CC BY
6УДК 519.876.5
Структура и организация алгоритмических схем моделирования непрерывных процессов в терминах Е-сети
Д.В. Тараканов, С.Г. Цапко
В статье рассмотрены предлагаемые авторами подходы к моделированию непрерывных процессов E-сетевым аппаратом с целью построения аналитико-имитационных моделей с единых методологических позиций, представлены принципы реализации воспроизведения непрерывных процессов аппаратом E-сетей с использованием технологии «блочного» программирования - Block Function Diagram. (операторно-структурных схем). Построение динамических моделей непрерывных процессов основано на методе пространства состояний и реализуется с помощью Е-сетевой алгоритмической схемы моделирования.
Ключевые слова: имитационное моделирование, алгоритмические схемы моделирвоания, Е-сети, непрерывные процессы.
1. Введение
Применение аппарата имитационного моделирования в задачах оценки и анализа функционирования сложных технических систем часто ограничено областью использования, и, как правило, позволяет описать системы, обладающие дискретизацией информационных сигналов. Однако в основе большинства сложных технических систем лежат непрерывные процессы, где от величины шага дискретизации зависит точность модельных исследований. Выбор шага дискретизации является прерогативой исследователя, что в конечном итоге часто не позволяет воспроизвести полученные результаты другими методами математического моделирования и оценить точность проведённых исследований.
Авторами работы предложен уникальный подход аппроксимации непрерывных процессов с помощью алгоритмических схем моделирования (АСМ) [1, 2]. Данный подход основан на ключевых моментах метода операторно-структурных схем. Для воспроизведения непрерывного процесса, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ), авторами работы предложено реализовать операторно-структурную схему, выраженную в терминах «вход - состояния - выход». Далее операторно-структурная схема трансформируется в имитационную модель средствами Е-сетевого аппарата моделирования, и на основе Е-сетевой модели выполняются необходимые исследования.
2. Выбор и обоснование математического аппарата моделирования непрерывных процессов
Обобщённая алгоритмическая схема моделирования непрерывных процессов с сосредоточенными параметрами в терминах «вход - состояние - выход» приведена
на рис. 1. Данная схема апробирована и широко используется при моделировании непрерывных процессов.
U(t)
X Xo X Y(t)
Щ ® 0 0 <§)■♦ *5 н * 13
Рис. 1. Обобщённая алгоритмическая схема моделирования непрерывных процессов
Представленная структурная схема реализует процесс решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными (переменными) коэффициентами, представленных в форме Коши (1), что соответствует имитации поведения непрерывных систем:
Ix(t) = A(t) ■ X(t) + B(t) ■ U(t)
[Y(t) = C(t) ■ X(t) + D(t) ■ U(t) (1)
X =
\t=t о
где u (t) - вектор входных воздействий;
X - вектор состояния системы;
Y - вектор выходных сигналов;
1/s - оператор интегрирования;
X(t0) gR" - вектор начальных условий.
При моделировании систем с постоянными параметрами A(t)=A, B(t)=B, C(t)=C, D(t)=D.
В работах [1, 2] изложены основные принципы и методы построения алгоритмических сетевых моделей, реализующие численные методы Эйлера, Рунге - Кутта и т.д. При реализации непрерывных процессов посредством алгоритмической схемы моделирования используется описание динамического объекта непосредственно в виде алгоритма или в виде некоторой алгоритмической формы, из которой алгоритм может быть получен формальным образом [2]. Сетевая (графоаналитическая) методология построения динамических моделей обладает большой наглядностью восприятия, а для реализации систем с большим количеством элементов предусмотрено использование иерархической архитектуры. Наиболее распространённым формализмом, описывающим структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов, являются сети Петри и Е^а1иайоп)-сети [4 - 7]. Авторами в качестве математического базиса для построения АСМ предлагается использовать расширенные сети Петри - E-сети.
