CC BY
484
Стохастическое программирование в задачах планирования на предприятиях с непрерывным процессом производства Stochastic programming in problems of planning in enterprises with continuous
production process
Розанова Лариса Федоровна
к.т.н., доцент, кафедра «Вычислительная математика и кибернетика»
ФГБОУ ВПО УГАТУ, г. Уфа rozanova_lara@mail. га Розанова Жанна Борисовна к.э.н., доцент, кафедра «Управление социальными и экономическими
системами» ФГБОУ ВПО УГАТУ, г. Уфа zhanylik@mail.ru Чендулаева Ксения Борисовна магистрант, кафедра «Вычислительная математика и кибернетика»
ФГБОУ ВПО УГАТУ, г. Уфа chendulaeva@mail. ru
Аннотация: В статье рассмотрена модель определения оптимального плана производства и соответствующие ему объем материальных затрат и используемых мощностей. Модель представлена в терминах математического стохастического программирования. Это позволяет оценить объем возможных потерь в случае непредвиденных изменений во внешней и внутренней средах.
Abstract: In article the model of determining the optimal production plan and the corresponding volume of material costs and facilities used. The model is presented in terms of mathematical stochastic programming. This allows you to estimate the amount of potential losses in the event of unforeseen changes in the external and internal environments.
Ключевые слова: Стохастическое программирование, оптимизация,
объемное планирование, распределение ресурсов.
Keywords: Stochastic programming, optimization, volume planning, resource allocation.
Введение
Планирование работы предприятия - это оценка будущего состояния с позиций текущего момента времени, поэтому необходимо учитывать ряд случайных факторов, которые существенно влияют на процесс производства. Для получения более точной и достоверной оценки будущих процессов на предприятии, снижения риска принятия ошибочных решений при планировании необходимо проанализировать круг взаимосвязанных процессов планирования, производства и сбыта продукции, чтобы устранить влияние случайных факторов. Особенно это актуально для компаний с непрерывным циклом производства, таких, как нефтеперерабатывающие предприятия. Это обусловлено сложностью технологического процесса и частыми изменениями производственной обстановки под действием внешних и внутренних факторов, таких как спрос, сбои в поставках сырьевых ресурсов, в работе технологических установок, и, как, следствие, непредусмотренные изменения объема и качества продуктов, получаемых на определенной стадии и направляемых на внутреннюю переработку или дальнейшую переработку, и т.д.
Для учета случайной компоненты в процессе планирования и распределения ресурса предлагается использовать модели стохастического программирования [1,2,3,4], что позволит заблаговременно выявить возможные отклонения при реализации планов и объемы возможных потерь, минимизировать ошибку принятия решений.
1. Содержательная постановка задачи
Планирование на предприятии включает комплекс планов, преследующих взаимосвязанные цели и решающие свои специфические задачи. Существуют различные типологии планов предприятия. [5] С позиций настоящего исследования рассматривается система планов, включающая стратегический, тактический и оперативный уровни. На рисунке 1 показано
место объемного планирование в системе этих планов:
- Стратегический уровень - планирование концепции развития предприятия на долгосрочную перспективу (свыше трех лет).
- Тактический уровень - объемное планирование мероприятий по реализации стратегии, выработка финансовой политики, бизнес-план сроком на 1-3 лет;
- Оперативный уровень - планирование осуществления производства, включая формирование производственных, коммерческих, административно-хозяйственных планов, бюджет предприятия сроком до 1 года.
Система производственных планов предприятия
1
Долгосрочный план * =
Стратегическое планирование Ж
планирование развития предприятия
Среднесрочный Краткосрочный
план план
Тактическое планирование
____________Л________________
определение номенклатуры и объемов выпуска товаров и изделий, которые необходимо произвести в
Оперативное
планирование
планирование 1 осуществления производства
Рис. 1 - Система отдельных планов, из которых состоит планирование производства на предприятии
Объемный план производства призван определить оптимальные номенклатуру и объем выпуска товаров и изделий, которые необходимо
произвести в плановом периоде. При этом ограничениями на производство продукции являются производственные мощности, материальные, финансовые и человеческие ресурсы. В качестве критерия оптимальности плана можно использовать в зависимости от стратегии предприятия максимизацию прибыли от производства и сбыта запланированной продукции, снижение расходов на производство продукции и др.
