CC BY
4
УДК 111.111
М. В. Святловский
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Стройный порядок на строго позитивных формулах
Рассматривается фрагмент языка модальной логики, состоящий из формул, построенных из конечного набора переменных и константы Т с помощью связок Л и О. Для естественного порядка следования в К4 на этом фрагменте доказано, что он является стройным предпорядком (well-quasi order), и найдены оценки его ординального типа. Также доказано, что теория, двойственная к произвольной теории в этом фрагменте, имеет конечную аксиоматизацию.
Ключевые слова: строго позитивные логики, частичный порядок.
М. V. Svyatlovskiy Moscow Institute of Physics and Technology
Well-quasi order on strictly positive formulas
We study the fragment of modal logic consisting of formulas constructed by a finite set of variables and constant Т with connectives Л and О. This fragment is naturally ordered by implication in К4; we show that it is a well-quasi order and find upper and lower bounds for its ordinal type. We also show that the dual of any theory in this fragment has a finite number of axioms.
Key words: strictly positive logics, well-quasi order.
1. Введение
Интерес к строго позитивным фрагментам модальных логик возник независимо в трёх различных областях: в универсальной алгебре, в изучении дескрипционных логик и в логике доказуемости.
С точки зрения универсальной алгебры, импликации между строго позитивными формулами соответствуют тождествам в языке нижних полурешеток с несколькими монотонными операторами. Строго позитивные логики при этом соответствуют многообразиям таких алгебр. В частности, в работе Джексона [12] рассмотрены полурешетки с операторами замыкания. В работе [13] подробно рассматриваются вопросы полноты по Крипке и разрешимости строго позитивных логик.
Дескрипционные логики используются в базах данных, снабженных некоторой способностью делать логические выводы на основе имеющихся данных (базах онтологий). Так, в базе медицинской терминологии SNOMED CT применяется строго позитивная логика £С, описанная в работах [14-16], вместе с эффективным разрешающим алгоритмом.
В последнем случае для нескольких логик доказуемости оказалось, что их строго позитивные фрагменты просты и полезны для анализа. Для примера, полимодальная логика GLP не полна по Крипке [7] и PSPACE-полна [8], в то время как её строго позитивный фрагмент RC одновременно полон по Крипке и полиномиально разрешим [5]. Далее, в работах [9-11] арифметические операторы над теориями рассматриваются как модальности, чтобы на языке логики описать свойства этих операторов.
© Святловский М. В., 2022
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022
В данной работе мы изучаем отношение следования на строго позитивных формулах как отношение порядка. Теория стройных предпорядков (известных в англоязычной литературе как well-quasi orders) интересна с точки зрения теории множеств и комбинаторики, поскольку многие естественные структуры, такие как порядок на строках и порядок на деревьях [1, 2], оказываются стройными предпорядками. Одна из таких структур, как показано в статье [21], — стройный предпорядок (точнее, better-quasi order, [20]) на линейных порядках. В то же время с помощью стройных предпорядков можно доказывать термини-руемость систем переписывания термов (например, как в статье [17]).
Известны и применения стройных предпорядков в логике — например, финитная форма теоремы Крускала даёт примеры комбинаторных утверждений, не доказуемых в сильных арифметических теориях [18]. Более подробно логический анализ теоремы Крускала, вместе с её финитной формой и выводом ординального типа стройного предпорядка на деревьях, дан в статье [23]. В статье [22] обсуждается соответствие между другим независимым от арифметики Пеано комбинаторным утверждением — принципом Червя — и известным стройным предпорядком на строках из натуральных чисел и на замкнутых модальных формулах полимодальной логики доказуемости. Рассматриваемый в этой статье стройный порядок имеет природу, близкую к изучаемому в настоящей работе.
Современные результаты о стройных предпорядках собраны в книге [24], в частности, в статье [19] рассматриваются различные ординальные характеристики стройных предпорядков, включая ординальный тип.
Работа организована следующим образом. В разделе 2 формулируются необходимые понятия и известные результаты, касающиеся строго позитивного фрагмента логики К4 и стройных предпорядков. В разделе 3 доказывается, что отношение следования на строго позитивных формулах является стройным предпорядком; далее показано, что этот предпорядок можно определить рекурсивно, и с помощью этого найдены верхняя и нижняя оценки его ординального типа.
