CC BY
7
Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 1. С. 120-128.
УДК 537.61 Б01: 10.47475/2500-0101-2023-18111
СТРУКТУРА И ЭНЕРГИЯ 0-ГРАДУСНОЙ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С 3Б-ДЕФЕКТАМИ
Д. Ф. Нерадовский1'", Е. Г. Екомасов2'ь, М. И. Фахретдинов2с
1 Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия
2 Уфимский университет науки и технологий, Уфа, Россия
" denner198123@gmail.com, ь ekomasoveg@gmail.com, сfmi106tf@gmail.com
Исследована структура магнитных неоднородностей в ферромагнетиках, локализованных на 3Б-дефектах. Рассмотрен случай магнитного дефекта, приводящего к сферически симметричной неоднородности константы магнитной анизотропии. Предложена возможная структура локализованных на дефекте магнитных неоднородностей типа 0-градусной доменной границы. Найден вид сферически симметричного дефекта, на котором возможна генерация устойчивых магнитных неоднородностей такого вида. Вычислена энергия 0-градусной доменной границы и рассмотрены условия для её зарождения.
Ключевые слова: ферромагнетик, дефект, доменная граница.
Введение
В объёмных магнетиках, тонких плёнках, нанополосках, нанопроводах и нано-дисках наличие дефектов (например, наличие различного типа структурных и химических неоднородностей) оказывает сильное влияние на структуру, статические и динамические свойства магнитных неоднородностей [1-5]. Известно, что дефекты часто являются генераторами для образования локализованных магнитных неоднородностей типа 0-градусных доменных границ (ДГ) [1; 6-8]. Также они могут служить потенциальными ямами для пиннинга ДГ, влияя на кривые намагничивания и коэрцитивную силу магнетиков [1; 3; 4]. В последние годы интерес к изучению данного вопроса растёт, так как появились новые уникальные экспериментальные методы, позволяющие рассматривать взаимодействие дефектов и магнитных неоднородностей на нанометровом уровне [9-11]. Теперь становится более интересен и для аналитического исследования случай, когда размер магнитной неоднородности и размер, характеризующий неоднородность параметров материала, имеют один и тот же нанометровый порядок. Одним из теоретических направлений исследования влияния дефектов на магнитные неоднородности является учёт возможности пространственной зависимости параметров материала в рамках термодинамической теории. Например, учитывалось локальное изменение константы магнитной анизотропии, обмена и намагниченности насыщения [1; 4; 6-8; 12]. В одномерном случае часто дефект моделируют плоским (или пластинчатым) магнитным включением [1; 8]. Такой подход даёт хорошие теоретические результаты при исследовании многослойных магнитных структур [1; 7; 13]. Рассматривался случай двумерного и трёхмерного дефектов [4; 14-16].
В статическом случае учёт одномерной пространственной зависимости параметров материала позволяет моделировать квазистационарную кинетику спин-переориентационных фазовых переходов и определить критические поля зарож-
дения и структуру локализованных магнитных неоднородностей, найти кривые намагничивания, коэрцитивную силу образца [1; 4; 6]. Одним из принципиальных отличий одномерного случая от двумерного и трёхмерного будет несоразмерность энергии доменной границы и её энергии взаимодействия с дефектом. Очевидно, что взаимодействие с одиночным дефектом в многомерном случае не будет существенно влиять на динамику ДГ в достаточно большом объёме. Однако такое взаимодействие, как и в одномерном случае, должно приводить к генерации локализованной магнитной неоднородности на дефекте [6-8]. Такая задача и рассматривается в данной статье. А именно, можно ли с помощью дополнительного слагаемого (учитывающего локальное SD-изменение магнитной анизотропии ферромагнетика) в уравнении Ландау — Лифшица получить локализованное решение для магнитной неоднородности типа 0-градусной ДГ. Данная задача имеет и практическую направленность, так как её решение в дальнейшем позволяет исследовать особенности динамики ДГ при наличии дефектов, кривые намагничивания и коэрцитивную силу ферромагнитного образца.
