4СТРУКТУРА ДАННЫХ РАЗРЕЖЕННАЯ ТАБЛИЦА
И. З. Искандаров
Ургенчский филиал Ташкенсткого университета информационных технологий
имени Мухаммада ал-Хорезмий islom.iskandarov@ubtuit.uz
АННОТАЦИЯ
В данной статье рассматривается структура данных разреженная таблица: описание, возможности, примеры применения к задачам.
Ключевые слова: структуры данных, алгоритмы, разреженная таблица
ABSTRACT
This article discusses the data structure sparse table: description, features, examples of application to tasks.
Keywords: data structures, algorithms, sparse table
ВВЕДЕНИЕ
Структура данных (data structure) — это способ хранения и организации данных, облегчающий доступ к этим данным и их модификацию[1]. Каждая структура данных имеет свою сферу применения, то есть типы задач, которые может решать. В этой статье рассмотрим структуру данных разреженная таблица (англ. Sparse table), которая хранит данные в особой(разреженной) форме и позволяет быстро отвечать на запросы в отрезке без модификаций элементов.
АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ И МЕТОДОЛОГИЯ
Данная структура данных была представлена в статье The LCA Problem Revisited[2] как часть оптимизированного решения задачи LCA (Least Common Ancestor). Задача LCA состоит в следующем: Пусть дано дерево G. На вход поступают запросы вида (V1, V2), для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка, т.е. вершину V, которая лежит на пути от корня до V1, на пути от корня до V2, и из всех таких вершин следует выбирать самую нижнюю. Решение задачи представленная в этой статье связана с задачей RMQ (Range Minimum Query) нахождения минимума на отрезке и структура данных разреженная таблица позволяет эффективно решать эту задачу. В книге Competitive
March, 2023
447
Programmer's Handbook[3] в разделе Запросы статичных массивов также показан решение для запроса минимумов с примером с статичным массивом. В интернет ресурсах, посвященных структурам данных и алгоритмам тоже представлен данный алгоритм. Например, в [4] представлен данный алгоритм с реализацией в языке C++, более подробно рассмотрена тема в [5] в том числе применение для коммутативных операций.
Постановка задачи. Предположим, что у нас есть массив чисел A состоящий из N элементов и нам нужно найти определенное значение для некоторого отрезка массива A. Значениями могут быть, например: минимальный элемент на отрезке, максимальный элемент на отрезке, сумма и т.д. Разреженная таблица позволяет с предпосчетом за время и с затратами памяти O(NlogN) для идемпотентных операций(минимум, максимум, НОД и т.д.) отвечать на запрос за время 0(1). Далее рассмотрим, как пример использование разреженной таблицы для нахождения минимального элемента на отрезке в запросах.
Описание структуры. Идея структуры данных разреженная таблица — это использование таблицы T для хранения ответов для отрезков. Но мы не можем хранить значения для всех отрезков так как расход памяти составит 0(N2), а будем хранить значения для отрезков длины 2к где 0 < к < [log2nJ. Формально в T[l][j] хранится значения для отрезка с левой границей l длины 2J, то есть значение для отрезка с индексами [l;l + 2J —1]. Например для массива с элементами [3, 2, 4, 5, 1, 1, 5, 3] длины 8 таблица будет выглядеть следующим образом:
rmq[3] rmq[2] rmq[l] rmq[0]
1
2 1 1 1 1
2 2 4 1 1 1 3
3 2 4 5 1 1 5 3
Рис 1. Структура таблицы для 8 элементов Построение. Рассмотрим построение для хранения значения минимального элемента на отрезке. В первую очередь нам нужно вычислить значения двоичных логарифмов их мы будем рассчитывать целыми числами с округлением вниз. Сделаем предпосчёт и сохраним значения в массиве:
1. int lg[N + 1];
2. lg[1] = 0; _ _
3. for (int i = 2; i <= N; ++i) { „w
d> a ®
March, 2023
448
4. lg[i] = lg[i / 2] + 1;
5. }
Листинг 1. Расчёт значений двоичных логарифмов чисел Следующим шагом сделаем построение самой таблицы:
1. // Чтение размера массива N и массива A
2. // ...
3.
4. for (int i = 1; i <= N; ++i) {
5. T[i][0] = A[i];
6. }
7. for (int i = 1; (1 << i) <= N; ++i) {
8. int len = (1 << i); for (int j = 1; j + len - 1 <= N; j++) {
int tail = j + len - 1;
T[j][i] = min(T[j][i - 1], T[tail - len / 2 + 1][i - 1]);
9.