2. Основные понятия
Формулы пропозициональной модальной логики строятся из переменных Var = {po,pi,...} и константы Т с помощью логических связок Л,— и модальности О. Связки V, ^ и □ = —О— мы рассматриваем как стандартные сокращения. Строго
Т
использованием только связок Л и О. Секвенцией мы называем фор мулу вида А ^ В, где А и в — строго позитивные формулы.
Мы используем общепринятую семантику Крипке. Шкалой Крипке называется пара (W., R), где W — непустое множество, a R — бинарное отношение на W. Моделью Крипке называется тройка М = (W, R,v), где (W., R) — шкала Крипке, а v, или оценка, — произвольное отображение v: Var ^ 2W.
Отношение истинности модальной формулы р в точке х модели Крипке М определяется индуктивно по построению формулы (р:
о М, х = Т ; М,х = р & х £ v(p),
о М, х = —р & М, х = <р,
о М, х = Л & М,х = Л М, х =
о М,х = Ор &3у £ W(xRy ЛМ,у = <р).
Будем говорить, что формула истинна, в модели, если она истинна в каждой точке модели, и истинна, в шкале, если она истинна в модели для любой оценки на этой шкале. Логикой класса, шкал, С называется множество всех модальных формул, истинных в любой шкале из С.
Для модели Крипке будем использовать следующую терминологию:
о если хКу, то у — потомок х и х — предок у,
о потом ок у вершины х называется ближайшим, если У г € Ш —(хЯг Л гЯу)]
о корней модели Крипке М = (Ш, К, ь) называется такая вершина г, что Уу € Щ г = у V гКу;
о модель М линейна, если она антисимметрична и притом Ух, у, г € Ш (хКу Л хКг) ^ (у = г V уКг V гКу)-,
о модель М является деревом, (или древовидной), если она антисимметрична, транзи-тивна, имеет корень и для любой вершины х € ^множество {у | уКх} линейно;
о если модель М — дерев о их — один из ближайших потомков её корня г, то множество {х} и {у | хКу} называется максимальным поддеревом, модели М.
Пусть М1 = (Wl, К\,Ь\) и М2 = (^2, ^2,^2) — модели Крипке. Функция /: М1 ^ М2
называется гомоморфизмом, если:
1) Ух, у € хП1у ^ f (ж)Д2/(у)]
2) Ух € Ш1,р € Уаг х € ь1(р) ^ /(х) € ь2(р).
Пусть М1, М2 — древовидные модели Крипке. Инъективная функция /: М1 ^ М2
называется гомеоморфным вложением, если:
1) f — гомоморфизм;
2) если и!1,и!2 — два различных ближайших потом ка вершины V € М1, то верши на / (и) лежит на пути между /(^1) и /(^2)-
По определению, логика К есть логика класса всех шкал Крипке, логика К4 есть логика класса всех шкал, в которых отношение Е транзитивно.
Исчисление К + задается следующими аксиомами и правилами вывода:
А ^ В, В ^ С 1) А ^ А, А ^ Т, -
2) А Л В ^ А, А Л В ^ В
3)
А ^ С
А ^ В, А ^ С
А ^ В Л С А^В
О А ^ ов'
Строго позитивной, логикой, мы называем набор секвенций, замкнутый относительно К+. Это соответствует семантике нижних полурешёток с монотонной операцией в том смысле, что теоремы К + (и только они) являются секвенциями, истинными во всех таких полурешётках. Исчисление К 4+ есть К + вместе с аксио мой ООА ^ О А. Из результатов [6] следует, что исчисление К4+ порождает в точности строго позитивный фрагмент логики К4, и то же для К+ и Строго позитивным, фрагментом модальной логики Ь мы называем множество всех секвенций, входящих в Ь.
Следуя работе [5], каждой строго позитивной формуле А сопоставим транзитивную древовидную модель Крипке Т[А], называемую камомическгш деревом, формулы А.
Если А — переменная, то Т[А] — одноточечная модель с пустым отношением Д, и А — единственная истинная переменная в этой точке.
