Стратификация динамических систем и ее использование в задачах управления летательными аппаратами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Поперечным отклонением ручки управления устраняется боковое отклонение, продольным - стабилизируется угол тангажа. При этом при неподвижном РОШ в штатной СУУ происходит возмущение исходной высоты полета &Н на величину, превышающую 5 м (см. рис. 3). При использовании закона (1) высота полета выдерживается практически точно.

Для обеспечения того же эффекта в штатной СУУ летчик должен управлять РОШ в соответствии с нижним графиком рис. 3. В модифицированной СУУ эта задача решается автоматикой, что способствует облегчению пилотирования.

В качестве основного недостатка предлагаемого решения является уменьшение максимальной скороподъемности вертолета при полете на большой скорости.

(1)

только за счет отклонения РОШ, т.е. за счет непосредственного управления тягой . -поре управление вертикальной скоростью осуществляется не только за счет непосредственного управления тягой, но и через канал угла тангажа. В предлагаемом же варианте построения СУУ изменения вертикальной скорости, вызванные изме-, . (1) -разно включать лишь в случаях, когда не требуется (либо невозможно) реализовать высокую скороподъемность: маневрирование на малых скоростях, маловысотный полет с облетом препятствий по направлению. Для этого возможно установление на РОШ специальной кнопки, с помощью которой летчик мог бы управлять включением и отключением автоматической компенсации возмущений вертикальной скорости при управлении креном и тангажом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чунтул А.В. Особая сфера человеческой деятельности // Вертолет. 1999. № 1. С. 34-35.

2. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. - М.: Наука. 1980.

3. Буков В.Н., Бронников Л.М. Условия инвариантности выхода линейных систем // Авто-

. 2005. 2. . 23 - 35.

4. Петросян ЗА. Аэродинамика соосного вертолета. - М.: Полигон-^есс. 2004.

УДК 629.7.05

В Л. Буков, А. М. Бронников

ФГУП НИИ авиационного оборудования ”, г. Жуковский, Военно-воздушная инженерная академия им. Н.Е. Жуковского, г. Москва

СТРАТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ

АППАРАТАМИ

Введение

Решение ряда задач управления линейными многосвязными системами существенно облегчается, если удается найти некоторое преобразование подобия, приводящее матричное уравнение исходной системы к блочно-треугольному виду (см., например, [1]). Здесь можно указать, во-первых, на задачу раздельного управления полюсами системы, когда требуется скорректировать положение лишь части полюсов системы при неизменном положении остальных. Во-вторых, на обеспече-

ние у системы свойства инвариантности, когда поведение выхода системы оказывается независимым от части компонент вектора состояния, а также действующих на систему внешних и параметрических возмущений. В докладе излагаются подходы к решению перечисленных задач, основанные на разработанных авторами положениями стратификации динамических систем, а также некоторые приложения

из области управления ЛА. Подробное изложение теоретических результатов док-

лада приведено в [2, 3].

Стратификация динамических систем

Будем рассматривать систему, состоящую из динамического объекта с моделью в пространстве состояний

х(?) = Ах (?) + Бы (?), х^0) = х0, (1)

и статического регулятора в цепи обратной связи

ы(^) = -Кх(7), (2)

где х е Ж” и ы е Ж'5 - векторы управления и состояния соответственно; А, Б и К -матрицы с вещественными числовыми элементами соответствующих размеров.

Если модель динамической системы путем преобразования подобия приведена к блочно-треугольному виду, когда характеристический полином системы представляется произведением характеристических полиномов диагональных блоков ее N подеистем, то будем говорить, что система стратифицирована на N страт, слоев или подсистем [2, 3].

Под матрицей стратификации 0 полного строчечного ранга размером g X п (g < п, гапк0 = g) в [2, 3] понимается матрица с числовыми элементами, удовлетворяющая тождеству

040 К = 0 gx(n-g ^ (3)

где верхней чертой над матрицей с правым верхним символом “Я” (“Ь”) обозначается правый (левый) делитель нуля этой матрицы максимального ранга [2].

