экспериментов показало, что результаты моделирования согласуются с ними как по качественным, так и по количественным оценкам.
Заключение. Разработанная структурная модель позволяет с высокой степенью достоверности описать процессы накопления повреждений и разрушения, идущие в сферопластике, при действии гидростатического давления. В практических целях модель может быть использована для прогнозирования характеристик сферопластика (прочности, объемной деформации и плавучести), исходя из свойств исходных компонентов - микросфер и полимерной матрицы. Ключевые слова: сферопластик, микросферы, матрица, гетерогенная структура, гомонизация, гидростатическая прочность, плавучесть.
Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-37-51 UDC 539.422.5
N. Fedonyuk , P. Dodonov
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
STRUCTURAL MODEL OF HETEROGENEOUS MATERIAL (MICROSPHERE FOAM) STRAINING AND FAILURE UNDER HYDROSTATIC LOADING
Object and purpose of research. The paper investigates polymeric composite material of syntactic foams type being by nature a heterogeneous medium and consisting of polymeric matrix, filled with spherical inclusions: microspheres. The
Для цитирования: Федонюк Н.Н., Додонов П.А. Структурная модель деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа сферопластика при действии гидростатического давления. Труды Крыловского государственного научного центра. 2021; 2(396): 37-51.
For citations: Fedonyuk N., Dodonov P. Structural model of heterogeneous material (microsphere foam) straining and failure under hydrostatic loading. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2021; 2(396): 37-51 (in Russian).
main purpose of this this paper is to develop a structural model of straining and failure for this type of materials under hydrostatic pressure and software and mathematical apparatus for model implementation.
Materials and methods. The input data for this research were composition and structure of syntactic foam material as well as the performance of its components (polymeric matrix and glass microspheres). Structural model was developed on the basis of solutions to linear elasticity theory problems using Lubachevsky - Stillinger algorithm for the formation of structure, homonization methods, etc. A calculation algorithm implemented in code in the C++ language was developed on the basis of the designed mathematical apparatus. Verification of calculation results was carried out by comparison with failure test results of samples of one of the grades of syntactic foam under short-term hydrostatic pressure loading.
Main results. Structural model of syntactic foam type material straining and failure under hydrostatic pressure was developed. A calculation algorithm implemented in program code written in the C++ language which is relatively highly efficient for analysis of real structures with a large number of microspheres of the order of 105. Correlation with experimental results showed compatibility of modelling results in terms of both quantitative and qualitative estimates.
Conclusion. The developed structural model allows with a high degree of confidence to describe the processes of damage and failure accumulation in syntactic foam under hydrostatic pressure. For practical purposes the model can be used applied for prediction of syntactic foam performance (strength, bulk strain and buoyancy), based on the properties of the initial components - microspheres and polymeric matrix.
Keywords: syntactic foam, microspheres, matrix, heterogeneous structure, homonization, hydrostatic strength, buoyancy.
The authors declare no conflicts of interest.
Введение
Introduction
Сферопластик, представляющий собой гетерогенный материал, состоящий из плотно упакованных стеклянных микросфер, расположенных в полимерной матрице, используется в качестве элементов плавучести глубоководной техники. В процессе ее эксплуатации он, находясь в условиях всестороннего сжатия, подвергается воздействию гидростатического давления сравнительно высокого уровня. При определенной величине давления начинается
разрушение наиболее «слабых» микросфер, в т.ч. расположенных вблизи наружной поверхности. Полости, образовавшиеся после разрушения микросфер около этой поверхности, частично или полностью заполняются водой. При дальнейшем повышении давления и/или увеличения длительности его действия микросферы продолжают разрушаться и вода, двигаясь фронтом, распространяется вглубь материала, что в итоге приводит к увеличению его плотности и полной потери плавучести. Описанный выше процесс проиллюстрирован на томограммах образца сферопластика одного и того же сечения,
Рис. 1. Томограммы образца сферопластика одного и того же сечения марки С-5 размерами 80x80x80 мм после выдержки разной длительности т при относительном уровне давления p = 0,825 (p - отношение величины давления к гидростатической прочности; w - коэффициент водопоглощения):
a) исходное состояние, т = 0, w = 0;
b) т = 26 ч, w = 0,0793 г/см2;
c) т = 32 ч, w = 0,1550 г/см2;
d) т = 60 ч, w = 0,3242 г/см2
Fig. 1. Tomography images of a same cross-section syntactic foam sample, grade С-5, of size 80x80x80 mm after different periods of exposure т under relative pressure level p = 0,825 (p - is ratio of pressure value to hydrostatic strength; w - water saturation coefficient):
a) initial condition, т = 0, w = 0;
b) т = 26 h, w = 0,0793 g/cm2;
c) т = 32 h, w = 0,1550 g/cm2;
d) т = 60 h, w = 0,3242 g/cm2
на которых белым цветом показаны области высокой плотности с разрушенными микросферами, насыщенные водой (рис. 1).
