CC BY
2811. Примак Т. О. PR для менеджерiв i маркето- методы работы на уроке [Електронний ресурс]. Ре-лопв: навч. поаб. К.: Центр учбово! лгг., 2013. 201с. жим доступу: http://www.openclass.ru/node/215528
12. Юрко Т. Б. Коммуникативная технология обучения русскому языку и литературе: формы и
СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ В РАМКАХ КУРСА ПО ВЫБОРУ ПО НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Новиков Е.А.
Курский государственный университет, магистрант 2 курса
Фрундин В.Н.
Курский государственный университет, доцент
STRATEGY FOR SOLVING A MATHEMATICAL PROBLEM IN THE FRAMEWORK OF THE ELECTIVE COURSE ON NON-EUCLIDEAN GEOMETRY
Novikov E.A.,
Kursk State University, second-year master student
Frundin V.N.
Kursk State University, associate professor
АННОТАЦИЯ
В статье отмечается специфичность методики решения задач по неевклидовой геометрии. Рассматривается способ решения задачи на построение в рамках курса по выбору по неевклидовой геометрии путём соотнесения с решением аналогичной задачи в геометрии Евклида.
ABSTRACT
The specificity of the methodology for solving problems in non-Euclidean geometry is noted in the article. We consider a method for solving the construction problem within the course of a choice course in non-Euclidean geometry by correlating with the solution of a similar problem in Euclidean geometry.
Ключевые слова: неевклидова геометрия, математическая задача, модель Пуанкаре.
Keywords: non-Euclidean geometry, mathematical problem, Poincare model.
Как известно, основным средством развития мышления школьников при обучении математике, овладения ими эффективными приемами умственной деятельности являются математические задачи [1].
В ряде российских школ практикуется изучение основ неевклидовой геометрии в рамках курса по выбору. В связи с этим методика решения неевклидовых задач приобретает определенную специфику. Дело в том, что в процессе решения возни-
кает необходимость постоянного соотнесения процесса решения задач неевклидовой геометрии с их евклидовыми аналогами. Такое соотнесение позволяет достаточно эффективно актуализировать необходимые элементы когнитивно-идентификационного фонда старшеклассника с тем, чтобы затем эти элементы легли в основу решения уже в новой, неевклидовой парадигме.
Характер взаимодействия процессов решения в рамках различных геометрических теорий представлен на рисунке 1.
Обобщение
Рис. 1.
Раскроем детально приведённую схему. На начальном этапе работы с задачей ее принятие, как известно, осуществляется, с одной стороны, через попытки связать эту задачу с некоторой уже созданной и предварительно актуализированной структурой, а с другой - через осознание того, в каком смысле задача предельна для ученика, какие возможности для его самосовершенствования она в себе предположительно содержит. При этом решающему, как правило, приходится отказываться от уже сформулированного требования и строить свою субъективную модель задачи путем последовательной переформулирования ее условия. Каждое новое переформулирование влечет за собой мобилизацию привлеченных данных, которые она охватывает своим смысловым значением и организует впоследствии в качестве возможных средств решения. Так, например, принятие некоторых задач и теорем геометрии Лобачевского может быть осуществлено на основе предварительного рассмотрения аналогичной задачи или теоремы базового курса геометрии. Разбирая эту задачу (теорему) и сопоставляя (и противопоставляя) актуализируемые факты с фактами геометрии Лобачевского (с помощью соответствующей таблицы), учащиеся относительно самостоятельно формулируют новую для них задачу (теорему) геометрии Лобачевского.
Пример:
1) Теорема базового курса: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
2) Теорема геометрии Лобачевского: вписанный угол меньше половины дуги, на которую он опирается [3].