Рассмотрим постановку задачи объемного планирования для нефтеперерабатывающего производства.
Входными данными задачи являются:
-“Перечень и соответствующие параметры нефтепродуктов и других ресурсов: цена и объемы поставок.
-“Перечень установок и параметры каждой установки: номинальная мощность, нефтепродукты на входе и на выходе, нормы расхода ресурсов и другие.
-“Прочие параметры, необходимые для расчета и анализа основных технико-экономических показателей с учетом вероятностной неопределенности.
Требуется разработать модель формирования оптимального объемного плана производства в условиях неопределенности и риска, позволяющую моделировать различные варианты производства и согласовывать объёмы поставляемого на предприятие сырья с возможностями технологических установок и объемами выпускаемой продукции.
Выходная информация:
-“Оптимальный план производства товарной продукции в натуральном и стоимостном выражениях.
-“Загрузка производственных мощностей по каждой установке.
-“Общая и с разбивкой по установкам потребность в производственных ресурсах.
-“Обобщенные технико-экономические показатели в условиях
вероятностной неопределенности.
2. Математическая модель.
Наличие случайных факторов в задаче планирования производства влечет необходимость ставить и исследовать ее в терминах и понятиях стохастического программирования, когда элементы задачи линейного программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов D, вектора оценок С) часто оказываются случайными. Такие задачи относятся к задачам стохастического программирования (СТП) [1,2,4].
Стохастические задачи различаются:
1. По выбору показателя качества (целевая функция - ЦФ):
1.1 М-постановка, в которой ЦФ имеет вид (1)
M (F) = M {СХ max (1)
1.2 V- постановка, в которой ЦФ имеет вид (2)
M[(СХ - СХ)2] ^ min (2)
1.3 Р- постановка, в которой ЦФ имеет вид (3)
P[F > F0] = Р[СХ > FJ (3)
2. По способу расчленения ограничений:
2.1 С построчными вероятностными ограничениями
рЦГа.х. >b 1>а. ,i = 1,m, //1Ч
j j J ” (4)
а 0i = 1 -а i .
2.2 С общими вероятностными ограничениями
P{ AX > £)><ю (5)
Стохастическая модель оптимизации объемного плана производства представлена в М-постановке с построчными вероятностными ограничениями, в которой требуется найти объемы производства, максимизирующие математическое ожидания прибыли при условии, что израсходованный ресурс не превысит имеющийся с некоторой заданной вероятностью и мощности будут использованы в полном объеме.
Пусть NT, NP - номенклатура товарной продукции, полуфабрикатов собственного потребления (N =NT + NP), М, К - количество типов
оборудования и видов сырья (используемых материалов), Rl - мощность 1-го типа оборудования, а7 - математическое ожидание потребности і-го типа
материала для производства единицы 7-го вида продукции, Вг -
математическое ожидание величины располагаемого і-го ресурса за весь период планирования, х\ - количествово выпускаемой продукции 7-го вида, dsj— технологический коэффициент затрат £-го вида продукции на единицу 7-го
вида, ^ , ст. - математические ожидания цен j-го вида продукции и /-го вида
сырья и используемых материалов, аг2 [а] аг2 [Ь. ], 7 = 1, п, / = 1, т - дисперсии
значений норм расхода и имеющегося объема ресурсов; ?(аг) - значение центрированной нормированной случайной величины, которое соответствует заданному уровню вероятности соблюдения ограничения а., wi, - величина дополнительного ресурса, необходимого для гарантированного выполнения плана при разных уровнях вероятности,
Г7 =<
1, если продукт 7 изготовляв тся на установке I
, I = 1, М, 7 = 1, N.