При разработке новых сферопластиков высокой удельной прочности важно иметь аппарат, который позволил бы смоделировать реальную структуру материала и его поведение при действии гидростатического давления. Это дало бы возможность спрогнозировать гидростатическую прочность сфе-ропластика и его плавучесть, исходя из характеристик исходных компонентов: микросфер и полимерной матрицы, и более обоснованно сформулировать требования к этим характеристикам для получения материала с требуемыми свойствами. При наличии такого аппарата временные, а также материальные затраты на создание нового сферопласти-ка могут быть сокращены за счет уменьшения количества вариантов рецептуры, перебираемых при технологической отработке материала.
Существующие в настоящее время модели сфе-ропластика, с помощью которых можно определить его гидростатическую прочность, основаны на ряде упрощений. Рассматривается несущая способность либо одной характерной микросферы с присоединенным массивом матрицы [1, 2] или находящейся в среде с эффективными характеристиками композита, либо системы микросфер одинакового диаметра, расположенных в матрице в узлах правильной решетки [3, 4]. Естественно, эти упрощения не имеют отношения к реальной структуре сферопла-стика и не позволяют с достаточной для практики точностью определить его гидростатическую прочность, а также объемную сжимаемость и плавучесть. Заслуга этих моделей заключается в том, что с их помощью была впервые получена качественная картина, позволяющая дать приближенную оценку степени влияния свойств микросфер и связующего на характеристики сферопластика.
Широко распространенный настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) также применяется для определения деформативности и прочности сферопластика на микроуровне как при одноосном, так и при всестороннем нагружении. Однако получение конечно-элементного решения при моделировании реальной структуры сферопластика вызывает непреодолимые трудности. Поэтому обычно рассматривается взаимодействие между 2-3 микросферами либо исследуется структура, состоящая из множества микросфер, но с относительно низким их объемным содержанием [5-7]. Задачей этих исследований являлось определение концентрации напряжений в соседних микросферах
и окружающей их матрице. При этом влияние границы среды материала на несущую способность микросфер не рассматривалось. Но, как было показано выше, процесс разрушения сферопластика начинается с границы среды с последующим развитием вглубь материала.
В настоящей работе рассматривается построение структурной модели деформирования и разрушения гетерогенных материалов типа сферопла-стика при действии гидростатического давления. В этой модели учитывается реальная структура материала, характеристики микросфер, распределение которых задано гистограммой, и свойства связующего полимерной матрицы.
Теоретические основы построения структурной модели
Theoretical basis for structural model development
Структурная модель базируется на результатах решений задач линейной теории упругости, которая изучает напряженное состояние двух двухслойных сферических включений, расположенных в бесконечной изотропной среде, и напряженное состояние двухслойного сферического включения, находящего вблизи границы среды в поле всестороннего сжатия [8].
Каждое двухслойное включение состоит из внутренней сферы - микросферы - и наружной сферы - окружающего микросферу слоя матрицы. Диаметр сфер d, и толщина их стенок 5,- задается через гистограмму их распределения по диаметрам (рис. 2) и функцию зависимости толщины стенки от диамет-
Объемная доля, % 25 Г~
20-------
15--------
10
5
0 10 20 30 40 50 60 d, мкм
Рис. 2. Гистограмма распределения микросфер марки МС-ВП по диаметрам
Fig. 2. МС-ВП grade microspheres size distribution histogram
8, MKM
'Л,
•• • X у/
•
^ / • / * X / « доверите, - доверите, : аппроксимаци льный интервш льный интервш я I 50% I 90%
1 t 1
20 40 60 d9 MKM
ра (рис. 3). Толщина слоя матрицы определяется как половина наименьшего расстояния между стенками соседних сфер или как расстояние до границы среды, в зависимости от того, что меньше. Замеры размерного распределения (рис. 2) и толщин стенок микросфер (рис. 3) марки МС-ВП были произведены специалистами организации изготовителя микросфер АО «НПО Стеклопластик» [14, 15]. При моделиро-
вании множеств микросфер толщины стенок задаются на основании результатов экспериментов с использованием функции плотности вероятности Вей-булла. При определении состояния среды рассматривается каждая микросфера и ее «соседи» - близкорасположенные микросферы - и граница среды (рис. 4а). Координаты всех микросфер определяются в результате моделирования структуры материала с помощью алгоритма Любачевского - Стилинжера при случайном распределении микросфер в конечном объеме, заданном гистограммой и их объемным содержанием [9].
Напряженное состояние каждой сферы определяется в результате ее взаимодействия с близкорасположенными сферами и границами среды. В соответствии со схемой, приведенной на рис. 4, можно показать, что напряжения в сфере в точке р с радиусом-вектором гр определяются путем суперпозиции решений четырех задач:
■ одиночная сфера, находящаяся в бесконечной изотропной гомогенной среде с эффективными характеристиками (рис. 4а);
■ сфера, находящаяся вблизи сферы ^ в такой же гомогенной среде (рис. 4Ь);
■ аналогичная задача со сферой (рис. 4с);
■ сфера находится вблизи границы в такой же гомогенной среде (рис. 4с[).
