CC BY
3УДК: 517:957
MSC2010: 35K55, 35K61, 35C15
СТРУКТУРА РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА © В. А. Лукьяненко, Ю. А. Хазова
КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация e-mail: [email protected], [email protected]
Structure of solutions of the nonlinear equations in ring resonator.
Lukianenko V. A., Khazova Yu. A.
Abstract. A mathematical model of the process of formation of phase spatial structures in the cross section of a coherent light beam in a non-linear optical system with spatially distributed feedback as a nonlinear ring resonator is considered.
The simultaneous consideration of diffraction and non-linearity results in a variety of spatial structures. Nonlinear wave dynamics of spatially distributed optical systems is represented by the following phenomena: spatial bistability and multi-stability, formation of regular spatial diffraction structures, formation of optical vortices, solitons, dissipative structures, etc.
The model of a ring resonator containing a layer of a nonlinear medium with cubic nonlinearity is based on the study of two related equations: the equation which are describing the time dynamics of phase modulation of a light wave in a nonlinear medium, and equations which are describing the time dynamics of the complex amplitude of the light field within the resonator, taking into account the diffraction.
This model takes into account the local transverse interactions of the light wave with the nonlinear medium caused by both the diffusion of the particles of the nonlinear medium and the diffraction of the light wave. Due to simultaneous action of two physical processes in the system there are spatio-temporal phase structures.
The nonlinear functional-differential equations of the parabolic type with feedback and transformation of spatial variables (which is given by involution operator) were previously considered. The involution operator property (rotation, reflection) allows to reduce the original equation to a system of equations without transformation of spatial variables. The set of solutions of such equations is determined by two parameters: low diffusion coefficient, and high flow rate. Also considered are the initial boundary problems for a circle, circle, ring with involution operator.
This article considers a mathematical model of a ring resonator, consisting of a system of linear and nonlinear equations in partial derivatives. Stationary solutions are analyzed and stability zones of the corresponding linearized problem solutions are studied. For the case of a thin ring (circle), the problem is represented as a nonlinear integral equation.
Keywords: nonlinear ring resonator, spatial mode, phase pattern.
Введение
В работе рассматривается математическая модель процесса формирования фазовых пространственных структур в поперечном сечении когерентного светового пучка в нелинейной оптической системе с пространственно распределенной обратной связью — нелинейном кольцевом резонаторе.
Одновременный учет дифракции и нелинейности приводит к возникновению многообразия пространственных структур. Нелинейная волновая динамика пространственно распределенных оптических систем представлена следующими явлениями: пространственная бистабильность и мультистабильность, формирование регулярных пространственных дифракционных структур, образование оптических вихрей, соли-тонов, диссипативных структур и т. д.
Модель кольцевого резонатора, содержащего слой нелинейной среды с кубической нелинейностью [1], основана на изучении двух связанных друг с другом уравнений: уравнения, описывающего временную динамику фазовой модуляции световой волны в нелинейной среде, и уравнения, описывающего временную динамику комплексной амплитуды светового поля внутри резонатора с учетом дифракции. Оптическая схема исследуемой системы показана на рис. 1.
Рис. 1. Схема пассивного нелинейного кольцевого резонатора: Mi M4 зеркала, LCLV (liquid crystal light valve) нелинейная среда, Ajn и Aout комплексные амплитуды входного и выходного полей соответственно. Зеркала M3 и M4 обладают 100%-м отражением, а зеркала Mi и M2 имеют коэффициент отражения R по интенсивности [1]
Данная модель учитывает локальные поперечные взаимодействия световой волны с нелинейной средой, вызванные как диффузией частиц нелинейной среды, так и дифракцией световой волны. Благодаря одновременному действию двух физических процессов в системе возникают пространственно-временные фазовые структуры.
В работах [2-7] для исследования подобных оптических систем в качестве математической модели использовалось нелинейное параболическое уравнение с преобразованием пространственной переменной: для случая отражения в [2-5] и поворота в [6, 7] пространственной переменной. Уравнения рассматривались на окружности и отрезке с условиями периодичности. Построение разложений периодических решений в такого рода задачах основывалось на методе центрального многообразия [2, 3], методе Галеркина [4-6] и методе сведения к нелинейному интеральному уравнению [7].
