Стратегия и алгоритмы интегрированного проектирования энергои ресурсосберегающих химических процессов и систем управления ими Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.012.1

СТРАТЕГИЯ И АЛГОРИТМЫ ИНТЕГРИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭНЕРГО-И РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИХ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ИМИ

© В.И. Бодров, С.И. Дворецкий, Д.С. Дворецкий

Bodrov V.I.. Dvoretsky S.I., Dvoretsky D.S. A strategy and algorithms of the inkyated projecting of energy and resource saving chemical processes and systems of their management. The article proposes a strategy and algorithms of the integrated projecting of energy and resource saving chemical processes and systems of their management.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема совместного проектирования химико-технологических систем и систем управления режимами их функционирования ставилась и частично решалась на протяжении многих десятилетий, начиная с Д. Уатта. Однако до настоящего времени нет законченной научной концепции и достаточно простого математического аппарата для комплексного решения этой сложной многокритериальной проблемы.

Теория и алгоритмы имитационного исследования автоматизированных ХТС, оценка эффективности их функционирования, выбор экономически целесообразных ХТС и систем управления ими более 30 лет развиваются научными школами академика В.В. Кафарова, профессоров Б.Н. Девягова, И.В. Анисимова, В.И. Бодрова и др. [1-4]. Идеи и научные разработки этих школ находят свое продолжение и развитие в данной статье.

Методология создания автоматизированных химических процессов предполагает осуществление интегрированного проектироваїшя технологических аппаратов ХТС и систем управления в рамках единой постановки задачи проектирования, при решении которой статические и, что не менее важно, динамические характеристики химических аппаратов такие, что с гарантированной (достаточно высокой) вероятностью могут быть обеспечены требуемые технологические режимы функционирования химических аппаратов, качественные показатели производимой продукции и соответствующий (на уровне мировых стандартов) уровень энерго- и ресурсосбережения при осуществлении химического процесса |4|. При этом следует добиваться выполнения «жестких» и/или «мягких» ограничений, как правило, имеющих место в задаче оптимального проектирования [5]. Проблема выполнения ограничений сильно осложняегся нали1гием неопределенности в физической, химической и технологической информации: неточность физических и химических закономерностей, лежащих в основе математических моделей процессов и аппаратов; дрейф коэффициентов моделей (например, констант скоростей химических реакций, коэффициентов диффузии, тепло- и массопе-редачи и др.) во время эксплуатации процесса; изменения внешних парамегров (температуры, скорости и состава потоков сырья и др.).

В этом случае возникает необходимость создания «гибких» химических процессов. Под гибкостью процесса здесь понимается его способность к управлению (управляемость) и сохранению своего функционального назначения (робастность) при изменении внутренних и внешних неопределенных парамефов. Различают гибкость (управляемость) процесса в статике и динамике. Оба вида гибкости определяются конструктивными и режимными парамеграми процесса и обеспечиваются за счег соответствующего выбора управляющих воздействий, реализуемых системой автоматического управления.

Стремление добиться максимальной эффекгивносги функционирования химического процесса с точки зрения энерго- и ресурсосбережения, как правило, приводит к выбору таких конструктив! п.1Х парамефов аппарата (установки), при которых ухудшаются его свойства управляемости и робастности. В этом случае для обеспечения гибкости процесса требуется использование сложных, а следовательно, дорогостоящих систем автоматического управления. В то же время для улучшения динамических свойств процесса и снижения стоимости системы управления часто оказывается достаточных! небольших изменений в конструкции аппаратурного оформления процесса или его конструктивных параметров. Правда, подобные меры могут привести к некоторому ухудшению других технико-экономических показателей функционирования процесса.

Таким образом, оптимальные конструктивные параметры аппаратурного оформления химического процесса и режи>..,| его функционирования должны выбираться из условия разумного компромисса между эффективной работой химического процесса с точки зрения энерго- и ресурсосбережения и «хорошими» динамическими свойствами процесса по каналам управления (регулирования). Этого можно добиться только на основе проектирования химического процесса, его аппаратурного оформления и системы автоматического управления в рамках единой постановки задачи интегрированного I фоектирова! шя.

1. Постановка задачи интегрированного проектирования. Сформулируем в общем виде задачу' интегрированного проектирования нелинейного химического процесса и системы управления. Предположим,

что нам известна структура ХТП (технологическая схема), ассортимент О) выпускаемой продукции и некоторая информация о векторе возмущающих воздействий (неопределенных параметров) с,е Е . Пусть век-

К _ г| — I

тор q состоит т двух подвекторов q е s и

6 52, т. е. q = (^1.^-) ; причем в подвектор входят параметры, которые могут быть точно определены на стадии эксплуатации ХТП, а в подвектор -неопределенные параметры как на стадии проектирования, так и на стадии эксплуатации. Тогда при интегрированном проектировании требуется определит!»: вариант ае А аппаратурного оформления ХТП, класс be В, структуру hh е Н и вектор настроечных парамефов z(hh) системы автоматического управления, векторы конструктивных параметров d(a)e D и

управляющих воздействий и & U (причем в статике -М| = const, в динамике - »-,(/) или м2(у), где у -вектор состояний технологического процесса), при которых независимо от изменения ^6 Е усредненные

показатели энерго- и ресурсосбережения /,, i = l/n, достигают оптимальных значений и не уступают мировым достижениям в этой области, а другие требования технического задания на проектирование ХТП, например, по качеству выпускаемой продукции, экологической безопасности и технико-экономическим показателям выполняются с заданной (достаточно высокой) вероятностью.

Введем векторную целевую функцию / = (/|,/2,...,/т ) энерго- и ресурсосбережения и вектор функцию ф = ( ф|. ф2,..., ф„) условий осуществле-

ния ХТП, а также множество F с Е р показателей энерго- и ресурсосбережения, соответствующих мировым стандартам, и множество Q с Eq показателей

технологических условий, утвержденных в техническом задании на проектирование. Будем считать, irro на множестве F введено частичное упорядочение >- и заданы (как правило алгоритмически) функциональные зависимости а:(0-»/г, |3:(0—>(), где 0) - ассортимент выпускаемой продукции.