В результате решения этих четырех задач определяются в точке р сферы, соответственно,
да £1 S2 В1 т-г
напряжения ор , ор , ор , ор . Применяя принцип суперпозиции, напряжения в точке р рассматри-
Рис. 3. Толщины стенок микросфер марки МС-ВП и их диаметры (точки - замеренные толщины стенок, кривые - модель распределения толщин)
Fig. 3. МС-ВП grade microspheres" wall thickness values (points - measured wall thickness values, curves - thickness distribution model)
Рис. 4. Общий случай расположения сфер и границы среды относительно рассматриваемой сферы с точкой р на поверхности, заданной радиусом-вектором Гр (а), и частные случаи взаимодействия этой сферы с каждой из соседних сфер (b, c) и с границей среды (d)
Fig. 4. General case of spheres and medium boundary arrangement with respect to the sphere under study with a location p on the surface, defined by radius vector Гр (a), and special cases of interaction of this sphere with each of the neighbouring spheres (b, c) and with boundary of the medium (d)
ваемой сферы будут определяться следующим выражением:
о , = а ¥ + (а р - а ¥) + (а р - а ¥) + (а В - а ¥),
где о - тензор напряжений, который в сферической системе координат имеет вид
а ° (От , °фф, аее, °«р, °ге, °Фе)-
В случае если сфера окружена множеством ближайших сфер и количество рядом расположенных границ больше одной, то выражение для ор может быть переписано в виде
О р = о ¥ +£ (О р - о ¥) + £ (О В - о ¥)
г =1 7=1
где I, 3 - количество ближайших сфер и границ соответственно.
Правомерность применения принципа суперпозиции показана в [10] на конкретных примерах путем сопоставления решений по модели с конечно-элементными решениями с помощью программного комплекса АКБУБ.
По результатам определения тензора напряжений ор в каждой расчетной точке р = 1, 2, ..., на внутренней и внешней поверхностях сферы определяются наибольшие по модулю главные напряжения с1р, с3р и эквивалентные напряжения по
Мизесу ареМ, и затем для каждой сферы производится поиск точки, в которой напряжения достигают максимума
о max = max p
{max(| of |, | op |, oPM)}.
0max < П(-),
P < f
кр'
где П(_) - предел прочности материала сфер на сжатие; Р _ величина действующего внешнего давления.
В процессе нагружения гидростатическим давлением происходит изменение объемной деформа-
ции сферопластика 0, которая определяется по известной формуле
9 =
P K й
где Ка _ объемный модуль материала, который будет определен ниже с учетом полученных повреждений при давлении Р, связанных с разрушением микросфер и образованием полостей.
Определение плавучести q единицы объема сфе-ропластика производится через разность плотностей воды и плотности материала при давлении Р:
q = Р^р - ра,
где ркр _ плотность воды при давлении Р, которая определяется по следующей формуле:
Р
Ри
wp
1 -
P
KW,
Каждая сфера также проверяется на устойчивость по методике, предложенной в [11], в результате чего определяется верхнее критическое давление ркр.
На основании результатов определения напряженного состояния и устойчивости сферы производится проверка условий сохранения ее несущей способности
где pw и Kw - плотность и объемный модуль воды при нормальном давлении соответственно, при этом считаем, что Kw = const (P), рd - плотность сферопластика с учетом разрушения микросфер, образования полостей и заполнения их водой, для определения которой используется следующая зависимость:
Рd = J—Q + PwpVWn,
где vln - относительный объем заполненных водой полостей вблизи границы;
vw = vw + vw
In n ns >
где vW, vW - суммарные относительные объемы заполненных водой пор и полостей, образовавшихся после разрушения микросфер соответственно.
Гомонизация гетерогенной среды в исходном и поврежденном состояниях
Homonization of heterogeneous medium in initial and damaged states
В процессе моделирования гетерогенная среда, окружающая рассчитываемую микросферу и ее близлежащих «соседей», заменяется, как было сказано выше, эквивалентной ей гомогенной средой с эффективными характеристиками. Для ре-
шения этой задачи на первом этапе определим упругие характеристики ансамбля микросфер, распределение которых по диаметрам задается гистограммой (рис. 2).
Для сферы можно получить следующее уравнение для определения объемного модуля упругости:
K, =
Kg в * Ф g 1 + ф g - в ,
4 Gg
где ф g =
3 K
= 2-
1 - 2v g 1 + v„
к,, 2-E
G*
5Eg
6
2(7 + 5vg ) ri
(3)
Дополнительно определим относительный вес (плотность) микросферы:
P, = Pgв, = Pg
1 —
- 3P,
'1 0
_5
r
(4)
Тогда средняя плотность микросфер в ансамбле определится как отношение веса всех микросфер к объему, занимаемому ими:
Ё p„m v
(P,) = ^-
(1)
в, = 1--V - относи-
Ё m v
(5)
тельный объем материала, занимаемый сферой; К, Vg _ объемный модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона стекла соответственно; т0, Т _ внутренний и наружный радиусы сферы соответственно.
Учитывая, что микросферы в среднем являются тонкими оболочками, (1) примет более простой вид:
5 (2)
или, учитывая (4) и обозначая
n 6
ё v—m /s
i=1 ги /6
n
Ё vm
i=1
получим
(P,) = 3Pg(-
(6)
31-vgr1
Аналогичное уравнение получим для модуля сдвига сферы:
где V,- _ объем г-ой микросферы; ( —) _ средняя относительная толщина стенок микросфер.