Если А = Т, то Т[А] — одноточечная модель с пустым К, в которой все переменные ложны.
Если А = В Л С, то Т[А] образуется из Т[В] и Т[С] соединением их корней в одну вершину. В новом корне истинны те и только те переменные, которые истинны хотя бы в одном из корней деревьев Т [В] и Т [С].
Если А = О5, то Т[А] образуется из Т[В] добавлением нового корня, в котором все переменные ложны и из которого все вершины Т[В] достижимы по К. Корень канонического дерева Т [А] будем обозначать г (А). Следующие лемма и теорема доказаны в [5, леммы 5.3-5.6].
Лемма 1. Пусть М = (Ш, Я, у) — транзитивная модель Крипке, А — строго позитивная формула. Тогда М,х = А тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм /: Т[А] ^ М, причем, /(г(А)) = х.
Теорема 1. Пусть А, В — произвольные строго позитивные формулы. Тогда, следующие утверждения эквивалентны:
(г) К4+ Ь А ^ В;
(И) Т[А],г(А) = В;
(Ш) существует гомоморфизм f: Т[В] ^ Т[А], причем f (г(В)) = г(А).
Пара (А, :), где : — бинарное отношение на множестве А, называется предпорядком,, если отношение : рефлексивно и транзитивно. Аналогично, частичным порядком (или частично упорядоченным множеством) называется рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение; рассмотрев фактормножество по отношению эквивалентности, мы можем получить частичный порядок из любого предпорядка.
Предпорядок (А, :) называется стройным,, если для любой бесконечной последовательности а\, а,2,..., а,п,... элементов из А существует пара индексов г < ] такая, что йг : а,]. Мы будем использовать эквивалентное определение, а именно — любая бесконечная последовательность содержит не только пару элементов а^ : а^, но и бесконечную неубывающую подпоследовательность. Стройным, порядком, мы будем называть стройный
частичный порядок; ясно, что если (А, :) — стройный предпорядок, то (А/^, :) (фак-
:
Если (X, :) — стройный порядок, мы можем рассмотреть всевозможные его расширения до линейного порядка и найти точную верхнюю грань соответствующих ординалов; будем называть эту точную верхнюю грань ординальным, типом, и обозначать о(Х, :). В статье [4]
показано, что такая точная верхняя грань является максимумом, то есть на некотором
:
Ординальным типом стройного предпорядка (X, :) называется ординальный тип соответствующего стройного порядка (X/^, :).
3. Стройный предпорядок на множестве строго позитивных формул
Предложение 1. Пусть А, В — строго позитивные формулы. Гомоморфизм /: Т[В] ^ Т[А] существует тогда и только тогда, когда К4 Ь А ^ В V ОВ.
Доказательство. Заметим, что К4 Ь А ^ ВVОB тогда и только тогда, когда К4 Ь А ^ В или К 4 Ь А ^ О В. Первое, согласно теореме 1, равносильно существованию гомоморфизма /: Т [В ] ^ Т [А] такого, ч то / (г (В)) = г (А)-, второе равносильно существованию гомоморфизма /: Т[ОЛ] ^ Т[А] такого, что /(г(ОВ)) = г(А). В последнем случае мы можем ограничить этот гомоморфизм на Т[В] и получить гомоморфизм между Т[В] ж Т[А] (причём /(г(В)) = г(А)), что и требовалось. Обратно, если /: Т[В] ^ Т[А] — гомоморфизм и $ (г (В)) = г(А), то /' = £ и {(г(ОВ), г(Л))} — гомоморфизм между Т [ОВ ] и Т [Л].
Предложение 2. Пусть А, В — строго позитивные формулы такие, что в корнях Т[А] и Т[В] истинны одни и те же переменные. Тогда из К4 Ь А ^ ОВ следует К4 Ь А ^ В.
Доказательство. Согласно теореме 1, существует гомоморфизм f: Т[ОВ] ^ Т[Л], причем /(г(ОВ)) = г(А). Обозначим Т' = Т[В] \ {г(В)}. Заметим, что /' = /1т' и {(г(В),г(А))} — гомоморфизм, поскольку для любой вершины х € Т [В] верн о / (х) = г (А)-, при этом /'(г(В)) = г(А) по построению. Следовательно, К4 Ь А ^ В, что и требовалось.