Тогда задача интегрированного проектирования энерго- и ресурсосберегающих химических процессов и систем автоматического управления заключается в определении таких

о*еА, b* е /?. h* е Н, (Г е D, u*eU, z*(hh), что

1 = opt М | {optМ 2 {/(я. b,hb,z,d, и,£2,(0)}}>- a(to),

ajl.b.hh ^ а.: *>

(О

при условии

Вер^{у(а*, h*. /»£,**, d\ и*. с,, со) < [3(co)J > р. (2)

где A/t{*J - математическое ожидание {•) на множестве Е неопределенных парамефов,

Е = {ф* < %к < Ц}; к = 1т; Верр - значения вероятности и гарантированной (заданной) вероятности выполнения технологических условий, соответственно.

Решение задачи (1), (2) прямыми методами невозможно, поскольку до настоящего времени не формализованы процедуры выбора аппаратурного оформления, класса и структуры системы управления, а также из-за высокой размерности задачи, существенной нелинейности химических процессов и сложи о ста алгоритмов вычисления компонент вектор-функции /(•) .

Кроме того заметим, что при решении задачи (1), (2) возникает необходимость неоднократного решения внутренней многокритериальной задачи оптимизации

при фиксированных значениях а, CQ-optM 2

М,Г ^

мри условии

Вер 2 {ф(2, w, ) < (5(со)} > р.

В самом деле, пусть модель функционирования управляемого химического процесса в динамике описывается системой дифференциальных уравнений вида

У = /(/,У, d, м2,^),

У(1о) = Уо> (3)

У(1\) = У*,

*

где у - вектор переменных состояния процесса; у -вектор желаемых переменных, достигаемый в конечный момент времени /|; I - время; м2 - вектор управлений; ^ - вектор возмущающих воздействий.

Обычно на управление 7/ накладывается ограничение

u2eU2 (у, d,i>\ (4)

зависящее от значений переменных у, конструктивных параметров deD и возмущающих воздействий % е Е , а также вводятся фазовые ограничения

У G Y (</, %). • (5)

Пусть у(/) = у ( с/, ^ /(), ,У0, м2 (•)) - решетше системы (3), соответствующее м2 (•). Определим функционал

'1

3 (с/. и2, £) = J F (/, с/, у, и2, fydt, (6)

'о

где момент времени определяется из условия ДОС-

♦

тижения заданного состояния у химического процес-

са. Теперь, решая задачу оптимального управления (3)-(6) и находя оптимальное управление и2 (•) и значение функционала 3 (с/, ¿2 (•).<;), можно определить

критерий эффективности функционирования химического процесса в статике:

/,(^0 = з(</,г2(.и). (7)

Заметим, что в общем случае критерий /( зависит от вектора н, управляющих воздействий в статике, т. е. /, =

2. Интегрированная стратегия оптимального проектирования. Нами разработана редукция задачи

(1), (2) к последовательности итерационно решаемых задач (нелинейного программирования и оптимального управления) высокоэффективными традиционными методами. При этом обеспечивается поэтапное сужение множеств О, X и 11 И). Блок-схема многоэтапной стратег ии интегрированного проектирования автоматизированного процесса показана на рисунке 1.

В соответс твии с разработанной стратегией автоматизированного проектирования итерационно решаются четыре основные задачи:

1) генерирование управляемых в статике альтернативных вариантов реакторных установок;

2) выбор альтернативных классов и структур управления химическим процессом, удовлетворяющих условиям структурной наблюдаемости и управляемости: синтез реакторных установок с заданными дина-мическими характеристиками;

3) синтез энерго- и ресурсосберегающего управления реакторными установками;

4) решение одно- или двухэтапной задачи оптимизации комплекса «химический процесс - система управления» по векторному критерию.

2.1. Синтез «управляемых в статике» химических установок непрерывного действия при наличии неопределенности исходной информации (Елок Л» 4, рис. 1). Назовем химический процесс «управляемым в статике», если для любого измеряемого воз-

к 1 —1

мущения 5 бг, существуют векторы конструктивных сI е О и управляющих (режимных) переменных иI е £/, такие, что выполняются технологические ограничения Ч' (с/, х, ) < 0 , т. е.

У^'еЕ1 3(Аи, е(ОхС/,))|

Уу=й Вер£ [Ч'/(</.и.5,.|1)^0|гр/

Задачу синтеза «управляемых в статике» химических установок N0.1 формулировали и решали в форме одно- и двухэтапных задач оптимизации с «мягкими» «жесткими» ограничениями.

В терминах теории .4-задач оптимизации [6] одноэтапную задачу с вероятностными ограничениями можно сформулирован» следующим образом: требуется найти ш-мерный вектор постоянных величин

а* = (а*, а2,...,а*(), векторы конструктивных da* и режимных м1а* переменных такие, иго

Л(^а^м1«*) =

= min {min І Ч'< а , j = l,w]’^ ^

аеЛ d,u\ ‘ '

где

Л = {а I V;-, Вер%[^УЛ,ща£)£ 0)>py}, (9)

В результате решения этой задачи формируется множество допустимых (по энерго- и ресурсосбережению стремимся к минимуму, по другим показателям добиваемся выполнения ограничений (9) с заданной вероятнос тью р ) альтернативных вариантов аппаратурного оформления и технологических режимов проектируемого химического процесса, которые в дальнейшем подвергаются последовательному анализу.

Можно сформулировать более тонкую «двухэтапную задачу» оптимизации:

rnin/(</) = min[|(min §2)| Äe/>t,[¥,(«/. ¿0Jäpy.

f тшАУ (10)

5\о **

Н = {£': min тах \р -Вер , {4у <0}]<0.£' еЕ1

“і )• І.*

(П)

где

<\\сі,щХА2) = [1^,щЛхЛ2) +

1 2 (12)

+А ■ піах{ та_х(р - Вер (Ч'Де/, м, ,4”) ^ 0));0} ], j*J

где А - штрафной коэффициент; J - множество индексов ограничений, за нарушение которых берется штраф. Отметим, что если существует такой вектор d , при котором

max min тах (р -Вер 2 [4JAd, н,)<0])<0, (13) ен' и1е^ у'=1,т £

то существует {¿/}*0, при котором Е = Е и I min Л/,1 [Ф(і/, и, ,5і Л2 )\Р& )«£1 =0.

