Стохастическое моделирование протокола FastTrack Текст научной статьи по специальности «Математика»

Стохастическое моделирование протокола fasttrack

Ключевые слова: рееЫо-реег, Га&Тгаск, стохастическая модель, стохастическое дифференциальное уравнение, метод Рунге-Кутты.

Предпосылки. В предыдущих работах авторов разработан метод построения одношаговых стохастических моделей, который позволяет моделировать широкий класс явлений. Данный метод показал хорошие результаты для популяционной динамики. Его также можно применить к техническим задачам таким как peer-to-peer сети, в частности к моделированию протокола FastTrack. Цель. Построение стохастической и детерминистической модели протокола FastTrack, а также качественный анализ полученной модели и изучение влияния введения стохастики на поведение системы. Методы. При моделировании сетевых систем необходимо учитывать зависимость от случайных возмущений. При стохастизации математических моделей возникает проблема, как ввести стохастический член, который интерпретируется не как внешнее случайное воздействие на систему, а имеет непосредственную связь с ее структурой. Для получения стохастических моделей предлагается рассматривать процессы, происходящие в системе, как одношаговые марковские процессы. Такой подход позволяет получать стохастические дифференциальные уравнения с согласованными стохастической и детерминистической частями, так как они выводятся из одно и того же уравнения. Привлечение теории стохастических дифференциальных уравнений позволяет провести качественный и численный анализ поведения решений уравнений для полученной стохастической модели. Для иллюстрации результатов предлагается использовать численные методы Рунге-Кутты разных порядков построения решений стохастических дифференциальных уравнений. Результаты. Получены детерминистическая и стохастическая модели протокола FastTrack, и с помощью качественно анализа и численного решения полученных уравнений исследовано влияние стохастизации на детерминистическую модель. Выводы. Анализ получившихся стохастической и детерминистической моделей показал, что поведение стохастической модели в стационарном режиме слабо отличается от поведения детерминистической модели. Следовательно, для некоторых систем данная методика может применяться для получения чисто детерминистических моделей.

Демидова А.В.,

Российский университет дружбыI народов (РУДН), ассистент кафедры систем телекоммуникаций [email protected], [email protected]

Геворкян М.Н.,

Российский университет дружбыI народов (РУДН), к.ф.-м.н., ассистент кафедры систем телекоммуникаций [email protected]

Введение

При моделировании сетевых систем необходимо учитывать зависимость от случайных возмущений. При стохастизации математических моделей возникает проблема, как ввести стохастический член. Существует несколько способов введения такого члена. Самый простой вариант - аддитивное добавление стохастического члена к детерминистическому уравнению. Однако при таком введении возникают свободные параметры, требующие дальнейшего определения. Кроме того, данные стохастические члены обычно интерпретируются как внешнее случайное воздействие, и связь их со структурой самой системы остается непонятной.

В работе моделируется и исследуется сеть работающая по протоколу БаБШ-аск. В качестве уравнения, описывающего стохастическое поведение исследуемой системы, предлагается использовать стохастическое дифференциальное уравнение, полученное как приближение основного кинетического

уравнения, построенного с помощью схем взаимодействия [1]. Проводиться анализ полученных детерминистической и стохастической моделей и на основе полученных результатов исследуется влияние стохастизации на детерминистическую модель.

Протокол Fast Track

Fast Track - одноранговый (P2P) сетевой протокол для кооперативного обмена файлами через Интернет. Закачка данных осуществляется только из источников, содержащих полные файлы. FastTrack первоначально был реализован в программе KaZaA. Сеть, основанная на работе прокола FastTrack, имеет децентрализованную топологию, что делает ее работу очень надежной. В сети пользователи разделены на два класса: суперузлы и простые узлы (supernodes и ordinary nodes). Выделение суперузлов является одной из функций протокола и на эту роль выбираются узлы с быстрым подключением к сети, высокой пропускной способностью и возможностью быстрой обработки данных. При этом владельцы компьютеров не знают, что их компьютер был назначен в качестве суперузла.

Чтобы загрузить файл, узел посылает запрос суперузлу, который в свою очередь взаимодействует с другими узлами и т.д. Таким образом запрос распространяется до определенного протоколом уровня сети и называется временем жизни запроса (Time to live). После того, как нужный файл будет найден, он передается непосредственно узлу, его запросившему, от узла, который имеет этот файл, минуя суперузел [2,3].