Если для матрицы А системы (1) найдена матрица стратификации 0, удовлетворяющая равенству (3), то характеристический полином разомкнутой системы записывается в виде [2, 3]

ёй(ЯТп - А) = ёе1(^ - 0А0й) ёе1(Л/п-8 - (0й)^ А 0й), (4)

и ее полюсами является объединение собственных значений матриц 0А0й и (0 й) ЬА0й . Правым верхним символом “Я” над матрицей обозначается ее правый делитель единицы (00й = 1& ) [2].

Обозначим в качестве Л подмножество из g полюсов системы, совпадающих с собственные значениями матрицы 0А0й , а в качестве Лп_ - подмножество, объединяющее остальные п^ полюсов системы (собственные значения матрицы (0 й) ЬА0 й ). Тогда, если значения полюсов Лg известны и в подмно-

жестве Л нет полюсов, кратных полюсам из множества Л п_ (Лё П Л п_я ■

0), то матрица стратификации 0 вычисляется по формуле [2]

-ь

0 = П (А Л)' II (А2 + 2&«И + ^21п )'■ , (5)

)' П '2

/ = 1 ■=1

где под знаком левого делителя нуля стоит матричный многочлен. Этот матричный многочлен соответствует правой части полинома

<!*(Л§ _0А0К) = П(Л_Л)'■ П(Л2 + 24^ + &!2)'к,

/=1 ■=1

а н

X ' + Е 2'к = я,

/=1 ■=1

где Л - вещественные собственные значения матрицы 0А0Й,

полином второй степени, корнями которого являются ком-

л2+24^+^ -

плексно-сопряженные собственные значения а■ ± ]Ьк матрицы 0А0 , ' и '■

- кратности /'-го вещественного и к-х комплексно-сопряженных собственных зна-.

Раздельное управление полюсами динамических систем

Часто при решении практических задач необходимо сместить не все полюсы системы, а лишь часть из них. Это вызвано несколькими причинами. Во-первых, показатели качества свободного движения системы наиболее существенно зависят от определенной части полюсов системы, называемых доминирующими [4. С. 25]. - , , -,

, ,

качества. Наконец, система может не удовлетворять условию полной управляемости, тогда управлять всеми ее полюсами принципиально невозможно.

Для определенности примем, что коррекции подлежат известные полюсы, образующие подмножество Л .

Теорема 1 [2]. У системы (1) - (2) путем соответствующего выбора параметров регулятора можно обеспечить смещение полюсов Л в любое заданное положение

при неизменности остальных полюсов Л п_ , если пара матриц

0А0К и 0В (6)

,

{К \ = у0, (7)

где матрица 0 ранга g и размером я X п удовлетворяет (5), а / - матрица размером S X Я , выбором элементов которой осуществляется управление полюсами Ля .

Для управления полюсами Лё при управляемости пары (6) можно использовать многие известные методы (см., например, [1, 2, 4]). Задача трансформируется в выбор такой матрицы у, при которой собственные значения матрицы

0А0 _0Ву принимают желаемые значения. Затем для окончательного ре-

шения задачи остается лишь подставить матрицу у в формулу для регулятора (7).

,

полюса при неизменности остальных полюсов, удается получить конечную формулу для регулятора.

Следствие. В произвольной линейной динамической системе (1) - (2) значение любого известного вещественного простого1 полюса Л можно изменить на

желаемое значение Лж без изменения всех остальных полюсов с помощью обратной связи по состоянию любым регулятором из множества

{К п=((0В)- (л _ л)+ёВ“ п)0, (8)

если для матрицы стратификации 0, вычисляемой по формуле

0 = А _ЛпЬ, (9)

выполняется условие

0В ф 0, (10)

где п - матрица размером (5 _ гапк(0В)) X1 с произвольными элементами. Здесь правым верхним символом обозначается сводный канонизатор [2].

Управление полюсами в инвариантной системе

Пусть линейная динамическая система описывается уравнением

х(¿) = Ах(^) + Вы^) + Sw(t), х(^) = х0, (11)

в котором все размеры и обозначения соответствуют (1), w(t) е Ж9 - произвольное неизвестное внешнее возмущение, £ - матрица с числовыми элементами размером п X 9 . Качество системы оценивается по выходу у е %т

У = Сх . (12)

Задача инвариантности заключается в синтезе регулятора в цепи обратной

(2),

возмущению [2]:

Г/(р) = С(р1п _ А + ВК)-1 £ = 0, (13)

где (р) - передаточная матрица системы от возмущения к выходу, р - переменная преобразования Лапласа. Дополнительно к свойству инвариантности поставим задачу обеспечения у системы заданного спектра.