В [8, 9] рассматривались нелинейные функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с обратной связью и преобразованием пространственных переменных (которое задает оператор инволюции). Свойство оператора инволюции (поворот, отражение) позволяет свести исходное уравнение к системе уравнений без преобразования пространственных переменных. Множество решений таких уравнений определяется двумя параметрами: малым — коэффициентом диффузии, и большим — коэффициентом интенсивности потока. Также рассматривались начально-краевые задачи для окружности, круга, кольца с оператором инволюции.
В работах [11, 12] изучались ротационные и вращающиеся волны в параболических функционально-дифференциальных уравнениях с преобразованием поворота и запаздыванием. В [13] исследована смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, интегральные представления решения функционально-дифференциального параболического уравнения изучены в [14].
В данной статье рассматривается математическая модель кольцевого резонатора, состоящая из системы линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Анализируются стационарные решения и исследуются зоны устойчивости решений соответствующей линеаризованной задачи. Для случая тонкого кольца (окружности) задача сведена к решению нелинейного интегрального уравнения.
1. Математическая модель кольцевого резонатора с преобразованием координат
Динамика нелинейной фазовой модуляции и (г, £) характеризует набег фазы световой волны в нелинейной среде. Предполагается, что поляризованность среды подчиняется релаксационному уравнению дебаевского типа, учитывающему конечность времени релаксации нелинейности и наличие в среде поперечных взаимодействий диффузионного характера
и + и = БАи + К|А(г, 0,£)|2. (1)
Здесь г = (х, у) — радиус-вектор в поперечном сечении светового поля; г — продольная координата; Ь — время; А — лапласиан, описывающий диффузионный процесс в нелинейной среде; Б — нормированный коэффициент диффузии; К — коэффициент нелинейности среды, |А(г, 0, Ь)|2 — интенсивность светового поля, попадающего в нелинейную среду; А(г,г,Ь) — комплексная медленно меняющаяся амплитуда светового поля внутри резонатора, которая перед слоем нелинейной среды складывается из двух частей: комплексной амплитуды входного поля после прохождения зеркала Ы\ и комплексной амплитуды поля после распространения в резонаторе.
Динамика комплексной амплитуды поля А(г,г,Ь) непосредственно перед слоем нелинейной среды описывается следующим образом:
Здесь Я — коэффициент отражения зеркал по интенсивности; А^п(г) комплексная амплитуда входной световой волны; — время распространения поля в резонаторе; <£>о — постоянный фазовый сдвиг световой волны в резонаторе; Ь — длина резонатора, нормированная на дифракционную длину, которая определяется диаметром апертуры резонатора или входного пучка.
Процесс дифракционного распространения поля в резонаторе представлен в уравнении (2) оператором распространения ехр (гЬА) и описывается обычным уравнением дифракции в приближении квазиоптики с граничным условием, которое определяется полем непосредственно после слоя нелинейной среды:
Сделаем несколько предположений, упрощающих модель. Во-первых, если толщина слоя нелинейной среды много меньше длины резонатора, т. е. I ^ Ь, то можно пренебречь поглощением света в нелинейной среде. Это значит, что нелинейная среда оказывает влияние только на фазу распространяющейся световой волны. Во-вторых, можно считать, что время распространения световой волны в резонаторе много меньше, чем время релаксации нелинейности, т. е. = Ь/с ^ т0. Таким образом, анализируется случай «медленной» нелинейности без учета эффектов, связанных с временным запаздыванием поля в резонаторе [1].
2. Стационарные решения
Рассмотрим область ^ = {(г, <)|0 ^ дг ^ дг0,0 ^ ^ д2п}. Система уравнений (1)-(3) имеет пространственно-однородное стационарное решение. Обозначая П и А3 соответственно как стационарные значения фазы и(г, <,Ь) и амплитуды
A{r,z,t + tr) = (1 - R)2 Ain(r) + Relip0 exp (iLA{A(r, z, t)eiu(r't)})
z=0
(2)
2ik0дA(rJZ,t) = AA(r,z,t), A(r, 0,t) = A0(r,t).