Моделирование

Сделаем предположение, что файл состоит из одной части. Таким образом, за один шаг взаимодействия нового узла, желающего скачать файл, и узла, раздающего файл, новый узел скачивает весь файл и становится раздающим узлом.

Пусть N - это обозначение нового узла, £ - это раздающий узел, а Д>0 — коэффициент взаимодействия. Новые узлы могут приходить в систему с интенсивностью л>0, а раздающие узлы уходить из нее с интенсивностью // > 0 • Тогда схема взаимодействия и вектор г будет иметь вид [1]: гл=(1,0)г,

N + ¿—1в—>И г'2 = (-1,1)г,

(1)

->0

Первая строка в схеме описывает появление нового клиента в системе. Вторая строка отражает взаимодействие нового клиента и сида, в результате которого появляется новый сил. А третья - это уход сила из системы. Запишем вероятности переходов:

= = $п1, Щ +(п./) = М

Далее можно записать уравнение Фоккера-Планка для данной модели []]:

Щ I. 2 л

где вектор сносов Л' и матрица диффузии В'' имеют следующий вид:

А'(п,1) о 5>,/У\ ВЧп,1) = з'а(п,1уа г'" Таким образом имеем -1 I

1

finl+

Для того чтобы записать стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена для данной модели, достаточно извлечь квадратный корень из полученной матрицы В- в уравнении Фоккера-Планка [1,4]:

1,/J [fini-fil1 "

Ub'"

тл

U+finl -fini \ /Зч

ч -fini fini+fil) Следует заметить, что конкретный вид матрицы Ь\ не выписан из-за крайней громоздкости выражения.

Детерминистическое поведение

Как следствие можно получить систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику численности новых клиентов и сидов: Гн= Я-fini, 1i = fini-pl.

(4)

Стационарные состояния

Найдем стационарные состояния системы (4), которые являются решением системы уравнений: ' Я - fin! = 0, [fini-pi - 0,

Система (4) имеет одно стационарное состояние:

V

Жм.

Исследование линеаризованной устойчивости

Линеаризуем систему (4). Пусть п = п + <;,1 = / + где п и / — координаты точки равновесия, а £ и п — малые возмущения:

Г ^-рщ -рЩ,

Запишем линеаризованную систему в окрестности точки равновесия:

- № , ■

м

I Зайдём собственные значения характеристического уравнения, которое имеет вид:

м

/(алее запишем корни этого характеристического уравнения: ( С—~—

I

В зависимости от выбора параметров особая точка может иметь разный характер. ! [ри /ИЛ < 4/г особая точка является устойчивым фокусом, а при обратном соотношении - устойчивый узел. В обоих случаях особая точка является устойчивой, так как действительная часть корней уравнения отрицательная. В зависимости от выбора значений коэффициентов, изменения переменных еиетемы может происходить по одной из двух траекторий. Если особая точка является фокусом, то в системе происходят затухающие колебания чис-ленностей новых и раздающих узлов (рис. 1). В узловом случае приближение численностсй к стационарным значениям происходит в бе с колебательном режиме (рис. 2). Фазовые портреты системы для каждого из двух случаев изображены, соответственно, на графиках (рис. 3, 4).

Цитормнннрон.

мадопь Pjattrack (графики puiuoiM

Рис, I. Зависимость числа новых и раздающих узлов от времени □ сети Fast Track для детерминистического случая при /ЗА < 4/г

У

фиовые портреты ствдсостнчсской жщепк ГаяТгасЬ лш рмгпгных снионятй от çtjqhcwbjwh* точек

01-i-j-j-;-j-

0 2 4 6 S !0 12

z(t) — число раздающих узлов

Рис. 7. Фазовые портреты стохастической системы Fast Track

с различными отклонениями (Дг, Ду) От стационарной точки

при 0Л > 4//2

Выводы

Полученные результаты показывают, что введение стохастики в стационарном режиме слабо влияет на поведение системы, поэтому при ее изучении можно рассматривать детерминистическую модель. Кроме того, предложенный метод позволяет расширить аппарат инструментов, используемых для анализа модели, так как одновременно при применении данного подхода для описания системы можно получить обыкновенное стохастическое дифференциальное уравнение и уравнение в частных производных в форме

уравнения Фоккера-Планка. Кроме того, как показал рассмотренный пример в некоторых случаях для изучения системы можно рассматривать ее детерминистическое приближение, которое определяется матрицей сносов А'.