Заменяя в (2) и (3) — ®1■5\, найдем модули
Т1 \Т1 /
объемного деформирования и сдвига ансамбля микросфер:
K) = UvJ*\ G)== _5S_ i
31-VgW 2(7 + 5Vg )\r
или, с учетом (6), получим другие выражения:
Зная характеристики произвольной микросферы, можно перейти к определению этих характеристик для ансамбля микросфер. Для этого по гистограмме (рис. 2) для каждой г-ой фракции микросфер, для которой выполняется условие ё е (ёг-1, ё,), где ёг-1, ё г _ границы интервалов на гистограмме (г = 1, п), можно определить средний диаметр (радиус) микросфер в данной фракции:
ё г = 2(ё,-1 + ё г X Т\г = ^ё г,
и вероятность их нахождения в этой фракции:
р (ёг-1 < ё < ёг) = р, = ж, / М,
где тг _ количество микросфер в г-ой фракции; М _ общее количество микросфер в ансамбле.
(к,)-
2 Eg (P,) (G ) 5 Eg (p,)
91-vg P g
67 + 5vg Pg
(7)
Зная характеристики ансамбля микросфер, можно определить плотность сферопластика, его объемный модуль упругости и модуль сдвига.
Плотность представительного объема V сфе-ропластика с учетом (4) можно найти по формуле, которая является известной зависимостью теории смесей:
P = Pm К ,
(8)
где = Ух/V _ относительный суммарный объем, занимаемый микросферами; Хт = Vm/V _ относительный объем, занимаемый матрицей, причем должно обеспечиваться условие + Хт = 1.
При наличии воздушных включений (пористости) с относительным объемным содержанием V = vn / V можно записать, что Xт ^ Xтг + \п, где Хтг - относительный объем, занимаемый непосредственно связующим матрицы. В этом случае для выполнения упомянутого выше условия
Х тг = 1 Х 5 ^ п .
Объемный модуль упругости и модуль сдвига сферопластика определим как эффективные модули эквивалентной ей гомогенной среде по методу самосогласования [12], который, как показал анализ и сравнение с экспериментальными данными, обеспечивает получение достаточно надежных результатов. В соответствии с этим методом объемный
модуль К и модуль сдвига О находим из решения следующих уравнений:
х,
х.
K
1+a fK>-il 1 + а Ш-1
K
1;
(9)
G
1 + в Ш-il 1 + в Ç ^Gml-1
G
= 1,
Применяя известный подход к осреднению жесткостей, получим следующие выражения для определения {К5> и {О5> для ансамбля микросфер, часть из которых разрушена:
llrrd\ K(a ))Xs (a ) + (Ks( d))Xs( d ) (Ks )=-'
Gd )
X s (a ) + Xs ( d )
d, G (a)/ vs(a) + (Gs (d ))X s( d )
(11)
X s( a) + X s (d )
где (К5(а)>, (К5(с)> - объемный модуль упругости
ансамбля целых и разрушенных микросфер соответственно; (О5(а)>, )> - то же для модуля сдвига.
Т.к. жесткости полостей на всестороннее сжатие и сдвиг вследствие разрушения микросфер можно считать близкими к нулю: (К5^)>»0,
(О^)> » 0, то из (11) с учетом (10) найдем
Х" (12)
K )= ^K(a)), G ) = -pi(Gs(a) ).
где Кт, От - объемный модуль упругости и модуль
1 + V
сдвига матрицы соответственно; а =-,
3(1 - V)
в = 25(1 5") ; ^ - эффективный коэффициент
Пуассона, который определяется по известной формуле закона Гука через объемный модуль К и эффективный модуль сдвига О.
Процесс развития повреждений в сферопласти-ке и его разрушения связан с разрушением микросфер, поэтому можно представить в виде суммы двух слагаемых
Х5 = Х5(а) + Х5 (С^ (10)
где Х5(а), Х^ф - относительные суммарные объемы, занимаемые целыми и разрушенными микросферами соответственно.
Исходя из этого представления, можно записать
Хт ^ Хтг + Vп + , Хтг = 1 - Х5 - VП - Vт , гЛе
Vп5 - относительный суммарный объем полостей, образовавшихся в результате разрушения микро-
сфеP, причем = Х 5(С )•
Подставляя в уравнения (9) вместо (Ks> и (Gs>
соответственно (Kf > и (Gd > из (12), найдем в результате решения этих уравнений модули сферопластика K ® Kd, G ® Gd, получившего повреждения в процессе нагружения гидростатическим давлением.
Алгоритм реализации структурной модели сферопластика
Algorithm for syntactic foam structural model implementation
На базе созданного математического аппарата, основные положения которого были рассмотрены выше, разработан вычислительный алгоритм, реализованный в программном коде на языке С++. Этот язык программирования был выбран ввиду высокой требовательности к производительности вычислений.