Обозначим Рт — множество строго позитивных формул на конечном множестве переменных р1, р2,... ,'Рп- Определим на этом множестве два отношения: А ■ В, если К 4 Ь В ^ А, и А Б, если К 4 Ь В ^ А V О А.
Теорема 2. Отношение ■ является стройным предпорядком.
Доказательство. Заметим, что А ■ В равносильно существованию гомоморфизма $: Т [А] ^ Т [В ] такого, что $ (г (А)) = г (В); а. А В существованию гомоморфизма /: Т[А] ^ Т[В]. Определим ещё одно отношение: А ■'' В, если существует гомео-морфное вложение /: Т[А] ^ Т[В]. Ясно, что ■''с^'. По теореме Крускала, ■'' является стройным предпорядком, а значит, — тоже стройный предпорядок. По определению стройного предпорядка, из любой бесконечной последовательности {А¿} можно выделить бесконечную подпоследовательность {А^)} такую, что А^) Аф+1) (для любого натурального г), то есть К4 Ь ^(¿+1) ^ А^) V ОА^). Заметим, что мы можем также вывести К4 Ь А^+щ ^ А3(1) V для любого натурального к. Множество переменных {^1,... ,рп} имеет конечное число подмножеств, поэтому найдётся его подмножество, которое встречается в качестве Vаг(г(А3(1))) бесконечное множество раз. Удалим все остальные элементы подпоследовательности, получим новую бесконечную подпоследовательность {Дз'(г)}-Согласно предложению 1, К4 Ь Д^^) ^ А3'(^, то есть подпоследовательность {^«'(г)} не убывает в отношении Таким образом, ■ — стройный предпорядок, что и требовалось.
Будем называть модальную формулу негативной, если она построена из переменных и константы ± с использованием только связок V и □. Множество негативных формул Т будем называть негативной теорией, если для любых негативных формул А, В из А € Т и К4 Ь А ^ В следует В € Т. Аналогично, строго позитивной теорией мы называем множество строго позитивных формул Т такое, что для любых строго позитивных формул А, В из А € Т и К4 Ь А ^ В следует В € Т.
Определим оператор * на строго позитивных формулах, индуктивно по их построению: р* = р, Т* = ±, (А Л В)* = А* V В*, (ОА)* = □А*. Несложно видеть, что для любых строго позитивных формул А, В верно К 4 Ь А ^ В тогда и только тогда, когда К 4 Ь В * ^ А*.
Если Т С Рт — строго позитивная теория, то двойственной теорией Т* будем называть множество формул {А* | А € Рт \ Т}. Несложно проверить, что Т* действительно является негативной теорией. Аксиоматизацией такой теории будем называть множество строго негативных формул М такое, что для любой формулы А € Т* найдётся конечное
т
подмножество формул В1, В2,..., Вт из М: К4 Ь Д В± ^ А.
г=1
Следствие 1. Пусть Т — строго позитивная теория на конечном наборе переменных, замкнутая относительно аксиом и правил вывода К4+. Тогда у двойственной теории Т* есть конечная аксиоматизация.
Доказательство. Рассмотрим дополнение к теории Т в языке строго позитивных формул на данном наборе переменных. Согласно свойствам стройного предпорядка, это множество имеет конечный набор минимальных элементов А1, А2,..., Ат; то есть для любой строго позитивной формулы В € Т найдётся формула Аг такая, что К4 Ь В ^ А^. Тогда набор формул А\, А2,..., есть набор аксиом для Т*. Проверим это: пусть В € Т*, В = С*, где С — некоторая строго позитивная формула. Тогда по определению С / Т, и для одной из формул ^ имеем К 4 Ь С ^ А^, а это равносильно К 4 Ь А* ^ С * = В, что и требовалось.
Отметим, что похожий результат был ранее получен Беклемишевым для логики СЕР - [22, Теорема 3.4].
Лемма 2. В каждом классе эквивалентности по отношению : существует формула А такая, что если К4 Ь А о то \Т[В] \ > \Т[А]| или Т[А\ и Т[В] изоморфны.