(3)
A(r, <£>,z,i) поля в нелинейной среде, найдем их структуры. Для этого подставим u = us, A = As и Ain = Ains в уравнения (1) и (2). Уравнение (3) выполняется автоматически. Получим
Us = K | As |2,
As = (1 - R)1/2Ains + exp iLA{As exp ius},
или
As = (1 - R)1/2Ains + Reic№Aseius.
Откуда следует, что
As = (1 - Rei(Us+^))-1 УГ-R Ains. (4)
С учетом (1) уравнение (2) можно записать следующим образом:
V1 — R Ains Ains л/ 1 — R (1 — R) 1 Ains 12
|As|2 = AsAs =
Получим
(1 - Re^K+wO) (1 - Re^K+Ы) 1 - 2Rcos(u6 + + R2'
AW2 =_(1 - R) 2 = U..
1 6| 1 - 2Rcos(u6 + ^0) + R2 6
(1 - R)k
Us =
1 - 2Л еов(и + <ро) + Л2' (5)
и5 = К|Ав|2, к = К/о, /о = |Ат*|2.
В зависимости от изменения параметров к, Л, <£>0 уравнение (5) может иметь разные значения корней ив, а следовательно и А^ (4). На рис. 2 решения уравнения (5)
представлены в виде пересечения графиков еов(ив + <£>0) и —----Л — для
2Л 2Л
значений параметров <£>0 = 0, Л = 0.5.
С ростом к ^ то количество корней и постоянно меняется: возникают новые состояния равновесия и исчезают старые. Такое состояние системы говорит о наличии большого количества пространственно-неоднородных структур.
3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Линеаризуем уравнения (1)-(3) в окрестности стационарных решений us, As, Ains. Здесь оператор Лапласа определяется следующим образом: Дм = urr + 1 ur + uw. Пусть Ain(r) = Ains + f (r), Ains = const, f (r) = 0, тогда
u = us + v(r, t),
(6)
A = As + B(r,z,t).
Рис. 2. Графическое построение решений us при увеличении k
Подставим (6) в (1):
vt + v + us = DAv + K|As + B(r, 0,t)|2,
vt + v + us - K|As|2 = DAv + K (AsB + ASB + |B|2) . С учетом (5) и
| As + B |2 = (As + B )(As + B) = | As |2 + AsB + AsB + |B |2
линеаризованное уравнение имеет вид
vt + v = DAv + K (AsB + AsB) . (7)
Заметим также, что
AsB + AsB = Re (AsB + AsB). Линеризуем теперь уравнение (2). Операторная экспонента представима в виде
(iL)2
exp(iLA) « 1 + iLA + A2 + ....
Откуда следует, что
exp(iLA{AeiU}) = eiUs [(As + iAsv + B) + iL(iAsAv + AB) + ...] = = eiUs [As + iAs(v + iLAv) + (B + iLAB)] + ... = = AseiUs + iAseiUs (v + iLAv) + eiUs (B + iLAB) + ....
Здесь учтено, что
Лвги = (Л, + в )в1{и*+'и) = (Л, + в )вги вю =
(г?;)2
= вги(Л, + в)(1 + IV + ^ + ...) = вги(Л, + гЛ,и + в + гВи + ...).
В результате из (2) получим:
Л, + В = (1 - Я)1/2Лгп + Явг1р0 {Л, + гЛ8 (V + гЬАи) + (В + гЬАВ)}вш* + ...,
л, - Явг(ия+^о)Л3 - (1 - я)1/2Ат + в = Явг(ия+^о){гЛ3(и + гьАи) + в + гьАВ}, Ла(1 - Явг(и- (1 - я)1/2лгп + в = Явг(из+^0){гл,(и + гьАи) + в + гьАв}, (1 - Явг(и+^0))Л, = (1 - я)1/2Лгп + Явг(иа+^о){гл,(и + гьАи) + в + гьАв} - в, -в + Яв1(ив+^о){гл3(и + гьАи) + в + гьАв} + (1 - Я)1/2/(г) = о.