Основные временные затраты при проведении вычислений связаны с процессом поиска корней систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), сформированных для решения задач взаимодействия пар микросфер. Размеры СЛАУ определяются выбором точности разложения полей напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных оболочек на ряд, состоящий из N ^ да ортогональ-
ных функций Лежандра. Численные исследования показали, что сходимость решения в концентраторах напряжений, создаваемых включениями, происходит при N > 20. Ввиду наличия 20 уравнений граничных условий в составе СЛАУ ранг таких систем определяется как г(А) > 20■N. Для решения задач взаимодействия микросферы и границы объема требуется решение систем с ранга г (В) > 10-М
Сложность реализации алгоритма заключается в том, что размеры микросфер, толщины их стенок и расположение по репрезентативному объему носит случайный, хаотический характер. Из-за этого нельзя многократно использовать полученные решения, что можно делать, когда параметры структуры подчиняются определенным закономерностям. Поэтому для повышения производительности вычислений были использованы библиотеки открытого стандарта распараллеливания программ ОрепМР [13].
В ходе проведения расчетов алгоритм пошагово моделирует увеличение гидростатического давления на внешних поверхностях моделируемой структуры материала. На каждом шаге нагружения
алгоритм гомогенизирует упругие характеристики множества компонент среды с учетом потери несущей способности менее прочных микросфер в соответствии с рассмотренным выше подходом, что приводит к перераспределению полей напряжений по объему модели. На первом шаге приложения давления алгоритм оценивает несущую способность каждой сферы, рассчитывает НДС и оценивает давление потери устойчивости всех сфер.
Алгоритм работы программы представлен на рис. 5. Принятые обозначения параметров модели, рассчитываемых на каждом шаге решения, приведены в табл. 1.
Помимо характеристик всех компонент напряжений для каждого шага нагружения алгоритм документирует в результатах расчета интегральные характеристики модели:
■ диаграммы объемного деформирования материала под действием гидростатического давления;
■ изменение плавучести с учетом повреждений компонент материала и проникновения в объем полостей воды.
Условие
выполняется для i.
Все U(eJ„>0 требуют рассмотрения
Нет таких сфер
Условие
выполняется для i.
r л
Расчет СкиОк
V
Пересчет Р/р для всех
Все i» е7„ > 0 разрушенные сферы
t.
Поиск всех соседей группы J* > 0
Расчет qk
Одно или оба условия выполнены
Конец работы
Рис. 5. Блок-схема работы алгоритма на ^-том шаге
Fig. 5. Flowchart of the algorithm at the £-th step
Таблица 1. Условные обозначения параметров модели на ^-том шаге Table 1. Legend of model parameters at the £-th step
Обозначение Описание
I Полное множество сфер
Pk Величина внешнего давления
Pi 1 кр Давление разрушения микросферы
®k=Pkl Kd Объемное деформирование материала
С* и К^ Эффективные модули СФП Ск, включающие объемный модуль упругости К^
^ Плавучесть
Множество сфер, разрушенных от первого шага до шага к
Гик Группа сфер, разрушенная на к-ом шаге: Ркр' < Рк
Группа сфер с разрушающим давлением, «близким» к актуальному Рк < Ркр' < Рк-м>'
' Ограничение для группы сфер, требующих переопределения характеристик.
Служит для снижения требуемого вычислительного времени
3пк Все неразрушенные ближайшие «соседи» сфер, разрушенных на к-ом шаге 1ик
У(Г) Объемная доля сфер группы сфер I
Оценка несущей способности производится на каждом шаге путем определения НДС в ~3400 точках, распределенных равномерно на внешней и внутренней поверхностях каждой сферы. Так, для задачи с 50 000 микросферами, расположенными в репрезентативном объеме материала (с примерными размерами 0,9*0,9*0,9 мм) алгоритм определяет полное НДС суммарно для ~1,7108 точек пространства. В этом случае время счета составляет примерно от 5 до 30 ч., в зависимости от характеристик полидисперсности и других параметров модели, а также от вычислительных возможностей компьютера. Если объем материала содержит 100 000 микросфер, то размеры объема возрастают в ^2 раза, а расчетное время увеличивается в ~2,4 раза.
Результаты численного моделирования деформирования и разрушения сферопластика
Syntactic foam straining and failure computational modelling results
В качестве примера, иллюстрирующего возможности структурной модели, приведем результаты численных и экспериментальных исследований одного из разрабатывемых в настоящее время сферопла-стиков марки С-6Г.
В этом сферопластике применяются микросферы марки МС-ВП, гистограмма распределения которых по диаметрам приведена на рис. 2, а зависимость толщины их стенки от диаметра - на рис. 3. В качестве полимерной матрицы используется
Таблица 2. Характеристики материалов микросфер и полимерной матрицы Table 2. Properties of microspheres and polymeric matrix materials
Наименование характеристики и ее размерность Эпоксидное связующее Алюмоборосиликатное стекло (Е-стекло)
Плотность, кг/м3 1140 2600
Модуль упругости, ГПа 4,68 65,0
Объемный модуль упругости, ГПа 5,2 -
Предел прочности при одноосном сжатии, МПа 177,5 3000
Коэффициент Пуассона 0,35 0,20
P, МПа 120
100 80 60 40 20
0
1
c) 1 1 d) 108 МПа 05 МПа^р-о-
/Ъ) ЮС ) МПа
75 МПа
a)
9,%
q, г/см 0,5
0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2
a) 75 МПа
b) 100 МПа с) 105 МПа1
d) 108 МПа
20
40
60
80
P, МПа
b)
Рис. 6. Графики зависимостей объемной деформации 9 (а) и плавучести единицы объема q (Ь) сферопластика С-6Г от уровня действующего давления P
Fig. 6. Plots of С-6Г syntactic foam bulk strain 9 (a) and buoyancy q (b) versus the applied pressure P
Рис. 7.