10 11 12 13
}
}
Листинг 2. Построение разреженной таблицы для минимума Получение ответов. Для получения значения для отрезка [/; г] "объединим" ответы для двух отрезков [/; / + 2- — 1] и [г — 2- + 1;г], где ] наибольшее целое число для которого 2- < г — / + 1, то есть у = [1о§2 (г — / + 1)].
Рис 2. Объединение отрезков для ответа на запрос
1. int get(int l, int r) {
2. int len = r - l + 1;
3. int p = lg[len];
4.
5. return min(T[l][p], T[r - (1 << p) + 1][p]);
6. }
Листинг 3. Получение ответа на запрос минимума в отрезке Далее в запросах можем использовать эту функцию:
1. int Q;
2. cin >> Q;
3. for (int i = 1; i <= Q; i++) {
4. int l;
5. int r;
6. cin >> l >> r;
7. cout << get(l, r) << "\n"; 8- }
Листинг 4. Использование разреженной таблицы в запросах https://t.me/ares uz
March, 2023
Multidisciplinary Scientific Journal
Указанный выше пример можем использовать для других идемпотентных операций, например, для нахождения максимума, НОД и т.п. изменив функцию расчёта при построении таблицы и получении ответа.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Приведём сравнительный анализ разреженной таблицы и других структур данных для различных задач(запросов) и размера данных. Метрикой сравнения возьмём время исполнения программ с использованием этих структур данных на языке C++. В расчёт входит суммарное потраченное время на выполнение следующих операций: построение структуры, чтение запросов с файла, вычисление и вывод результатов на файл. Размер массива обозначим через Ы, число запросов равна Q.
Структура/ Размер данных N = 104 Q = 104 N = 105 Q = 105 N = 105 Q = 106 N = 106 Q = 5 * 106
Дерево отрезков 56 мс 619 мс 5754 мс 34178 мс
SQRT- декомпозиция 63 мс 806 мс 7235 мс 58415 мс
Разреженная таблица 67 мс 802 мс 5594 мс 30761 мс
Таблица 1. Сравнение структур для задачи RMQ
Структура / Размер данных N = 104 Q = 104 N = 105 Q = 105 N = 105 Q = 106 N = 106 Q = 5 * 106
Дерево отрезков 57 мс 613 мс 6387 мс 32323 мс
SQRT- декомпозиция 56 мс 762 мс 7058 мс 58890 мс
Разреженная таблица 63 мс 722 мс 5586 мс 31661 мс
Таблица 2. Сравнение структур для задачи нахождения НОД на отрезке
Структура / Размер данных N = 104 Q = 104 N = 105 Q = ю5 N = 105 Q = 106 N = 106 Q = 5 * 106
Дерево отрезков 58 мс 634 мс 6863 мс 40786 мс
SQRT- декомпозиция 56 мс 890 мс 8863 мс 86058 мс
Разреженная таблица 123 мс 722 мс 5922 мс 33616 мс
Таблица 3. Сравнение структур для задачи нахождения суммы на
отрезке
March, 2023
450
ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
Исходя из данных приведённых выше можем заметить, что разреженная таблица даёт выигрыш при большем количестве запросов относительно размера входных данных. Первые две таблицы относятся к задачам, для которых данный алгоритм вычисляет ответ за константное время. Дополнительно в третьей таблице дано ассоциативная операция (сумма). Для таких операций структура вычисляет ответ за логарифмичное время. Примечательно что в этом случае разреженная таблица выдаёт хорошие результате при больших размерах данных особенно в последнем случае даёт значительное преимущество.
Структура данных разреженная таблица целесообразно использовать в следующих случаях:
1. Отсутствует модификация элементов, то есть значения элементов массива не меняются.
2. Число запросов большое
3. Нужно найти значение идемпотентной функции для отрезка таких как минимум, максимум и т.п. Для таких операций разреженная таблица выдаёт ответа за время 0(1), в остальных случаях за что уже не даёт преимущества перед другими структурами данных.
REFERENCES
1. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Кормен, Томас X., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клиффорд. Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. — 1296 с.
2. http://www2.compute.dtu.dk/courses/02282/2021/nca/CPbook.pdf
3. M. A. Bender, M. Farach-Colton. The LCA problem revisited. In Latin American Symposium on Theoretical Informatics, 88-94, 2000.
4. https://ru.algorithmica.org/cs/range-queries/sparse-table/
5. https://peltorator.ru/posts/sparse_table/
ВЫВОД
March, 2023
