CC BY
50
УДК 37.013
СТРУКТУРА РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
© Р. Н. Валиуллина, Р. Т. Салихов*
Муниципальное образовательное учреждение №4 г. Туймазы Россия, Республика Башкортостан, 452750 г. Туймазы, ул. Луначарского, 24.
Тел: +7 (34782) 525 12.
*'Email: [email protected]
Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися школ усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. На конкретных примерах показана структура процесса решения задач. Рассмотрены стандартные и нестандартные задачи, план и процесс их решения.
Ключевые слова: логическое мышление, шения нестандартной задачи.
Наряду с изучением теории в школьном математическом образовании важную роль играет решение задач и упражнений. Решение задач имеет целью не только показать учащимся приложение изученной теории на практике, но и глубже осознать изучаемый теоретический материал, что, несомненно, в целом способствует развитию мышления. Основными целями школьного образования являются интеллектуальное развитие учащихся, в частности, формирование качества мышления, характерного для математической деятельности, и, в более широкой перспективе, необходимых человеку для полноценной жизни в обществе; овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования [1].
Одной из важнейших воспитывающих функций задач является формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения. Будучи учителями математики в средней школе и имея ежедневную практическую работу с учениками, авторы убедились, что в процессе решения задач имеется возможность наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, т.е. ее прикладную направленность. Иллюстрируя применение математики к решению практических задач, можно показать, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством познания. Ориентируя школьников на поиски красивых и математически изящных решений, нам удалось способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры, а также выявить одаренность отдельных учеников. Отметим, что В. А. Сухомлинский в работе «Павлышская средняя школа» выработал научную и практическую систему работы по воспитанию одаренной личности [2]. Практическое умственное воспитание одаренного ребенка, согласно этой работе, возможно
виды задач, процесс решения задачи, поиск ре-
только через приобретение им знаний и формирование у него научного мировоззрения, в постоянном обогащении научными знаниями и применении их в практике [2-3]. Знания, приобретенные учащимися, выступают как инструмент, с помощью которого ученик сознательно осуществляет новые шаги в познании окружающего мира, самостоятельном изучение явлений, проведении опытов. В. А. Сухомлинский помогает формировать умственные способности ребенка через развитие его наблюдательности, пытливости (активного отношения к явлениям окружающего мира, стремления познавать и знать), системности (целенаправленного отбора объектов познания, понятий, умозаключений), емкости (умения хранить в памяти знания и ориентироваться в интеллектуальных богатствах), дисциплинированности, гибкости, самостоятельности и критичности. Чем больше ученик думая исследует и исследуя думает, тем легче ему учиться по мере овладения новыми знаниями [4].
Нами разработаны следующие блоки в структуре решения математических задач:
- что значит решить математическую задачу?
- структура процесса решения задач;
- стандартные задачи и их решения;
- нестандартные задачи и их решение.
I. Что значит решить математическую задачу?
Решить задачу - это значит найти ее ответ. Кто-то, получив задачу и затем узнав каким-либо способом ее ответ (например, посмотрев в ответах задачника) просто сообщает решение. Можно ли считать, что он решил задачу? Чтобы разобраться в этом, внимательно приглядимся к процессу решения следующей задачи.
Задача 1. Длины оснований трапеции равны 4 см и 10 см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из диагоналей [5].
Сначала построим схематическую запись задачи:
Ч—Дано: АВ || СБ, АМ=МД ВЫ^С, М' ' 4 N АВ=10 см, СО=4 см.
г К-Л Найти: КМ, КЫ
А в
Решение. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям MN||AB и MN||CD. Диагональ AC делит трапецию на 2 треугольника. Рассмотрим каждый из них. В ДABC отрезок KN является средней линией, KN как часть отрезка NM параллельна AB, точка N по условию есть середина стороны BC, средняя линия треугольника равна половине основания. Значит, ^ = / AB, т.к. AB = 10 см, то ^ = 5 см. Аналогично, рассматривая ДACD, можно убедиться, что KM есть средняя линия этого треугольника, и поэтому KM = / CD, CD= 4 см, значит, KM = 2 см. Итак, искомые длины отрезков найдены, и задача решена. Из приведенного примера можно сделать следующий вывод. Решить математическую задачу -значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче - ее ответ. В этом заключается сущность решения математических задач.