Распределение разрушенных микросфер (обозначены как •) по среднему сечению в плоскости XY моделируемого образца сферопластика в зависимости от величины давления. Показатели давления, МПа: a) 75; b) 100; с) 105; d) 108
Fig. 7. Distribution of destroyed microspheres (identified as •) over the middle section in XY plane of syntactic foam specimen model as a function of pressure value. Pressure values, MPa: a) 75; b) 100; с) 105; d) 108
Рис. 8.
Распределение разрушенных микросфер (обозначены как •) по среднему сечению в плоскости YZ моделируемого образца сферопластика в зависимости от величины давления. Показатели давления, МПа: a) 75; b) 100; с) 105; d) 108
Fig. 8. Distribution of destroyed microspheres (identified as •) over the middle section in YZ plane of syntactic foam specimen model as a function of pressure value. Pressure values, MPa: a) 75; b) 100; с) 105; d) 108
эпоксидное связующее. Характеристики стекла микросфер и связующего, закладываемые в расчет, приведены в табл. 2.
Результаты моделирования объемного деформирования сферопластика С-6Г при действии гидростатического давления показаны на рис. 6 в виде графиков зависимостей объемной деформации 9 и плавучести единицы объема q от уровня действующего давления Р.
На графике Р = Р(9) (рис. 6) точками обозначены сечения моделируемого образца сферопластика при разных уровнях давления. На этих сечениях, которые приведены на рис. 7 и 8, показано, как развивается процесс разрушения микросфер в зависимости от величины давления. Из представленных результатов видно, что этот процесс приобретает лавинообразный характер, начиная с Р > 100 МПа, когда начинается значительный
рост объемной деформации и плавучесть катастрофически уменьшается.
Микросферы начинают разрушаться вблизи наружной поверхности моделируемого объема с достаточно быстрым развитием их разрушения вглубь образца материала. Такая направленность процесса разрушения сферопластика хорошо кор-релируется в качественном отношении с картиной развития повреждений, сопровождаемых водопо-глощением, которая получена с помощью рентгеновского вычислительного томографа на образцах, испытывавшихся при длительном действии давления относительно высокого уровня (рис. 1).
Сравнение результатов численного моделирования с результатами испытаний образцов сферопластика С-6Г при кратковременном нагру-жении гидростатическим давлением показано на рис. 9 и 10.
P, МПа 120
100 80 60 40 20
/
/
« /
r' г
m ■■■■»— расчет по модели • эксперимент
ii
0
6 9, %
Рис. 9. Расчетная кривая зависимости объемной деформации сферопластика С-6Г от давления и данные замерений деформации при испытаниях образцов этого материала
Fig. 9. С-6Г syntactic foam bulk strain - pressure predicted curve and strain measurement data during tests of this material
На графике зависимости объемной деформации от давления (рис. 9) приведены расчетная кривая деформирования, полученная с помощью построенной структурной модели (перенесена с рис. 6a), и кривая деформирования (в виде точек) экспериментально замеренной деформации при разных уровнях давления. Измерение деформаций производилось с использованием тензорезисторов, кото-
рые наклеивались в двух взаимно перпендикулярных направлениях посередине каждой грани образца кубической формы размерами 150*150x150 мм. Результаты показаний тензорезисторов осредня-лись, и вычислялась объемная деформация образца на каждом уровне давления. Всего было испытано таким образом 9 образцов сферопластика. Из представленных результатов видно, что структурная модель достаточно хорошо прогнозирует изменение объемной деформации сферопластика в зависимости от величины давления и позволяет определить гидростатическую прочность сферопластика С-6Г, которая составляет около Рк = 106 МПа.
Сравнение расчетного и экспериментальных значений гидростатической прочности показано на рис. 10. Т.к. величина объемной деформации при разрушении образцов сферопластика под действием давления неизвестна, то с помощью структурной модели была проведена серия расчетов, результаты которых аппроксимированы в виде прямых линий, представляющих собой зависимости гидростатической прочности Рк от коэффициента заполнения объема (рис. 10а) и плотности сферопластика р (рис. 106). Исходя из расчетной величины гидростатической прочности, с помощью этих зависимостей были определены величина X, @ 0,69 и средняя плотность сферопластика р @ 560 кг/м3. Показанные на рис. 106 экспериментальные значения гидростатической прочности сферопластика С-6Г группируются вокруг точки с координатами
Pr, МПа 125
120 115 110 105 100 95 90
62
~I I
расчет по модели
А,, = 69%
64
66
68
70
72 А,,, %
a)
Рд,МПа 125
120
520
: 560 кг/м3
540
560
580
эксперимент среднее значение по эксперименту расчет по модели
600 р, кг/м
b)
Рис. 10. Графики зависимостей гидростатической прочности сферопластика от а) объемного содержания микросфер и b) его плотности в сравнении с результатами экспериментов (сферопластик марки С-6Г)
Fig. 10. Plots of syntactic foam hydrostatic strength versus a) microspheres volume fraction and b) syntactic foam density in comparison with experimental results (grade С-6Г syntactic foam)
PR, МПа PR, МПа
Рис. 11. Графики зависимостей гидростатической прочности сферопластика от а) объемного содержания микросфер и b) его плотности в сравнении с результатами экспериментов (сферопластик марки С-11Г)
Fig. 11. Plots of syntactic foam hydrostatic strength versus от a) microspheres volume fraction and b) syntactic foam density in comparison with experimental results (grade С-11Г syntactic foam)
PR = 108 МПа и p @ 560 кг/м3, а их среднее значение лежит достаточно близко к ней. Определение гидростатической прочности сферопластика С-6Г проводилось на 10 образцах кубической формы размерами 50^50x50 мм при кратковременном нагружении гидростатическим давлением до разрушения.