Основные особенности применения сетей Петри и Е-сетей при моделировании систем заключаются в следующем:
1) используется структурный подход к построению модели, что обеспечивает наглядность модели, модульный принцип построения и возможность автоматизированного проектирования модели [3];
2) реализована возможность моделирования процессов, в которых происходит последовательная смена дискретных состояний, в том числе при выполнении разнообразных условий, что позволяет моделировать системы различной природы: аппаратные, физические, программные, экономические и т.д.;
3) асинхронная природа сетей Петри и Е-сетей позволяет моделировать параллельные процессы;
4) возможность иерархической организации модели сложной системы решает проблему «большой размерности» моделируемой системы и позволяет реализовывать модели с высокой степенью детализации.
Вышеуказанные особенности позволяют успешно использовать ^-сетевые схемы в задачах моделирования параллельных динамических систем. До настоящего времени сети Петри и Е-сети использовались, как правило, в качестве инструмента моделирования сложных аппаратно-программных комплексов и телекоммуникационных средств связи, т.е. #-схемы ограничивались имитацией дискретных событий. В работах [2 - 10] показано успешное применение Е-сетей в области моделирования сложных дискретных иерархических, реконфи-гурируемых систем. В данном случае авторами работы предложено использовать Е-сетевой аппарат, в силу того что Е-сети обладают наибольшей моделирующей мощностью. Основное отличие Е-сетей от сетей Петри заключается в следующем:
1) в Е-сетях учтены временные характеристики моделируемой системы, т.е. длительность срабатывания переходов может отличаться от нуля;
2) существует возможность преобразования информационных и физических параметров системы. Значения атрибутов фишек преобразуются при срабатывании переходов сети;
3) возможность осуществления логических преобразований и как следствие - реализовать управление маршрутом фишки по сети.
Все выше перечисленные свойства позволяют сделать вывод о том, что применение ЕК-моделей позволяет решить проблему реализации математической модели сложной технической системы, которая заключается в формализации, построении и функционировании динамической модели, работающей в требуемом масштабе времени.
3. Структура алгоритмических схем моделирования непрерывных процессов
В представленной работе АСМ, построенные в Е-сетевом базисе, моделируют непрерывные процессы в системах с сосредоточенными и распределёнными параметрами. Основной чертой АСМ, построенной на базе Е-сетей, является возможность изменения структуры и параметров схемы. При реализации АСМ авторами статьи предлагается использовать математический аппарат расширенных сетей Петри - Е-сетей. Для получения Е-сетевой иерархической структуры необходимо преобразовать систему (1) к конечно-разностной форме, которая аппроксимирует непрерывную модель. Далее, используя библиотеку Е-сетевых макропереходов, можно получить АСМ, типовая структура которой приведена на рис. 2.
ою
Cz -И
Csum2
output
Csumn
Pano
Cfi 4 (
^ V Cf2
о
Cfn
Рис. 2. Типовая Е-сетевая схема моделирования динамических процессов
1
Перед началом имитации динамических процессов необходимо задать вектор начальных условий X(t0) с помощью маркировки сетиMo=(PAo[X1],.,PAN[Xn\). При появлении во входной позиции input фишки с записанным в атрибуте уровнем входного воздействия, происходит инициализация вычислительных процессов, в результате которого АСМ имитирует процесс перехода системы из одного состояния в другое за интервал времени AtACu.
Процесс завершения фазы вычисления в Е-сетевой АСМ возможен в следующих случаях:
1) \yebix(n) - yebix(n -1)1 <s, где s - заранее определённая погрешность вычисления;
2) в результате обработки команды прерывания, которая поступила из подсистемы профилирования модели;
3) при переполнении разрядной сетки (в результате моделирования неустойчивых процессов).
Вычисление переменных состояния системы осуществляется за счёт требуемой маршрутизации и вычисления атрибутов фишек. Элементы Е-сетевой АСМ выполняют следующие преобразования:
1) вычисление коэффициентов K1,^,KN , осуществляемые переходом CK;
2) суммирование значений атрибутов фишек осуществляется макропереходами
CSUM(i);
3) выполнение операции «интегрирования». Переход CZ l осуществляет задержку продвижения фишки на период дискретизации T0;
4) вычисление сигналов в каналах обратной связи. Данное преобразование обеспечивают переходы CF1, ...,CFN, pCF{. Atr'"[Fi]^Atrout[Fi],
Срабатывание переходов в Е-сетях носит асинхронный характер, причём для адекватного функционирования АСМ длительность срабатывания перехода «задержка -e'sT0» должна быть значительно больше, чем у других Е-сетевых переходов: tZ~1>>tK, tSUM, tFn. Результат функционирования АСМ представлен на рис. 3.