При этом сформулированная задача (10)—(12) переходит в двухэтапную задачу с жесткими ограничениями при условии (13),

(14)

где

/,(</. ) = minМп (/, (d, щХ]Л2)) ■

«і

Решение двухэтапной задачи (ЮН 12) гораздо сложнее одноэтапной задачи (8), (9) но на предвари-

Разработка ТЗ на проектирование химического процесса (задание всех типов неопределенности)

Г31------

Выбор типа аппаратурного оформления (из множества А)

£ §

.41--------------------*----------------------

Синтез управляемого в статике химического процесса в условиях неопределенности (задачи (8), (9) и (10-12))

гЙ-

Выбор класса и формирование допустимых структур систем управления, исследование динамических характеристик (регулируемости, инерционности) по каналам управления (регулирования)

„интез допустимых структур и оптимального управления (алгоритмического обеспечения) систем управления (задачи (15), (16). (18), (19) и (24-26))

I

(5$гимизация допустимых комплексов “процесс - система управления" при наличии неопределенности и попарное сравнение альтернативных вариантов методом имитационного моделирования по векторному критерию /(•) (задача (1), (2))

I

..15----------

Рекомендация выбранного аппарата и режимов функционирования химического процесса к опытно-промышленной реализации

Рис. 1. Блок-схема многоэтапной стратегии интегрированого проектирования автоматизированного процесса

тельном этапе синтеза химического процесса вовсе необязательно точно решать задачу синтеза «управляемых в статике» химических процессов и аппаратов, поскольку цель этого этапа - сформулировать множество допустимых процессов и аппаратов, удовлетворительно функционирующих в статике независимо от изменения вектора неопределенных параметров ^ в

заданной области 5. Алгоригмы решения сформулированных выше задач оптимизации с «мягкими» и «жесткими» ограничениях™ описаны подробно в [6-10].

2.2. Выбор класса и структуры системы автоматического управлении (регулирования) (Блок № 5, рис. I). В качестве альтернативных классов систем автоматического управления будем рассматривать замкнутые (с обратной отрицательной связью) и ра-

зомкнутые системы, предназначенные доя решения задач стабилизации режимов, адаптивной статической оптимизации, динамической оптимизации (определение программы управления), программного управления (реализации известной программы управлеьшя) и оптимального управления нестационарными режимами

Структурная схема автоматизированной химической установки представлена на рис. 2.

Выбор структуры и класса системы управления химическим процессом осуществляется с использованием множества регулируемых (наблюдаемых) переменных и управляющих воздействий, полученных из анализа структурной матрицы уравнений динамики химического процесса. При этом учитываются наблюдаемость выходных переменных процесса, оценка затрат на разработку необходимых датчиков, приборов, возмож-

Рис. 2. Имитационная модель автоматизированной химической установки в виде структурной схемы: с1, и - векторы конструктивных и управляющих (режимных переменных) переменных ХТП;_>>- вектор переменных состояния ХТП:

- идентифицируемый (в процессе эксплуатации ХТП) и неизмеримый векторы возмущающих воздействий; >’,ад - вектор заданий регулятором АСР; г - вектор настроечных параметров системы управления

пость и точность прогноза ВЫХОД1П.1Х переменных по косвенным показателям, управляемость процесса с той и пи иной комбинацией управляющих воздействий, динамические характеристики процесса по каналам управления. Альтернативные системы автоматического управления исследуются методом имитационного мо-делирования в порядке их ранжирования по критерию экономической целесообразности. Для допустимых структур систем автоматического управления проводится исследование динамических показателей (регулируемости, инерционности и др.) процесса по каналам управления (регулирования). В том случае, если управляемые в статике процессы имеют неудовлетворительные динамические характеристики, то производится коррекция конструктивных и режимных параметров процесса и установки (найденных на первом этапе), либо выбираются новые типы аппаратурного оформления химического процесса.

2.3. Синтез энерго- и ресурсосберегающего управления нелинейными химическими процессами (Блок № ¡3, рис. 1). Для непрерывного процесса формулируется задача оптимальной стабилизации переменных состояния химического процесса, для периодического процесса - задача программного управления, для полунепрерывного процесса - задача оптимального управления.

Сформулируем задачи оптимальной стабилизации и программного управления: требуется найти управление и*(1)е и2, доставляющее минимум функционалу качества вида

J\u2(t), ) = шп 1^(04'* )-*('* ))• F'Wk )-*('*») +

+ {J((CK')-z(f)), в«)-Cy(t)-2(0)) + («2('). 0(t). U2(t))). diI

'о

и ограничениях на качественные показатели переходного процесса в системе автоматического управления.

Здесь y(t),z(t) - /7-мерные векторы текущего и заданного состоя!шя (программы изменения) процесса, соответственно; и2 (О - т -мерный вектор управления; ф(*) - нелинейная по у и и2 вектор-функция, О - положительно полуопределенные матрицы (/7 х /7); (}(() - симметричная положительно определенная матрица (шх/я); (•) - скалярное произведение векторов.

Для решения задачи (15), (16) нами применяется метод «последовательной линеаризации», суть которого состоит в замене исходной нелинейной задачи последовательностью линейных. Каждая линейная задача последовательности получается путем линеаризации нелинейной вектор-функции ф(») в окрестности траектории состояния и управления, полученных при решении предыдущей линейной задачи. В первом приближении функция ф(») линеаризуется в окрестности

траектории y(t) = z(t) и управления u2(t) = и(2и> для задачи программного управления (y(t) = y3ad,

и->(() = и[0) - для задачи оптимальной стабилизации). Система линеаризованных уравнений имеет следующий вид:

y(k+'\t) = A(k\t)y(k+'\t) + B(k\t)u2(k+]\t) + А(*)(/); У(;+,)(7о) =Уо’'

где

Эу

Й(*)(0 = ^МгЛ)

y=y(k\l), ’ 42=U2(k\t).

y=y(k)(ty.

(15)

н2=и2(Л)(/);

И<к\0 = у(уис\и2(к))-А(к\0у(к\0-В(к\1)и2(к)(1).

(17)

Задача (15), (17) линейна по переменным

УА+1)(0. и-,(к+]\{), и ее решение определяется известным соотношением для оптимального управления

[11]. Последовательность линейных задач решается до тех пор, пока при некотором к = N выполняется неравенство

|иЮ_.,(ЛМ)||<е

при связях в форме уравнений математической модели динамики нелинейного процесса

J>(0 = 9Cv(0,m2(0, УМ=Уо\

гг (Ю

11ри этом вектор управления и2 принимается в

качестве решения задачи (15), (17), т. е. и2 = и2Ы^. Заметим, 1по сходимость итераций в сильной степени зависит от выбора начального приближения

Решение задачи синтеза оптимального управления нелинейным химическим процессом в замкнутой системе может быть получено с использованием универсальных алгоритмов, описанных в [11, 12]. В соответствии с методом АКОР для нелинейного по (фазовым координатам) объекга

у + /(с1,у,^) = и2. (18)

оптимальными по критерию обобщенной работы [12]

J{(1, и2Х) = У3IУ (І 1\) + І Оз (У, І № +

'і 'і гіУт дУ

+ 1/2 ■ )иїК~]и2сІз + 1/2 • / ——К ——¿/5 і і оу ау

являются управления г дУ

где У - решение уравнения

ЭЯ_ г? ¿Я _

д! ду ~3

при граничном условии

У«і)=У3>

(19)

(20)

(21)

(22)

здесь у =(У\,У2 >‘—>Уп) ~ вектор состояния объекта;

/ — іА-> Уг *•••»./»»)

(г)\Т .