На следующем этапе актуализируется потребность выйти за рамки данного аппаратного арсенала, которая находит свое реальное воплощение в работе по поиску плана решения задачи. В ходе данной работы ученик не просто перебирает различные варианты действий, а осуществляет самостоятельное целеполагание; апробирует отдельные ходы и процедуры, совершая скачки в логике рассуждений путем интуитивных догадок и предположений; строит гипотетическую модель будущего решения, постоянно соотнося ее с исходными параметрами. Такие догадки и предположения также могут проистекать из «евклидового аналога», но с учетом возможных различий в привлекаемых эвристических процедурах.
Так, например, при решении планиметрических задач базового курса геометрии очень часто используется построение окружности, описанной около треугольника, входящего в рассматриваемую геометрическую конфигурацию. Перенос же данного приема в процесс решения аналогичной задачи геометрии Лобачевского возможен лишь с определенными оговорками, поскольку сама возможность построения окружности, описанной около треугольника, зависит от факта принадлежности серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника пучку пересекающихся прямых.
Само по себе получение положительного результата поисковой деятельности по решению той или иной задачи не означает завершения соответствующего мотивационного цикла. Принятый способ предметной деятельности ее субъект стремится соотнести с освоенным ранее набором познавательных схем, осуществляя при этом рефлексивную переработку его смысла. Такая переработка предполагает выявление «пространства функционирования» данного способа и возможности его совершенствования с целью переноса на более широкий класс объектов, сопоставление с альтернативными приемами и методами и на этой основе определение его места в собственной системе смысловых координат.
Так, например, формирующееся обобщенное представление о величине угла, вписанного в окружность (в геометрии Евклида она равна половине дуги, на которую он опирается, а в геометрии Лобачевского меньше этой половины), впоследствии естественным образом может «навести» школьников на мысль о том, что в рамках геометрии Римана рассматриваемый угол должен быть больше половина дуги окружности, на которую он опирается. Другими словами, рассматриваемая геометрическая конфигурация угла, вписанного в окружность, становится в сознании ученика одной из узловых точек, фиксирующих возможность различного видения той или иной ситуации, развивая при этом способность к альтернативному восприятию действительности [4].
Рассмотрим более подробно на конкретном примере методику работы с задачей в рамках курса по выбору, в ходе которого учащиеся знакомятся с основами геометрии Лобачевского. Предложим учащимся решить задачу на построение в модели Пуанкаре на полуплоскости.
Задача. Пусть на неевклидовой прямой a задан отрезок AB. На неевклидовой прямой a от точки A на фиксированной полупрямой отложить отрезок A B , равный отрезку AB .
I этап - осмысление условия задачи. Степень эффективности реализации данного этапа во многом предопределяет успешность деятельности школьников по решению той или иной задачи и напрямую влияет на формирование их мотивацион-ной сферы.
Осмысление условия задачи и поиск пути ее решения, мы проведем путем сопоставления с вспомогательной аналогичной задачей на евклидовой плоскости.
Вспомогательная задача. Пусть на прямой a задан отрезок AB . На прямой a от точки A на фиксированной полупрямой требуется отложить отрезок A B , равный отрезку AB .
Как известно, это одна из основных задач на построение с помощью циркуля и линейки. Обычно ее решение выполняется следующим образом.
A
Построим окружность с центром в точке 1 и радиусом AB (рис. 2)
Пересечением этой окружности и прямой а в выделенной полупрямой получим точку В. Отрезок А1В1 - искомый, то есть равен отрезку АВ. Рассмотрим, каким путем можно отрезок АВ
АВ
перевести в отрезок 1 1 с помощью движений. Иными словами, какие из видов движений (параллельный перенос, поворот вокруг точки, осевую симметрию или их композицию) нужно применить,
чтобы отрезок АВ перевести в отрезок А1В1 .
Рассмотрим этот метод для данной задачи, чтобы применить его затем к решению аналогичной задачи на плоскости Лобачевского.
II этап. - анализ и поиск пути решения вспомогательной задачи. На уроке данный этап целесообразно осуществить в вопросно-ответной форме.