Основные уравнения и результаты
Рассмотрим бесконечный образец одноосного ферромагнетика, энергия которого имеет вид
E = У [A(V9)2 + Ki (r) sin29] dV, (1)
где A — параметр обменного взаимодействия, K1 (r) — константа магнитной анизотропии, имеющая из-за наличия дефектов вид функции от координат, 9 — угол между осью лёгкого намагничивания и вектором намагниченности. Требование минимума для энергии (1) приводит к модифицированному статическому уравнению типа синус-Гордона:
AV29 - Ki (r) sin 9 cos 9 = 0. (2)
Далее будем считать, что K1 (r) = K1 (1 + f (r)), где функция f (r) моделирует наличие сферически-симметричного локального изменения константы магнитной анизотропии, r = |r| — радиальная координата сферической системы координат, нормированная на величину 6 = \JA/K1/2. Вводя для удобства новую переменную
u = 29, получаем из (2) обезразмеренное уравнение
2
urr +— ur = (1 + f (r)) sinu. (3)
r
В одномерном случае уравнение (3) при f (r) = 0 имеет аналитические решения. Их ранее использовали для нахождения функций f (r) гиперболического и степенного вида [1; 17], приводящих к аналитическому решению (3). В трёхмерном случае задача подобного рода сложнее, так как возникают проблемы с аналитическим решением уравнения (3) даже при f (r) = 0. Ранее только численно показана возможность существования долгоживущих локализованных решений [18]. Дефект (или неоднородность константы анизотропии) в данном случае будет играть роль «потенциальной ямы», в области которой существуют локализованные решения (3). Тогда функция f (r) должна убывать до нуля на бесконечности. При этом локализованное решение (3) может иметь разный вид в области дефекта и вне его. Рассмотрим далее локализованные решения u (r) типа 0-градусной ДГ:
u (r) = í u1 (r), 0 ^ r < W; (4)
u (r) = 1 u2 (r) , r ^ W. (4)
Функция и^г) достигает максимума в точке г = 0, а и2(г) вдали от начала координат стремится к решению (3) при f (г) = 0. Параметр Ш характеризует «ширину» области, занимаемой дефектом. На границе дефекта должны выполняться условия сшивания решений (4):
«1(Ш) = «2(Ш), и1(Ш) = и2(Ш). (5)
Для и2(г) возьмём решение вида
Ь
—kr
и(г) = - е
г
Здесь Ь, к — некие постоянные параметры. В области 0 ^ г < Ш решение ищем в виде гауссовой функции:
и1(г) = ае-Лг /2, (7)
где а, Л — постоянные параметры. Подставляя (6) и (7) в (5), получаем соотношения, выражающие взаимосвязь между параметрами а, Ь, к, Л, Ш:
Л =1+2^, Ь = аШе-1 (1-кП (8)
Ш2
Поэтому далее независимыми можно считать только три параметра — а, к, Ш. С учётом (8) выражения (6), (7) примут следующий вид:
« (r) = a exp
- 2(1+kW К W2
. ч -W
«2 (r) =-exp
r
-1 (2kr - kW + 1)
(9)
:iq)
Кусочно-определённая функция u (r) и её первая производная непрерывны в точке r = W, а вот вторая производная терпит разрыв на границе, поскольку требование ее непрерывности приводит к переопределённой системе уравнений для коэффициентов, входящих в искомые функции u1 (r) и «2 (r).
Далее, аналогично одномерному случаю [17], найдём вид функции f (r), удовлетворяющей решению (4) уравнения (3). Функция, описывающая пространственную неоднородность периодического потенциала, в общем случае имеет вид
с / ч «rr + 2 «r
f (r) = -:--1.
sin u
Полученное выражение для функции f (r) с учётом (9) при 0 ^ r < W принимает вид
/ч -Л (Лг2 - 3) exp (-iAr2) , N
fi (r) = -ЛЦ—) (piA 2A j -1, (11)
sin [- exp 2Ar2JJ где A = (1 + kW) /W2. При r ^ W с учётом (10) получается выражение
/ч 2 ^ exp [-2 (2kr - kW +1)1 , ,
f (r) = k2 r ^ L 2 у_ ^J__i (12)
f2 (r) k sin [aw exp [-1 (2kr - kW + 1)]] ( )
Минимальное значение функция f (r) будет иметь при r = 0, и это значение зависит от параметров -, k, W следующим образом:
fo = fi (0) = -A - 1,
0 1 2 3 4 5
W
Рис. 1. Зависимость Д (r = 0, W) при k = 1
где A (a) = 3a/ sin a — коэффициент, зависящий от максимального значения гауссовой функции u1 (r) в начале координат. Тогда Д (0) имеет физический смысл глубины «потенциальной ямы». Построим графики функции Д (r = 0, W) при разных значениях параметра a. Из рис. 1 видно, что с увеличением параметра W величина Д (r = 0, W) убывает. В предельном случае, при W — то, она стремится к нулю.