дУ

ду

дУ дУ *У\........дУп

г V

- вектор столбцы; К - диаго-

нальная матрица заданных коэффициентов. Функции АУз&э заданы и зависят от у, I, причем У3,03 -положительно определенные функции; | - некоторое фиксированное значение векгора возмущающих воздействий. В функционале (19) / - текущий момент

времени, /, - заданный момент времени, = I + А/, где А/ - некоторый конечный промежуток времени. Синтез оптимального управления сводится к решению уравнения (21). Пусть (у(£, /), /) - заданное состояние

объекта, (у(%, 51), 5), (у(%. Л ), ) - состояния, в которых окажется объект, если предположил., что на интервале / < .V < /, объект неуправляем. С уравнением (21) связана характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений движения неуправляемого объекта

*+/гО',!,*)=о

и скалярное уравнение

г=<2з(У'і*)-

(23)

(24)

Решение этой системы определяет в пространстве (у 1, у2,..., у„, V ) интегралыпле люши-характеристаки, расположенные на интегральной поверхности У (у, я).

Проекции характеристик на пространство состояний объекта являются фазовыми траекториями, на которых У изменяется в соответствии с уравнением (24). Интегрирование (24) на фазовых траекториях дает с

учетом условия У л=/] = У3 следующее соотношение:

У(У(/). О = У3\У01 )1+1 (2з[УІ*Х І

(25)

Применив к (25) операцию (20), получим вектор оптимальных управлений.

Совмещенный синтез предполагает наличие в системе управления «прогнозирующей модели» объекта (23), блока вычисления функции (25) и блока вычисления управлений (20).

Расчет оптимального управления и2 производится следующим образом. Разобьем интервал оптимизации [/, /| ] на достаточно короткие циклы Ат , причем начало очередного цикла с точностью до Ат|( совпадает

с текущим моментом времени / .

Алгоритм.

Шаг 1. Пусть V - номер такта управления объектом (начинаем с V = 1). Для заданного момента времени / измеряется вектор у(/) и формируется смещенный вектор у(0=.у(/) + Д.у, где Ду - заданное малое смещение.

Шаг 2. Задавая векторы у(/) и у (О в качестве начальных условий в математическую модель прогноза (23), вычисляем фазовые траектории объекга на интервале времени ! < 5 < и переходим к шагу 3.

Шаг 3. Но соотношению (25) рассчитываем функции V(у(/), О и У(у(0, /) и затем на основе дискретного аналога выражения (20) вычисляем опта-

(V)

мальные управления и2 на V -ом такге управления.

Шаг 4. вычисленные управления воздействуют на объект управления в течение V -го такта. Если таким образом достигается конечный момент времени /|, то вычисления заканчиваются и найденные опта-

мапьные управления и2\и^........и[г) фактически яв-

ляются функциями измеренных фазовых координат у"\/2\...у*' ■ В противном случае по модели (18) прогнозируется новое состояние объекга у(/) в следующий момент времени / + V • Лт —>< I >,

V + 1 —>< V > и осуществляется переход к шагу 1.

При пересчете управления на новом такте вносится запаздывание, которое может быть сделано допустимым за счет быстродействия вычислительного устройства. Таким образом, одним из альтернативных классов систем оптимального управления нелинейными процессами являются системы с прогнозирующей моделью и блоком вычисления функционала на

прогнозируемых фазовых траекториях управляемого объекта.

Предварителып.ш синтез (на стадии проектирования) можно осуществить в два этапа: на первом этапе путем многократного применения процедуры совмещенного синтеза определяется множество локальных управлений на заданном множестве возможных состояний объекта; на втором - на основе полученных локальных управлений строится закон управления и-, (у) в области возможных состояішй объекта.

Выше мы рассмотрели детерминированные задачи оптимального управления, решаемые для известных значений возмущающих воздействий ^ . На самом деле

система управления, как и технологическое оборудование, должна проектироваться в условиях неопределенности. Для таких систем рассмотрим следующую постановку задачи оптимизации (13):

J(u) =М| Г^(у(/, £). м->(/))<//1--------------> пип

Ц ' "1 и2Ш2

(26)

У = /(у,и2«)Л\ У(0) = у0. (27)

Вер{р;(у(О) < ос7 }> р, у = 1/7, / е [Г0, /, ], (28)

где у е Я л - вектор состояния, £ е Я1 - вектор случайных параметров, имеющих известную функцию плотности распределения Р(£>) с некоторой областью определения ЕР ; /(•) - N -мерная вектор-функция, имеющая £, -ую непрерывную производную по у,, ¡ = 1,М и mJ-yю производную по , у = 1, £ ; и2 (О - вектор-функция управления из некоторого допустимого множества I/2 ; ос; - заданные дейсгви-тельные числа; р - заданное значение доверительной вероятности, /7(»), <р(») - достаточно гладкие функции своих аргументов.

Для практических задач требование гладкости Г и ср зачастую не является обременительным, поскольку

обычно используются аналитические, например, степенные зависимости.

Будем считать, что /(•) аналитична по у в /?л и по параметру £, в области Е. Тогда решение у(/. м2(ОЛ) также будет аналитично в Ег и может быть представлено сходящимся рядом Тейлора:

/»>(<. И2('Ш=У(,)(«. МОДоН

= а*<'>

/=1

і і я2,,^)

+ (() 0) + . | д,

,%г с£,<‘>а

где у(<^ - Ц -ая координата вектора решения системы

(2), = (£,0 -£) - случайный вектор.

214

Будем считать, что =М(£>), и обозначим производные решения у(/, м2(/), ^) по координатам вектора £ через .