Убедимся, что если V = 0, В = 0, / = 0, то получим формулы (5):
Л,(1 - Явг(и^о)) - (1 - Я)1/2Лгп, = 0, (8)
= (1 - Я)1/2Атз Л = (1 - Я)1/2Агпз
1 _ Явг(из+<ро) ' , 1 — Яв-г(ив+<ро)'
| л 12 = _(1 - Я)|Лгnа|2_
1 = 1 - 2Яcos(uа + + Я2, Из (5) в случае cos(uа + <£>0) = 0 следует
,2 (1 - Я)|Лгп,|2 |л ,2 (1 - Я)К|Лгп,|2
|Л,|2 = ч ,лРГ' , К|Л,|2 = и, =
1 + Я2 1,1 , 1 + Я2
В итоге начально-краевая задача для линеаризованных уравнений примет вид:
в - Явг(ия+^о) (гЛ,(и + гьАи) + в + гьАв) = (1 - Я)1/2/(г), (9)
2гк0дВ(г,Ф,г,г) = АВ(г, (10)
+ V = ВАи + К (Л,В + ЛВ) , (11)
= 0.
ди
и(г, 0) = и0(г,х), —
дг
г=го
В (9)—( 11) обозначено В(г, <р, 0^) = В.
4. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ЗАДАЧА НА ОКРУЖНОСТИ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим линеаризованную задачу (9)-(11) с условиями на окружности (аналог задачи для тонкого кольца) и построим ее периодические решения.
Лемма 1. Для линеаризованной задачи в окрестности стационарного решения us и As: м = us+v, A = As + B в случае окружности с радиусом r0 справедливо следующее представление:
B - Rei(Us+^[2As(v + ipveo) + B + ipBee] = (1 - R)1/2f (0),
1 (12) Ain(0) = Ains + f (0), Ains = const, p = —,
r0
2ik0 d B(0,Z,t) = AB(0,z,t), (13)
vt + v = ^2vee + K(AsB + AsB), = D,
r2
(14)
v = v(0,t), B = B(0, 0,t) = B(0,t), v(0 + 2n, t) = v(0), B(0 + 2n, z, t) = B(0, z, t). При этом AsB + AsB = Re(AsB + AsB) — действительная функция.
Доказательство. Утверждение следует из (9)-(11) и представления оператора Лапласа A = + 1 dr + r1 Qjfi в случае зависимости функций v и B от (0, t) и линеаризации оператора expiLA{(As + B(0, t)) exp[i(us + v(0,t))]} в окрестности (us,As). □
Лемма 2. Приближенные решения, функции v и B, задачи (12) —(14) представимы в виде ряда по собственным функциям X(0) = етв задачи Штурма-Лиувилля
X" + AX = 0, X(0 + 2п)= X(0). (15)
Доказательство. Разделяя переменные в (13)
—2ik0X(0)T(t)Z'(z) = X''(0)T(t)Z(z), T(t) = 0,
-2ло Ш=Ш=-AX (0+2i)=X (0),
приходим к задаче Штурма-Лиувилля для X (0):
X'' + AX = 0, X(0 + 2п) = X(0), решением которой является
An = n2, Xn(0) = етв, n = 0, ±1, ±2,..., (16)
или в вещественной форме
An = n2, Xn(0) = an cos n0 + bn sin n0, n = 0,1, 2,....
Для функции Z(г) получаем, что
• 2
т2
Z'(г) - 2к0Z(г)=0,
откуда следует
Z(г) = Zo ехр
2
т2
(17)
2ко
Так как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для В по переменной г, то функция Т(¿) произвольна. Выберем ее в виде Т(¿) = Таким образом, каждый член ряда для функций V и В(б, ¿) представим в виде (Во = Во (и), Vo = ^(и), и = и(и)):
В = В0етб еш4, V = (18)
Подставим (18) в (14)
^(1 + и + р2и2)етб = К (А,В0 етб + А,В0е-тб). Так как выражение А5В0егпб + А5В0е-гпб вещественно, то приходим к соотноше-
ниям:
22
(1 + и + р2и2) собиб = 2К(А Л + ЛвЛ) собиб, (1 + и + р2и2) б1пиб = 0,
(19)
где Л = Лп = Щ.