Аналогичным образом было проведено сравнение результатов испытаний образцов сферопластика марки С-11Г с результатами расчетов (рис. 11). Представленные результаты испытаний характеристик сферопластиков были получены в рамках данной работы на оборудовании Крыловского государственного научного центра.
Таким образом, приведенные результаты теоретических и экспериментальных исследований свидетельствуют о том, что построенная структурная модель деформирования и разрушения сферопластика при действии гидростатического давления в целом правильно отражает природу физических процессов, наблюдаемых в структуре материала при его нагру-жении, и позволяет с уверенностью прогнозировать его характеристики (прочность, объемную деформацию и плавучесть) исходя из свойств исходных компонентов - микросфер и полимерной матрицы.
Заключение
Conclusion
Разработана структурная модель деформирования и разрушения гетерогенных материалов со сферическими включениями типа сферопластика при дей-
ствии всестороннего гидростатического давления. На базе созданного математического аппарата разработан вычислительный алгоритм, который реализован в программном коде на языке С++. Верификация результатов расчетов проводилась путем сравнения с результатами испытаний при кратковременном нагружении гидростатическим давлением до разрушения образцов одной из марок сферопластика. Анализ полученных результатов показывает, что построенная структурная модель достаточно достоверно описывает процессы развития повреждений, идущие в сферопластике при всестороннем сжатии, и его разрушение вплоть до полной потери им плавучести.
Практическая ценность модели заключается в возможности надежно прогнозировать характеристики сферопластика (прочность, объемную деформацию и плавучесть) исходя из свойств исходных компонентов - микросфер и полимерной матрицы, а также решить обратную задачу - сформулировать требования к характеристикам этих компонентов, исходя из заданных требований к сферопластику.
Список использованной литературы
1. Лактионов Ю.В., Телегин В.А. Математическое моделирование гидростатической прочности сферопластиков // Пластические массы. 1987. № 4. С. 16-18.
2. Деформирование и разрушение сферопластов / Аннин Б.Д., БаевЛ.В. [и др.]; Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1985. Т. 2. 255 с.
3. Кржечковский П.Г., Павлищев В.И., Никитин В.А. Моделирование на ЭВМ процесса разрушения среды
с полыми сферическими включениями // Механика композитных материалов. 1987. № 1. С. 77-83.
4. Кржечковский П.Г., Павлищев В.И. Микромеханика разрушения неоднородной среды, армированной полыми сферическими включениями при всестороннем равномерном сжатии // Проблемы прочности. 1988. № 8. С. 92-97.
5. A critical evaluation of micromechanical models for syntactic foams / Bardella L., Sfreddo M., Ventura C. [et al.] // Mechanics of Materials. 2012. Vol. 50. P. 53-69. DOI: 10.1016/j.mechmat.2012.02.008.
6. Failure analysis of syntactic foams: A computational model with cohesive law and XFEM / Nian G., Shan Y., Xu Q. [et al.] // Composites. Part B: Engineering. 2016. Vol. 89. P. 18-26. DOI: 10.1016/j.compositesb.2015.10.044.
7. Huang R. Mechanical behavior and failure mechanisms in polymeric syntactic foams: thesis ... Dr. of Philosophy / Huang Ruoxuan; School of mechanical and aerospace engineering. Singapore: Nanyang Technological Univ., 2016. 175 p. DOI: 10.32657/10356/67058.
8. Федонюк Н.Н., Додонов П.А. Напряженное состояние изотропной среды со сферическими включениями при всестороннем сжатии // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Вып. 1(391). С. 64-75.
9. Додонов П.А., Федонюк Н.Н. Моделирование структуры полимерного композиционного материала, армированного полыми стеклянными микросферами // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Вып. 2(392). С. 71-78.
10. Исследование влияния характеристик и взаимного расположения сферических включений на напряженное состояние среды / Берденников Н.С., Додонов П.А., ЗадумовА.В., ФедонюкН.Н. // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Спец. вып. 1. С. 101-107.
11. Додонов П.А., Рыжкин А.Е. Расчетное исследование устойчивости микросфер в структуре сферопластика при всестороннем сжатии // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Спец. вып. 2. С. 119-124.
12. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. Москва: Мир, 1982. 334 с.
13. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Ко-ноплев. Тверь: ТвГТУ, 2015. 107 с.
14. Прочность синтактика при всестороннем сжатии / Горенберг А.Я., Иванова-Мумжиева В.Г., Купер-ман А.М. [и др.] // Олигомеры - 2017: сборник трудов XII Международной конференции по химии и физикохимии олигомеров. Москва; Черно-
головка: ИПХФ РАН, 2017. Т. 2: Тезисы докладов. С. 128.
15. Влияние фракционирования стеклянных микросфер на упруго-прочностные свойства синтактиков / Бай-ков А. В., Корохин Р. А., Солодилов В.И. [и др.] // Композиты и наноструктры. 2017. Т. 9, № 1. С. 1-11.
References
1. Y. Laktionov, V. Telegin. Mathematical modeling of hydrostatic strength in syntactic foams // Plastics. 1987. № 4. P. 16-18 (in Russian).
2. Straining and failure of syntactic foams / B. Annin, L. Baev [et al.]; Institute of Hydrodynamics, Siberian branch of USSR Academy of sciences, Novosibirsk, 1985. V. 2. 255 p. (in Russian).
3. P. Krzhechkovsky, V. Pavlischev, V. Nikitin. Computer modeling of failure process of a medium with hollow spherical inclusions // Mechanics of composites. 1987. № 1. P. 77-83 (in Russian).
4. P. Krzhechkovsky, V. Pavlischev. Failure micromechan-ics of heterogeneous medium, reinforced with hollow spherical inclusions under omnidirectional uniform compression // Strength problems. 1988. № 8. P. 92-97 (in Russian).
5. A critical evaluation of micromechanical models for syntactic foams / L. Bardella, M. Sfreddo, C. Ventura [et al.] // Mechanics of Materials. 2012. Vol. 50. P. 53-69. DOI: 10.1016/j.mechmat.2012.02.008.
6. Failure analysis of syntactic foams: A computational model with cohesive law and XFEM / G. Nian, Y. Shan, Q. Xu [et al.] // Composites. Part B: Engineering. 2016. Vol. 89. P. 18-26. DOI: 10.1016/j.compositesb.2015.10.044.
7. Huang R. Mechanical behavior and failure mechanisms in polymeric syntactic foams: thesis . Dr. of Philosophy / Huang Ruoxuan; School of mechanical and aerospace engineering. Singapore: Nanyang Technological Univ., 2016. 175 p. DOI: 10.32657/10356/67058.
8. N. Fedonyuk, P. Dodonov. Stressed state of isotropic medium with spherical inclusions under omnidirectional pressure // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020. Vol. 1(391). P. 64-75 (in Russian).
9. N. Fedonyuk, P. Dodonov. Modelling of polymeric composite structure, reinforced with hollow glass micro-spheres // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020. Vol. 2(392). P. 71-78 (in Russian).
10. Spherical inclusions, their arrangements and effect upon material stresses / N. Berdennikov, P. Dodonov, A. Zadu-mov, N. Fedonyuk // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020. Special edition 1. P. 101-107 (in Russian).
11. P. Dodonov, A. Ryzhkin. Analytical study on stability of microspheres in syntactic foams structure under hydro-
static compression // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020. Special edition 2. P. 119-124 (in Russian).
12. RichardM. Christensen. Mechanics of Composite Materials. Moscow: Mir publishing house, 1982. 334 p. (in Russian).
13. Computer implementation of solutions to scientific, technical and educational problems: study guide / V. Belov, I. Obraztsov, V. Ivanov, Y. Konoplyov. Tver: Tver State Techical University, 2015, 107 p. (in Russian).
14. Syntactic material strength under omnidirectional compression / A. Gorenberg, V. Ivanova-Mumzhiyeva, A. Kuperman [et al.] // Oligomers - 2017: Proc. of the XII International Conference on Chemistry and Phys-icochemistry of Oligomers. Moscow, Chernogolovka, Russian Academy of Sciences Institute of chemical physics problems, 2017. V. 2. Abstracts. P. 128 (in Russian).
15. Effect of glass microspheres fractionation on elastic and strength properties of syntactics / A. Baykov, R. Korokhin, V. Solodilov [et al.] // Composites and nanostructures. 2017. V. 9. № 1. P. 1-11 (in Russian).
Сведения об авторах
Федонюк Николай Николаевич, к.т.н., начальник лаборатории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Тел.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com. https://oicid.org/0000-0001-8835-8901. Додонов Павел Анатольевич, инженер 1 категории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Тел.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.
About the authors
Nikolay N. Fedonyuk, Cand. Sci. (Eng.), Head of Laboratory, Krylov State Research Centre. Address: 44, Mos-kovskoe sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (921) 928-57-39. E-mail: fednik46@yahoo.com. https://orcid.org/0000-0001-8835-8901. Pavel A. Dodonov, Engineer 1st Category, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoe sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (951) 654-01-42. E-mail: dodonovpavel@gmail.com.
Поступила / Received: 08.02.21 Принята в печать / Accepted: 18.05.21 © Федонюк Н.Н., Додонов П.А., 2021