II. Структура процесса решения задач
Получив задачу, первое, что нужно сделать -это определить ее тип, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т.е. провести тот анализ задачи. Этот анализ составляет первый этап процесса решений задачи - он должен быть соответствующим образом оформлен и записан учащимся. Для этого используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения. Анализ задачи и построения ее систематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения. Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить - четвертый этап процесса решения - этап осуществления (изложения) решения. После того как решение осуществлено и изложено, необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого проводится проверка решения, что составляет пятый этап процесса решения. При решении многих задач, кроме проверки, необходимо произвести исследование задачи, установить, при каких условиях задача имеет решение, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача не имеет решения и т.д. Все это составляет шестой этап процесса решения. Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи - это седьмой этап процесса решения. В учебных и познавательных целях
полезно произвести анализ выполненного решения, установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения. Все это составляет восьмой этап решения. Итак, весь процесс решения задачи в тезисном виде выглядит следующим образом:
1 этап - анализ задачи;
2 этап - схематическая запись задачи;
3 этап - поиск способа решения задачи;
4 этап - осуществление решения задачи;
5 этап - проверка решения задачи;
6 этап - исследование задачи;
7 этап - формирование ответа задачи;
8 этап - анализ решения задачи.
Приведенная выше схема процесса решения задач является лишь примерной. При фактическом решении указанные там этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Так, в процессе анализа задачи обычно производится и поиск решения. При этом полный план решения устанавливается не до осуществления решения, а в его процессе. Тогда поиск решения ограничивается лишь нахождением идеи решения. Порядок этапов также иногда может меняться. Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они имеются (в том или ином виде) в процессе решения любой задачи. Это - этапы анализа задачи, поиска способа ее решения, осуществления решения, проверки решения и формулирования ответа. Остальные три этапа (схематическая запись задачи, исследование задачи и заключительный анализ решения) являются не обязательными и в процессе решения многих задач не отсутствуют (по крайней мере, в явном виде). Рассмотрим эти этапы решения математических задач на конкретном примере.
Задача 2. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки [6]?
1. Анализ задачи.
В задаче речь идет о двух объектах - лодке и плоте. Лодка имеет какую-то собственную скорость, как и река, по которой плывут и лодка, и плот. Поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6 ч), чем против течения (8 ч). Эти скорости - собственная скорость лодки и скорость течения реки - в задаче не даны (они неизвестны), так же, как неизвестно расстояние между пристанями. Требуется найти время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.
2. Схематическая запись задачи.
6ч
А --- В
8ч
3. Поиск способа решения задачи.
Нужно найти время, за которое плот проплывет
расстояние между пристанями А и В. Чтобы найти время, необходимо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Обозначим расстояние АВ буквой (км), а скорость течения реки - а (км/ч). Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна: положим, что она равна V (км/ч). Отсюда возникает план решения.
4. Осуществление решения задачи.
Пусть АВ = 5 км, скорость течения реки а км/ч,
собственная скорость лодки V км/ч, искомое время движения плота на пути 5 равно х. Скорость лодки по течению реки равна (V + а) км/ч. За 6 ч лодка прошла путь АВ в 5 км. Следовательно,
6(У + а) = 5 (1)
Против течения эта лодка идет со скоростью (V - а) км/ч и путь АВ в 5 км она проходит за 8 ч, поэтому
8^ - а) = 5 (2)
Плот, плывя со скоростью а км/ч, покрыл расстояние 5 за х ч, следовательно
ах = 5 (3)
Уравнения (1)-(3) образуют систему уравнений относительно неизвестных 5, а, V, х. Требуется найти х, остальные неизвестные исключим. Для этого из уравнений (1) и (2) найдем V + а = 5/6, V -а = 5/8.