Энергию ферромагнетика, соответствующую уравнению (1) и нормированную на величину 4nK1 ó3, теперь для удобства интегрирования запишем в безразмерном виде:
W
E =
du1 dr
+ (1 + fi (r))sin2
Ui 2
r 2 dr+
+
W
( dU2 )2 + (1 + f2 (r ))sin2 (f)
(13)
r dr.
Рассчитанная по формуле (13) зависимость от параметра Ш энергии локализованной магнитной неоднородности типа 0-градусной ДГ вида (4) при разных значениях параметра а представлена на рис. 2 (случай / (г) = 0) и рис. 3 (случай / (г) вида (11), (12)).
При отсутствии дефекта эта энергия положительная (рис.2). Только при наличии дефекта вида (11), (12) эта энергия становится отрицательной (рис.3). Это указывает на то, что 0-градусная ДГ становится энергетически более выгодной для ферромагнетика по сравнению с однородным состоянием. Увеличение этой энергии при увеличении Ш связано с уменьшением площади «потенциальной ямы» из-за уменьшения величины /1 (г = 0, Ш).
Таким образом, используя выбранные пробные функции (4) для решения (3), всегда можно восстановить вид неоднородности константы магнитной анизотропии / (г), при которой решения уравнения (1) типа 0-градусной ДГ будут энергетически выгодны.
Рис. 2. Зависимость энергии ферромагнетика от величины параметра Ш при к = 1, f (г) = 0
Рис. 3. Зависимость энергии ферромагнетика от величины параметра Ш при к = 1,
f (г) вида (11), (12)
Заключение
Рассмотрен случай 3Б-магнитного дефекта, являющегося эффективной потенциальной ямой для магнитных неоднородностей и приводящего к сферически симметричной неоднородности константы магнитной анизотропии ферромагнетика. Определён вид сферически симметричного дефекта, на котором возможна генерация устойчивых магнитных неоднородностей типа 0-градусной доменной границы. Показано, что увеличение ширины эффективной потенциальной ямы в данном слу-
чае сопровождается уменьшением её глубины. Найдена структура, энергия и рассмотрены условия для зарождения 0-градусной доменной границы в ферромагнетиках с такими дефектами. Используя полученные результаты, можно далее решать и некоторые практические задачи. Например, зная энергию устойчивой 0-градусной доменной границы, локализованной на SD-дефекте, можно найти коэрцитивную силу.
Список литературы
1. Шамсутдинов М. А., Назаров В. Н., Ломакина И. Ю. и др. Ферро- и антифер-ромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны. М. : Наука, 2009.
2. MironovV. L., Ermolaeva O. L., Skorohodov E. V. Controlled domain wall pinning in permalloy nanowire by nanoparticle stray fields // IEEE Transactions on Magnetics. 2016. Vol. 52, no. 12. P. 1-7.
3. KozlovA. G., StebliyM. E., OgnevA.V. et al. Effective magnetic anisotropy manipulation by oblique deposition in magnetostatically coupled Co nanostrip arrays // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2017. Vol. 422. P. 452-457.
4. Korzunin L. G., Izmozherov I. M. Numerical simulation of the influence of inhomogeneities on the properties of magnetization nanostructures // Physics of Metals and Metallography. 2021. Vol. 122, no. 3. P. 169-196.
5. ZvezdinK. A., EkomasovE. G. Spin currents and nonlinear dynamics of vortex spin torque nano-oscillators // Physics of Metals and Metallography. 2022. Vol. 123. P. 201219.
6. Paul D. I. General theory of the coercive force due to domain wall pinning // Journal of Applied Physics. 1982. Vol. 53, no. 3. P. 1649-1654.