1 Алгебраическая кратность такого полюса равна единице.

150

Теорема 2 [ 2 ] . В системе (11), (12), (2) возможно одновременное обеспечение инвариантности выхода к произвольным внешним возмущениям w(t) и

любого заданного расположения полюсов тогда и только тогда, когда выполняются условия инвариантности

Сп я = 0, СпВ СЯЛС£ = 0,

а также являются управляемыми две пары матриц

СяЛ{!п - С* С)і)С* и

СпВ,

С)ь(Іп -В(СЯВ)~Сп)ЛС* и (С?)ЬВСЯВ Матрица С п определяется по формуле

(14)

(15)

(16)

Сп= С п ,

где матрица полного столбцевого ранга П определяется по специальному алгоритму [2].

Коррекция полюса математической модели бокового движения ЛА

Рассмотрим линеаризованную математическую модель бокового движения гипотетического маневренного самолета

0,2 0 1 в 0 - 0,05“ и- >(0" >0

0 = — 6 - 0,7 -1,2 О + - 0,8 - 0,2 Э и , О (0 = О 0

О - 3 - 0,1 -1,1 О - 0,2 - 0,5 _ И _ Оу (0_ О 0

где в, (0Х и (Оу - угол скольжения, угловые скорости крена и рыскания соответственно; 8Э и 8Н - угловые отклонения элеронов и руля направления.

Одной из составляющих требований к пилотажным характеристикам самолета при ручном управлении является заданное расположение полюсов модели линеаризованного бокового движения [5]. При этом требуемым является следующий вид характеристического полинома [5. С. 637]:

х(Л) = (Л-Лж)(Л2 + 2^в°вЛ+ °в),

где Лак - корень характеристического уравнения, соответствующий апериодическому движению крена; ^ и О - коэффициент затухания и собственная частота

колебательного движения рыскания. Для маневренного самолета на перечисленные параметры характеристического полинома накладываются следующие требования [5. С. 643]:

\Ло\ > 1, %в> 0,35, (Ор> 1 с“1. (17)

В нашем случае полюсы системы образуют совокупность значений

Л = {_ 0,75 ± 1,6424у; _ 0,5} или Лак = -0,5, 1,8 с , 4р

■ 0,4.

,

одного полюса Лак . Необходимо определить параметры регулятора в цепи обратной

связи

’'21

12

43

■22 к23

в

О

О

обеспечивающие заданное положение всех полюсов системы.

Прежде чем приступить к решению задачи, заметим, что здесь нельзя воспользоваться стандартным приемом смещения полюса Лак в заданное положение только

за счет введения обратной связи от угловой скорости крена О)х к элеронам

дэ = -■12ЮС (демпфер крена). Если выбирать значение к12 > 0 , то движение полюса

Лак влево сопровождается в замкнутой системе приближением к мнимой оси пары комплексно-сопряженных полюсов, например,

■12 = 0,5: Л = {_ 0,4122 ± 1,7897у; _ 0,6757}, т.е. система перестает удовлетворять требованиям (5.1) по 4р и О р. Если же выбирать значение ^12 < 0, то к мнимой оси начинает приближаться полюс Лак, например,

■12 = -0,5: Л = {_ 1,1083 ± 1,4945у; _ 0,2834}.

Для решения задачи воспользуемся результатом следствия и обеспечим заданное положение полюса Лок при неизменном положении пары комплексносопряженных полюсов. Для определенности назначим желаемое значение Лак, равное -1,2. Решение начнем с вычисления матрицы

“0,3 0 1

А Л3 = А + 0,5/3

_ 6 _ 0,2 _ 1,2

3 _ 0,1 _ 0,6

Теперь путем канонизации этой матрицы определим по формуле (3.6) матрицу стратификации

0 = А + 0,5/ 3 =[0 1 _ 2].