Вычитая из первого уравнения второе получим: 2а = 5/6 - 5/8, а = 5/48.
Подставим найденное выражение для а в уравнение (3)
(5/48)х = 5, 5 ф 0.
Разделив обе части уравнения на 5, получим х = 48. 5. Проверка решения.
Плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. Скорость лодки по течению равна 5/6 км/ч, а против течения 5/8 км/ч. Чтобы убедиться в правильности решения, проверим, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:
1) От скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, (5/6) - (5/48).
2) К скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, (5/8) + (5/48).
(5/6) - (5/48) = (5/8) + (5/48) (75/48) = (75/48).
Задача решена правильно.
6. Исследование задачи. В данном случае этот этап решения не нужен.
7. Ответ: плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. 8. Анализ решения.
Мы свели решение задач к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Нас интересовала лишь одна из этих неизвестных, поэтому приведенное решение не самое удачное. Можно
предложить другое решение. Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против - за 8 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит 1/6 часть этого расстояния, а против - 1/8. Разность между ними (1/6 - 1/8 = 1/24) есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит, плот за 1 ч проплывает 1/48 часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние он проплывает за 48 ч.
III. Стандартные задачи и их решения
Решение задачи состоит из последовательности шагов, каждый из которых является применением некоторых общих положений математики к условиям задачи или их следствиям. Отыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделать для того, чтобы решить задачу. Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила или эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, называются стандартными. Правила, пользуясь которыми можно найти последовательность шагов для решения любой задачи некоторого вида в математике, излагают в различных формах. Приведем некоторые примеры таких правил.
1) Словесное правило
Степень произведения равна произведению степеней сомножителей. Это правило позволяет составить такую программу - последовательность шагов для решения любой задачи нахождения степени произведения:
а) установить все сомножители произведения;
б) найти данную степень каждого из этих сомножителей;
в) результаты шага (б) перемножить.
Например: найти (3а2Ь3)4 (Задача 3).
а) устанавливаем, что заданное произведение состоит из трех сомножителей: 3, а2 и Ь3.
б) находим 4-ую степень каждого из этих сомножителей
34 = 81, (а2)4 = а8, (Ь3)4 = Ь12
в) находим произведение результатов предыдущего шага: 81а8Ь12.
Ответ: (3а2Ь3)4 = 81а8Ь12.
2) Правило-формула
Корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0, если а ф 0, Б > 0, где Б = Ь2 - 4ас, х = (-Ь±Б1/2)/2а. В этом правиле не указана последовательность шагов для решения квадратного уравнения. Легко указать эту последовательность на основе указанного правила-формулы:
а) проверка условия, а ф0;
б) нахождение Б = Ь2 - 4ас;
в) проверяем условие Б > 0;
г) если условие выполнено, то вычисляем корни по формуле х = (-Ь±Б1/2)/2а.
Приведенная последовательность шагов может служить программой для решения любого квадратного уравнения. Например, для решения уравнения 2х2-3х+1=0 (Задача 4) получаем следующую последовательность шагов:
а) а = 2 ф 0;
б) Б = Ь2 - 4ас = (-3)2-4х2х1 = 1;
в) Б = 1 > 0;
г) х = (3±11/2)/(2х2) = (3±1)/4
X: = 1; х2 = /. Ответ: 1; /
3) Правило-тождество
Квадрат двучлена равен сумме квадрата первого члена, удвоенного произведения первого члена на второй и квадрата второго члена:
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
С этим тождеством можно составить такую программу-последовательность шагов для решения задачи нахождения квадратного двучлена:
а) найти первый член двучлена;
б) найти второй член двучлена;
в) возвести первый член двучлена в квадрат;
г) возвести второй член двучлена в квадрат;
д) составить произведение первого и второго двучленов;
е) результат шага д) удвоить;
ж) полученные результаты шагов (в), (г), (е) сложить.