Доказательство. Предположим противное: существуют две эквивалентные в К4 формулы А, В, при этом \Т[А]| = \Т[Л]\, Т[А] ш Т[В] не изоморфны, и размер \Т[Л]\ — минимальный в своём классе эквивалентности. Мы предполагаем, что размер \Т[Л]\ — минимально возможный среди всех таких пар (А, В).
Обозначим А = а0 Л Оа\ Л ... Л Оат и В = Ь0 Л ОЬ\ Л ... Л О6к, где а0 и Ь0 не содержат О Ясно, что ао = Ьо- Определим функцию /: {1, 2,... ,к} ^ {1, 2,..., т} такую, что если /= К4 Ь ОЬ, ^ Оа,г. Если более одного значения ] можно выбрать в качестве /(г), мы можем выбрать любое. Аналогично определим функцию д: {1, 2,..., т} ^ {1, 2,... ,к}.
Допустим, что / не сюръективна, то есть /(г) = ] не выполняется ни при каком г и фиксированном Положим В' = Ь0 Л ОЬ\ Л ... Л ОЬ^-\ Л ОЬ^+\ Л ... Л ОЬк- Тогда К4 Ь А о В', что противоречит минимальности \Т[Л]\ в своём классе эквивалентности. Поэтому / (и также д) сюръективна, и т = к. Получаем, что к = д о / является перестановкой, и для некоторого натурального I выполнено к1 = Это сооответствует тому, что К4 Ь О(ц ^ ... ^ Оащ) ^ ОЪf(¿) ^ О(ц для любого г. Поскольку Оа^ и Оа^(г) эквивалентны и \Т[Л]\ минимален, на деле выполнено равенство к = гй. Так как Ощ и ОЪГ(г) эквивалентны, возможны случаи К4 Ь сц ^ bf(¿) и К4 Ь сц ^ Оbf(¿), но второй случай влечёт К4 Ь а^ ^ Оа^ противоречие. Итак, а^ и Ьf(i) эквивалентны; поскольку размеры \Т[Л]\ = \Т[5]\ минимальны в их классе эквивалентности, то же можно сказать про \Т[щ]\ = \Т[bf(¿)]\. Наконец, поскольку \Т[Л]\ > \Т[щ]\, Т[щ] и Т(¿)] изоморфны. Объединяя эти изоморфизмы между поддеревьями с перестановкой /, мы получаем изоморфизм между Т[А] и Т[В], что противоречит начальному предположению.
Если формула А минимальна, то формулы, соответствующие максимальным поддеревьям Т[А], также минимальны и попарно несравнимы по отношению Отметим также, что в работе Джексона [12, 2.8-2.13] была дана схожая характеристика для классов эквивалентности в логике 54+.
Пусть М = (Ш, — частично упорядоченное множество. Антицепью называется любое подмножество Ш, состоящее из попарно несравнимых элементов. Определим пополнение антицепям,и Мг = (Шу, :) следующим образом:
1) Шт — множество всех антицепей в Ш]
2) х : у а Е х 3 Ь Е у а ^ Ь.
Лемма 3. Пусть А, В — минимальные строго позитивные формулы, и в корнях Т[А] и Т[В] верны одни и те же переменные. Обозначим А\... Ат и В\... В^ формулы, соответствующие максимальным поддеревьям Т[А\ и Т[В]. Следующие утверждения эквивалентны:
(г) А : В, или К4 Ь В ^ А;
(И) А : В, ил,и К4 Ь В ^ А V ОА;
(Ш) {А\ ... Ат} < {В\ ... Вк}, в значении порядка, (Рт/^, :')г.
Доказательство. Из (и) следует, что существует гомоморфизм /: Т[А] ^ Т[В]-, мы можем переопределить его значение в корне /(г(А)) = г(В), а наличие гомоморфизма с таким условием в корне влечёт Тем самым первые два утверждения равносильны.
Если /: Т[А] ^ Т[В] — гомоморфизм, то для каждого г = 1 ...т мы имеем /(г(Аг)) Е Т[В2] при некотором и /\t\Ai] — гомоморфизм, отображающий Л^а В^. И обратно, если мы объединим произвольные гомоморфизмы : Т [А^ ^ Т [Bj(i)], г = 1.. .т, и положим /(г(А)) = г(В), мы получим гомоморфизм /: Т[А] ^ Т[В]. Тем самым равносильны утверждения и (ш).