0, в противном случае В задаче стохастического объемного планирования требуется определить вектор Х=(х1, х2 ,..., хн ), максимизирующий математическое ожидание прибыли компании
М
т к N
У сі * х -УУ а * х * ст
^ 7 7 ^ ^ 7 7 і
7=1 і=1 7=1
при следующих ограничениях:
1.°По материальному балансу
х7 = 7> 7>5 = 1н> 7 *5. (7)
2.°По мощности
N ____
I Г,Х1 < Д,, I = 1,М . (8)
7=1
3.°По ресурсам, обозначающая, что вероятность выполнения каждого
заданного ограничения должна быть не менее назначенной величины аj
Р
У а * х. < В
7 7
7=1
> а
4.°На неотрицательность вектора
х. > 0, 7 = 1, N,
7 ■> и
(10)
Для удобства решения приведенная выше модель приведена к детерминированной задаче, которая сведена к задаче линейного программирования с линейной функцией цели и нелинейными ограничениями и представлена формулами (11-15):
N
К N
(11)
7=1
і=1 7=1
при следующих ограничениях 1.°По материальному балансу
2.°По мощности
У г7 х < Rl, I = 1, М,
(12)
(13)
7=1
3.°По ресурсам
1
т ------- ----- ( п Г 1 Г "1^ 2
У а х < В - ж, где ж = ґ(а ) У а2 |а ]х2 + а2|Ь I
і7 7 і і і V і / у |_ у _Г 7 і І. і J
7=1
2 а ’”2 ' _2
і7 І- і7 1 7
V 7 = У
(14)
4.°На неотрицательность вектора
х. > 0, 7 = 1, N, (15)
Величина дополнительного ресурса wi играет роль некоего индикатора, который позволяет промоделировать влияние неопределенности будущего состояния предприятия с позиций текущего момента времени за счет изменения уровня вероятности соблюдения /-го ограничения, с увеличением которого растет величины ^а) и дисперсии а2 [а. ] а2 [Ь. ], что влечет в свою очередь
увеличение платы за неопределенность, то есть увеличение w., и, наоборот.
Для измерения степени этого влияния рассчитываются количественные оценки (16-18):
1. “Относительное ухудшение целевой функции
Р = |^0 - ^|/^0 • 100%, (16)
где°Р0 и ^ - соответственно значения целевой функции при Wi = 0 и в задаче СТП.
2. “Относительное увеличение ресурса
К п \
У, = Ё ац •^ + W -100%. (17)
г / V м 11 ' У
3.“Относительное увеличение стоимости ресурса при разных уровнях вероятности
ц = *ст Е Еа ** ст, + * ст, I • 100%. (18)
V
=1 V І=1
3. Результаты апробации модели
Апробация построенной модели осуществлялась с использованием надстройки «Поиск решения» пакета MSExel 2010. [9] Программа состоит из ряда листов (рис. 2), включающих: затраты сырья на единицу продукты и цены на ресурсы, список и цены на нефтепродукты, оптимальный план производства товарной продукции в натуральном и стоимостном выражениях, потребность в производственных ресурсах и ингредиентов с разбивкой по установкам и загрузка каждой установки, общая потребность в ресурсах.
Рассматривалось нефтеперерабатывающее производство, состоящее из пяти установок, на которых производится 20 видов продуктов. Из произведенных на каждой установке продуктов 10 идет на продажу, среди которых бензин, д/т "л" и "з", гудрон, рефлюкс и др., а остальные на внутреннее потребление, такие как вакуумный газойль, газ, легкий каталитический газойль и др. Кроме того, есть такая продукция, часть которой сразу идет на продажу, а остальная идет в дальнейшую переработку. Для получения готовой продукции используется нефть и 14 видов дополнительных ресурсов: сода каустическая,
пар, вода, электроэнергия, сжатый воздух, топливо, деэмульгатор, моноэтаноламин, катализатор, инертный газ, диэтиленгликоль, аммиак др. Цены на нефтепродукты и ресурсы, взяты с сайтов компаний, занимающихся их продажей. [6,7,8] Доходы складываются от продажи товарной продукции. Затраты включают стоимость всех ресурсов.