Далее предположим, что подынтегральная функция /г( у(/, ^)) имеет все непрерывные частные производные по у порядка п < т . Если теперь воспользоваться свойством линейности оператора математического ожидания, то можно получил, для функционала У(м2) новое выражение

Ни) = (ІРМ Г. 5,)* I £І4«011*

(30)

* ^ +й,р|” 4*

где

Члены вида Л'/^Д^(1))”1 х ...х (Д^(^))”/-|,

/7Г, г = I Ь - некоторые степеьш, являются центральными моментами, соответствующего порядка и легко считаются, поскольку известна функция Р(£>) - плотность распределения случайного вектора £ неопределенных параметров. Однако, если случайная величина Д^(,) при каждом значении других случайных величин

Д£(;\ у = 1____ / -1, / +1_, £ , имеет симметричное

распределение, то член М {( Д£(1) )”1 х ... х (Д^(/' ^)"/- | равен нулю, как только Д^(,) входил' в него в нечетной степени. Так, например, если вектор £, имеет симметричное, относительно своего математического ожидания, распределение (нормальное, равномерное и т. п.), то ненулевыми будут лишь

Мх ...х(Д^ ))”*- |, в которых все степени пг четные.

Если теперь ограничиться конечным числом членов в разложении (30), то мы получим детерминированный

функционал 3(м2).

Таким образом, можно перейти от стохастической задачи к детерминированной задаче минимизации

функционала 3(м2) с уравнениями связи вида (29).

В работе [131 показано, что вероятностному условию Вер^р^уЦ)) < а; }> р, у = I /7, / е [/0, /, |, можно сопоставилт. эквивалентное детерминированное условие:

=(«./)

где область интегрирования Е (//,,/) определяется поверхностью 5’(7/2./) и множеством, в котором плотность распределения Р(%) принимает ненулевые

значения (в практических задачах эго множество, как правило, компактно).

Введем множество Л функций А(/), te\t0,t,] таких, что при управлении и2 {t ), решающем чада чу оптимизации:

5(м* ) = inin3(w2) = ///(А),

ые(/

У = /(У,игЛо) (31>

4>j(t^0)<Aj(t),j = Ln te [/0,/,j,

выполняется условие

BepfajW))^ OLj}>р, j = Ln, te I/o,/,], (32)

Сформулированная задача называется А-задачей оптимизации. При этом находится вектор-функция

/I*(/) = {^*(/)}./=1-л. A*(t)e А такая, что т (А*) = minт (/1 ). (33)

ЛеЛ

Для нахождения вектора A*(t) в работе [13] стро-игся минимизирующая последовательность А-задачи оптимизации:

{Л5}€А: т (А$ ) —} /п(А*).

Алгоритм ее построения сводится к следующему. Шаг 1. Задается начальное приближение - некоторые кусочно-постоянные функции Aj(t),j = \,m,

аппроксимирующие Aj (t ), A j {t ) = А (/, ) при

te \tj,ti+] [,/ =0, A' - L

Шаг 2. Методами AKOP или Крылова-Черноусько решается внутренняя A-задача оптимизации (31 )

Шаг 3. При оптимальном управлении м?(0 проверяем выполнение вероятностного ограничения (32) на каждом отрезке Ml«]-

Шаг 4. Если вероятностные ограничения для промежутка (/,, //+, ) не выполняются, т. е. A(t)£ А , то

уменьшается А (/, ) при te [/,. /,+11 для нарушенных ограничений и следует переход к шагу 2. В противном случае переходят к шагу 5.

Шаг 5. Кусочпо-постоянные вектор-функции

Aj(t), j = 1, п находятся из решения внешней А-задачи оптимизации (31).

2.4. Оптимизация альтернативных вариантов комплексов «процесс - система управления» по показателям энерго- и ресурсосбережения (Блок № 14, рис. /). На этом этапе интегрированного проектирования методом имитационного моделирования осуществляется решение многокритериальной задачи оптимизации альтернативных комплексов «процесс - система управления» (допустимых вариантов) при наличии неопределенности [4]. При этом уместно констатиро-валъ, что множество допустимых вариантов альтерна-

тивных комплексов, подвергаемых оптимизации, как правило, не превышает 5-ь 10, поскольку множество вариантов было отсеяно в соответствии со стратегией интегрирова!июго проектирования автоматизированного химического процесса (рис. 1).

В ходе имитационных исследований помимо вычисления оценок показателей энерго- и ресурсосбережения, экономической целесообразности также определяется техническое задание на точность и быстродействие информационно-измерительной подсистемы, алгоритмов оптимального управления, исполнительных механизмов и устройств управления, на разработку подсистемы адаптации модели и алгоритмов управления.

По результатам имитационных исследований проверяется достижимость поставленных целей функционирования химического процесса и осуществимость требований технического задания. В том случае, если эти требования не достижимы, осуществляется переход к новым обликам аппаратурного оформления или выбору новой структуры химического процесса.

Разработанная методология интегрированного проектирования реализована в качестве диалоговой системы автоматизированного проектирования процессов тонкого органического синтеза применительно к производству органических полупродуктов и красителей.

3. Пример интегрированного проектирования нелинейного процесса тонкого органического синтеза. Проиллюстрируем решение задачи интегрированного проектирования на примере нелинейного процесса синтеза азопигментов, точнее процесса диазотирования ароматических аминов (табл. 1).

Кинетические констанш процесса диазотирования в соответствии со схемой реакции (табл. 1) приведены в [14].

Множество альтернативных вариантов аппаратурного оформления процесса диазогирования включает непрерывно действующие реакторные установки блочномодульных конструкций: «царга-мешалка-гарелка»

лрубного липа и емкостной реактор-мешалка полунепрерывного действия (рис. 3). Конслруктивными параметрами реакторных установок являются: 1) «царга-

мешалка-гарелка» - объем царги V (при равенстве

диаметра с1{ и высоп.1 И царги), диаметр теплообменной рубашки с!-, царги, число модулей N ц ; 2) трубного типа - диаметр г/, и длина (. трубной секции, диаметр (1^ грубы теплообменной рубашки, число трубных секций Nс\ 3) реактор-мешалка полунепрерывного действия - объем Vм , диаметр г/, и высота И реактора, диа-метр г/-, теплообменной рубашки. В качестве режимных переменных процесса диазотирования выбирали для непрерывно действующих реакторов - температуру Т в зоне реакции, распределение подачи нитрита натрия Та/(У). У = 1. 2, 3 по высоте (длине) реакторной ус-лановки; для реактора-мешалки полунепрерывного действия - температуру Т в зоне реакции и время окончания процесса . Динамические свойства реакторных установок оценивали по показал-елям инерционности .$■ = .V(¿/,х) и регулируемости К =К(с!, х) процесса по каналам управления [2|.