Заметим, что А ■ В влечёт наличие гомоморфизма f: Т[А] ^ Т[В], и тем самым высота дерева Т [А] те более высоты Т [В], а есл и f (г (А)) = г (В), то высота строго меньше. Поэтому А ■ В и В ■ А втечёт А ■ В и В ■ А; таким образом, в отношениях ■ и одинаковые классы эквивалентности.
Следующие определение и лемму мы заимствуем из статьи [3].
Пусть X,Y — частично упорядоченные множества. Функция f: X ^ Y называется квазивложением, если f (х\) ^у f (х2) втечёт х1 ^х ж2 для любых х1,х2 G X.
Лемма 4. Пусть X, Y — частично упорядоченные множества, и f: X ^ Y — квазивложение. Если Y является cm,ройным, порядком, то cm,ройным, порядком является также X, причём о(Х) ^ o(Y).
Доказательство. Предположим, что {хп} — бесконечная последовательность элементов X. Последовательность {f(Хп)} содержит бесконечную неубывающую подпоследовательность {f (ж8(п))}, так как Y — стройный порядок. По определению, {ж5(га)} также не убывает, поэтому X — стройный порядок.
Пусть ■ — линейный порядок, расш иряющий Есл и х\ < х2, то соответствующие элементы f (х\) ш f (Х2) могут быть либо несравнимы, либо f (х\) <y f (Х2) (иначе Х2 ^х х1> противоречие), поэтому можно расширить ^у сравнением f (х\) < f (Ж2). Если добавить все такие сравнения, мы получим линейный порядок на множестве f (X), изоморфный порядку (X, ■) и расширяющий по рядок ^у в ограничени и на f (X), поэтому о(Х) ^ o(Y).
2п — 1
Лемма 5. Ординальный тип предпорядка (Fm, ■) на п переменных не менее шш
Доказательство. Заметим, что существует естественное квазивложение из строк в алфавите ({0,1}п) на формулы в Fm/^, соответствующие линейным деревьям. При этом формулы, соответствующие линейным деревьям, минимальны. Поэтому мы можем применить теорему [4, Теорема 3.11] и тот факт, что о({0,1}п) = 2п.
Теорема 3. Ординальный, тип предпорядка (Fm, ) на п переменных не превосходит, е0.
Доказательство. Пусть Fmi — множество строго позитивных формул с одними и теми же верными переменными в корне (г = 1... 2п). Согласно лемме 3, имеет место соотноше-
п п
ние (Fm/^, ■) = \_\(Fmi/■) = [_\(Fm/■ )г. Это определяет порядок (Fm/^, ■)
г=1 г=1
рекурсивно. Тогда его ординальный тип не превосходит sup fm(0) где f — соответствую-
m
щая функция на ординалах; согласно [3, Теорема 2.18] и [4, Теорема 3.5], f (а) < ша х 2п (где х обозначает натуральное произведение ординалов), и тогда sup fm(0) < е0.
m
Следствие 2. Ординальный тип предпорядка (Fm, ■) на п переменных не превосходит ео х 2п.
п
Доказательство. Имеется соотношение (Fm/^, ■)= LI (Fmi/■ ) откуда и получаем
г=1
o(Fm/„, ■) < o(Fmi/„, ■) х 2п < ео х 2п.
Автор благодарит своего научного руководителя Л. Д. Беклемишева за обсуждения и помощь в процессе подготовки рукописи.
Литература
1. Kruskal J.В. The theory of well quasi-ordering: a frequently discovered concept // J. Combin. Theory. 1972. Ser. A 13. P. 297-305.
2. Nash-Williams C.St.J.A. On well-quasi-ordering finite trees // Proceedings of Cambridge Phil.Soc 59. 1963. P. 833-835.
3. Rathjen М., Van der Meeren J., Weiermann A. Well-partial-orderings and the big Veblen number // Archive for Mathematical Logic. 2015. V. 54. P. 193-230.