Из уравнения (12) (после подстановки (18)) получим
С>0, В0) = В0 - Яег(и^о)[гА(1 - ¿ри>0 + (1 - ¿ри2)В0] = (1 - Я)1/2/„. (20) Параметр Л = Лп определим из однородного уравнения ,В0) = 0:
Л - Яег(и*+Ы [¿Д,(1 - ¿ри2) + (1 - ¿ри2)Л] = 0. Откуда следует, что
¿ЛвЯ(1 - ¿ри2)ег(и^о)
Л = Лп =
1 - Я(1 - ¿ри2)е^+Ы'
в + в = 1 - Я(1 - ¿ри2)ег(и^+^о) + 1 - Я(1 + ¿ри2)е-г(и«+^о)
= ¿|А^|2(2гД(ри2 соб(и5 + 10) - вт(ц + У0))) = = 1 - 2Я(1 + Ри2)соб(и5 + ^0) + Л2 = = 2Л|А|2(б1п(и5 + <1р) - ри2 соб(и5 + )) = 1 - 2Л(1 + ри2) соб(и5 + ^0) + Л2 .
□
Множитель ewt определяет устойчивость решения задачи. При cos ив :
2 2 , 4RK|As|2(sin(us + ^0) + ри2 cos(u + ^о))
и = ис(и) = —1 — р2и2 + При sin ив :
1 — 2R(1 + ри2) cos(us + ^0) + R2
и = us(u) = —1 — р2и2 < 0, и = 0, ±1, ±2,....
Исследуем, как зависит знак ис (и) = —1 — р2 и2 +
2 2 4Rus(sin(us + <£о) + ри2 cos(us + <£>q))
1 - 2Я(1 + рп2) cos(uа + + Я2
от параметров Я, р2 = , Л,, <£>0 (иа = К|Ла|2).
Для этого рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть
4Яи;? sin(uа + <£>0)
^с(0) = —1 +
(1 — R)KIq
и
Тогда
2и + 1
cos(us + ^о) = 0, ^ us + ^о = —2— п, и = 0,1, 2,----
sin(us + <ро) = sin ^2и + 1 п^ = (—1)n,
t4R(1 — R)k
Uc (и) = —1 — р2и2 + ( —1)
(1 + R2)2 '
Если
sin(us + <£>0) =0, ^ us + <£>0 = ип, и = 0, ±1, ±2,...,
то
ис(и) = —1 — р и +
cos(us + <£>0) = cos (ип) = (—1)n, 4RUspU2 (—1)n
us =
(1 — R)k
1 — 2R(1 + ри2)(—1)2 + R2' s 1 — 2R(—1)2 + R2
Указанные случаи возможны только при четном и.
5. Численное исследование спектра задачи
Согласуясь с выражением для стационарных решений (5), исследуем выражение для шс(п). Найдем зоны устойчивости шс(п) при различных значениях параметров.
На рис. 3-5 показаны изменения значений шс(п) при различных Я и р и приведены области устойчивости с отрицательными шс(п).
Рис. 3. Значения и зоны устойчивости шс(п) при фиксированных п = 0, р = 0.1, ^0 = 0, р = 0.2 и изменяющихся Я и иа
Рис. 4. Значения и зоны устойчивости шс(п) при фиксированных п = 1, р = 0.1, ^0 = 0, иа = 0.1 и изменяющихся Я и р
г'
Рис. 5. Значения и зоны устойчивости шс(п) при фиксированных п =1, р = 0.2, ^0 = 0, иа = 0.1 и изменяющихся р и Я
6. Представление задачи в виде нелинейного интегрального уравнения
Решение линейного неоднородного уравнения (12) состоит из общего решения однородного и(в,Ь), В(д,Ь) и частного решения неоднородного и(0), В(0), зависящего от одной переменной 0.
Лемма 3. Общее решение соответствующего однородного уравнения (12)
в - Явг(и*+1ро)[гЛа(и + грАи) + в + грАв] = 0
представимо в виде
оо
B(0,t) = ew(n)i = Anvnein"ew(n)i,
œ (21)
v(0,t) = ^ e"(n)i, 5n = Anvn,
n=—oo
An = 1 - R(1 - ipn2)ei(us+^n) • (22)
Доказательство. Действительно, подставляя (21) в уравнение (3), для каждого члена ряда получим
5n = Rei(Us+^0)[zAs(1 - грп>п + (1 - ïpn2)bn]
или с учетом bn = Anvn
Лп = Rei(Us+^0)[iAs(1 - ipn2) + (1 - ipn2)A].
