Научная статья на тему 'Строение локально примитивных орграфов'

Строение локально примитивных орграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

15
1
Поделиться
Ключевые слова
ЛОКАЛЬНО ПРИМИТИВНЫЙ ОРГРАФ / КОМПОНЕНТА СИЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ / ПЕРЕМЕШИВАЮЩИЙ ГРАФ / ГЕНЕРАТОР С ПЕРЕМЕЖАЮЩИМСЯ ШАГОМ / LOCAL PRIMITIVE DIGRAPH / STRONGLY CONNECTED COMPONENT / MIXING GRAPH / ALTERNATING STEP GENERATOR

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кяжин Сергей Николаевич

Исследованы свойства строения i х j-примитивного орграфа, используемые при расчёте i х j-экспонента орграфа. Показано, что i х j-примитивный орграф есть или компонента сильной связности (ксс), или множество ксс, соединённых определённым образом простыми путями, все вершины которых, за исключением, быть может, начальной и конечной, являются ациклическими. Множество ксс разбивается на k + 1 ярусов в соответствии с удалённостью от вершины i. Описано строение перемешивающего графа преобразования множества состояний генератора последовательностей с перемежающимся шагом, построенного на основе регистров сдвига длин m, n, r. Показано, что i х (m+n)и i х (т+п+г)-примитивный перемешивающий граф преобразования множества Vm+n+r состояний генератора состоит из трёх ксс. В обоих случаях (i х (m + n)и i х (m + n + г)-примитивность) множество ксс разбивается на 2 яруса.

Structure of local primitive digraphs

For vertices i and j in a digraph Г, this digraph is said to be i x j-primitive if there exists an integer y such that, for any t ^ y, there is a path in Г of length t from i to j; in this case, the least y is called i x j-exponent of Г. The properties of the i x j-primitive digraph Г structure, used for calculation of the digraph i x j-exponent, are investigated. It is shown that i x j-primitive digraph Г is strongly connected or the strongly connected components in it are connected to each other with the some simple paths in which all the vertices except, perhaps, initial and final ones are acyclic. The set of these components is divided into k + 1 levels according to the distance from vertex i, namely the 0-th level contains the strongly connected component with i, the k-th level contains the strongly connected component with j, the t-th level contains the strongly connected components which don't belong to the previous t 1 levels and are connected with some components on (t 1)-th level, t = 1,..., k 1. Also, it is shown that, for the transformation of the state set of the cryptographic alternating step generator constructed on the base of linear feedback shift registers of lengths n, m and r, the i x j-primitive mixing digraph, for each i E {1,..., m} and j E {m + n, m + n + r}, consists of three strongly connected components divided into two levels.

Текст научной работы на тему «Строение локально примитивных орграфов»

Пример. Для перемешивающего орграфа Г(^9) регистра сдвига с одной обратной связью при п = 8, г = 32, Б = Б2 = {0, 3, 4, 6, 7} из формулы (5) следует оценка ехрГ(^9) ^ 11 (здесь р(Б) = 3).

а) Оценим ехрГ(^9'м) перемешивающего орграфа Г(^9'м) регистра с двумя обратными связями при тех же значениях п, г, Б. Пусть т =3. Тогда при любом А из (6) следует оценка ехрГ(^9'м) ^ 7. Минимум оценки (6) достигается при р(А) = 1: ехр Г(^) ^ 5.

б) Оценим ехр Г(^9'м) при тех же значениях п, г, т и при Б1 = {0, 6, 7}, А = {3,4}. В этом случае р(^) = 6, р(А) = 7 (т. е. р(А) ^ р(^) + 1) и е = е' = 7. Из (6) следует оценка ехрГ(^9'м) ^ 13, а из (5) —оценка ехрГ(^9) ^ 11.