Таблица 1

Перечень реакций процесса диазотирования

[Аг№12]., —АгЫН2,

ЫаЫ02 + НС1 —^=°° > НШ2 + ЫаС1,

Ат1чГН2 + НШ2 + НС1 —>

АгЫ2С1 + 2Н20,

IV

ЗНШ2 --------> 2ЫО + НШз + Н20,

IV

АгЫ2С1+№М02---------» Х>

АгЫ2С1 —> X,

где АгЫН2 - ароматический амин, |«| - концентрация. В, V, А:0, Е - кинетические константы растворения твердой фазы амина: АгЫ2С1 - диазосоединение (целевой продукт). X ~ диазосмолы, индекс Я - твердая фаза

W¡ = — =-В-г-V • ехр(-Я, /RT)(\ArNH2 1 -[ArNH2]); dt

W2 = kQ2c\p(-E2/RT)[ArNH2\ [HN02] [tfC/f87;

W3 = k03 exp(-£3 /RT)[HN02 \4Pno ;

W4 = koA exp{-E¿RT)\ArN2CI\ [HN02]\

W5 = Á0s c\p(-E</R'í) [ArN2Ct]\

Техническое задание на интегрированное проекти-рование автоматизированной реакторной установки диа ютирования устанавливает следующие требования:

- производительность установки -Q - 1 ООО т/год;

- выход целевого продукта (диазосоединения) -К > 98 %,

- по побочным продуктам:

- проскок твердой фазы амина r\ < 1 %;

- содержание диазосмол X в продуктах диазотирования Пх < I %;

- содержание нитрозных газов в продуктах диазо-тирова1шя Пс< 0,5 %;

- концешрация диазотирующего агента в зоне реакции - [HNO 2 |€ (5-14] моль/м3;

- динамическая 5 и статическая А ошибки переходного процесса в системе управления (регулирования), концентрации азотистой кислоты в продуктах диазотироваиия, соответственно, составляют: 5 < 4,5 моль/м3, А = 0.5 моль/м3;

Выполнение требований технического задания на проектирование необходимо обеспечить при наличии неопределенности параметров, приведенных в таблице 2.

Результата решения задачи синтеза управляемой в статике пятимодульной установки диазотироваиия типа «царга-мешалка-тарелка» приведены в табл. 3. Математическая модель процесса диазотироваиия в этом случае представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой использовали модифицированный мегод Ньютона.

Заметим, что одно- и двухэтапные задачи синтеза управляемых в статике установок диазотирования были решены для двух-, трех и четырехмодульных установок, а также для установок трубного типа. Математическая модель статики для установок трубного типа представляет собой систему жестких нелинейных дифференци-альных уравнений, для решения которых применяли мегод Г'ира [15]. Результаты решения одноэтапной задачи с «мягкими» ограничениями и с доверительной веро-ятностью р = 0,95 для 3-х, 4-х и 5-ти модульных установок диазотироваиия типа «царга-мешалка-тарелка» и лрубного типа гриведены в таблице 4.

Для количественной оценки динамических свойств реакторной установки диазотирования типа «царга-мешалка-тарелка» использовали показатель регулируемости R , позволяющий оценил, возможность ав тематического регулирования (стабилизации) оптимальных

Таблица 2

Номинальные значения неопределенных параметров и ожидаемые отклонения от них для процесса диазотирования

Неопределенный параметр 11оминалыюе значение Отклонение от номинальных значений, %

Концентрация твердой фазы амина в питании реактора, \ArNH 2 . моль/м3 500 ±2,5 %

Кинетический коэффициент растворения, В 4,406-1012 ±2.5 %

АГ04 3,2-104 ±1,5%

коь 1,110'° ±1,5%

Еа, Дж/моль 63690 ±1,5%

Ел, Дж/моль 87150 ±1,5%

Параметры гранулометрического состава суспензии амина в питании реакторной установки: г - 1/а 1,24/3,38 ±5%

в статике режимов диазотироваиия. В реакторной установке диазотироваиия непрерывного действия необходимо стабилизировал!, концентрацию азотистой кислоты Ce¿i? в зоне реакции на заданном уровне, что определяет «гладкость» протекания процесса диазотирования. В качестве управляющего воздействия для поддержания оптимального значения концентрации азотистой кислоты в зоне реакции будем использовать рас-

,-чвХ

ход суспен зии амина сiA .

С целью оценки влияния конструктивных параметров на динамические свойства реакторной установки были проведе! u.i многовариантные расчеты показателя регулируемости в зависимости от числа модулей N и объема модуля. По результатам имитационных исследований удалось установил., что заданному качеству переходных процессов в системе огггимальной стабилизации концентрации азотистой кислолл.1 в продуктах диазотироваиия соолтзетствуют значения Rúon > 4 , а в

системе АСР - Róon > 30 .

Графики иереходшлх процессов в альтернативных системах стабилизации концентрации азогастой кислоты на выходе пяти- и трехмодульных установок типа «царга-мешалка-тарелка» представлены на рис. 4. Как

Таблица 3

Результаты решения задачи синтеза управляемой в статике 5-ти модульной установки диазотирования тина «царга-мешалка-тарелка» с заданным уровнем энерго- и {ресурсосбережения: выход диазосоединения К > 98,5 % , затраты на энерг оносители ЭР < 1900 у.е. / т

Проекти- Проектирование при нали-

рование без уче га неопределенности ис- чии неопределенности

Параметры Задачи с жесткими ограничениями Задача с вероятностными ограничениями

ходных Одно- Двух- р = 0 р = 0.95

данных этапная этапная

Конструктивные:

число модулей

II 'чУі 0,07 0.18 0,17 0.11 0.13

объем модуля \'ц , М3

Технологические:

Температура в зоне реакции Т ,К 302,2 288.6 294,5 294.5 292.5

Распределение подачи

нитрита натрия по высоте (модулям) 68,9 65,9 70.7 67,0 66.5

установки:

тУ.% 69,0 66,0 71,0 67,0 66.5

У$.% 20,0 21,0 20,0 20,0 20.0

У$-% 11,0 13,0 9,0 13.0 13,5

Технологические пока-

затели эффективности:

Выход диазосоединения К, % 98,6 98.5 98.8 98.6 98,5

Проскок твердой фазы амина Т|, % 0.41 0.89 0,20 0,73 0,76

Количество диазосмол

"х% 1.00 0.60 0,98 0,72 0.68

Количество нитрозных газов П ст, % 0.18 0.26 0,22 0.24 0,24

действия (см. табл. 4). Для установки трубного типа не удалось подобрать работоспособную систему' стабилизации, хотя по эффективности функционирования в статике эта установка не уступает пятимодульной установке типа «царга-мешалка-тарелка». Поэтому этот вариант аппаратурного оформления процесса диазотирования не может быть рекомендован к опытнопромышленной эксплуатации.