Откуда и следует выражение (22) для An. Преобразуем (22), выделяя ReAn и ImAn:
_ iAsR(1 - ipn2)ei(Us+^o) [1 - R(1 + ipn2)e-i(us+^0)] _ n = [1 - R(1 - ipn2)ei(Us+^o)] [1 - R(1 + ipn2)e-i(us+^o)] = _ iAs[R(1 - ipn2)ei(Us+^o) - R2(1 + ip2n4)] _
= 1 - 2R[cos(us + ^o) + pn2 sin(us + ^o)] + R2(1 + ip2n4) = = iAs(R[cos(us + <^o) + pn2 sin(us + lo) + i(sin(us + <^o) - pn2 cos(us + 1o))] = 1 - 2R[cos(us + lo) + pn2 sin(us + lo)] + R2(1 + p2n4) •
□
Лемма 4. Частное решение неоднородного уравнения (20)
B - Rei(Us+^o)[iAs(v + ipAv) + B + ipAB] = (1 - R)1/2f (6) = g(0) (23) Дп(в) = Ains + f (в) зависит только от в и представимо в виде
!Х> !Х>
v(0) = ^ Vnein0, B(0) = ^ 6neinfl, (24)
n= n=
где vn fn ? bn an vn ?
(1 - R)1/2 + iAsR(1 - pn2)ei(us+^0) an = ---^-:—гт—-,—:—:--У —при n ^ то. (25)
n 1 — R(1 — ïpn2)ei(us+^n) 6 F y J
Доказательство. Действительно, подставляя частное решение и(0), В(0) в неоднородное уравнение (23), с учетом
те те те
и(0) = ^ ипвгпв, В(0) = ^ Ьпвгпв, /(0) = ^ /пвгпв, (26)
п=-те п=-те п=-те
получим
апип - Явг(и*+^)[гЛа(1 - грп2)ип + аЛ(1 - грп2)] = (1 - Я)1/2/п
или
ип[ап[1 - Я(1 - грп2)вг(из+^о)] - гЛаЯ(1 - грп2)вг(из+^о)] = (1 - Я)1/2/п.
Выбирая ап в таком виде, что выражение в квадратных скобках равно (1 - Я)1/2, приходим к наиболее простому соотношению для ип = /п. □
Преобразуем выражение для ап
(1 - Я)1/2 - гЛа [-1 + 1 - Я(1 - рп2)вг(и'+^о) ]
ап
1 - Я(1 - грп2)вг(и'+^ о) (1 - Я)1/2 + гЛа ,4 (1 - Я)1/2 + . (27)
гЛа = --—-:—, + Ли.
1 - Я(1 - грп2)вг(и^+^о) а 1 - я(1 - грп2)вг(и+о)
Общее решение и = и(0, Ь) + и(0), В = В(0, Ь) + В(0), где и(0, Ь), В(0, Ь) определяются формулами (21), (22), а частные решения и(0),В(0) формулами (24)-(25).
Для полученных решений запишем интегральные представления. Используем дискретное преобразование Фурье Ш [10]:
те
аш(п)г
\пипв | ап/п)
В(0, 0, Ь) = (АЛвш(п)4 + ап/п)вгпв, (28)
п= -те
тете
(0,Ь) = ^ (ипвш(п)' + /п)вгпв = /(0) + ^ ипв^п)'+гпв, (29)
п п п
п=-те п=-те
П
тете
(Шап/п)(0) = ^ ап/пвгпв = — а(0 - О/(№, где а(0) = ^ апвгпв. (30)
п=-те п=-те
Здесь ип — произвольные последовательности (такие, чтобы ряды сходились). Если обозначить
Апв ( ) кп(Ь) Аnвn(Ь), вп(Ь)
1
те П
(ШкЛ)(0) = Апвш(п)%пвгпв = 2- к(0 - )<%,
2п
п=—оо
ж ж
(Wkn(t)) = k(0,t) = ^ fcn(t)eine = ^ Anew(n)iein*,
п=—ж п=—ж
ж
(Wvn)(£) = v(0 = vne*<
или
оо П
W{Ane"(n)i} = ^ A ne"(n)ieine = -П / Л(0 -
2п _
— П
ОО
(WA п)(0) = Л(0)= ^ Anein*,
п=—ж
ж ж ж
то
nV,, )e ^ = > = >
п=—ж п=—ж п=—ж
П П
в (0,t) = в (0, o,t) = -Л У k(0 - е ,*меж«(0 - е)/(е ж,
—П —П
П
v(0,t) = 2n / k(e,t)v(e к + / (0).