Выводы

Проведено сравнение верхних оценок экспонентов перемешивающих орграфов Г(^9) и Г(^9'м) преобразований регистров сдвига ^9 и с одной и двумя обратными связями, построенных на основе МАГ. Получены условия, при которых оценка ехр Г(^9'м) ниже оценки ехр Г(^9). Добавление второй обратной связи улучшает перемешивающие свойства регистра При одинаковых множествах точек съёма Б у регистров и перемешивающие свойства лучше у регистра с двумя обратными связями. Экспоненты перемешивающих орграфов Г(^9'м) близки к наименьшим значениям при т = |~п/2] — 1, {т, п — 1} € Б П А. Если величина шт{р(Б), р(А)} близка к 1, то оценка ехрГ(^9'м) улучшается до 50%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дорохова (Коренева) А. М. Оценки экспонентов перемешивающих графов некоторых модификаций аддитивных генераторов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 60-64.

2. Коренева А. М., Фомичёв В. М. О существенных переменных функции переходов модифицированного аддитивного генератора // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2016. №9. С. 51-54.

3. Коренева А. М., Фомичёв В. М. Перемешивающие свойства модифицированных аддитивных генераторов // Дискретный анализ и исследование операций. 2017. №2. С. 47-67.

4. Коренева А. М. О примитивности перемешивающих орграфов биективных регистров сдвига с двумя обратными связями // Прикладная дискретная математика. 2017 (в печати).

УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308Х/10/35

СТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНО ПРИМИТИВНЫХ ОРГРАФОВ

С. Н. Кяжин

Исследованы свойства строения г х ]-примитивного орграфа, используемые при расчёте г х ^-экспонента орграфа. Показано, что г х ^'-примитивный орграф есть или компонента сильной связности (ксс), или множество ксс, соединённых определённым образом простыми путями, все вершины которых, за исключением, быть может, начальной и конечной, являются ациклическими. Множество ксс разбивается на к + 1 ярусов в соответствии с удалённостью от вершины г. Описано строение перемешивающего графа преобразования множества состояний генератора последовательностей с перемежающимся шагом, построенного на основе регистров сдвига длин т, п, г. Показано, что г х (т+п)- и г х (т+п+г)-примитивный перемешивающий граф преобразования множества Ут+п+г состояний генератора

88

Прикладная дискретная математика. Приложение

состоит из трёх ксс. В обоих случаях (г х (т + п)- и г х (т + п + г)-примитивность) множество ксс разбивается на 2 яруса.

Ключевые слова: локально примитивный орграф, компонента сильной связности, перемешивающий граф, генератор с перемежающимся шагом.

Орграф Г называется г х ]-примитивным (локально примитивным), если существует такое натуральное 7, что в Г имеются пути из г в ] длины £ при любом £ ^ 7, наименьшее такое 7 называется гх^'-экспонентом (локальным экспонентом) орграфа Г. Отсюда г х ]-примитивность орграфа Г полностью определяется свойствами непустого множества путей из г в

В [1] показано, что оценка локального экспонента сильно зависит от строения локально примитивного орграфа. С целью оптимизации существующих [1] и получения новых оценок локального экспонента для различных классов орграфов целесообразно описать строение локального примитивного орграфа в общем виде.

Обозначим Г(г,^) компоненту сильной связности орграфа Г, содержащую множество всех путей из г в ]. Для вершин г,^ орграфа Г ксс и орграфа Г называется г,^-связывающей (кратко г,^-ксс), если в Г(г,^) есть путь, проходящий через некоторую вершину ксс и.

Утверждение 1 [2]. Если орграф Г является г х ^'-примитивным, то Г содержит г, ^'-ксс.

При описании г х ]-примитивного орграфа различаются 2 случая.

Случай 1: вершины г,] принадлежат общей ксс (в частности, г =

Утверждение 2 [1]. Если вершины г,^ принадлежат ксс и, то орграф Г является г х ]-примитивным тогда и только тогда, когда ксс и примитивная.

Случай 2: вершина г недостижима из вершины ]. Без ущерба для общности положим, что обе вершины г,^ не принадлежат г,^-ксс.

Простой путь (г, г 1,... , г/, ^) в орграфе Г назовём ациклическим, если вершины г 1,..., г/ ациклические.