Рис. 3. Переходные характеристики реального и моделируемого АСМ технологического процесса
На рис. 3 «ступенчатый» переходный процесс соответствует результату моделирования Е-сетевой схемы, непрерывный график соответствует исходному непрерывному процессу. Из рис. 3 видно, что представленная АСМ корректно решает задачу моделирования непрерывных процессов.
4. Принципы реализации Е-сетевой схемы интерполяции исследуемых процессов сложных технических систем
Моделирование процессов на Е-сетевом аппарате является дискретным по времени. Для определения значений интересующих функций между найденными значениями атрибутов фишек (т.е. узлами интерполяции) необходимо использовать алгоритмические схемы, реализующие интерполяционные формулы. При Е-сетевой реализации достаточно просто реализовать интерполяционную формулу Лагранжа для неравномерно стоящих узловых точек:
п
L(x ,0 = ^ aj (X*) ■ u(Xj,Г), (2)
-=о
где а- (x*) - постоянный коэффициент, равный
„ (X* - x0)( X* - x1) ■■■ (X* - Xj _!)(X* - Xj+1) ■ ■ ■ (X* - xn )
а. (X ) =-----.
(Xj - Xo)( X- - XI) ■■■ (X- - X--1)( X- - X-+1) ■ ■ ■ (X- - Xn )
При практическом использовании формулы (2) можно воспользоваться усечённым рядом узловых точек; согласно [10], достаточно взять 3 - 5 узлов интерполяции справа и слева
*
относительно искомого значения х .
Е-сетевая структурная схема интерполятора Лагранжа приведена на рис. 4.
^ и А
V.Atr=y
Запись в
БД искомой величины
О
Е(п) - E-сетевой F переход с п выходами
Рис. 4. Е-сетевая схема интерполятора Лагранжа
Семантический смысл переходов, показанных на рис. 4, состоит в следующем:
1) макропереход Ъ/-осуществляет вычисление полинома (х-х^(х-х2).. ,(х-хп), значение которого используется в определении числителя коэффициента интерполяции.
2) макропереход Ъ^-Ърп (/=1,...,п) - осуществляет вычисление полиномов: (х7-х0) (х]-х1)... (хгх]+1)... (хгх„).
3) макропереход - осуществляет вычисление коэффициентов интерполяции (х-х1)(х-х2).. .(х-хпУ(хгхо)(хгх1).. ,(хгх]+1).. .(хгх„).
4) Переход Е позволяет занести вычисленное значение полинома (х-х1)(х-х2).(х-хп) в соответствующие входные позиции переходов .
5) Переход Ъ осуществляет суммирование коэффициентов интерполяции. В выходную позицию перехода заносится фишка со значением искомой функции у.
5. Моделирование систем с распределёнными параметрами
Е-сетевая алгоритмическая схема моделирования позволяет моделировать системы с распределёнными параметрами, например, распространения волн в плоскости декартовых координат XV схема которой приведена на рис. 5.
Как известно, волновое уравнение записывается в виде:
д2и 1 д2ы дх2 v2 dt2
(3)
где V - скорость распространения волны в среде. Решением волнового уравнения (3) является сумма двух функций (падающей и отражённой волны):
и=/1(^-х/у)+/2(^+х/у). (4)
Рис. 5. Е-сетевая алгоритмическая схема моделирования, воспроизводящая распространение волн
в плоскости декартовых координат ХУ
Поэтому пространственная Е-сетевая АСМ волновых процессов состоит из двух взаимосвязанных матриц (см. рис. 6).