Сформулируем задачу интегрированного проектирования реакгорной установки диазотирования полунепрерывного действия и системы оптимально управления ее режимами: требуется определить объем аппарата V* и программы изменения во времени подачи

нитрита иатрия (т^ (/) и хладагента Ох(/), при которых достигается минимум показателя энерго- и ресурсосбережения, г. е.

б) реактор трубного типа: 1 - модуль реактора; 2 - теплообменная рубашка; 3 - штуцер для подачи хладагента; 4 - штуцер для подачи солянокислой суспензии амина

в) реактор емкостного типа: 1 - вал; 2 - мешалка; 3 - штуцер для подачи раствора нитрита натрия; 4 - штуцер для подачи солянокислой суспензии амина; 5 - теплообменная рубашка

Суспензия амина Нитрит натрия Рис. 3. а) многоцарговый реактор: 1 - электропривод; 2 - вал; 3 - многоярусная мешалка; 4 - теплообменная рубашка; 5 -царга; 6 - тарелка

Диазораствор Хладагент

Нитрит натрия Суспензия амина

Таблица 4

Результаты решения одноэтапной задачи с «мягкими» ог раничениями (доверительная вероятность р = 0,95 )

для альтернативных вариантов реакторных установок диазотирования

Параметры установки « Царга-тарелка-мешалка» Трубного типа Реактор- мешалка

Конструк- тивные Vu = 0.13м3 N4 = з Уи =0.31м N =4 Nt =52 d - 0,04м (. = 8.0 м полунепрерывного действия V = 6.3м3

Режимные: температура т, к’ распределение подачи нитрита натрия по модулям: Тм»* у(»2),% У !? ’ % 292.5 66.5 20.0 13.5 290,5 70.0 20.0 10,0 284.3 33,1 33.3 33,6 280,5 Время процесса '*=25 мин. Од(') <зр (см. рис. 5)

Показатели эффектив- ности

ЭР*, у.е./т 1882.1 1886.7 1900.8 1925,1

7], % пх,% 0,76 0,68 0.92 0,68 0,68 0,63 0.936 0,864

П„,% 0.28 0,26 0,37 0.14

Оптимальное значение вектора А (0; -0.32; 0) (-0,05; -0,325; 0) (0; -0,367; 0) (-0.064; -0,136; 0)

Показатель ретулируемо-сти. Я 31,28 7,61 0,65 -

видно из графиков на рис. 4а, только в системе оптимальной стабилизации удалось обеспечить требуемое качество регулирования в пятимодульной установке диазотирования. Для трехмодульной установки диазотирования требуемое качество регулирования достигается как в системе оптимальной стабилизации, так и в АСР с ПИ-регулятором. На рис. 4 приведены графики

изменения управляющего воздействия - расхода G ^ суспензии амина в питании пятимодульной реакторной системы.

Аналогичные исследования проводились для четырехмодульной установки диазотирования тина «царга-мешалка-тарелка», а также для реакторных установок диазотирования трубного типа и полунепрерывного

эP\v\g'n (t\G'x(t\l) = min ЭР (VyGN(t\Gx(t),\)' y.gn(i).gxO)

CAK, моль/M*

j_______________________iji

0 1,0 2,0 3,0 4,0

a)

G. x 104 m3/c

0 1,0 2,0 3,0

6)

Рис. 4. а) Графики переходных процессов в системах управления химическим процессом диазотирования: 1 - в АСР С ПИ-регулятором: 2 - в системе оптимальной стабилизации: 3 - требования к качеству переходного процесса, б) Управляющие воздействия в системах управления пятимодульной установкой:

1 - в АСР с ПИ-регулятором; 2 - в системе оптимальной стабилизации

при связях в виде уравнений математической модели нестационарного процесса диазотирования:

к Л \ = -[с л (0 ^ - V, |с, ]* ,СЛ,С'Л,т)\ [сД(о)=[сД;

сА = ^ ((<" Л • Са . с'л.т) -

-Щ^л.САК,СскЛ

са(°)=са<

^ск (Р ) — ^ С К ’

АК V(t)

-И'2ІРа.Сак,Сск,тУи'1(Сак ,Т, Рыо )--ГЖм.Со'ТУ,

См(0)=СЬ;

_Uh

4,0

Т, К

С, моль! м'

Рис. 5. Оптимальное управляющее воздействие в питании емкостного реактора: 1 - расход хладагента; 2 - расход раствора нитрита натрия

Со = - +Ь. САК , С.ск , т)-

-И',{Сак,С0.Т)-И'5{Св,ТГ, Со(0)=С»;

£ _ ^ Х^)^(0 Г1/

х ^(0 Сх(0)=Сх°;

Со(/Г^(0

+1У4(САК.С0.Т)+1У5(С0,Т):

Са=~

Са(0)=0.

К(/)

+Ж3 (САК,Т,Р„оУ>

гр _ ^/ууРУ (ГХ-/д/(О |

К(0

И'2 Ь•• С«,гX кш !■(, 1(740 -7,

(0)

рсг С

СрсРсУ (0

Т (о)=Г°;

• _(7Х(/)(Г”-ГХ(/)) Л:т/^(/)(7Ч/)-ГЛ.(/)).

* Ґ - . . , >

г,(0)=г,°;

¿/к , ч

^Г=См(,);

У(0)=У° и ограничениях:

0(К,оА,(/),сх(/),/йрД)=с^;

Вер^К > 98,0 %) > 0,95;

5е^(Г| < ЦО %) > 0,95;

/й^(Пх <1,0%)>0,95;

Вер%( П0 <0,5%) >0.95.