Теорема 1. Решение задачи (9)-(11) представимо в виде
ж оо
v(0,t) = ^ (vnew(n)i + /n)em0 = /(0) + ^ uneu(n)t+ine
' jn/jv/ / ,
П= —Ж n=—ж
ж
B(0,t) = X] (AnVnew(n)i + an/n)einfl
п=—ж
или в виде интегрального представления
П
и(0,*) = -П/ ^(0 - е ,*меж+/ (0),
—П
П П
B(0,t) = -Л / ^(0 - e,t)v(e к + 2П / «(0 - е)/се)^е,
где
жж
k(0,t) = W{Anew(n)i} = ^ kn(i)einfl = ^ A new(n)iem0,
n=—ж n=—ж
n= —ж
n= —ж
k^,t) = W ^ne^}^,^ = W ^ne^t)}^) =
П
= _L Í л(в - <£>)et)d^ = 2П í E(в - e)л(о#,
— П
oo
Л(в) = (WЛn)(в) = ^ Лп^,
n
n=—œ
те
E(^,t) = WКШМ= z; eri(t)einv = Y, e"(n)+in«,
n= — IXi n = — tx>
(1 - R)1/2 + iAsR(l - ipn2)ei(Us+^o)
Лп =
1 - R(1 - ipn2)ei(Us+^o) iAsR(l - pn2)ei(Us+^o)
1 - R(1 - i(m2)ei(us+t?n)' u(n) = [uc(n), us(n)}, вШс(п) — множитель при cos ив, вШа(п) — множитель при sin ив
2 2 4RK|As|2(sin(us + ^0) + pn2 cos(us + ^0))
Uc(n) = — 1 — p n +--;-—-;-----,
cV ; P 1 - 2R(1 + pn2)cos(us + ^0) + R2
us(n) = -1 - p2n2 < 0, n = 0, ±1, ±2,..., p2 = D.
4
Доказательство. В полученном представлении для v(e,t) и B(в, t) вектор vn, n = 0, ±1,... может быть выбран через начальные условия для функции v(e, t):
ine
ne
v^,t) = vo^) = Y vone
n= — !X>
v0n vn + ^ vn v0n fn.
Откуда
t)= Y [(von - fn)eu(n)t + fn]eme.
п=—те
В свою очередь, если заданы начальные условия для B(d,t):
те
B(в, 0)= vo(0)= ^ Ъ0петв,
п=—те
тогда
7 __. г _ Ъ0п anfn
Ъ0п ^nvn + anJn, vn
Ki
С другой стороны b0n и v0n связаны между собой следующим образом:
b0n = An(v0n — fn) + anfn, b0n = \nv0n + (an — An)fn.
П
Так как bn = Anvn выбиралось ранее, то
ж
B (0,t)_ ^
п=—ж
ж
\ bon e"(n)t + а f
/vn > ° '-X-nJn
_
£ [(bon - On/n)eu(n)t + an/n]einfl.
□
Аналогичная теорема справедлива для круга, но с более громоздкими выражениями. Интегральное представление задачи позволяет строить приближенные решения на базе итерационных алгоритмов (метод последовательных приближений и т. п.).
Заключение
В работе исследован процесс формирования фазовых пространственных структур в нелинейной оптической системе, моделирующей кольцевой резонатор. Сформулирована начально-краевая задача для общей области ^ С Л2 и конкретизирована для круга и окружности. Исследована соответствующая линеаризованная задача.
С помощью бифуркационного анализа и численного исследования спектра задачи при изменениях значений параметров найдены зоны устойчивости для стационарного решения линеаризованной задачи на окружности в классе периодических функций.
Построено интегральное представления исходной нелинейной системы в виде нелинейного интегрального уравнения, доказана соответствующая теорема о его существовании.
В дальнейшем планируется уточнить исследования асимптотики решений в областях вида тонкое кольца и круг.