Рис.2 - Фрагменты расчетов по разработанной модели Сравнительная оценка относительного изменения прибыли компании и увеличения затрат при разных уровнях вероятности приведены рис.3.
Анализ полученных данных подтверждает, что пренебрежение случайным характером величин, входящих в модель оптимизации объемного плана производства, может привести к формированию не выполнимых планов, и как следствие, к существенному снижению прибыли предприятия.
Анализ прибыли и затрат на дополнительный объем ресурсов при разных уровнях вероятности
-40
-60
-80
-14,0 8,07
-29,0 ■^,33
■*3,40
1,73 ^-59'6 ф -64
0
Д
0,6
0,7
0,8 0,9
Уровни вероятности
Относительное изменение прибыли по сравнению с базовой задачей Ь
Относительное увеличение затрат на приобретение дополнительного ресурса
Рис. 3 - Сравнительный анализ результатов решения задачи
Так, например, для обеспечения запланированного с вероятностью 60 % объема прибыли требуется увеличение затрат на приобретение дополнительного ресурса на 1,74 % по сравнению с детерминированной задачей. Отсутствие такого увеличения ресурсов может привести к уменьшению прибыли на 14 %.
Заключение
По результатам проделанной работы можно сделать следующие выводы:
1. Объемный план производства относится к уровню тактического планирования на предприятии, который характеризуется высоким уровнем неопределенности, что ведет к риску принятия ошибочных решений. Этот факт требует разработки математического аппарата, позволяющего определить оптимальный план производства, соответствующий ему уровень материальных затрат, используемых мощностей и оценить объем возможных потерь. В качестве математического аппарата предлагается использовать модели стохастического программирования.
2. Разработанная модель задачи стохастического планирования и распределения ресурса сводится к задаче линейного программирования с нелинейными ограничениями, в которой требуется найти объем выпуска
продукции, который позволяет организации получить максимальную прибыль в плановом периоде. Учет случайного характера величин, входящих в модель существенно влияет на результаты решения задачи, и пренебрежение этим фактом приводит к риску принятия невыполнимых планов.
3. Использование разработанной модели позволит определить:
- Дополнительный объем по каждому виду ресурсов для обеспечения гарантированного с заданной вероятностью выполнения плана.
- Величину уменьшения прибыли при отсутствии дополнительных ресурсов из-за возможного сокращения выпуска продукции.
Библиографический список
1. Шелобаев С.И., Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб.пособие для ВУЗов - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. -368 с.
2. Юдин Д.Б., Задачи и методы стохастического программирования: М. .: URSS, 2010, - 392 с.
3. Математическое моделирование экономических процессов / Е.Г. Белоусова; под ред. Ю.Н. Черемных. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 364с.
4. Розанова Л.Ф., Максименко З.В., Чендулаева К.Б. Механизм учета случайных факторов при объемном планировании в производственных системах. // Информационные технологии и системы (ИТиС - 2014) [Электронный ресурс] : тр. 3-й междунар. науч. конф. - Банное, Россия, 2014 г.: науч. электр. изд. / отв. ред. А. В. Мельников. Челябинск: Изд-во Челяб. гос. унта, 2014. - С. 171-172.
5. Савкина Р.В., Планирование на предприятии: Учебник - Изд-во: Дашков и К, 2013. - 322с.
6. Alex Petroleum - надежность, качество, ответственность [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://reserv-oil.ru/benzin-ai-92, свободный. -Загл. с экрана.
7. RICCOM [Электронный ресурс] - Режим доступа: http:// www. riccom.ru свободный. - Загл. с экрана.
8. АНК «БАШНЕФТЬ» [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.bashneft.ru/processing-retail/processing/ свободный. - Загл. с экрана.
9. Цыганкова С.А., Полковникова И.В. Информационные системы в менеджменте. Бизнес-статистика и прогнозирование средствами Ехсє1:Учє6но-методическое пособие для студентов и магистрантов экономических специальностей. - Луганск: Альма-матер, 2009. - 165 с.