Для обеспечения процесса моделирования в Е-сетевой схеме обрабатывается и генерируется совокупность фишек, которая содержит информацию об эндогенных и экзогенных переменных, управляющих и служебных команд. Алгоритм формирования фишек представлен на рис. 7.
В определённые моменты времени происходит генерация фишки с атрибутом, равным значению функции в момент времени tn. Величина начального шага квантования к определяется согласно априорным оценкам быстродействия элемента системы. Если величина ъ=А/ [п] больше некоторой заранее заданной величины ипор, то осуществляется коррекция длительности шага. Тем самым отслеживается изменение скорости сигнала во времени.
Рис. 7. Схема генерации фишек при моделировании непрерывных процессов
6. Заключение
Представленные в статье принципы построения Е-сетевых схем моделирования позволяют воспроизводить поведение как непрерывных, так и дискретно-непрерывных функционирующих систем. На основе представленной авторами статьи методики построения АСМ можно обеспечить адекватное моделирование непрерывных процессов на базисе Е-сетевого аппарата в системах с сосредоточенными и распределёнными параметрами, в том числе с переменными коэффициентами. Принципы реализации воспроизведения непрерывных процессов аппаратом E-сетей были апробированы в ОАО «Информационные спутниковые системы» (г. Железногорск) при решении задач построения имитаторов подсистем космических аппаратов ретрансляции и связи.
Литература
1. Вопросы алгоритмического моделирования сложных систем/ Сб. научи. трудов/Отв. ред. В.В. Иванищев. - Л.: ЛИИАН, 1989. 235 с.
2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 256 с.
3. Цапко, Г.П., Цапко, С.Г., Тараканов, Д.В. Е-сетевой метод информационно-логического проектирования компьютерных тренажёров. - Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2005. 228 с.
4. Best E., Fernandez C. Non-sequential processes, a Petri net view //EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. - Berlin a.o.:1988.- N 13.
5. Котов В.Е. Сети Петри. - М.: Наука, 1984. - 160 с.
6. Андрюшков Ю.Т., Пранявичус Г.И. Е-сети как средство формализованного описания вычислительных систем.- В кн.: Тез. докл. Всес. конф. «Вычислительные сети коммутации пакетов». Рига, 1978. - С. 170 - 175.
7. Пранявичус Г.И., Шваните Д.Ю. Применение Е-сетей при создании имитационных моделей. Математика и математическое моделирование. - Вильнюс, 1980, - В.4. - С. 68-72.
8. Советов, Б.Я., Яковлев, С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов по спец. «Автома-тизир. системы обработки информ. и упр.».- 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1998. - 319 с.
9. Цапко, Г.П. Е-сетевой метод информационно-логического проектирования бортовых комплексов управления.- Томск; изд. ТПУ. - 104 с.
10. Урмаев, А.С. Основы моделирования на аналоговых вычислительных машинах. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». М., 1978. - 271 с.
Статья поступила в редакцию 24.10.2013; переработанный вариант — 12.11.2013
Цапко Сергей Геннадьевич
к.т.н., доцент кафедры автоматики и компьютерных систем Института кибернетики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», член-корр. МАИ, 634050, г. Томск, пр. Ленина 2, оф. 103-а, т. 8-3822-701777 (доб. 2277), e-mail: tsapko@tpu.ru
Тараканов Дмитрий Викторович
к.т.н., доцент кафедры автоматики и компьютерных систем Сургутского государственного университета, программист Института кибернетики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», 634050, г. Томск, пр. Ленина 2, оф. 103-а, т. 8-3822-701777 (доб. 2203), e-mail: sprtdv@mail.ru
D.V. Tarakanov, S.G. Tsapko
Structure and organization of algorithmic simulation scheme of continuous processes in terms of E-network
In this article, the proposed approaches to simulation of continuous processes via E-network in order to build analytical and simulation models from the methodological position are considered. Principals for implementing continuous processes reproduction via E-networks using Block Function Diagram programming technology are presented in this paper. Construction of continuous processes dynamic models is based on the state space method and is implemented using E-network algorithmic simulation scheme.
Keywords: simulation, algorithmic simulation scheme, E-network, continuous processes.