Эта последовательность шагов является программой для решения любой задачи нахождения квадрата двучлена.
Например, для нахождения (2а3 - 3Ь2)2 (Задача 5) в соответствии с этой программой нужно произвести следующие действия:
а) первым членом двучлена является 2а3;
б) вторым членом двучлена является -3Ь2;
в) квадрат первого члена есть (2а3)2;
г) квадрат второго члена есть (-3Ь2)2;
д) произведение первого и второго двучленов (2а3)(-3Ь2);
е) удвоенное произведение этих членов 2(2а3)(-
3Ь2)
ж) сумма результатов (2а3)2+2(2а3)(-3Ь2)+(-3Ь2)2.
Для полного решения этой задачи необходимо также использовать правила возведения одночленов в степень и умножения одночленов. Произведя перечисленные операции, получим ответ: 4а6-12а3Ь2+9Ь4.
4. Правило-теорема
Многие теоремы могут служить правилами для решения задач соответствующего вида. Например, теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и ее длина равна полусумме длин оснований [5]. Эта теорема служит правилом решения задач для нахождения
длины средней линии трапеции по ее основаниям. Последовательность шагов для решения таких задач простая:
1) устанавливается длина оснований трапеции;
2) находится их полусумма.
5. Правило-определение
Например, решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы [7]. На основе этого определения можно составить такую программу решения системы неравенств с одной переменной:
1) Решить каждое из неравенств системы и получить для каждого неравенства числовой промежуток - его решение.
2) Найти пересечение полученных числовых промежутков. Найденное пересечение и будет решением системы неравенств.
Рассмотрим конкретную задачу (Задача 6): *
7х+3^-5х-19
- 4х+1^ 22-3-х 6<х2-х(х-3)
В соответствии с вышеуказанной программой решение системы неравенств будет состоять из последовательности следующих шагов:
1) Решение первого неравенства системы:
7х + 3 > 5х - 19, 2х > -22, х > -11.
2) Решение второго неравенства системы:
4х + 1< 22 - 3х, 7х < 21, х < 3.
3) Решаем третье неравенство системы:
6 < х2 - х(х - 3), 6 <3х, х > 2.
4) Находим пересечение числовых промежутков:
[-11; +<»), (-»;3], (2; +<»).
/ /
-11 1 з
Получим промежуток (2; 3].
IV. Нестандартные задачи и их решение
Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Не следует путать их с задачами повышенной сложности. Условия задач повышенной сложности таковы, что позволяют ученикам довольно легко выделить тот математический аппарат, который нужен для решения задачи по математике. Учитель контролирует процесс закрепления знаний, предусмотренных программой обучения решением задач этого типа. Напротив, нестандартная задача предполагает наличие исследовательского характера. Однако, если решение задачи по математике для одного учащегося является нестандартным, поскольку он незнаком с методами решения задач данного вида, то для другого - решение задачи происходит стандартным образом, так как он уже решал такие
задачи и не одну. Одна и та же задача по математике может быть нестандартной в 7 классе, а в 8 классе -уже обычной (и даже не повышенной сложности). Итак, если при решении задачи учащийся не знает, на какой теоретический материал ему опираться, такую задачу можно назвать нестандартной на данный период времени. Нестандартные задачи способствуют развитию логического мышления. Кроме того, они являются мощным средством активизации познавательной деятельности, т.е. вызывают у детей огромный интерес и желание работать.
Задача 7. При каких значениях переменной у сумма дробей у/(у - 3) и 6/(у + 3) равна их произведению? [6].
Решение. Находим сумму заданных дробей: у/(у - 3)+6/(у + 3) = (у2 + 9у - 18)/(у2 - 9)
Найдем произведение дробей:
у/(у - 3)6/(у + 3) = 6у/(у2 - 9).