7. Ekomasov E. G., Murtazin R. R., NazarovV. N. Excitation of magnetic inhomogeneities in three-layer ferromagnetic structure with different parameters of the magnetic anisotropy and exchange // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2015. Vol. 385. P. 217-221.
8. ВахитовР. М., АхметоваА. А., Солонецкий Р. В. Вихреподобные образования на дефектах магнитоодноосных плёнок // Физика твёрдого тела. 2019. Т. 61, № 3. C. 453-459.
9. Novoselov K. S., GeimA.K., DubonosS.V., et al. Subatomic movements of a domain wall in the Peierls potential // Nature. 2003. Vol. 426, no. 6968. P. 812-816.
10. KukrejaR., BonettiS., ChenZ., et al. X-ray detection of transient magnetic moments induced by a spin current in Cu // Physical Review Letters. 2015. Vol. 115, no. 9. P. 096601.
11. Gerasimov M. V., LogunovM. V., SpirinA.V., et al. Time evolution of domainwall motion induced by nanosecond laser pulses // Physical Review B. 2016. Vol. 94, no. 1. P. 014434.
12. Дубовик М. Н., Филиппов Б. Н., Корзунин Л. Г. Асимметричный пиннинг вихревых доменных стенок в магнитных плёнках на областях с пониженной намагниченностью насыщения // Физика металлов и металловедение. 2016. Т. 117, № 4. C. 342-348.
13. Ekomasov E. G., NazarovV. N., GumerovА.M., et al. External magnetic field control of the magnetic breather parameters in a three-layer ferromagnetic structure // Letters on Materials. 2020. Vol. 10, no. 2. P. 141-146.
14. Kronmuller H., Durst K. D., SagawaM. Analysis of the magnetic hardening mechanism in RE-FeB permanent magnets // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1988. Vol. 74, no. 3. P. 291-302.
15. Sun Y., Gao R. Effect of defects on the effective anisotropy and coercivity in nanometer hard magnetic materials // Solid State Communications. 2009. Vol. 149, no. 9-10. P. 393395.
16. Екомасов Е. Г., Муртазин Р. Р., Азаматов Ш. А. и др. Изучение зарождения и эволюции магнитных неоднородностей типа пульсонов и 2Б-солитонов в магнетиках с локальными неоднородностями анизотропии // Физика металлов и металловедение. 2011. Т. 112, № 3. C. 227-238.
17. GoathamS. W., Mannering L. E., HannR., et al. Dynamics of multi-kinks in the presence of wells and barriers // Acta Physica Polonica. Series B. 2011. Vol. 42, no. 10. P. 2087-2106.
18. Боголюбский И. Л., Маханьков В. Г. О времени жизни пульсирующих солитонов в некоторых классических моделях // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 24, № 1. С. 15-18.
Поступила в 'редакцию 17.05.2022. После переработки 03.11.2022.
Сведения об авторах
Нерадовский Денис Федорович, старший преподаватель кафедры моделирования физических процессов и систем, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия; e-mail: denner198123@gmail.com.
Екомасов Евгений Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической физики, Уфимский университет науки и технологий, Уфа, Россия; e-mail: ekomasoveg@gmail.com.
Фахретдинов Марат Ирекович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики, Уфимский университет науки и технологий, Уфа, Россия; e-mail: fmi106tf@gmail.com.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 1. P. 120-128.
DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18111
STRUCTURE AND ENERGY OF A 0-DEGREE DOMAIN WALL IN FERROMAGNETS WITH 3D DEFECTS
D.F. Neradovskii1a, E.G. Ekomasov26, M.I. Fakhretdinov2c
1 Tyumen State University, Tyumen, Russia
2 Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russia
a denner198123@gmail.com, b ekomasoveg@gmail.com, cfmi106tf@gmail.com
In this work, the structure of magnetic inhomogeneities in ferromagnets localized on 3D defects has been studied. The case of a magnetic defect leading to a spherically symmetric inhomogeneity of the magnetic anisotropy constant is considered. A possible structure of magnetic inhomogeneities of the 0-degree domain wall type localized on the defect is proposed. A type of spherically symmetric defect is found, on which the generation of stable magnetic inhomogeneities of this type is possible. The energy of a 0-degree domain wall is calculated and the conditions for its origin are considered.