Работа выполнена в рамках НО «Крымский математический центр» и поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2023-1799.
n=
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов, В. Ю., Иванова (Полякова), И. Б. Фазовые структуры в нелинейном кольцевом резонаторе / / Вестник Московского университета / Серия 3. Физика. Астрономия. — Изд-во Моск. ун-та (М.), 2016. — 3. — C. 49-55.
IVANOV, V. Yu. & IVANOVA, I. B. (2016) Phase patterns in a nonlinear ring resonator. Moscow University Physics Bulletin. 71 (3). Pp. 266-271.
2. Белан, Е. П., Хазова, Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. — 4(1-2). — C. 43-57.
BELAN. E. P. & KHAZOVA, Yu. A. (2014) Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of a circle. Dinamicheskie Sistemy. 4 (1-2). Pp. 43-57.
3. Хазова, Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на отрезке с отражением пространственной переменной // Динамические системы. — 2014. - 4 (3-4). - C. 245-257.
KHAZOVA, Yu. A. (2014) Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of a segment. Dinamicheskie Sistemy. 32 (3-4). Pp. 245-257.
4. Хазова, Ю. А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Таврический вестник информатики и математики. - 2015. - 3(28). - C. 82-94.
KHAZOVA, Yu. A. (2015) Stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 28. Pp. 82-95.
5. Хазова, Ю. А. Метаустойчивые структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной на отрезке // Динамические системы. — 2017. — 35(2). - C. 119-129.
KHAZOVA, Yu. A (2017) Metastable structures in a parabolic problem with reflection of a spatial variable on an interval. Dinamicheskie Sistemy. 35 (2). Pp. 119-129.
6. Хазова, Ю. А. Бегущие волны в параболической задаче с преобразованием поворота на окружности // Компьютерные исследования и моделирование. — 2017. — 9(5). - C. 705-716.
KHAZOVA, Yu. A. (2017) Traveling waves in a parabolic problem with a rotation on the circle. Computer research and modeling. 9 (5). Pp. 705-716.
7. Хазова, Ю. А., Лукьяненко, В. А. Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2019. — 27(4). — C. 85-98.
LUKIANENKO, V. A. & KHAZOVA, Yu. A. (2019) Application of integral methods for the study of the parabolic problem. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 27 (4). Pp. 85-98.
8. Корнута, А. А., Лукьяненко, В. А. Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с оператором инволюции // Динамические системы. — 2019. — 37(4). — C. 390-409.
LUKIANENKO, V. A. & KORNUTA, A. A. (2019) Functional differential equations of parabolic type with the involution operator. Dinamicheskie Sistemy. 37 (4). Pp. 390-409.
9. LUKIANENKO, V. A. & KORNUTA, A. A. (2021) Stable Structures of Nonlinear Parabolic Equations with Transformation of Spatial Variables. Lobachevskii J. Math. 42 (5). Pp. 911-930.
10. Гахов, Ф. Д., Черский, Ю. И. Уравнения типа свертки. — Москва: Наука, Главная редакция физико-математической лит, 1978. — 295 c.
GAHOV, F. D. & CHERSKI, Ju. I. (1978) Equations of convolution type. Nauka, Moscow.
11. Варфоломеев, Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2007. — 21. — C. 5-36.
VARFOLOMEEV, E. M. (2007) On some properties of elliptic and parabolic functional differential operators arising in nonlinear optics. Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 21. Pp. 5-36.
12. Акимова, И. Г., Разгулин, А. В. Ротационные волны в оптической системе с дифракцией и поворотом пространственных аргументов // Вестник Московского университета / Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. — Изд-во Моск. ун-та (М.), 2. — 20-25. — C. .RAZGULIN, A. V. & ROMANENKO, T. E.
(2013) Rotating waves in a parabolic functional differential equation with rotation of the spatial argument and delay. Comput. Math. Math. Phys. 53 (11). Pp. 1626-1643.
13. Скубачевский, А. Л. Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. — 1999. — 66:1. — C. 145-153.
SKUBACHEVSKII, A. L. & SHAMIN, R. V. (1999) First mixed problem for a parabolic difference-differential equation. Math. Notes. 66 (1). Pp. 113-119.
14. MURAVNIK, A. B. (2016) Functional-differential parabolic equations: Integral transformations and qualitative properties of solutions of the Cauchy problem. J. Math. Sci. (N. Y.). 216. Pp. 345-496.