Сравнив полученные сумму и произведение дробей, обнаружим, что их знаменатели одинаковы, значит, их значения будут равны при тех значениях переменной у, при которых равны значения числителей, а значение общего знаменателя не равно нулю. Нам нужно решить уравнение у2 + 9у - 18 = 6у при условии у2 + 9 ф 0. Это уравнение имеет два корня 3 и -6, из которых только второй удовлетворяет условию у2 + 9 ф 0. Получаем ответ: -6.
Процесс решения этой задачи состоит в ее разбиении на подзадачи:
1) Нахождение суммы двух дробей.
2) Нахождение произведения двух дробей.
3) Решение квадратного уравнения.
4) Проверка выполнения условия неравенства нулю выражения с переменной при некоторых значениях переменной.
Решив эти 4 стандартные задачи, мы в итоге решаем и исходную нестандартную задачу. Приведенный пример показывает, что процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:
1. Сведение нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче.
2. Разбиение нестандартной задачи на несколько нестандартных подзадач.
Перечисленными примерами не ограничиваются варианты решения математических задач.
Выводы
Наблюдения показывают, что математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Чтобы научиться решать математические задачи, необходимо научиться их анализировать -уметь расчленять задачу на элементарные условия и требования, в каждом элементарном условии - видеть объект и его характеристику (а если объектов в условии несколько, то выявлять их отношения). Необходимо установить характер каждого требования и определить вид задачи. Далее ученик должен хорошо усвоить, что решение любой задачи - есть последовательное применение каких-то знаний к условиям данной задачи, полученных из этих условий и следствий до тех пор, пока не будут выявлены такие следствия, которые являются ответами на требования задачи. Необходимо уметь использовать основные методы решения задачи: разбиение задачи на подзадачи, преобразование задачи и методы вспомогательных элементов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Валиуллина Р. Н., Салихов Р. Т // Вестник БашГУ, 2013. Т. 18. №4. С. 1312-1314.
2. Сухомлинский В. А. Павлышевская средняя школа. Т. 2. М.: Педагогика, 1980. 384 с.
3. Губайдуллин М. И. Модернизация образования: проблемы повышения качества. Уфа: БИРО, 2008. 211 с.
4. Рабочая концепция одаренности / под ред. Д. Б. Богоявлин-ской. 2-е изд. М.: ИЧП изд-во магистр, 2003. 94 с.
5. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия 7-9 кл. М.: Просвещение, 2011. 213 с.
6. Алгебра. 8 кл. В 2-х ч. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. 14-е изд. М.: Мнемозина, 2012. 280 с.
7. Алгебра. 7 кл. В 2-х ч. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. 16-е изд. М.: Мнемозина, 2012. 271 с.
8. Федоров А. А., Родионова С. Е. Практическая профессиональная направленность примерных образовательных программ двухуровневого университетского филологического образования для третьего поколения государственных образовательных стандартов // Вестник Башкирского университета. 2008. Т. 13. № 4. С. 1129-1132.
9. Федоров А. А. Идейно-эстетические искания в английской прозе 80-90 XIX в. И драматургия Г. Ибсена. Уфа, 1987.
10. Федоров А.А., Елина Е.Г., Закирьянов К.З., Ковтун Е.Н., Родионова С.Е., Чувакин А.А., Григорьева Т.В. Разработка учебно-методической документации, обеспечивающей реализацию федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения по направлению ВПО «ФИЛОЛОГИЯ» (вузовская основная образовательная программа, образцы рабочих учебных программ) / ответственный редактор: Федоров А. А.. Уфа, 2008.
Поступила в редакцию 01.08.2016 г.
ISSN 1998-4812
BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2016. T. 21. №4
1147
STRUCTURE OF SOLUTION OF SCHOOL MATHEMATICAL EXERCISES
ON CERTAIN EXAMPLES
© R. N. Valiullina, R. T. Salikhov*
Secondary school of Tuymazy 24 Lunacharsky St., 452750 Tuymazy, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (34782) 525 12.