4. de Jongh D.H.J., Parikh R. Well-partial orderings and hierarchies // Nederl. Akad. Wetensch. 1977. Proc. Ser. A 80 = Indag. Math. 39, N 3. P. 195-207.
5. Дашков E.B. О позитивном фрагменте полимодальной логики доказуемости GLP // Математические Заметки. 2012. Вып. 91, № 3. С. 331-346.
6. Sofronie-Stokkermans V. Locality and subsumption testing in EL and some of its extensions // Advances in Modal Logic. 2008. V. 7 (eds.: C.Areces and R.Goldblatt). P. 315-339.
7. Boolos G. The Logic of Provability. Cambridge University Press, 1993.
8. Shapirovskiy I. PSPACE-decidabilitv of Japaridze's polvmodal logic // Advances in Modal Logic. 2008. V. 7 (College Publications, London). P. 289-304.
9. Beklemishev L.D. Positive provability logic for uniform reflection principles // Annals of Pure and Applied Logic. 2014. V. 165. P. 82-105.
10. Beklemishev L.D. On the reflection calculus with partial conservativitv operators // Lecture Notes in Computer Science. 2017. V. 10388. P. 48-67.
11. Beklemishev L.D. A universal algebra for the variable-free fragment of RCV // Symposium on Logical Foundations of Computer Science, S. Artemov and A. Nerode, editors, Lecture Notes in Computer Science. 2018.
12. Jackson M. Semilattices with closure // Algebra Universalis. 2004. V. 52. P. 1-37.
13. Kikot S., Kurucz A., Tanaka Y., Wolter F., Zakharyaschev M. Kripke completeness of strictly positive modal logics over meet-semilattices with operators // Journal of Symbolic Logic. 2019. V. 84. P. 533-588.
14. Baader F., Brandt S., Lutz C. Pushing the EL envelope // Proc. of the 19th Joint International Conference of Artificial Intelligence. 2005.
15. Baader F., Brandt S., Lutz C. Pushing the EL envelope. LTCS-Report 05-01, Institute for Theoretical Computer Science, Dresden University of Technology, 2005.
16. Baader F., Brandt S., Suntisrivaraporn Is tractable reasoning in extensions of the description logic EL useful in practice? Proc. of the Methods for Modalities Workshop, Berlin, Germany, 2005.
17. Gabelaia D., Kurucz A., Wolter F., M. Zakharyaschev M. Non-primitive recursive decidability of products of modal logics with expanding domains // Annals of Pure and Applied Logic. 2006. V. 142(1-3). P. 245-268.
18. Simpson S.G. Nichtbeweisbarkeit von gewissen kombinatorischen Eigenschaften endlicher Baume // Arch. Math. Logik Grundlag. 1985. V. 25(1). P. 45-65.
19. Dzamonja M., Schmitz S., Schnoebelen P. On Ordinal Invariants in Well Quasi Orders and Finite Antichain Orders // Well-Quasi Orders in Computation, Logic, Language and Reasoning. 2020. Trends in Logic, V. 53 (Schuster P., Seisenberger M., Weiermann A. editors), Springer, Cham. P. 29-54.
20. Simpson S. BQO theory and Fraisse's Conjecture. Recursive Aspects of Descriptive Set Theory. 1985. Mansfield R., Weitkamp G. editors, Oxford University Press, Oxford.
21. Laver R. On Fraisse's order type conjecture // Annals of Mathematics. 1971. V. 93. P. 89-111.
22. Carlucci L. Worms, gaps, and hydras // Mathematical Logic Quarterly. 2005. V. 51(4). P. 342-350.
23. Gallier J. WThat's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Г0? A survey of some results in proof theory // Annals of Pure and Applied Logic. 1991. V. 53. P. 199-260.
24. Schuster P., Seisenberger M., Weiermann A. (editors) Well-Quasi Orders in Computation, Logic, Language and Reasoning // Trends in Logic. 2020. V. 53.
References
1. Kruskal J.B. The theory of well quasi-ordering: a frequently discovered concept. J. Combin. Theory. 1972. Ser. A 13. R 297-305.