Keywords: ferromagnet, defect, domain wall.
References
1. Shamsutdinov M.A., NazarovV.N., Lomakina I.Yu., et al. Ferro- and Antiferromagnetodynamics. Nonlinear Oscillations, Waves, and Solitons. Moscow, Nauka Publ., 2009.
2. Mironov V.L., Ermolaeva O.L., Skorohodov E.V. Controlled domain wall pinning in permalloy nanowire by nanoparticle stray fields. IEEE Transactions on Magnetics, 2016, vol. 52, no. 12, pp. 1-7.
3. KozlovA.G., StebliyM.E., OgnevA.V., et al. Effective magnetic anisotropy manipulation by oblique deposition in magnetostatically coupled Co nanostrip arrays. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2017, vol. 422, pp. 452-457.
4. Korzunin L.G., Izmozherov I.M. Numerical simulation of the influence of inhomogeneities on the properties of magnetization nanostructures. Physics of Metals and Metallography, 2021, vol. 122, no. 3. pp. 169-196.
5. ZvezdinK.A., Ekomasov E.G. Spin currents and nonlinear dynamics of vortex spin torque nano-oscillators. Physics of Metals and Metallography, 2022, vol. 123, pp. 201-219.
6. Paul D.I. General theory of the coercive force due to domain wall pinning. Journal of Applied Physics, 1982, vol. 53, no. 3, pp. 1649-1654.
7. Ekomasov E.G., Murtazin R.R., NazarovV.N. Excitation of magnetic inhomogeneities in three-layer ferromagnetic structure with different parameters of the magnetic anisotropy and exchange. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2015, vol. 385, pp. 217-221.
8. VahitovR.M., Ahmetova A.A., Solonetskii R.V. Vortex-like structures at the defects of uniaxial films. Physics of the Solid State, 2019, vol. 61, no. 3, pp. 319-325.
9. Novoselov K.S., GeimA.K., DubonosS.V., et al. Subatomic movements of a domain wall in the Peierls potential. Nature, 2003, vol. 426, no. 6968, pp. 812-816.
10. KukrejaR., BonettiS., ChenZ., et al. X-ray detection of transient magnetic moments induced by a spin current in Cu. Physical Review Letters, 2015, vol. 115, no. 9, p. 096601.
11. Gerasimov M.V., LogunovM.V., SpirinA.V., et al. Time evolution of domainwall motion induced by nanosecond laser pulses. Physical Review B, 2016, vol. 94, no. 1, p. 014434.
12. DubovikM.N., Filippov B.N., KorzuninL.G. Asymmetric pinning of vortex domain walls in magnetic films in regions with lowered saturation magnetization. The Physics of Metals and Metallography, 2016, vol. 117, no. 4. pp. 329-335.
13. Ekomasov E.G., NazarovV.N., Gumerov А.M., et al. External magnetic field control of the magnetic breather parameters in a three-layer ferromagnetic structure. Letters on Materials, 2020, vol. 10, no. 2, pp. 141-146.
14. Kronmuller H., Durst K.D., SagawaM. Analysis of the magnetic hardening mechanism in RE-FeB permanent magnets. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 1988, vol. 74, no. 3, pp. 291-302.
15. Sun Y., Gao R. Effect of defects on the effective anisotropy and coercivity in nanometer hard magnetic materials. Solid State Communications, 2009, vol. 149, no. 9-10, pp. 393395.
16. Ekomasov E.G., Murtazin R.R., Azamatov S.A., et al. Nucleation and evolution of magnetic inhomogeneities of the pulson and 2D soliton type in magnets with local anisotropy inhomogeneities. The Physics of Metals and Metallography, 2011, vol. 112, no. 3, pp. 213-223.
17. GoathamS.W., Mannering L.E., HannR., et al. Dynamics of multi-kinks in the
presence of wells and barriers. Acta Physica Polonica. Series B, 2011, vol. 42, no. 10. pp. 2087-2106.
18. Bogolyubskii I.L., Makhan'kov V.G. Lifetime of pulsating solitons in certain classical models. JETP Letters, 1976, vol. 24, no. 1. pp. 15-18.
Accepted article received 17.05.2022.
Corrections received 03.11.2022.