В общем случае Г(г, ]) состоит из всех г, ]-ксс и ациклических простых путей, соединяющих г,]-ксс и вершины г,]. Разобьём множество вершин на к + 1 блоков (ярусов), к < п. К 0-му ярусу относится вершина г, к к-му ярусу — вершина К 1-му ярусу отнесём все г,^-ксс, достижимые из вершины г с помощью ациклического простого пути. Вершина 0-го яруса г соединяется с вершиной ] с помощью простых ациклических путей, если таковые есть в Г. Каждая г,^-ксс и 1-го яруса имеет множество предшественников Р(и), содержащее вершину г.

Пусть описаны 1-й, ... , (£ — 1)-й ярусы и множества предшественников для каждой г,^'-ксс этих ярусов, £ < к. К £-му ярусу отнесём все г,]-ксс, не входящие в 1-й, ... , (£ — 1)-й ярусы и достижимые из г,^-ксс (£ — 1)-го яруса с помощью ациклического простого пути. Множество предшественников Р(и) для г,^-ксс и £-го яруса состоит из всех вершин, из которых достижима и. Ксс и £-го яруса соединена с вершиной ] и с вершинами г,]-ксс 1-го, ..., £-го ярусов, не входящих в Р(и), с помощью простых ациклических путей, если таковые есть в Г. Построение завершено после описания 1-го, ..., (к — 1)-го ярусов и множеств предшественников для каждой г,^-ксс этих ярусов.

Пример. На рис. 1 изображён граф Г(1,14), содержащий четыре 1,14-ксс и1, и2, и3, и4 с множествами вершин {2, 3}, {4, 5,6}, {8, 9}, {12,13} соответственно.

Рис. 1. Орграф Г(1,14)

К 0-му ярусу относится вершина 1, к 1-му — ксс и1 и и2, ко 2-му — ксс и3 и и4, к 3-му — вершина 14. Множества предшественников: Р(и1) = {1}, Р(и2) = {1, 2, 3, 12,13}, Р(из) = Р(и2) и {4, 5,6, 7}, Р(и4) = {1, 2, 3}.

С помощью этой модели опишем перемешивающий орграф генератора с перемежающимся шагом [3, гл. 18], построенный на базе двоичных регистров правого сдвига: управляющего длины т и двух генерирующих длин п и г, т,п,г> 1. В зависимости от управляющего знака сдвигается либо первый, либо второй генерирующий регистр.

Перемешивающий орграф Г(к) преобразования к множества Ут+п+г состояний генератора является г х (т + п)- и г х (т + п + г)-примитивным [4] для любого г € {1,..., т}; Г(к) содержит г, (т + п)-ксс и1 и и2 (с множествами вершин {1,..., т} и {т + 1,... ,т + п} соответственно) и г, (т + п + г)-ксс и3 с множеством вершин {т + п + 1,..., т + п + г}. Для любого г € {1,..., т} в орграфе Г(г, т + п) имеется два яруса: к 0-му ярусу относится ксс и1, к 1-му — ксс и2; в орграфе Г(г,т + п + г) также имеется два яруса: к 0-му ярусу относится ксс и1, к 1-му — ксс и3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кяжин С. Н. О применении условий локальной примитивности и оценок локальных экспонентов орграфов // Прикладная дискретная математика. 2016. №4(34). С. 81-98.

2. Кяжин С. Н., Фомичев В. М. Локальная примитивность графов и неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2014. №3(25). С. 68-80.

3. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 424 с.

4. Кяжин С. Н., Фомичев В. М. Перемешивающие свойства двухкаскадных генераторов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2016. №9. С. 60-62.

УДК 004.056.55 D0I 10.17223/2226308X/10/36

ВЕРСИЯ ПРОТОКОЛА ДИФФИ — ХЕЛЛМАНА, ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СКРЫТЫЕ МНОЖИТЕЛИ1

А. А. Обзор

Приводится версия протокола Диффи — Хеллмана, использующая скрытые множители из подгрупп мультипликативной группы конечного поля. Для раскрытия секрета данного протокола недостаточно решить проблему дискретного логарифма, необходимо также вычислить порядки некоторых элементов группы.

1 Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект №16-11-10002).