Вопрос: в каком случае два отрезка называются равными на евклидовой плоскости?
Ответ: отрезок АВ равен отрезку А1В1 , если
существует движение, переводящее АВ в А1 В1 . Вопрос: какие виды движений вам известны? Ответ: параллельный перенос, поворот вокруг точки, осевая симметрия или симметрия относительно прямой.
Вопрос: в виде композиции каких из указанных выше видов движений можно представить всякое движение плоскости?
Ответ: всякое движение плоскости можно представить в виде композиций осевых симметрии. Вопрос: с помощью каких осевых симметрии
на рисунке 3 можно перевести отрезок АВ
АВ ?
в отре-
зок
Рис. 3.
Ответ: с помощью последовательного выполнения симметрии относительно прямых 11 и /2 .
Вопрос: как построена прямая ¡1 ? Ответ: ¡у - серединный перпендикуляр к отрезку
Вопрос: как построена прямая ¡2 ?
Ответ: сначала строим В', симметричную В относительно ¡1 , затем строим биссектрису угла
В'Л1И
, которая и является прямой ¡2 . Вопрос: как получим точку В ?
Ответ: точка В1 симметрична В относи-
тельно ¡2 .
Учитель: таким образом, отрезок АВ переве-
А В
ден в отрезок 1 1 с помощью композиции двух осевых симметрии: сначала относительно ¡ , а затем относительно ¡2 .
Вопрос: будет ли отрезок АВ равен отрезку
АВ ?
Ответ: Да, так как композиция двух осевых симметрии является движением.
Главная цель работы учителя на данном этане с помощью системы вопросов и подсказок подтолкнуть школьников к идее решения. Отправной точкой для этой работы является, как правило, либо определенное видоизменение задачи с целью ее отнесения к известному типу задач, либо пошаговое выделение базовых формул или утверждений, отражающее аналитический путь рассуждений от требования к условию. Следует отметить, что процесс поиска плана решения необходимо отражать на доске и в тетрадях учащихся.
Переходим к анализу задачи на плоскости Лобачевского.
В рамках курса по выбору учащимся необходимо изучить тему «Модели новой геометрии», в которой фигурирует понятие движения плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. С целью осмысления задачи и поиска решения предлагаются следующие вопросы.
Вопрос: что понимается под движением плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре?
Ответ: движением плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре на полуплоскости является, как и на евклидовой плоскости, композиция осевых симметрии.
Вопрос: что выполняет роль осевых симметрии в модели Пуанкаре?
Ответ: в модели Пуанкаре на полуплоскости роль осевых симметрий выполняют инверсии относительно окружностей, центры которых лежат на абсолюте (границе полуплоскости) или обычные симметрии относительно полупрямых, перпендикулярных абсолюту.
Вопрос: как можно отрезок АВ, заданный на полуокружности а (неевклидова прямая) перевести в отрезок А В , заданный на полуокружности
а ?
Ответ: отрезок АВ, лежащий на неевклидовой прямой а, можно перевести в отрезок АВ с помощью композиции инверсий.
Далее учащиеся с помощью учителя строят изображение рассматриваемой комбинации, поясняя одновременно его особенности.
Возьмем верхнюю полуплоскость, ограниченную прямой I, в роли плоскости Лобачевского. Точки прямой I не принадлежат плоскости Лобачевского, прямая I - абсолют плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. Запишем условие и требование задачи.
Дано: неевклидова прямая а - полуокружность перпендикулярная прямой I, неевклидова прямая а - полуокружность перпендикулярная
прямой I, АВ е а, А1 е о?1.
Требуется на прямой а от точки А на фиксированной полупрямой отложить отрезок А В ,
равный отрезку АВ.
Проведем анализ и поиск решения задачи. Предположим, что задача решена, и искомый отрезок АВ построен. Чертёж делается от руки.
Строим данные и искомую фигуры: А1В1 е
(рис. 4).