Описана стохастическая модель протокола РазгТгаск и для нее получены стохастические дифференциальные уравнения в форме уравнения Фоккера-Планка, уравнение Лан-жевена и детерминистические системы дифференциальных уравнений. Проведен первичный качественный анализ полученной модели.

1. Кулябов Д.С., Демидова А.В. Введение согласованного стохастического члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика, 2012. -№3,- С. 69-78.

2. Jiart Liang, Rakesh Kumar. Keith W. Ross. The FastTrack overlay: a measurement study. Computer Networks. - Vol. 50(6). - 2006. -Pp. 842-858.

"i.Ding СЛ., NutanongS., Buyya R.. Peer-to-peer networks tor content sharing, // Journal of Systems Architecture 52 - (2006). - Pp.737-772,

4.Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. -Мир, 1986.

5. Лукшин А.В., Смирнов С.Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Матем. моделирование,2:11.- 1990.-С. 108-121.

6. Soheili A.R.. Namjoo М, Strong approximation of stochastic differential equations with runge-kutta methods // World Journal of Modelling and Simulation, 2008. — Vol. 4, no.2. - Pp.83-93.

Stochastic modeling of the fasttrack protocol

Demidova A.V., Gevorkyan M.N., Telecommunication System Department Peoples' Friendship University of Russia, [email protected], [email protected] Abstract

In the previous studies, we developed a method for elaborating one-step stochastic models, which allows to simulate a wide range of phenomena . This method showed good results for the population dynamics. It can also be applied to technical problems such as peer-to-peer network, in particular to the modeling FastTrack protocol. Intention. Construction of stochastic and deterministic model protocol FastTrack, as well as qualitative analysis of the model and study the effect of the introduction of stochastic behavior of the system. Techniques. The network systems modeling demands considering the random perturbations dependencies. While randomization of mathematical models, there is a problem of introducing of the stochastic term, which is not interpreted as a random external influence on the system, but which is directly related to its structure. For stochastic models, the consideration of the processes occurring in the system as a one-step Markov processes is proposed. Such approach allows to obtain stochastic differential equations with stochastic and deterministic agreed parts, as they are derived from the same equation. The introduction of the stochastic differential equations theory allows a qualitative and numerical analysis of the solutions of equations for the resulting stochastic model behavior. To illustrate the results, the use of the numerical Runge-Kutta methods of different orders lor constructing solutions of stochastic differential equations are encouraged. Results. A deterministic and stochastic model of the FastTrack protocol is delivered. The influence of the randomization on the model is studied with the help of qualitative analysis and numerical solutions of the equations. Conclusions. The analysis of the resulting stochastic and deterministic models showed that the behavior of the stochastic model in the steady state slightly differs from those of the deterministic model. Consequently, for some systems, this technique can be used for purely deterministic models.

Keywords: Peer-to-peer, FastTrack, stochastic models, stochastic differential equation, Runge-Kuita method. References

1. Kulyabov D.S., Demidova AV. The introduction of a harmonized one-stochastic term in the equation of the model of population growth / West RUDN nickname. Series "Mathematics. Informatics. Physics, 2012. No3. Pp. 69-78.

2. Jian Liang, Rakesh Kumar, Ketth W. Ross. The FastTrack over-lay: a measurement study. Computer Networks. Vol. 50(6). 2006. Pp. 842-858.

3. Ding C.H., Nutanong S, Buyya R, Peer-to-peer networks for content sharing, / Journal of Systems Architecture 52 (2006). Pp.737-772.

4. Gardiner K.V. Stochastic methods in the natural sciences. Moscow: MIR, 1986.

5. Lukshin AV., Smirnov S.N. Numerical methods for solving one-stochastic differential equations / Mat. -modeling of 2:11. 1990. Pp.108-121.

6. Soheili A.R., Namjoo M., Strong approximation of stochastic differential equations with runge-kutta methods / World Journal of Model-ling and Simulation, 2008. Vol. 4, No.2. Pp.83-93.

Заключение

Литература