*Email: [email protected]
Solution of mathematical exercises is the most important mode of studying activity aimed at the development of the pupils' mathematical knowledge, experience, and skills. In the present article, the authors show the structure of the solution process using certain examples. The main elements of the solution are considered such as analysis of condition, schematic representation of condition, way of solvation, and analysis of the found answer. The standard and advanced mathematical tasks describing differences in the processes of their solution were included into consideration as well. As for the standard mathematical exercises, they can be divided according to the underlying rules that can be based on textual information, formulas, identities, theorems, and definitions. In the case of the advanced mathematical exercises, the authors suppose that the simplest way of their solution is the partition of the initial task on the subtasks. This partition should be performed until the pupil obtain the set of the standard exercises that can be solved using the typical methodology. The experience of the application of the mentioned methods in secondary school is discussed.
Keywords: logical thinking, types of tasks, process of solution, advanced mathematical
tasks.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Valiullina R. N., Salikhov R. T. Vestnik BashGU, 2013. Vol. 18. No. 4. Pp. 1312-1314.
2. Sukhomlinskii V. A. Pavlyshevskaya srednyaya shkola. Vol. 2 [Secondary school of Pavlyshevo. Vol. 2]. Moscow: Pedagogika, 1980.
3. Gubaidullin M. I. Modernizatsiya obrazovaniya: problemy povysheniya kachestva [Modernization of education: problems of improving the quality]. Ufa: BIRO, 2008.
4. Rabochaya kontseptsiya odarennosti [The working concept of giftedness]. Ed. D. B. Bogoyavlinskoi. 2 ed. Moscow: IChP izd-vo magistr, 2003.
5. Atanasyan L. S., Butuzov V. F. Geometriya 7-9 kl. [Geometry 7-9 grade]. Moscow: Prosveshchenie, 2011.
6. Algebra. 8 kl. V 2-kh ch. Pt. 2: Zadachnik dlya obshcheobrazovatel'nykh uchrezhdenii [Algebra. 8 grade. In 2 parts. Part 2: Exercise book for general education institutions] / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, E. E. Tul'chinskaya. 14 ed. Moscow: Mnemozina, 2012.
7. Algebra. 7 kl. V 2-kh ch. Pt. 2: Zadachnik dlya obshcheobrazovatel'nykh uchrezhdenii [Algebra. 7 grade. In 2 parts. Part 2: Exercise book for general education institutions] / A.G. Mordkovich, T. N. Mishustina, E. E. Tul'chinskaya. 16 ed. Moscow: Mnemozina, 2012.
8. Fedorov A. A., Rodionova S. E. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2008. Vol. 13. No. 4. Pp. 1129-1132.
9. Fedorov A. A. Ideino-esteticheskie iskaniya v angliiskoi proze 80-90 XIX v. I dramaturgiya G. Ibsena [The ideological and aesthetic trends in English prose of the 80-90s of the 19th century and the drama of G. Ibsen]. Ufa, 1987.
10. Fedorov A.A., Elina E.G., Zakir'yanov K.Z., Kovtun E.N., Rodionova S.E., Chuvakin A.A., Grigor'eva T.V. Razrabotka uchebno-metodicheskoi dokumentatsii, obespechivayushchei realizatsiyu federal'nogo gosudarstvennogo obrazovatel'nogo standarta tret'ego pokoleniya po napravleniyu VPO «FILOLOGIYa» (vuzovskaya osnovnaya obrazovatel'naya programma, obraztsy rabochikh uchebnykh programm) [Development of methodical documentation supporting the realization of the Federal State Educational Standard of third generation in the direction of higher professional education in philology (the main educational university program, examples of educational programs)] / otvet-stvennyi redaktor: Fedorov A. A.. Ufa, 2008.
Received 01.08.2016.