Рис. 4.
Учитель: применяем план решения, аналогичный вспомогательной задаче на евклидовой плоскости.
Вопрос: если применить аналогию со вспомогательной задачей, то с помощью каких преобразований отрезок АВ можно перевести в АВ ?
Ответ: отрезок АВ можно перевести в отре-
АВ
зок 1 1 с помощью композиции двух неевклидовых осевых симметрии, то есть композиции двух инверсий.
Вопрос: как построить окружности этих инверсий?
Ответ: одна окружность инверсии ¡1 - это серединный перпендикуляр к отрезку АА1, а вторая окружность инверсии ¡ - это биссектриса угла
В1А1В' , где В - точка, симметричная В относительно окружности инверсии ¡ .
В результате проведённой работы приходим к следующему плану решения:
1. Через точки А и А1 проводим окружность,
перпендикулярную к прямой ¡ .
2. Строим неевклидов серединный перпендикуляр ¡1 к неевклидову отрезку АА1.
3. Строим точку В', инверсную точке В относительно ¡ .
4. Проводим неевклидову прямую В'А .
5. Строим биссектрису ¡2 угла В'А1Н, АГН
„ а
- выделенная полупрямая прямой 1 .
6. Строим В , симметричную в неевклидовом
смысле точке В относительно ¡ .
III этап - осуществление найденного плана решения. Запишем шаги построения искомого отрезка (рис. 5).
Рис. 5.
1. Построим окружности а и а, перпендикулярные прямой ¡ . Их центры лежат на прямой ¡ .
2. Выделим полупрямую АН на прямой а
3. Через точки Л и Лц проведём полуокружность, перпендикулярную ¡ . Для этого к евклидову отрезку ЛЛ1 проведем серединный перпендикуляр и найдем точку пересечения этого перпендикуляра с прямой I. Эта точка будет центром искомой полуокружности неевклидовой прямой, проходящей через точки Л и Л1 .
4. Построим серединный перпендикуляр ¡у к неевклидову отрезку ЛЛ1.
5. Построим точку В , симметричную (инверсную) точке В относительно неевклидовой прямой ¡1 .
6. Через точки В и Л1 проведём неевклидову прямую Л1В '.
7. Построим биссектрису угла В'АН . Это будет полуокружность ¡ , проходящая через точки Л^ и К , где К - середина отрезка МЫ.
8. Построим точку Вц, симметричную точке В относительно прямой ¡ .
9. Отрезок АВ - искомый. Он равен отрезку
ЛВ
IV этап. На данном (заключительном) этапе работы над задачей выясняем, всегда ли задача имеет решение и сколько решений может иметь задача. Для этого нужно рассмотреть все шаги построения, всегда ли они выполнимы и сколько дают результатов. В нашем случае все шаги построения выполнены и имеют единственное решение [2].
Несмотря на то, что рассмотренные этапы представляют собой определенную норму деятельности человека при решении задачи, в реальной практике преподавания в зависимости от характера предлагаемой школьникам задачи тот или иной этап может опускаться. В то же время для того, чтобы решение задач не превратилось в самоцель, а стало действенным средством обучения и развития познавательных способностей учащихся, формирования у них толерантного мышления, учителю следует, по возможности, придерживаться этих этапов, заранее прогнозируя соответствующую деятельность учеников на каждом из них.
Литература
1. Ганеев Х. Ж. Пути реализации развивающего обучения математике /Х. Ж. Танеев - Екатеринбург, 1997. - 102 с.
2. Гильберт Д. Наглядная геометрия /Д. Гильберт - М.: Наука, - 1981. - 344 с.
3. Далингер В. А. Обучение учащихся доказательству теорем: учебное пособие / В. А. Далингер. - Омск: ОГПИ-НГПИ, 1990. - 127 с.
4. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике математики /Г. И. Саранцев - Саранск: Красн. Окт., 2001. - 144 с.