Оптимальные управления 0^(0 и 0*(/) определял ись методом последовательной линеаризации с точностью е = 10-4 из решения задачи

Рис. 6. Изменение концентраций и температур в ходе процесса диазотирования: 1 - температура смеси в аппарате; 2 -температура хладагента в охлаждающей рубашке; 3 - концентрация диазосоединения; 4 - концентрация азотистой кислоты

пнп

о„(0.«,(0

1 "Р

2 !,

10,0 • (САК (/) ~САК )2 +

+ 0.01 СТО-7’)2 +1,202 (0

+ 0,0202 +0.0202 (/)}//

где САК = 0.8 моль/м3, Т = 280,5 К , 1пр =1504,3 с.

Соответствующие им траектории изменения кон-центраций реагирующих веществ и температур реакционной массы и хладагента в ходе процесса диазоти-рования показаны па рис. 6.

Анализ графиков показывает, что максимальные отклонения стабилизируемых переменных - концен-трации азотистой кислоты и температуры в зоне реакции - не превышает 0,25 % от заданных значений

С АК И т

Следует заметить, что для установки диазотирова-ния задача оптимального проектирования при наличии неопределенности решена окончательно (табл. 4), тогда как дня установок диазотирования непрерывного действия лишь предварительно и показатели этих установок, по-видимому, можно улучшить, решая одно- и двухэтапные задачи оптимизации. При этом наша основная задача - не допустить ухудшения динамических свойств.

Таким образом, в результате последовательной проработки альтернативных вариантов нам удалось сформировать следующие допустимые (альтернативные) вариаты комплексов:

I - трехмодульная реакторная установка - автоматическая система регулирования с ПИ - регулятором; 2 -трехмодульная реакторная установка - система оптимальной стабилизации (концентрации азотистой кислоты в продуктах диазотироваиия); 3 - чегырехмодульная реакторная установка - система оптимальной стабилизации; 4 - пятимодульная реакторная установка-система оптимальной стабилизации; 5 - реакторная установка полунепрерывного действия - система оптимальной стабилизации.

Далее в соответствии с разработанной методологией (см. блок-схему) для вышеперечисленных вариантов установок решали одно- и двухэтаиные задачи оптимизации при наличии неопределенности, вводя ограниче-

ние на допустимый показатель регулируемости установки, и производили попарное сравнение вариантов по комплексному критерию, включающему показатели энерго- и ресурсосбережения, качества, •жологической безопасности и другие.

Анализ критериев энерго- и ресурсосбережения показывает, что малогабаритные установки непрерывного действия типа «царга-тарелка» гораздо эффективнее реакторов емкостного типа полунепрерывного действия. При этом использование установок диазотирования непрерывного действия обеспечивает низкий выход экологически жестких побочных продуктов (диазосмол) и опасных для здоровья обслуживающего персонала нитрозных газов, а также существенное снижение металлоемкости химической аппаратуры. Наилучшим вариантом энерго- и ресурсосберегающей автоматизированной установки диазотирования является комплекс «пятимодульная реакторная установка - система оптимальной стабилизации», сохраняющий работоспособность независимо от изменения неопределенных параметров и обеспечивающий все требования технического задания на проектирование.

По результатам проведенных исследований разработана и реализована в Тамбовском АО «Пигмент» автоматизированная установка синтеза трех марок азопигментов производительностью 3500 т/год. Установка состоит из одного мощного узла диазотирования, общего для пигментов алого, лакокрасочного и желтого светопрочного, и раздельных узлов азосочетания. Такая структура установки обусловлена тем, что исходным сырьем для синтеза трех марок азопигментов (алого концентрированного, лакокрасочного и желтого светопрочного) является 3-ііитро-4-аминотолуол, диазотирование которого с целью снижения капитальных и эксплуатационных затрат целесообразнее проводить в общей реакторной системе. Последующие процессы азосочетания пигментов алого, лакокрасочного и желтого светопрочного осуществляют в раздельных реакторных системах, что объясняется несовместимостью по цвету, прочностным и миграционным свойствам этих пигментов.

Разработанная в Технологическом институте ТГТУ непрерывная технология, аппаратурное оформление

производства азопигметпов и методология интегрированного проектирования делает возможным создание мобильных энерго- и ресурсосберегающих автоматизированных установок нового поколения.

ЛИТЕРАТУРА

1 Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии Л Химия. 1971 496 с

2 Девято» Б.Н. Теория переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач управления. Новосибирск: РИО сибирского отделения АН СССР, 1964 324 с.

3. Анисимов П.В.. Бодров В.И., Покровский В.Б. Математическое моделирование и оптимизация ректификационных установок. М. Химия. 1975. 215 с.

4. БоОров В.И., Дворецкий С.И. Стратегия синтеза гибких автоматизированных ХТС // ТОХТ. 1991. Т 25. № 5. С. 716-730.

5. Островский ГМ., Волин ЮМ. О новых проблемах гибкости и оптимизации химико-технологических процессов при наличии неопределенности//ТОХТ 1999 Т 33. № 5 С 578-590.

6. БоОров В.И., Дворецкий С.И., Дворецкий Д.С. Оптимальное проектирование знерго- и ресурсосберегающих процессов и аппаратов химической технологии//ТОХТ 1997 Т. 31 №5 С 542-548.

7 Волин ЮМ.. Островский ГМ. Оптимизация технологических процессов в условиях частичной неопределенности исходной информации // АиТ. 1995 № 2. С 85-98

8 Hole та» K. R., Grossmann I.E. Optimal process design under uncertainty // AIChE J 1983. № 3 P 425-433

9 Островский ГМ.. Волин ЮМ., Барит E.H., Сенявин ММ Оптимизация химико-технологических процессов в условиях неопределенности //ТОХТ 1993 Т 27 №2. С 183-191

10. Островский ГМ., Волин ЮМ., Головашкин Д.В. Новые подходы к исследованию гибкости и оптимизации химико-технологических процессов в условиях неопределенности // ТОХТ 1997 Т 31. № 2 С. 202-207.

11. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А А Красовского. М.: Наука. 1987 712 с.

12 Красовский A.A., Буков В.H., ШенОрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М : Наука. 1977 272 с.

13 Солопахо A.B. Гарантированное оптимальное управление объектом. описанным системой дифференциальных уравнений со случайным параметром // Вести . ТТТУ 1995. Т I № 3-4 С. 239-246.

14 Дворецкий С.И., Майстренко A.B.. Утробин Н.П., Дворецкий Д.С. Разработка непрерывной энерго- и ресурсосберегающей технологии получения азопигментов // Вестн ТГУ. Сер Естеств и технич науки Тамбов. 1997 Т 2. Выи I С 76-83

15. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1987 412 с

Поступила в редакцию 26 апреля 2001 г.