(18)

Заметим, что матрицей стратификации 0 может быть любая матрица из множества

{0} =# 1 _ 2]

где (р - любое отличное от нуля вещественное число. От выбора конкретной матрицы 0 из этого множества конечный результат решения не зависит, поэтому воспользуемся значением (18).

Входящие в (8) матрицы принимают значение

0,5" —я " 1 "

; 0В =

1 0,5

0В = [- 0,4 0,8]; (0В)~ = (0В)я =

Условие (10) выполняется и формула (8) дает следующее множество регуляторов:

{К П =((0В)~(Л«-Лж ) + 0^)0 =

- 0,5 1

0,7 +

1

0,5

П

[0 1 - 2] =

- 0,35 + п 0,7 - 2п

0,7 + 0,5п -1 4 -

(19)

где П - любое вещественное число. Из анализа формулы (19) видно, что для смещения полюса Хак в заданное положение при неизменности остальных полюсов реализуются обратные связи только по угловым скоростям Ох и (Оу.

Непосредственными вычислениями можно убедиться (например, воспользовавшись функцией еі§ системы МЛТЬЛБ), что любой из регуляторов (19) обеспечивает в системе значения полюсов

Л = {- 0,75 ± 1,6424/; -1,2}.

В качестве примера в таблице приведены значения параметров второго и третьего столбцов регулятора, рассчитанные для разных значений Г). Первый вариант соответствует значению 1) = 0, второй вариант (П = —1,4) рассчитан для слу-, , варианте (П = 0,35 ) в управлении в цепи обратной связи используется только руль .

№ п/п. п к 12 к13 ся ся 3 СЯ

1 0 -0,35 0,7 0,7 -1,4

2 -1,4 -1,75 3,5 0 0

3 0,35 0 0 0,875 -1,75

4 -0,5 -0,5 1 -0,25 0,5

На рис. (1,а) приведены переходные процессы свободного движения Ох при начальном условии (Ох0 = 0,5 с 1. Цифрой “0” обозначен график для разомкнутой системы, “1” - для системы с регулятором при Г/ = 0.

Желаемое распределение на комплексной плоскости только полюсов системы не решает полностью задачу обеспечения заданного качества переходных процессов вынужденного движения системы, которое определяется еще и размещением нулей. Такая задача выходит за рамки доклада. Поэтому ограничимся лишь демонстрацией

возможности изменения качественных показателей переходных процессов (время, срабатывание, перерегулирование) путем варьирования параметра Т] регулятора,

которое сопровождается изменением нулей системы при неизменных полюсах. На рис. (1,6) приведены переходные процессы вынужденного движения замкнутой системы по угловой скорости С0Х при нулевых начальных условиях и ступенчатом

, , элеронами. Номера графиков соответствуют номерам вариантов в табл. 2.

0 2 4 6 8 М 01234

а б

Рис. Переходные процессы по угловой скорости крена: а - свободное движение;

б - вынужденное движение

Обеспечение инвариантности канала абсолютной высоты вертолета к произвольным управлениям креном, рысканием и тангажом

Для повышения эффективности и безопасности маневрирования вертолета на предельно малых высотах предлагается обеспечить инвариантность (независи-) (

) , заданных характеристик устойчивости во всех каналах управления. Задача рассматривается применительно к гипотетическому вертолету соосной схемы. Синтез системы и результаты ее численных исследований содержатся в [2, 6]. Проведенные исследования (в условиях характеристик реальных информационных и испол-) -пенсации возмущений в канале управления абсолютной высотой полета вертолета. Ввиду ограниченного объема публикации результаты здесь не приводятся.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. - М.: Наука, 1980.

2. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во науч. литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

3. Бронников А.М., Буков В.Н. Управление отдельными полюсами линейных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006. № 2. С. 4 - 14.

4. Кузовков КТ. Модальное управление и наблюдающие устройства. - М.: Машиностроение, 1976.

5. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / Под ред. ГС. Бюшгенса. - М.: Наука, 1998.

6. . ., . .

вертолета // Матер. I Всерос. научн. конф. студентов и аспирантов “Робототехника, ме-хатроника и интеллектуальные системы” (13 - 14 октября, г. Таганрог). Таганрог: 2005. С. 84 - 94.