2. Nash-Williams C.St.J.A. On well-quasi-ordering finite trees. Proceedings of Cambridge Phil.Soc 59. 1963. P. 833-835.
3. Rathjen M., Van der Meeren J., Weiermann A. Well-partial-orderings and the big Veblen number. Archive for Mathematical Logic. 2015. V. 54. P. 193-230.
4. D. H. J. de Jongh, Parikh R. Well-partial orderings and hierarchies. Nederl. Akad. Wetensch. 1977. Proc. Ser. A 80 = Indag. Math. 39, N 3. P. 195-207.
5. Dashkov E. V. On positive fragment of polvmodal provability logic GLP. Mathematical Notes. 2012. V. 91, N 3. P. 318-333.
6. Sofronie-Stokkermans V. Locality and subsumption testing in EL and some of its extensions. Advances in Modal Logic. 2008. V. 7 (eds.: C.Areces and R.Goldblatt). P. 315-339.
7. Boolos G. The Logic of Provability. Cambridge University Press, 1993.
8. Shapirovskiy I. PSPACE-decidabilitv of Japaridze's polvmodal logic. Advances in Modal Logic. 2008. V. 7 (College Publications, London). P. 289-304.
9. Beklemishev L.D. Positive provability logic for uniform reflection principles. Annals of Pure and Applied Logic. 2014. V. 165. P. 82-105.
10. Beklemishev L.D. On the reflection calculus with partial conservativitv operators. Lecture Notes in Computer Science. 2017. V. 10388. P. 48-67.
11. Beklemishev L.D. A universal algebra for the variable-free fragment of RCV. Symposium on Logical Foundations of Computer Science, S. Artemov and A. Nerode, editors, Lecture Notes in Computer Science. 2018.
12. Jackson M. Semilattices with closure. Algebra Universalis. 2004. V. 52. P. 1-37.
13. Kikot S., Kurucz A., Tanaka Y., Wolter F., Zakharyaschev M. Kripke completeness of strictly positive modal logics over meet-semilattices with operators. Journal of Symbolic Logic. 2019. V. 84. P. 533-588.
14. Baader F., Brandt S., Lutz C. Pushing the EL envelope. Proc. of the 19th Joint International Conference of Artificial Intelligence. 2005.
15. Baader F., Brandt S., Lutz C. Pushing the EL envelope. LTCS-Report 05-01, Institute for Theoretical Computer Science, Dresden University of Technology, 2005.
16. Baader F., Brandt S., Suntisrivaraporn Is tractable reasoning in extensions of the description logic EL useful in practice? Proc. of the Methods for Modalities Workshop, Berlin, Germany, 2005.
17. Gabelaia D., Kurucz A., Wolter F., M. Zakharyaschev M. Non-primitive recursive decidability of products of modal logics with expanding domains. Annals of Pure and Applied Logic. 2006. V. 142(1-3). P. 245-268.
18. Simpson S.G. Nichtbeweisbarkeit von gewissen kombinatorischen Eigenschaften endlicher Baume. Arch. Math. Logik Grundlag. 1985. V. 25(1). P. 45-65.
19. Dzamonja M., Schmitz S., Schnoebelen P. On Ordinal Invariants in Well Quasi Orders and Finite Antichain Orders. Well-Quasi Orders in Computation, Logic, Language and Reasoning. 2020. Trends in Logic, V. 53 (Schuster P., Seisenberger M., Weiermann A. editors), Springer, Cham. P. 29-54.
20. Simpson S. BQO theory and Fraisse's Conjecture. Recursive Aspects of Descriptive Set Theory. 1985. Mansfield R., Weitkamp G. editors, Oxford University Press, Oxford.
21. Laver R. On Fraisse's order type conjecture. Annals of Mathematics. 1971. V. 93. P. 89-111.
22. Carlucci L. Worms, gaps, and hydras. Mathematical Logic Quarterly. 2005. V. 51(4). P. 342-350.
23. Gallier J. What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal To? A survey of some results in proof theory. Annals of Pure and Applied Logic. 1991. V. 53. P. 199-260.
24. Schuster P., Seisenberger M., Weiermann A. (editors) Well-Quasi Orders in Computation, Logic, Language and Reasoning. Trends in Logic. 2020. V. 53.
Поступим в редакцию 22.07.2022
